Couches absorbantes hybrides multi-pas de temps en dynamique des sols

HAL Id: tel-01278525

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01278525

Submitted on 24 Feb 2016

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

Couches absorbantes hybrides multi-pas de temps en

dynamique des sols

Eliass Zafati

To cite this version:

Eliass Zafati. Couches absorbantes hybrides multi-pas de temps en dynamique des sols. Génie civil.

INSA de Lyon, 2015. Français. �NNT : 2015ISAL0050�. �tel-01278525�

THÈSE DE DOCTORAT DE

l'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE

LYON

Spé ialité

MÉCANIQUE, GÉNIE MÉCANIQUE, GÉNIE CIVIL

Présentée par

Eliass ZAFATI

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR I.N.S.A. de Lyon

Sujet de la thèse :

Cou hes absorbantes hybrides multi-pas de temps en

dynamique des sols

soutenue le 09 Juin 2015

devant le jury omposé de :

M. Jean-François Semblat Rapporteur

M. Alain Millard Rapporteur

M. Pierre-Yves Bard Examinateur

M. Pierre-Alain Nazé Examinateur

Mme Irini Djeran-Maigre Dire tri e de thèse

M. Mi haël Brun Co-dire teur de thèse

Ce travail de thèse qui a pour objet la génération et l'étude des ou hes

absor-bantes dans lesproblèmes impliquantladynamique des sols, est diviséen trois parties

essentielles. La première onsiste à proposer une méthode de dimensionnement des

ou hes absorbantes par l'amortissementde Rayleighan de simuler des problèmes de

propagation d'ondes dans les milieux innis. Cette méthode repose sur une analyse

mathématique du problème de propagation d'ondes dans un milieu ara térisé par la

matri ede Rayleigh, qui nous permet, d'une part, d'établir des onditions de

minimi-sation des réexions parasites aux interfa es, et d'autre part, de proposer une simple

relation de dimensionnement du domaine absorbant basée sur la notion de dé rément

logarithmique.

On se propose dans la deuxième partie d'appliquer une stratégie de ouplage des

s hémas temporels pour des problèmes de propagationd'ondes dans les milieuxinnis

1D et2D. L'appro he proposée est d'intégrerle domained'étude par un s héma

expli- ite etledomaineabsorbantpar un s hémaimpli ite,etd'évaluer lepotentielde ette

méthode en faisant varier les rapports de pas de temps entre les sous domaines. Une

attentionparti ulièreest a ordéeau as 1Dpour lequell'eet delanessedumaillage

dénie par le nombre d'éléments nis par longueur d'onde est également analysé. Par

ailleurs, l'évolution du temps de al ul en fon tion du rapport entre les pas de temps

est étudiée an d'estimer les gains réalisés par rapport à un al ul de référen e où le

problème globalest intégré uniquementave un s héma expli ite.

La dernière partie est dédiée à l'étude des ou hes amortissantes de type PML

("Perfe tlyMat hed Layer") dans le adredes ouplages hybrides multi-pasde temps.

Cettepartieestintroduiteparuneétude destabilitédes s hémastemporelsdansle as

d'une PML en 1D. La ou he absorbante PML est intégrée selon un s héma impli ite

en adoptant des pas de temps plus importants que le domaine d'intérêt intégré selon

uns héma expli ite.Bien que etteméthodologiede ouplages'avère très e a e pour

Rayleigh.

Ces développements ont onduits aux deux publi ations suivantes à omité de

le -tures,dontunedéjàpubliéeetl'autresousrévisionetàune ommuni ationàun ongrès

international:

E. Zafati,M.Brun, I. Djeran-Maigre, and F. Prunier.(2014) Multi-dire tionaland

multi-time step absorbing layer for unbounded domain. Comptes Rendus Me anique,

342 :539-557,.

E. Zafati,M. Brun,I. Djeran-Maigre, and F. Prunier. Design of an e ient

multi-dire tional expli it/impli it Rayleigh absorbing layer for seismi wave propagation in

unboudeddomainusingastrongformformulation.InternationalJournalforNumeri al

Methods inEngineering, (minorrevisions).

ZafatiE.,BrunM.Djeran-MaigreI., (2013),Amulti-dire tionalabsorbing layerfor

seismi wavepropagationinunboundeddomainbyusingheterogeneousmulti-timestep

subdomain methods. CompDyn 2013, 4th Int. Conferen e on ComputationalMethods

in Stru tural Dynami s and Earthquake Engineering, 12-14 June 2013 - Kos Gree e

(http ://www.e omaspro eedings.org/ s2013)

Mots- lefs:Propagationd'ondes, Cou hes parfaitementabsorbantes (PML),

Résumé 4

Introdu tion 14

1 Etat de l'art 17

1.1 Elasti ité linéaire . . . 17

1.2 Approximation par laméthode des élémentsnis . . . 19

1.3 Dis rétisation temporelle . . . 20

1.3.1 Aperçu sur les s hémas temporels . . . 20

1.3.2 S héma de Newmark . . . 21

1.4 Méthodes de ouplage des s hémas temporels . . . 24

1.4.1 Introdu tion . . . 24

1.4.2 Méthode GC dans le as multi-é hellesen temps . . . 25

1.4.3 Stabilité de la Méthode GC par la méthode énergétique . . . 30

1.5 Méthodes des ou hes absorbantes . . . 32

1.5.1 Propagation d'ondes dans lesmilieuxélastiques . . . 33

1.5.2 Méthode d'amortissement par la matri ede Rayleigh . . . 36

1.5.3 Cou hes absorbantes parfaitementadaptées . . . 43

1.6 Bilan . . . 50

2 Amortissement de Rayleigh 51 2.1 Amortissementde Rayleigh: adre général . . . 51

2.1.1 Formulation forte . . . 51

2.1.2 Approximation par les élémentsnis . . . 52

2.2 Problèmede propagationd'ondes danslemilieudeRayleighetàl'interfa e 55 2.2.1 Propagation d'onde dans lemilieu de Rayleigh: Cas 1D . . . . 55

2.2.2 Problème de propagationd'ondes d'un milieu linéairevers le mi-lieu de Rayleigh: problème d'interfa e . . . 59

2.3.1 Propagation d'onde en 1D dans le milieude Rayleigh . . . 71

2.3.2 Propagation d'ondeen 1D d'un milieuélastique vers lemilieude Rayleigh . . . 74

2.3.3 Test de Lamb ave ouplage impli ite/expli iteen mono-é helle 79 2.4 Bilan . . . 88

3 Amortissement de Rayleigh et le multi-é helle en temps par la mé-thode GC 89 3.1 Amortissementde Rayleighet méthode de ouplage GC : Cas 1D . . . 89

