DEVOIR MAISON n
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Pour Vendredi 11 Octobre 2019PROBL`
EME : UNE SOMME DE COMPLEXES
Dans ce probl`eme on d´esigne par U l’ensemble des nombres complexes de module 1 et pour tout entier n¥ 1, par Unl’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e.
Pour tout entier n¥ 1 et tout z P C, on consid`ere la somme :
Sn 1 z z2 . . . zn1 n¸1 k0
zk
avec la convention S1pzq 1.
Les questions qui suivent sont `a peu pr`es ind´ependantes. 1. Le cours
(a) Donner sous forme trigonom´etrique (exponentielle) les ´el´ements de Un.
(b) Donner sous forme alg´ebrique les ´el´ements de Un pour nP t1, 2, 3, 4u.
Placer ces ´el´ements dans le plan complexe (faire quatre figures distinctes). (c) Soit zP Un. Calculer Snpzq.
2. Le cas n 3. Nous avons donc S3pzq 1 z z2.
(a) D´eterminer sous forme alg´ebrique les solutions z de l’´equation S3pzq i.
(b) D´eterminer l’ensemble des z P C tels que S3pzq P R.
3. Majoration du module de la somme.
(a) Montrer par r´ecurrence sur n¥ 1 que pour tout z P U, on a |Snpzq| ¤ n.
(b) Cette borne est-elle atteinte pour un zP U ? Justifier.
Dans les trois questions suivantes, nous ´etudierons les valeurs de Snpzq pour quelques z P U.
4. Dans cette question, on pose z eiπn et n¥ 2.
(a) Justifier que zP UN avec N `a pr´eciser.
(b) Montrer que Snpzq
2 1 z
(c) D´eterminer le module et l’argument de Snpzq.
5. Dans cette question, on suppose que n¥ 3 et z P Un2zt1u.
(a) Calculer Snpzq en fonction de z.
(b) En d´eduire le module et l’argument de Snpzq.
6. Dans cette derni`ere question on d´etermine l’ensemble not´e S1 des z P U tels que |Snpzq| 1.
(a) Montrer que Un1
Un 1zt1u S1.
(b) Soit zP U tel que |Snpzq| 1. Justifier l’´egalit´e |zn 1| |z 1| puis en d´eduire que :
zn zn z z (c) D´eterminer l’ensemble S1.
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Pour Vendredi 11 Octobre 2019EXERCICE :
Equations de degr´´ e 3 : Tartaglia ou Cardan ?Ce serait Scipione Del Ferro (1465-1526), professeur de math´ematiques `
a Bologne, qui le premier parvient `a trouver une m´ethode permettant de r´esoudre certaines ´equations du 3`eme degr´e. Il conservera secr`ete sa m´ e-thode puis finit par la communiquer `a son gendre, lui aussi math´ematicien, qui la communique `a Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu’`a la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, celui-ci lance des d´efis aux math´ematiciens (quelques centaines tout au plus `a cette ´epoque) en son propre nom sur la r´esolution de ces ´equations.
En 1535, Tartaglia releva le d´efi alg´ebrique et une sorte de duel s’engagea entre les deux hommes. Chacun d´eposa une liste de 30 probl`emes chez un notaire ainsi qu’un somme d’argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait r´esolu le plus de probl`emes serait d´esign´e vainqueur et remporterait la somme.
Juste avant la date limite, Tartaglia trouve la r´esolution g´en´erale de ce type d’´equation et il les r´esout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa m´ethode, il d´ecide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d’autres concours. Cardan apprend l’exploit de Tartaglia et se doute que ce dernier a trouv´e la solution au probl`eme que nombres de math´ematiciens cherche depuis des ann´ees (voir des si`ecles). Usant de sa notori´et´e d’alors, Il le fait venir `a Milan. Apr`es plusieurs entretiens, il lui arrache sa m´ethode en lui promettant de ne jamais la divulguer.
On raconte que Tartaglia, du fait de son handicap, vouait une certaine admiration pour les m´edecins. Cardan en usa avec fourberie !
Girolamo Cardano (Cardan)
Niccol`o Fontana dit Tartaglia Cardan prolonge alors les travaux de Tartaglia et trouve une m´ethode plus g´en´erale encore de r´esolution des ´equations de degr´e 3.
Tartaglia avait trouv´e la m´ethode de r´esolution des ´equations de la forme : x3 px q. Cardan, obtient celle des ´equations de la forme : ax3 bx2 cx d 0.
Il apprend alors que Scipione Del Ferro avait trouv´e la solution avant Tartaglia, il consid`ere alors que la parole donn´ee ne vaut plus rien et publie, en 1545, ses r´esultats dans son ouvrage rest´e c´el`ebre Ars Magna.
La querelle qui suit devient ´enorme et le pauvre Tartaglia manque d’en perdre la vie.
L’Histoire ne sera en outre pas favorable `a Tartaglia. La m´ethode de r´esolution des ´equations de degr´e 3 est encore appel´ee m´ethode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac. Peu d’´etudiants connaissent mˆeme le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait m´erit´e reconnaissance et post´erit´e !
On se propose de r´esoudre l’´equation pEq : x3 12x 8 0
1. ´Etudier les variations sur R de la fonction f : x ÞÑ x3 12x 8. En d´eduire le nombre de solutions r´eelles depEq.
2. On cherche une solution de pEq sous la forme x u v, avec u et v complexes. (a) Montrer qu’en fixant le produit uv 4, on doit avoir u3 v3 8.
(b) En d´eduire que u3 et v3 (on mettra ces valeurs sous forme trigonom´etrique). (c) D´eterminer les couples pu, vq correspondant, puis les solutions de l’´equation pEq.