Modèle axial du réacteur.
Prise en compte de l'effet Doppler.
1. Modèle physique
On suppose que le cœur d'un réacteur homogène occupe le domaine Ω ∁ ℝ , supposé borné.
Le modèle de diffusion à un groupe est le plus simple qu'on puisse imaginer.
Dans ce modèle, le flux thermique est solution de l'équation de diffusion : peut s'écrire :
(1) − . ∇ Φ + Σ Φ = ν Σ Φ , ∈ Ω
où Φ est le flux neutronique en ⁄ ⁄ , la longueur de diffusion (en ), Σ est la section efficace macroscopique de fission (en ), Σ la section efficace macroscopique d'absorption (en
), et ν est le nombre moyens de neutrons thermiques produit par la fission d'un noyau d'U235.
Remarque 1:
Chaque fission produit en moyenne ν = 2,5 neutrons rapides mais il n'y en a que ν < ν qui
survivent à la phase de ralentissement, de sorte que ν est seulement de l'ordre de 2. La formule des 4 facteurs d'Enrico Fermi (qui s'écrit ! " = #. $. %. η ) montre que ν = ν . #. $ où $ est le facteur anti-trappe. ∎
2. Modèle mathématique
L'équation (1) est un cas particulier de l'équation de diffusion
(2) − . ∇' + ( ' = % , ' , ∈ Ω
où l'on rajoute des CL appropriées sur la frontière Γ du domaine Ω . Cas Dirichlet
(2a) ' = 0 sur Γ Cas Fourier
(2b) *+ *, + -' = 0 sur Γ
où = ./ désigne le vecteur unitaire de la normale extérieure à Ω en ∈ Γ et - > 0 un paramètre appelé longueur d'extrapolation.
Les conditions aux limites (2a) ou (2b) permettent d'obtenir un problème mathématiquement bien posé.
On notera que le coefficient de diffusion = peut avoir un saut à l'interface entre deux sous- domaines Ω et Ω , la continuité du courant neutronique
1/ = . ∇../'
à l'interface entre Ω et Ω fait que l'équation (2)est vraie au sens des distributions.
Dans cette note nous allons supposer que (3) % , ' = 2 3 − 4 ' '
ce qui fait que l'équation (2) est non-linéaire.
Cette équation est connue des mathématiciens sous le nom d'équation de réaction-diffusion.
Dans le cas 4 = 0 on obtiendrait
(4) − . ∇' + ( ' = 3 2 ', ∈ Ω
ce qui est équivalent à chercher 3 valeur propre du problème variationnel
(5) 5 ', = λ ', ∀ ∈ 7 où ', = 8 2 ' Ω
7 = 9 Ω avec
5 ', = 8 Ω ∇' ∇ dans le cas Dirichlet et 7 = 9 Ω avec
5 ', = 8 Ω ∇' ∇ + - 8 ' Γ Γ dans le cas Fourier.
Nous allons supposer qu'il existe 2 et 2 tels que : (6) 0 < 2 ≤ 2 ≤ 2 < +∞
(ce qui fait que . , . est bien un produit scalaire sur < Ω ) et qu'il existe et et ( et ( tels que :
(7) 0 < ( ≤ ( ≤ ( < +∞
(8) 0 < ≤ ≤ < +∞
Les résultats classiques de théorie spectrale (cf e.g. Dautray-Lions) montrent que, dans ces conditions, le problème (5) admet un ensemble dénombrable de valeurs propres positives.
De plus le théorème de Krein-Rutman montre qu'à la plus petite valeur propre λ > 0 est associé un mode propre ' ≥ 0 .
Remarque 2 : Dans l'application envisagée à la neutronique, il se peut que les fonctions Σ ou Σ soient nulles dans certaines parties du domaine Ω ; dans ces conditions, en choisissant ( = ( + Σ et 2 = ( + ν Σ on obtiendrait l'existence de λ > 0 et d'un
mode propre fondamental ' ∈ 7 vérifiant
− . ∇' + ( ' = λ 2 '
c'est à dire
(9) − . ∇' + ( + Σ ' = λ >( + ν Σ ? '
Si λ = 1 alors le problème (1) (complémenté par les conditions aux limites de Dirichlet ou de Fourier) admet une solution Φ proportionnelle à ' et donc définie à une constante multiplicative près.
Réciproquement, si le problème (1) (complémenté par les conditions aux limites de Dirichlet ou de Fourier) admet une solution Φ alors λ = 1 . ∎
Nous supposerons dorénavant que la valeur propre fondamentale du problème (5) est λ = 1 . On en déduit que le quotient de Rayleigh
A ∈ 7 B C,C C,C
est égal à 1, autrement dit que (10) 5 , ≥ , ∀ ∈ 7
Formulation sous forme de problème de minimisation.
Soit maintenant ψ ∶ ℝ → ℝ la fonction définie par : ψ F = |F|F
Cette fonction est dérivable, et sa dérivée vaut
ψ H F = IF F > 0 −F F < 0J
On vérifie que ψ H est croissante et donc que ψ est convexe.
Nous traiterons dans la suite le cas des conditions aux limites de Dirichlet, mais le cas Fourier se traiterait de la même façon.
Dans le cas non linéaire où % , ' est donné par (3), on supposera, pour que le problème ait un intérêt que 3 > 1 . En effet, de cette façon, si l'on pouvait négliger 4 (cas des très faibles puissances et donc des flux neutroniques très faibles) le problème (2) serait surcrituqe.