3.2 Amortissementde Rayleighet méthode de ouplage GC : Exemples 2D 95 3.2.1 Test de Lamb 2D . . . 95

3.2.2 Fondation rigidesur un sol homogène . . . 99

3.2.3 Fondation rigidesur un sol stratié . . . 103

3.3 Bilan . . . 108

4 Cou hes absorbantes parfaitement adaptées et méthode de ouplage GC 109 4.1 Stabilitédans le as 1D. . . 109

4.2 Couplage milieu physique etPML . . . 115

4.3 Appli ationde laméthode GC aux équationsde laPML en 1D . . . . 116

4.4 Cou hesParfaitementAdaptées etméthodede ouplageGC :Exemples 2D . . . 120

4.4.1 Test de Lamb . . . 120

4.4.2 Fondation rigidesur un sol homogène . . . 124

4.4.3 Fondation rigidesur un sol stratié . . . 128

4.5 Bilan . . . 131 Con lusions et Perspe tives 133 Annexe A 136 Annexe B 137 Annexe C 140 Annexe D 142

2.1 Les ara téristiquesmé aniques etgéométriques des matériaux . . . 75

3.1 Valeursde

Rt

m

(rapportentreletemps de al ulen expli iteetletemps

de al ulpour un al ul expli ite/impli ite)en fon tiondu ratio

m

(rap-port entre les pas de temps) . . . 95

3.2 Erreurs en énergie et dépla ement en fon tion de

m

dans le as du test

de Lamben utilisantla stratégieALID modiée . . . 99

3.3 Erreurs orrespondantes aux énergies et aux dépla ements, en fon tion

de

m

, dans le as du test de hargement d'une fondation sur un sol

homogène semi inni en utilisantla stratégieALID modiée . . . 103

3.4 Erreurs orrespondantesauxénergiesetauxdépla ements,enfon tionde

m

,dansle as du test de hargementd'unefondationsur un solstratié

en utilisant lastratégieALID modiée . . . 108

4.1 Valeurs de

R

m

en fon tion du ratio

m

. . . 120

4.2 Erreurs orrespondant auxénergies etaux dépla ements,en fon tion de

m

, dans le as du test de Lamb en utilisant les ou hes parfaitement

adaptées (PML) . . . 124

4.3 Erreurs orrespondant auxénergies etaux dépla ements,en fon tion de

m

,dansle asdutestde hargementd'unefondationsurunsolhomogène

en utilisant lesPMLs . . . 128

4.4 Erreurs orrespondant auxénergies etaux dépla ements,en fon tion de

m

,dansle as du test de hargementd'unefondationsur un solstratié

1.1 Modélisationdu domaine

Ω

ave les onditions auxlimites . . . 18

1.2 Domaine

Ω

partitionnéen deux sous domaines

Ω

1

et

Ω

2

. . . 24

1.3 Polarisationdes ondes

P

et ondes

S

. . . 35

1.4 Polarisationdes ondes SH etSV . . . 35

1.5 Polarisationdes ondes de Rayleigh . . . 36

1.6 Comparaisonentrelesrésultatsnumériques(amortissementdeRayleigh) et lesrésultats analytiques(modèle de Maxwell)(Semblat [1℄) . . . 37

1.7 Modèlede Maxwellgénéraliséetla ourbed'atténuation orrespondante ( Semblat et al[2℄) . . . 38

1.8 Comparaison de l'amplitude relative maximale pour diérents types de ou hes absorbantes pour un problème de propagation d'ondes dans un sol semi-innidû à un hargement àla surfa e du sol (Semblat et al[2℄) 39 1.9 Onde se propageant dans la dire tion positive ou la dire tion négative par rapport à la dire tion x,

f

pour l'interfa e avant ("front fa e") et

b

pour l'interfa e arrière("ba k fa e") . . . 43

1.10 In iden e oblique sur une PML . . . 46

2.1 Problème de propagationd'onde en 1D . . . 55

2.2 Evolutionde

V

p

ω

0

| Im(k

p

) |

en fon tion de

ω

ω

0

. . . 59

2.3 Propagation d'onde dans deux milieuxséparé par une interfa e à

x = 0

60 2.4 Coe ient de réexion pour une onde à in iden e normale en utilisant diérentes valeursde

ξ

. . . 63

2.5 Problème d'interfa e entre deux milieux diérents de Rayleighave une in iden e normale . . . 64

2.6 Problème de propagationd'onde dans la partiemulti- ou hes en 2D . . 65

2.7 Isovaleurs de

δ

en fon tion de

N

λ

et

N

e

pour

a

ξ

= 0.02

. . . 67

2.8 Ondes se propageant selon les dire tions positive ou négative dans la

n

`

eme

sous ou he par rapport àl'axe

x

. . . 67

2.10 Cou he homogène amortissantede longueur

5λ

. . . 71 2.11 Dépla ement au point C,

ω

0

=

2π

t

p

= 2.09rad/s

,

ξ = 0.5

(à gau he),

ξ = 1

(àdroite) . . . 72

2.12 Zoom sur ledépla ementau point Cdans le as

ξ = 1

. . . 72

2.13 La diéren e entre la vitesse de phase numérique et la vitesse de phase

exa te . . . 73

2.14 Evolutiondu dé rementlogarithmique

δ

num

aupointC ommeune

fon -tion de

ξ

pour l'onde de Ri ker : Comparaisonave la ourbe théorique

obtenue pour les ondes harmoniques (équation(2.22)) . . . 74

2.15 Les ara téristiquesgéométriques du maillage . . . 74

2.16 Illustration de l'onde in identeet l'onde réé hiepar ledépla ement du

pointC . . . 76

2.17 Onde réé hie aupoint C,

ω

0

=

2π

t

p

= 2.09 rad/s

. . . 77

2.18 Valeurs de

γ

minimisant l'amplitude de l'onde rée hie : omparaison

entre la ourbe théorique obtenue pour les ondes harmoniques (

γ =

ρ

2

V

2

ρ

1

V

1

=

1

√

1+ξ

2

) etla ourbe obtenue en onsidérant l'onde de Ri ker . . 78

2.19 Comparaisondu oe ientderéexionentrelesstratégiesALIDetALID

modiée pour

a

ξ

= 0.02

et

a

ξ

= 0.03

. . . 79

2.20 Test de Lamb . . . 80

2.21 Dé ompositionensousdomaines:domained'intérêtet ou heamortissante 81

2.22 Le problème ouplé : sous domaine 1 (sol) modélisé par Europlexus et

sous domaine2(milieu absorbant)modélisé par Cast3m . . . 81

2.23 Dépla ementhorizontalaupointC:résultatsanalytiques(Lamb)versus

les résultatsnumériques obtenus par les ou hes absorbantes de Rayleigh 82

2.24 Dépla ement verti al au point C : résultats analytiques (Lamb) versus

les résultatsnumériques obtenus par les ou hes absorbantes de Rayleigh 83

2.25 Modèle EF pour le sous domaine 1 (sol) et le sous domaine 2

(multi- ou hes) . . . 84

2.26 Dépla ement horizontalau pointC . . . 85

2.27 Dépla ement verti al au pointC . . . 85

2.28 Energies inétique etpotentielle al ulées en utilisant lastratégie ALID

modiée . . . 86

2.29 Comparaisondes isovaleursde dépla ementobtenues pourplusieurs

ins-tants,d'unepart,parunmaillageassezlarge,etd'autrepart,enutilisant

la stratégieALID modiée . . . 87

3.1 Maillagepar lesélémentsde type barre ouplantunmilieulinéaireetun

3.2 Evolution du oe ient de réexion en fon tion de

ξ

pour diérentes

valeurs de

N

λ

. . . 92

3.3 Evolutiondu oe ientderéexionenfon tionde

N

λ

enxantlavaleur

de

ξ

. . . 93

3.4 Evolutiondu oe ient de réexionen fon tion de

N

λ

dans le as de la

stratégieALID modiée (éléments barres) . . . 94

3.5 Evolutiondu oe ient de réexionen fon tion de

N

λ

dans le as de la

stratégieALID modiée (éléments quadrangles) . . . 94

3.6 Test de Lamb :Modélisationpar les multi ou hes (ALID modié) . . . 95

3.7 Dépla ements verti al et horizontalen C obtenus par ALID, ALID

mo-diée et un maillagesusament étendu (Test de Lamb) . . . 97

3.8 Comparaison des énergies en Cdans le as du test de Lamb . . . 97

3.9 Comparaisondesdépla ementsenCdansle asdutestdeLambobtenus

pour diérents ratios

m

. . . 98

3.10 ComparaisondesénergiesenCdansle as dutestdeLambobtenuspour

diérentsratio

m

. . . 98

3.11 Modélisationdu hargement d'une fondation rigide en utilisant la

stra-tégie ALID modiée . . . 100

3.12 Dépla ements verti al et horizontalen C obtenus par ALID, ALID

mo-diée et un maillagesusament étendu dans le as d'une fondation sur

un solhomogène . . . 101

3.13 Comparaison des énergies inétique et potentielle obtenues par ALID,

ALID modiée et un maillagesusament étendu dans le as d'une

fon-dation sur un solhomogène . . . 101

3.14 Dépla ements verti al et horizontalen C obtenus par ALID, ALID

mo-diée et un maillagesusament étendu pour diérentes valeurs de

m

. 102

3.15 Comparaison des énergies inétiqueset potentielles obtenues pour

dié-rents ratios

m

. . . 103

3.16 Test de hargement d'une fondationsur un solstratié . . . 105

3.17 Dépla ements verti al et horizontalen C obtenus par ALID, ALID

mo-diée et un maillagesusament étendu . . . 105

3.18 Comparaison des énergies inétique et potentielle obtenues par ALID,

ALID modiée etun maillageassez large . . . 106

3.19 Dépla ementsverti alethorizontalenCobtenuspourdiérentesvaleurs

de

m

. . . 107

3.20 Comparaison des énergies inétiques et potentielles obtenus pour

4.2 Courbes d'énergies ( inétique

E

c

, interne

E

p

et totale

E

m

) tra ées pour

diérentss hémastemporelsdansle asoùonannulelesfon tions

d'amor-tissements de la PML selon Basu. . . 114

4.3 Maillage par les élémentsbarres ouplant un milieu linéaireet une PML 116

4.4 Coe ient deréexion dansle as monopas de tempsave une fon tion

d'amortissement de laPML nulle . . . 118

4.5 Coe ientderéexiondansle asmonopasdetemps(Expli ite omplet

et Impli ite/Expli ite)en fon tion de

R

pour

N

λ

= 50

. . . 118

4.6 Evolutionde

R

num

en fon tionde

N

λ

et

m

pour

R = 0.001

et

R = 0.01

119

4.7 ModèledutestdeLamb2Dave les ou hesparfaitementsadaptées(PML)121

4.8 Dépla ements verti al et horizontal en C obtenus par la PML et un

maillage susament étendu (Test de Lamb) dans le as mono pas de

temps ( ouplage expli ite/expli ite) . . . 122

4.9 Comparaison des énergies en C pour le test de Lamb dans le as mono

pas de temps . . . 122

4.10 Comparaisondesdépla ementsenCdansle asdutestdeLambobtenus

pour diérents ratio

m

. . . 123

4.11 ComparaisondesénergiesenCdansle as dutestdeLambobtenuspour

diérentsratio

m

. . . 124

4.12 Fondation rigide sur un sol homogène semi inni : Modélisationave la

ou he PML . . . 125

4.13 Dépla ements verti al et horizontal en C obtenus par la PML et un

maillage susament étendu ( ouplage Expli ite/Expli ite mono pas de

temps) . . . 126

4.14 Comparaisondesdépla ementsenCdansle asdutestdeLambobtenus

pour diérents ratio

m

. . . 127

4.15 Comparaison des énergies inétiqueset potentielles obtenues pour

dié-rents ratios

m

. . . 127

4.16 Modèle de fondation rigidesur un solstratié en utilisantles PMLs . . 129

4.17 Dépla ements verti al et horizontal en C obtenus par la PML et un

maillage susament étendu ( ouplage Expli ite/Impli ite mono pas de

temps) . . . 129

4.18 Dépla ementsverti alethorizontalenCobtenuspourdiérentesvaleurs

de

m

. . . 130

4.19 Comparaison des énergies inétiques et potentielles obtenus pour

Dans le domaine de la dynamique des sols, re ouvrant les as des séismes ou des

explosions,le pro essus de propagation d'ondes résulte de deux ara téristiques

essen-tielles : l'inertie et la déformabilité du milieu. Si le milieu n'est pas déformable, toute

ex itation va générer uniquement soit une for e interne soit un mouvement a éléré.

De même,si on ometl'inertie du milieu, latransmission du mouvement sera alors

ins-tantanée. Lorsque les deux propriétés sont réunies, la transmission de l'onde est don

possibleets'a ompagne en mêmetempsdu transportd'une quantitéd'énergie sous la

formed'une énergie inétique etd'une énergie potentielle.

Lades riptionmathématiquedes problèmesdepropagationd'ondes estrendue

pos-siblegrâ eaudéveloppement du on ept desmilieux ontinus [3℄.Cette idéalisationde

laréalitéestd'uneutilitépratique onsidérabledanslamesureoùellepermetderéaliser

des études très omplexestraitantdes problèmes de la mé anique. Les équationsde la

mé anique des milieux ontinus a ompagnées des équationsde ladynamiquedonnent

naissan e à un système d'équations non linéaires ouplant les diérentes omposantes

du dépla ement, généralement impossible à traiter analytiquement dans les as réels.

Des hypothèses supplémentaires, portant sur la linéarité du milieu par exemple, sont

alors né essaires an de rendre possible une résolution mathématique.

Quand la résolution analytique est impossible, on a re oursà des méthodes

numé-riques qui fournissent des solutions numériques approximatives. Parmi es méthodes,

la méthode des éléments nis o upe a tuellement une pla e de premier plan dans le

mondedu al uls ientique.Lapopularitéde laméthodeprovientdesonusageintensif

et pragmatique, dans les années 50, par des ingénieurs appartenant à la ommunauté

des mé ani iens. L'analyse mathématique de ette méthode n'a débuté que vers la n

desannées60grâ eauxtravaux[4℄[5℄portantsur l'étudedeserreursd'approximations

développées àpartir desoutils mathématiquesétablisbien àl'amontvers lesannées40

par Sobolev,Bana h et S hwartz [6℄. Ce rappro hement donnera naissan e à un adre

d'in-Unefois l'étapede l'approximation spatialepar laméthode des éléments nis

fran- hie, on obtient un système d'équations en fon tion de la variable temps. L'une des

appro hes ommunément utilisées dans la résolution de e genre de système est la

méthode d'intégration dire te par des familles de s hémas temporels. Les s hémas de

Newmark[7℄,quifontpartiede ette atégoriesontpeutêtrelesplusan iens,maisaussi

lesplusutilisés dansla dynamiquetransitoire.Cette méthode de résolution est e a e

danslamesureoùellepeut être appliquéeauxproblèmes linéairesetnonlinéaires.

Ce-pendant,des pré autionsdoiventêtre prisesauniveau de lapré isionetde lastabilité.

Certainss hémas peuvent introduire de l'amortissementnumériqueoude la dispersion

numériquedans le as desproblèmesde propagationd'ondes, etd'autres sontassujettis

à des onditions de stabilité ( ondition CFL : Courant, Friedri hs et Lewy). Pour des

problèmes qui présentent une hétérogénéité dans la taille des éléments, l'appli ation

d'un s héma expli ite est onditionnée par le plus petit élément du maillage, e qui

peut être pénalisantsurtout s'ilexiste des régionsdu maillagequi ne né essite pas une

tellepré isionpourobtenirlesquantités physiquesd'intérêtpour l'ingénieur.L'unedes

solutions proposées dans la littérature est la dé omposition du maillage en plusieurs

parties, ha une étant intégrée ave son propre s héma temporel et son propre pas de

temps, sans ae ter la stabilité du problème global. Figurant dans ette atégorie, la

méthode GC (Gravouil et Combes ure) est une te hnique de ouplage des s hémas de

Newmark développée pour les milieux linéaires [8℄ et non linéaires [9℄ [10℄ selon

l'ap-pro he duale.Cette méthode a faitl'objet d'unesérie d'améliorationsnotammentave

lestravaux de (Mahjoubi et al [11℄, Brunet al [12℄).