Nous allons définir :
K = 5 , − L , .
L'inégalité (10) entraîne que K: 7 → ℝ est convexe si 3 ≤ 1 , mais ce n'est pas le cas ici puisque nous avons supposé que 3 > 1 . Il se peut même que
N % ∈ 7 K soit égal à −∞ .
En effet si on prend = ' où ' est le mode propre fondamental du problème (5) associé à λ = 1 on a 5 ' , ' = ' , '
K ' = L ' , '
qui est négatif. D'où le résultat en remplaçant ' par O' avec O ∈ ℝ et en faisant O → ∞ . Soit maintenant P: 7 → ℝ la fonction convexe définie par
P = 8 2 4 ψ '
Ω ,
(Noter que l'injection de Sobolev 9 ∁ < fait que P est défini sur tout V) ; on vérifie que P est différentiable et que son gradient vérifie
P H ' , = Q R → 0 S P ' + R − P ' = 8 2 4 Ω ψ H T' U.
pour tout ∈ 7 .
On va chercher à résoudre
(11) N %
∈ 7 VK + P W
Comme K + P n'est pas convexe , on ne sait pas si la solution de ce problème est unique et encore moins si elle existe.
Quoiqu'il en soit, un point stationnaire ' ∈ 7 de cette fonctionnelle K + P vérifiera 8 Ω ∇'. ∇ + 8 ( ' Ω − 3 8 2 ' Ω + 8 2 4 Ω ψ H T' U. = 0 , ∀ ∈ 7 On en déduit de façon classique que
− . ∇' + (' = 32' − 24 ψ H ' dans Ω (au sens des distributions, et donc si ' ≥ 0 :
− . ∇' + (' = 32' − 24' = 2 3 − 4' ' = % , ' .
NB. Si on prend = ' X où ' X est le mode propre n° du problème (5) associé à λ
X> 1 on a 5 ' X , ' X = λ ' X , ' X
K ' X = λ L ' X , ' X
qui est positif si 1 < 3 < λ .
Conjecture:
On a l'intuition que, si 1 < 3 < λ la solution de (10) est nécessairement de la forme = O' . En effet les modes propres ' X constituent une base Hilbertienne de 7 et on constate que si
K O' X ≥ 0 ∀ ≥ 1
la valeur nulle étant obtenue pour O = 0 . Analysons ce qui se passe pour = 0
Si c'est bien le cas, on a (en remarquant que 5 ' , ' = ' , ' ) K O' = Y
Z5 ' , ' − LY
Z8 2 |' Ω |
= L Y
Z8 2 |' Ω | et donc
[ O = K O' + P O' = L O 8 2 |' | Ω + |O| 8 2 4 |' | Ω
= B |O| − \ O
avec les définitions suivantes pour 5 et ( : 5 = 8 2 4 |' | Ω
( = 3 − 1 8 2 |' | Ω Autrement dit
[ O = 5 ψ O − \ O et
[ H O = 5 ψ H O − (O = I5O − (O O > 0 −5O − (O O < 0J Les valeurs \
B , 0 et − \ B permettent d'annuler la dérivée de [ , mais seules deux valeurs O = ± \ B conviennent. Elles donnent lieu au même minimum B ^ \ B ^ − \ ^ \ B ^
On a ainsi montré que si 1 < 3 < λ alors
(6) ' = O' avec O = \ B = 3 − 1 8 _ ` |+
Ω a|
Zb`
8 _ ` c ` |+
Ω a|
db` . ∎
Remarque 3 :
Dans un REP, la puissance neutronique est significative de sorte que la température du combustible est beaucoup plus élevée à la puissance nominale (en moyenne 750 °C) qu'à l'arrêt à chaud (en moyenne 300 °C). L'écart en pcm (pcm=pour cent mille) de la réactivité du cœur entre ces deux situations est de l'ordre de 1400 pcm, voire 3000 pcm si l'on tient également compte de l'effet modérateur, qui est d'autant plus élevé en fin de cycle car il y a moins de Bore soluble dans l'eau.
Les calculs de physique des réacteurs montrent que les coefficients , Σ et Σ dépendent assez peu de la température, et donc de ' . La quantité qui dépend le plus de la température est le facteur anti- trappe $ .
Autrement dit soit ν la valeur de ν qui rend le problème (2) critique, on va se placer dans le cas où ν = ν ' = ν 3 − 4'
il est donc logique de choisir ( = Σ
2 = ν Σ
4 = 4
Remarque 4 : Evaluation des paramètre 3 et 4
Si on avait affaire à un cœur homogène, on pourrait raisonner sur le paramètre
! " ' = ν ' Σ ⁄ Σ
En physique des réacteurs, on sait que si la réactivité du coeur baisse de F $ , c'est parce que ! " a baissé de F $ . Dans un réacteur homogène, on aurait donc
% ' = Σ ! " ' ' = ν ' Σ ' = ν 3 − 4' Σ ' Donc Σ ! " ' = ν 3 − 4' Σ
et donc, en posant ! "g = ν Σ ⁄ Σ on obtient : 3 − 4' = ! " ' ! ⁄ "g
Donc si ' h désigne le flux neutronique à la puissance nominale, 3 = ! " 0 /! "g
3 − 4' h = ! " ' h ⁄ ! "g
et donc
4 = j
kj j
k+
lkm
+
lAdmettons que
! " ' h = ! " 0 1 − 0.02), on a donc
4 = + .
l