Les problèmes de propagation d'ondes dans lessols né essitent la onsidération de

domainesnonbornésdans ertainesdire tions.Larédu tiondudomainephysiqueenun

domaineniest laseuleoptionpossiblepour unesimulationnumériqueparlaméthode

des éléments nis. Cela requiert un traitement spé ial au niveau des onditions aux

limites an de représenter les onditions de radiation à l'inni. Une grande variété de

te hniques aété développée dans e sens ommeles onditions auxlimitesabsorbantes

[13℄, les éléments innis [14℄ ou en ore les ou hes absorbantes. Selon la littérature,

la dernière lasse peut être divisée en deux groupes : les ou hes parfaitement

adap-tées (ou PML,  Perfe tly Mat hed Layers ) [15℄ et les ou hes absorbantes ave un

amortissementaugmentantprogressivement(ALID,AbsorbingLayerswithIn reasing

Damping)[16℄ou(CALM,CaugheyAbsorbingLayerMethod)[2℄).Lesstratégies

ALID ou CALM onstituent des méthodes d'amortissement des ondes in identes par

pénalisante en termes de temps CPU lorsqu'on onsidère la matri e de rigidité dans

lamatri e de Rayleigh et qu'on utilise une intégration par un s héma expli ite (ou de

diéren e entrée).

Le premier hapitre de e mémoire présente les équations prin ipales qui régissent

les problèmes de propagation d'ondes dans les sols, a ompagnées d'éléments sur les

ouplages de s hémas temporels et les diérentes te hniques de ou hes absorbantes

pour reproduireles milieuxinnis.

Une étude analytique de l'amortissement de Rayleighest menée ausein du se ond

hapitremettanten lumièrelelienentre une formulationfortebaséesur des

omporte-ments physiques et la formulation faible dis rétisée par la méthode aux éléments nis

dans laquelle la matri e d'amortissement de Rayleigh est introduite. Cette étude

dé-bou he sur une méthode simple de dimensionnement des ou hes ALID, qui améliore

laméthode originellede [16℄.

Cette partie est suivie dans le troisième hapitre par une série d'appli ations de la

méthode GC sur des problèmes de propagation d'ondes unidimensionnels et

bidimen-sionnels.On protedes avantages des méthodes de ouplage en onsidérantles ou hes

ALID ommeunsous domaineàpart, etl'enintégrantpar uns hémaimpli iteave un

ma ropasde temps.Cettete hnique de ouplage nous permetde onsidérerlamatri e

de rigidité dans la matri e d'amortissement,sans réduire le pas de temps de stabilité.

Uneanalyse d'erreurs s'avère alors né essaire an d'estimer la performan e de e

ou-plageen fon tion des rapports entre les pas de temps et de la nessedu maillage.

Le dernier hapitreest dédié au ouplage entre un al ul expli ite dans le domaine

d'intérêt ave une intégration impli ite des ou hes parfaitement adaptées (PML) aux

frontières du maillage,selon la formulationde Basu[18℄, [19℄ et[20℄. Cette analyse est

omplétéeparune étudede ertainespropriétés dus héma dedis rétisationtemporelle

Etat de l'art

Le livre delanature esté riten langage

mathématique.

GalileoGalilei

Ce hapitreest diviséen troisparties.Enpremierlieu,leproblèmede ladynamique

en élasti itélinéaire est présenté et dis rétisé en espa e et en temps. Après une brève

présentationdes méthodeshybridesde ouplages de s hémastemporels, laméthode de

ouplageGCest introduiteen détaillantd'unepartl'algorithmedu ouplageentredeux

milieuxlinéaires ayantle omportement de Hooke etd'autre part l'algorithmedu

ou-plageentreun milieulinéairedeHookeetun milieuvisqueux ara térisé parlamatri e

deRayleigh.Lastabilitéde laméthodeGC [8℄, onsidérée ommeune ondition

né és-sairede la onvergen e de lasolutionnumérique,sera égalementabordée etdémontrée

parlaméthodeénergitique. Ladernière partiesera onsa réeàlaprésentation de deux

méthodes de ou hes absorbantes. La première onnue sous le nom ALID ou CALM,

basée sur une simple formulation par la matri e de Rayleigh, est présentée en faisant

lepointsur le al ul de l'atténuationpar lefa teur de qualité et par laméthode de la

matri eglobale.La deuxième, plus populaire, onnue sous lenom de PML ("Perfe tly

mat hed layers") est présentée en distinguantbrièvement lesdiérentes appro hes

dé-veloppées dans lalittérature puis en détaillantla formulation temporelle proposée par

Basuet al [19℄, adaptée à laméthode des éléments nis.

1.1 Elasti ité linéaire

On onsidèrelesystèmed'équationsdel'élasti itélinéaireoùonsupposeunmatériau

R

2

(Figure1.1) et

u

leve teur dépla ementsolutiondel'équationd'équilibresuivante:

ρ¨

u

i

=

2

X

j=1

∂

∂x

j

σ

ij

(x, t) + f

i

(x, t)

∀x ∈ Ω i = 1, 2

(1.1)

Ω

g

N

Γ

N

g

D

Γ

D

Figure 1.1  Modélisationdu domaine

Ω

ave les onditions aux limites

où

f

i

représentent les omposantes des for es volumiques et

σ

ij

les omposantes du

tenseurdes ontraintesliéautenseurdesdéformationsinnitésimalparlaloideHooke:

σ

ij

=

Eν

(1 + ν)(1 − 2ν)

δ

ij

2

X

k=1

ε

kk

+

E

1 + ν

ε

ij

(1.2)

valide pour tout

x ∈ Ω

, ave

E

le module de Young et

ν

le oe ient de Poisson.

Sousl'hypothèsedes petitesperturbations(HPP)letenseur dedéformations'é ritsous

saformelinéarisée:

ε

ij

=

1

2

(

∂u

i

∂x

j

+

∂u

j

∂x

i

)

_{∀x ∈ Ω i, j = 1, 2}

(1.3)

Multiplions l'équation d'équilibre (1.1) par une fon tion test de omposantes

v

i

,

intégronssur

Ω

et appliquonsl'intégration par partie, onobtient :

Z

Ω

¨

uv + a(u, v) =

Z

Γ

γ

1

u γ

0

v ds +

Z

Ω

f v dx

(1.4)

ave

a(u, v)

une formebilinéaire symétriquedénie par :

a(u, v) =

Z

Ω

X

et

γ

0

,

γ

1

les opérateurs dénis par :

γ

0

u = u

Γ

γ

1

u = σ

=

(u, x).n ∀x ∈ Γ

(1.6)

Lesystèmed'équations pré édent est omplétépar des onditionsdéniesàla

fron-tière du domaine:

γ

0

u(x) = g

D

(x)

∀x ∈ Γ

D

Dirichlet

γ

1

u(x) = g

N

(x)

∀x ∈ Γ

N

Neumann

(1.7)

ave

Γ = Γ

D

_{∪ Γ}

N

, alors que les onditions initiales sontdénies par :

u(t = 0, x) = u

0

(x)

∂

t

u(t = 0, x) = v

0

(x)

(1.8)

1.2 Approximation par la méthode des éléments nis

La première étape de l'approximation de la solution du problème pré édent par la

méthode des éléments nis onsiste à appro her le domaine

Ω

par des simplexes qui

sont, dans la plupart des as, des segments en 1D, des triangles ou des re tangles en

2D. Ensuite on approxime lo alement, sur haque élément

Ω

e

, l'espa e de solutions

et des ve teurs tests de dimension inni par un espa e de dimension ni onstruit,

généralement,à partir des fon tions polynmiales.On é rit alors :

u

_h

=

N

X

i=1

N

_i

e

(ζ) u

_i

(1.9)

v

_h

=

N

X

i=1

N

e

i

(ζ) v

i

(1.10) dans laquelle

u

h

est lasolution appro hée,

N

e

i

lafon tion de forme orrespondante

au noeud

i

déni sur un élément de référen e ave les oordonnées

ζ

;

u

i

désigne le

dépla ement au noeud

i

. En rempla ement les intégrales

R

Ω

par

P R

Ω

e

et les ve teurs

u, v

par

u

h

, v

h

dans la formulationfaible(1.4), on obtient une équationde laforme :

ave

U

leve teurdépla ementayantpour omposantes

u

i

et

M

lamatri edemasse donnée par :

M

ij

=

X

e

Z

Ω

e

N

_i

e

N

_j

e

dx

(1.12)

F

int,i

désigne leve teur des eorts interneset

F

ext,i

elui des eorts extérieurs:

F

int,i

=

X

e

Z

Ω

e

X

σ

kl

(u, x)ε

kl

(N

i

e

u

i

, x) dx

(1.13)

F

ext,i

=

X

e

Z

Ω

e

f N

e

i

dx +

X Z

Γ

N,e

g

N

_N

e

i

ds

(1.14)

Commele omportement est linéaire, lafor einterne peut s'é rire sous laforme :

F

int

= KU

(1.15)

où

K

est la matri e de rigidité. Il est importantde noter que les intégrales sur les

do-maines

Ω

e

sont al uléesàpartirdesélémentsderéféren een ee tuantun hangement

devariableetsontappro hées,dansunese onde étape,parlaméthoded'intégrationde

Gauss.On peut trouver lesdétails du al ul des diérentes matri esdans les ouvrages

de Hughes [21℄ et de Zienkiewi z [22℄.

Ladis rétisationspatialeparlesélémentsnisintroduituneerreurd'approximation

dénie par l'é art entre la solution exa te et la solution appro hée. Cette erreur est

évaluée par des estimateurs qu'on peut lasser en deux types : estimateur a priori et

estimateur a posteriori. Ces erreurs dépendent à lafois de lanorme utilisée,de l'ordre

d'approximation et de la taille des éléments et elles ont un intérêt majeur dans les

problèmes de génération des maillagesadaptatifs (voir par exemple [23℄).

1.3 Dis rétisation temporelle

1.3.1 Aperçu sur les s hémas temporels

Après ladis rétisationspatiale,onobtientun système d'équations diérentielles en

fon tion de la variable temps. La méthode numérique la plus ommunément utilisée

pourlarésolutionde e genred'équations estl'intégrationdire tepardess hémas

tem-porels. Le prin ipe de es méthodes onsiste à al uler les quantités inématiques en

à l'instant

t

n+1

et les quantités à l'instant

t

n

( onnues à l'avan e) ainsi que l'équation

d'équilibre.Parmi les s hémasdéveloppés dans e sens issus de la famillede Newmark

[7℄, exprimésen fon tion des paramètresde Newmark

γ

et

β

,sont, sans doute,lesplus

utilisés. Lorsque

γ = 0.5

et

β = 0

on obtient le s héma de diéren e entrée (s héma

expli ite)tandis queles paramètres

γ = 0.5

et

β = 0.25

donnent le s héma de

l'a élé-rationmoyenne (s héma impli ite).

Ilexisteuneautrefamilledes hémassemblableà elledeNewmarkappelée

α−

méthodes

oùl'équilibreest satisfait en moyenne par leparamètre de pondération

α

entre

t

n+1

et

t

n

. On peut iter trois algorithmes de e type : l'algorithme ave pondération de la

matri e de raideur HHT (Hilbert, Hughes et Taylor) [24℄, l'algorithme ave

pondéra-tion des eorts d'inertie par Wood et al [25℄ et la méthode

α

généralisée par Chung

et al [26℄. L'avantage de es méthodes est qu'elles permettent un ertain ontrle de

la dissipation d'énergie, utile pour atténuer les eets parasites des hautes fréquen es

provenantde ladis rétisationspatiale,touten onservantun bonordrede onvergen e.

Il est également souhaitable que la méthode d'intégration temporelle onserve

er-tainesquantités ommelemomentdes quantitésde mouvementoul'énergiedansle as

général ( as non linéaire). Ces s hémas font l'objet de re her hes intensives depuis le

travailde Simoet al [27℄ qui adéveloppéun algorithmeave des propriétés de

onser-vation appli ablesauxloisde omportement nonlinéairesà ondition qu'ellesdérivent

d'un potentiel.

1.3.2 S héma de Newmark

On onsidèreànouveau l'équationdu mouvementsemi-dis rétisée en espa e(1.11).

Sous l'hypothèse HHP etd'une loi de omportementlinéairede Hooke,on a:

M ¨

U + C ˙

U + KU = F

ext

(1.16)

L'équation est modiée en ajoutant une matri e d'amortissement

C

généralement

symétrique positive omme la matri e de Rayleigh [17℄. La résolution de l'équation

pré édente né essite la onnaissan edes onditions initiales(1.8) :

U(0) = U

0

U (0) = V

˙

0

(1.17)

La résolution numérique par le s héma de Newmark est donnée par les équations

suivantes :

U

n+1

= U

n

+ dt ˙

U

n

+

dt

2

2



(1 − 2β) ¨

U

n

+ 2β ¨

U

n+1



(1.19)

˙

U

n+1

= ˙

U

n

+ dt



(1 − γ) ¨

U

n

+ γ ¨

U

n+1



(1.20)

où

U

n+1

,

U

˙

n+1

et

U

¨

n+1

sont les approximations de

U(t

n+1

)

,

U (t

˙

n+1

)

et

U (t

˙

n+1

)

,

respe tivement. Les paramètres

γ

et

β

sont hoisis an d'assurer la stabilité et une

pré isionsatisfaisantedu al ul.Leproblème omposédeséquationspré édentes (1.18),

(1.19) et (1.20) onsiste alors à al uler les quantités

U

n+1

,

U

˙

n+1

et

U

¨

n+1

sa hant les

valeurs

U

n

,

U

˙

n

et

U

¨

n

. Pour ela, on dénitles prédi teurssuivants :

U

_n+1

p

= U

n

+ dt ˙

U

n

+

dt

2

2

(1 − 2β) ¨

U

n

(1.21)

˙

U

_n+1

p

= ˙

U

n

+ dt (1 − γ) ¨

U

n

(1.22)

Lavaleur de

U

¨

0

est déterminée par :

M ¨

U

0

= F − CV

0

− KU

0

(1.23)

Eninje tant leséquations (1.22)et (1.21) dans l'équation(1.18), lavaleurde

U

¨

n+1

est déterminée par :

(M + γdtK + βdt

2

K) ¨

U

n+1

= F

n+1

− C ˙U

n+1

p

− KU

p

n+1

(1.24)

Finalement,lesquantités

U

n+1

,

U

˙

n+1

sont al ulées parlesrelations(1.19)et(1.20).

Endénissant leve teurd'état

d

n

= [ ˙

U

n

U

n

]

T

àl'instant

n

,lastabilitéd'uns héma

d'intégration temporellepour un pas de temps

dt

onsiste à e qu'une perturbationdu

ve teur

d

n

n'entraîne qu'une modi ation non roissante de

d

n+j

al ulé à un instant

t

n+j

. Dans le as du s héma de Newmark, on peut montrer, en éliminant la matri e

d'amortissement

C

etle ve teur des for es extérieures, que lesve teurs d'états

d

n+1

et

d

n

sont reliés par :



γ dt K

M

M + β dt

2

_K

₀

 

U

n+1

˙

U

n+1



=



−(1 − γ) dt K

M

M + (

1

₂

_{− β}

)

dt

2

_{K dt M}

 

U

n

˙

U

n



(1.25)

Lesystème pré édent peut être é ritautrementen se projettantsur un mode

ω

h

(

h

étantlatailledel'élémentdemaillage).Ondénitlafréqen eadimensionnée

Ω

h

= dt ω

h

et

[ ˙u

n

u

n

]

les oordonnées de

[ ˙

U

n

U

n

]

en se projetant sur le mode

ϕ

h

. De la relation



γ Ω

2

h

1

1 + β Ω

2

h

0

 

u

n+1

dt ˙u

n+1



=



−(1 − γ) Ω

2

h

1

1 + (

1

2

− β

)

Ω

2

h

1

 

u

n

dt ˙u

n



(1.26)

Endénissantlamatri ed'ampli ation

A =



γ Ω

2

h

1

1 + β Ω

2

h

0



−1



−(1 − γ) Ω

2

h

1

1 + (

1

₂

_{− β}

)

Ω

2

h

1



,

lastabilitédu s héma impliqueque lesvaleurspropres de ette matri essoient in lues

dansledisque unité siellessont distin tes.Ce i entraîne,sans entrer dansle détaildes

al uls,les propriétés lassiquesde stabilitédu s hémade Newmark [21℄ :

1

2

≤ γ ≤ 2β

sch´

ema inconditionnellement stable

1

2

≤ γ et 2β ≤ γ

sch´

ema stable si dt ≤ dt

c

=

1

ω

h

√

γ

2

−β

(1.27)

Lorsqu'on suppose que la matri ed'amortissement

C

est de type de Rayleighde la

forme

C = aM + bK

ave

a

et

b

des onstantes positives,les onditionsdestabilitésont

modiées[21℄:

1

2

≤ γ ≤ 2β

sch´

ema inconditionnellement stable

1

2

≤ γ et 2β < γ

sch´

ema stable si dt ≤ dt

c

=

1

ω

h

ξ(γ−

1

2

)+

[

γ

2

−β+ξ

2

(γ−

1

2

)

2

]

1/2

γ

2

−β

(1.28) ave

ξ =

1

2

(

a

ω

h

+ b ω

h

)

.

Outre la stabilité, un s héma temporel doit également vérier la propriété de la

onsistan e an d'assurer une onvergen e vers la solution exa te. Celle- i est bien

vériée dans le as de s héma de Newmark, onpeut montrer que :

lim

dt→0

d

n+1

− d

n

dt

= ˙

d

n

(1.29)

Dans le as où

γ 6=

1

2

, le s héma est d'ordre 1,alors qu'il est d'ordre

2

si

γ =

1

2

.

Danslase tionsuivante, onaborderalesméthodes de ouplage dess hémas

1.4.1 Introdu tion

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Ω

1

Ω

2

Γ

12

Figure1.2 Domaine

Ω

partitionné en deux sous domaines

Ω

1

et

Ω

2

Dans ette introdu tion, on onsidère un domaine

Ω

dé omposé en deux sous

do-maines

Ω

1

et

Ω

2

ayant pour interfa e

Γ

12

et qui peuvent, en outre, avoir des

proprié-tés physiques diérentes. On suppose que le partitionnement est sans re ouvrement

(

Ω

1

∩ Ω

2

= ∅

) et que le maillage obtenu par la dis rétisation spatiale est onforme à

l'interfa e.

Lapro édurede ouplage des s hémas temporels onsisteà subdiviser un problème

en plusieurssous domaines et intégrer ha und'eux ave son propre s héma

d'intégra-tion etson proprepas de temps. Cette te hnique est d'autant plus intéressante qu'elle

permet d'envisager des é helles de temps très nes sur des régions ave des maillages

très ns et des é helles de temps grossières sur des régions ave des maillages

gros-siers.On peutimaginersur l'exemple illustrésur laFigure1.2, même ave un maillage

uniforme sur tout domaine, une méthode d'intégration mixte où le sous domaine

Ω

1

est intégré ave un s héma expli ite et lesous domaine

Ω

2

est intégré ave un s héma

impli ite.

Denombreusesméthodesde ouplageontété développées dans esens.Huguesetal

[28℄ ont proposé une méthode mixte (Impli ite/Expli ite) selon l'appro he primale en

adoptantun pas de temps uniforme et ont démontré sa stabilité par laméthode

éner-gétique [29℄. Belytshko et al [30℄ ont développé une méthode multi-é helles en temps

en onsidérant des s hémas d'intégration homogène type Expli ite/Expli ite (

E

m

/

E

)

ave

m

lerapportentre lema ro pas de tempset lemi ropas de temps.Ils ontabouti

à la on lusion que e type de ouplage impose des onditions de stabilité plus stri te

l'utilisationde plusieurs é helles en temps. Cette méthode a été mise en oeuvre, dans

unpremiertemps,pourlafamilledess hémasde Newmarkpuisétendue àlafamille

α

-généralisée.Il existe également des méthodes de ouplage intéressantes qui permettent

d'intégrer haque élément de maillage par son propre pas de temps, au lieu d'intégrer

tout le problème par un pas de temps ontrlé par le petit élément du maillage. On

peut iter dans e sens lesréféren es de Lew et al [32℄ [33℄.

Lesméthodes de ouplage des sousdomaines baséessur l'appro he dualeont onnu

ungrandsu èsdufaitqu'ellespermettentde ouplerplusieurssousdomaines defaçon

plus indépendante. La méthode FETI est l'une des méthodes proposées dans e sens

quia été développée dans le travail de Farhat et al [34℄.La ontinuité des quantités à

l'interfa eest assuréepar lesmultipli ateursde Lagrange ontrairementaux méthodes

dé rites pré edemment. Le omplément S hur dual est alors introduit permettant de

al ulerdans un premier temps lesmultipli ateursde Lagrangeavant d'en déduire les

quantités inématiques.

La méthode utilisée dans notre travail,nommée GC méthode (en référen e à

Gra-vouiletCombes ure) [10℄ [9℄[8℄est onsidérée ommel'extention del'algorithmeFETI

dynamiquepourdes ouplagesmulti-é hellesen tempsen utilisantless hémasde

New-mark. La ontinuité des quantités inématiques aux interfa es est prés rites par les

multipli ateursde Lagrange. La résolution d'un problème de la dynamique transitoire

par la méthode GC né essite 3 étapes de résolution qu'on détaillera dans la suite :

lapremière onsiste à al ulerles quantités sans liaison, ensuite les multipli ateurs de

Lagrangesont al ulés via un problème ondensé, qui permet nalement le al ul des

quantitésave liaison.Lastabilitéde etteméthodeest démontrée àtraversl'appro he

énergétique en adoptant une ondition de ontinuité des vitesses aux interfa es. En

outre,lastabilitéest onditionnéeuniquementparles onditionsde stabilitéen haque

sousdomaine. Lebilan énergétiquede etteméthode introduitun termede dissipation

si lepas de temps n'est plus uniforme sur tout le problème. Des améliorations ont été

alors proposées par Mahjoubi et al [11℄ et Brun et al [12℄ pour assurer une meilleure

onservation de l'énergie.

1.4.2 Méthode GC dans le as multi-é helles en temps

Considérons le problème dé rit sur la Figure 1.2, le prin ipe variationnel dans le

milieu ontinu peut s'é rire,en prenant ompte la dé omposition en 2 sous domaines,

Z

Ω

ρ

i

¨

u

i

v

i

dΩ + a

i

(u

i

, v

i

) +

Z

Γ

ij

λ

ij

γ

0

v

i

ds = l

i

(v

i

)

i, j ∈ {1, 2} i 6= j

(1.30)

Z

Γ

ij

µ

ij

(γ

0

u

i

− γ

0

u

j

) ds = 0

i, j ∈ {1, 2} i 6= j

(1.31)

l

i

forme linéaire représentant les for es extérieures agissant sur le sous domaine

i

en ex luant l'interfa e

Γ

12

,

λ

ij

les multipli ateurs de Lagrange interprétés omme les

for es au signe près agissant sur l'interfa e

Γ

12

.

u

i

,

v

i

les hamps de dépla ements et

µ

ij

des fon tions tests appartenant à des espa es onvenables.

Dansunpremiertemps,onsupposequeles omportementssontlinéairesélastiques.

Enintroduisantlesélémentsde ladis rétisationspatialedans leséquationspré édentes

onobtient lesystème d'équations suivant(voir[8℄ pour les détails):

M

1

U

¨

1

+ K

1

U

1

+ L

T

1

λ = F

ext,1

M

2

U

¨

2

+ K

2

U

2

+ L

T

2

λ = F

ext,2

(1.32)

L

1

U

˙

1

+ L

2

U

˙

2

= 0

où

M

i

,

K

i

sont les matri es de masse et de rigidité du sous domaine

i ∈ {1, 2}

.

λ

est le ve teur des multipli ateurs de Lagrange et

L

i

les matri es booléennes qui

sé-le tionnent les noeuds à l'interfa e séparant les sous domaines. On remarque que la

ondition de ontinuité des dépla ements à l'interfa e (1.31) a été rempla ée par une

onditionde ontinuitédes vitessesdans lesystèmepré édent and'assurer lastabilité

du problème omme onva levoirdans lasuite.

On suppose que le sous domaine

1

est intégré ave un mi ro pas de temps

dt

et les

paramètresdeNewmark

γ

1

et

β

1

,alorsquelesousdomaine

2

estintégréave un ma ro

pasdetemps

dT = m dt

etlesparamètresdeNewmark

γ

2

et

β

2

.

m

estun entiernaturel

appelé le ratio des pas de temps. Le problème des sous domaines pré édent peut être

é rit sous laforme:

M

1

U

¨

1

j

+ K

1

U

1

j

+ L

T

1

λ

j

= F

j

ext,1

∀j ∈ [1, m]

M

2

U

¨

2

m

+ K

2

U

2

m

+ L

T

2

λ

m

= F

ext,2

m

liaison".En eetonpeut résoudre le problème suivanttrois étapes :

Problème sans liaison :

˜

M

1

U

¨

1

j,sl

= F

j

ext,1

− K

1

U

1

p,j

(1.34)

˜

M

2

U

¨

2

m,sl

= F

ext,2

m

− K

2

U

2

p,m

(1.35)

Problème ave liaison :

˜

M

1

U

¨

1

j,al

= −L

T

1

λ

j

(1.36)

˜

M

2

U

¨

2

m,sl

= −L

T

2

λ

m

(1.37) Condition de liaison :

L

1

( ˙

U

1

j,sl

+ ˙

U

j,al

1

) + L

2

( ˙

U

2

j,sl

+ ˙

U

j,al

2

) = 0

(1.38)

où

M

˜

i

les opérateurs dynamiques dénispar :

 ˜

_M

₁

_{= M}

₁

_{+ β}

₁

_dt

2

_K

1

˜

M

2

= M

2

+ β

2

dT

2

K

2

(1.39) et

U

p,j

1

,

U

p,m

2

lesprédi teurs en dépla ements:



U

₁

p,j

= U

₁

j−1

+ dt ˙

U

₁

j−1

+ (

1

2

− β

1

) dt

2

_U

_¨

j−1

1

U

₂

p,m

= U

0

2

+ dT ˙

U

2

0

+ (

1

2

− β

2

) dT

2

_U

_¨

0

2

(1.40)

Les dépla ements et vitesses ave et sans liaison sont fournis par les relations

sui-vantes :















U

j,sl

_{= U}

p,j

_{+ β dt}

2

_U

_¨

j,sl

U

j,al

_{= β dt}

2

_U

_¨

j,al

˙

U

j,sl

_{= ˙}

_U

p,j

_{+ γ dt ¨}

_U

j,sl

˙

U

j,al

_{= γ dt ¨}

_U

j,al

(1.41)

Les quantités totales sont obtenues par la sommation des quantités sans liaison et

les vitesses du sous domaine

2

à l'instant

j

. Il est né essaire, dans e as, de donner

des expressions approximatives de es quantités. Combes ure et al[8℄ ont proposé une

interpolationlinéairede laforme :

 ˙

_U

j,sl

2

= (1 −

j

m

) ˙

U

0,sl

2

+

j

m

U

˙

m,sl

2

˙

U

₂

j,al

_{= (1 −}

_m

j

) ˙

U

₂

0,al

+

_m

j

U

˙

₂

m,al

(1.42)

En onsidérant la relation (1.38), on substitue les vitesses ave liaison du sous

do-maine

2

par la relation(1.42) :

L

1

U

˙

1

j,al

+ L

2



1 −

_m

j



˙

U

₂

0,al

+

j

m

U

˙

m,al

2



= −L

1

U

˙

1

j,sl

− L

2

U

˙

2

j,sl

(1.43)

On substitue les vitesses ave liaisonpar lesa élarationsobtenues dans (1.41) :

γ

1

dt L

1

U

¨

1

j,al

+ γ

2

dT L

2



1 −

_m

j



¨

U

₂

0,al

+

j

m

U

¨

m,al

2



= −L

1

U

˙

1

j,sl

− L

2

U

˙

2

j,sl

(1.44)

On utilise les relationsentre lesa élérations ave liaisons et lesmultipli ateursde

Lagrange, onobtient :

γ

1

dt L

1

M

˜

1

−1

L

1

λ

j

+ γ

2

dT L

2

M

˜

2

−1

L

2



1 −

_m

j



λ

0

+

j

m

λ

m



= L

1

U

˙

1

j,sl

+ L

2

U

˙

2

j,sl

(1.45)

On suppose que lesmultipli ateurs de Lagrange sont interpolés linéairement:

λ

j

=



1 −

_m

j



λ

0

+

j

m

λ

m

(1.46) On en déduitalors :

Hλ

j

= L

1

U

˙

1

j,sl

+ L

2

U

˙

2

j,sl

(1.47) ave :

H =

h

γ

1

dt L

1

M

˜

1

−1

L

1

+ γ

2

dT L

2

M

˜

2

−1

L

2

i

(1.48)

On al uled'abord lesvitesses sans liaison en utilisantl'équation(1.41), on al ule

les multipli ateurs de Lagrange à haque instant

j

de l'é helle ne à partir de

l'équation(1.36). Une fois àl'itération

j = m

on al ule

λ

m

qui sera utilisé, de même,

pour le al ul des quantités ave liaison du sous domaine

2

. Cet algorithme peut être

généralisé fa ilementen onsidérant plusieurssous domaines.

Dans notretravail,onsera amené à utiliserle système suivant :

M

1

U

¨

1

+ K

1

U

1

+ L

T

1

λ = F

ext,1

M

2

U

¨

2

+ C

2

U

˙

2

+ K

2

U

2

+ L

T

2

λ = F

ext,2

(1.49)

L

1

U

˙

1

+ L

2

U

˙

2

= 0

oùl'équationdusousdomaine

2

est modiéeen introduisantunematri e

d'amortis-sement

C

2

.Larésolutionde esystèmeparlaméthodeGC peutêtredéduitefa ilement

de l'étudeprésentée i-dessus. En eet, larésolution du problème omprend lesmêmes

étapes ave des légèresmodi ations :

Problème sans liaison :

˜

M

1

U

¨

1

j,sl

= F

ext,1

j

− K

1

U

1

p,j

(1.50)

˜

M

2

U

¨

2

m,sl

= F

ext,2

m

− K

2

U

2

p,m

− C

2

U

˙

2

p,m

(1.51)

Problème ave liaison :

˜

M

1

U

¨

1

j,al

= −L

T

1

λ

j

(1.52)

˜

M

2

U

¨

2

m,sl

= −L

T

2

λ

m

(1.53) Condition de liaison :

Hλ

j

_{= −L}

1

U

˙

1

j,sl

− L

2

U

˙

2

j,sl

(1.54)

Dans e as, l'opérateur dynamiquedu sous domaine

2

al'expression suivante:

˜

Dans ette se tion, ons'intéresse à l'étude de la stabilitéde la méthode GC par la

méthode énergétique en onsidérant un ouplage d'un milieu linéaire de Hooke (sous

domaine 1) et un milieu visqueux ara térisée par la matri e

C

2

. Dans le adre de la

méthode énérgetique de Hughes [35℄ utilisée pour démontrer la stabilité des s hémas

temporelshybrides,lebilanénergétiquedu sousdomaine

1

peutsemettresouslaforme

[8℄:



1

2

U

¨

1

A

1

U

¨

1

+

1

2

U

˙

1

K

1

U

˙

1



t

m

t

0

= −



γ

2

−

1

2



_X

m

j=1

△ ¨

U

₁

j−1

A

1

△ ¨

U

1

j−1

+

1

dt

m

X

j=1



˙

U

₁

j

_{− ˙U}

₁

j−1



L

T

₁

λ

j

_{− λ}

j−1

(1.56) Ave :

A

1

= M

1

+ dt



β

1

−

γ

1

2



K

1

(1.57)

Un termed'énergie d'interfa e apparaît dans l'équation(1.56) qu'on dénit par :

E

1

interf ace

=

1

dt

m

X

j=1



˙

U

1

j

− ˙U

1

j−1



L

T

1

λ

j

− λ

j−1

(1.58)

De façon identique, le bilan énergétique du sous domaine

2

peut se mettre sous la

forme:



1

2

U

¨

2

A

2

U

¨

2

+

1

2

U

˙

2

K

2

U

˙

2



t

m

t

0

= −



γ

2

−

1

2



△ ¨

U

2

A

2

△ ¨

U

2

− △ ˙U

2

C

2

△ ˙U

2

+

1

dT



˙

U

₂

m

_{− ˙U}

₂

0



L

T

₂

λ

m

_{− λ}

0

(1.59) ave :

A

2

= M

2

+ dT



β

2

−

γ

2

2



K

2

(1.60) et:

E

₂

interf ace

=

1

dT



˙

U

₂

m

_{− ˙U}

₂

0



L

T

₂

λ

m

_{− λ}

0

(1.61)

Le bilan énergétique appliqué à tout le problème (sous domaines

1

et

2

) s'é rit



1

2

U

¨

1

A

1

U

¨

1

+

1

2

U

˙

1

K

1

U

˙

1



t

m

t

0

+



1

2

U

¨

2

A

2

U

¨

2

+

1

2

U

˙

2

K

2

U

˙

2



t

m

t

0

= −



γ

1

−

1

2



_X

m

j=1

△ ¨

U

₁

j−1

A

1

△ ¨

U

1

j−1

−



γ

2

−

1

2



△ ¨

U

2

A

2

△ ¨

U

2

− △ ˙U

2

C

2

△ ˙U

2

+

1

dt

m

X

j=1



˙

U

₁

j

_{− ˙U}

₁

j−1



L

T

₁

λ

j

_{− λ}

j−1

+

1

dT



˙

U

m

2

− ˙U

2

0



L

T

2

λ

m

− λ

0

(1.62)

Ave le terme d'interfa e qui s'exprime de la façonsuivante:

E

interf ace

= E

₁

interf ace

+ E

₂

interf ace

=

1

dt

m

X

j=1



˙

U

₁

j

_{− ˙U}

₁

j−1



L

T

₁

λ

j

_{− λ}

j−1

+

1

dT



˙

U

₂

m

_{− ˙U}

₂

0



L

T

₂

λ

m

_{− λ}

0

(1.63)

And'assurer une stabilitéil sut que :

E

interf ace

_{≤ 0}

(1.64)

Ce qui revient àdire qu'ilsut d'assurer lastabilité de haque sous domainepour

assurer la stabilité globale du problème. Combes ure et al [8℄ ont montré que ette

énergiepeut s'é riresous la forme:

E

interf ace

=

1

γ

2



˙

U

₂

m,al

_{− ˙U}

₂

0,al



T

mdt

M

˜

2



˙

U

₂

m,al

_{− ˙U}

₂

0,al



mdt

−

1

γ

2

m

X

j=1



˙

U

₂

j,al

_{− ˙U}

₂

j−1,al



T

mdt

M

˜

2



˙

U

₂

j,al

_{− ˙U}

₂

j−1,al



mdt

(1.65)

Gravouila montré que l'expression

E

interf ace

est équivalente à une somme de arré

négatifs.Cequi impliqueimmédiatementunedissipationd'énergie numériqueà

l'inter-fa emaisaussilastabilitédu problèmeglobal.Ande prouverque

E

interf ace

_{≤ 0}

,nous

proposons une autre version de démonstrationplus simple :

X

2

j

=

˙

U

₂

j,al

_{− ˙U}

₂

j−1,al

dt

(1.66) Et :

f (X) = X

T

M

˜

2

X

(1.67) On a alors :

E

interf ace

=

1

γ

2

f (

1

m

m

X

j=1

X

₂

j

_{) −}

1

mγ

2

m

X

j=1

f (X

₂

j

)

(1.68)

Comme

M

˜

2

estdéniepositive,lafon tion

f

est onvexe equiimpliqueenutilisant

l'inégalitéde Jensen [36℄ :

f (

1

m

m

X

j=1

X

2

j

) ≤

1

m

m

X

j=1

f (X

2

j

)

(1.69) D'où lerésultat.

1.5 Méthodes des ou hes absorbantes

Considérons un problème de propagation d'ondes dans un domainenon borné

sup-posé être élastique. Le prin ipe de base des ou hes absorbantes est de tronquer le

domaine de al ul en absorbant les ondes sortantes de e domaine. Ces ou hes sont

atta hées aux frontières du domaine d'étude et sont généralement onstruites ave les

mêmes éléments que le reste du modèle. Dans notre travail, on onsidère deux

te h-niques de ou hes absorbantes : les ou hes absorbantes par les matri es de Rayeigh

omme les méthodes ALID ("Absoring Layers with In reasing Damping") ou CALM

("Caughey AbsorbingLayer Method") proposées par Rajagopal [16℄ et Semblat [2℄, et

les ou hes parfaitement adaptées ("Perfe tly Mat hed Layers" ou PML) qui ont la

propriété d'absorberlesondes in identes sans réexion.

Laméthoded'absorptionparlamatri edeRayleighprésentel'avantaged'êtrefa ile

à implémenter ar on utilise uniquement des pa kages disponibles dans la plupart des

odesEF. Cependant, ette méthode al'in onvénientde ne plusassurer une ontinuité

d'impédan e à la frontière générant ainsi quelques réexions à l'interfa e. Selon la

lit-térature, on distinguera deux appro hes. La première est adoptée par Semblat et al[2℄

est montrée en utilisantlanotion du fa teur de qualité. La deuxièmeappro he onnue

sous lenom d'ALID aété utilisée par Drodz [37℄ et Rajagopal et al[16℄. Uneappro he

similaire a été utilisée également par Liu et al[38℄. La véri ation de l'e a ité de la

méthode ALID repose sur la notion de la matri e globale [39℄ utilisée préalablement

pour le al uldes amplitudesdans des milieuxstratiés.

Dans la suite, on se limitera aux milieux homogènes linéaires isotropes. On

om-men eparprésenter ertainsrésultats lassiquesdes problèmesde propagationd'ondes

danslesmilieuxélastiquesenvuede mieuxappréhender lasuitedutravail.Ensuite,on

présentralesméthodesd'amortissement ommeALIDouCALM,puislaméthodePML.

1.5.1 Propagation d'ondes dans les milieux élastiques

On onsidère à nouveau le problème d'élasti ité linéaire de la se tion 1.1 dans un

milieubidimensionnel:











ρ ∂

2

t

u

i

=

P

2

j=1

∂x

∂

j

σ

ij

(x, t) + f

i

(x, t)

σ

ij

=

_{(1+ν)(1−2ν)}

Eν

δ

ij

P

2

k=1

ε

kk

+

1+ν

E

ε

ij

ε

ij

=

1

₂

(

∂u

_∂x

i

_j

+

∂u

_∂x

j

_i

)

(1.70)

On peut formuler leproblème en utilisantuniquement le dépla ement. Le

dépla e-ment vérie alors l'équationsuivante[40℄ :

(λ + µ) [∇ (∇.u)] + µ△u = ρ

∂

2

_u

∂t

2

− f

(1.71)

ave

λ

et

µ

les oe ients de Lamé orrespondants au module de Young

E

et

au oe ient de Poisson

ν

. Selon le théorème de dé omposition de Helmholtz [41℄ le

hamp de ve teur

u

peut être dé omposé en une sommedu gradientd'un s alaire

φ

et

lerotationeld'un ve teurpotentiel

ψ

:

u = ∇ (φ) + ∇ ∧ ψ

(1.72)

àlaquelle on ajoutela ondition suivante :