Terminale S
Devoir surveillé n˚2 - 14/10/2016
2016 - 2017EXERCICE 1 (4 points)
Déterminer les limites suivantes : a) lim
x→−∞
− 3x
5+ 2x
4− x
2+ 6 b) lim
x→−∞
2 − 1
x
3c) lim
x→4
x<4
1 − 5x
x − 4 d) lim
x→−2
x>−2
x + 2 x
2+ 3x + 2
• • •
EXERCICE 2 ( points)
Pour chacune des appréciations suivantes, précisez si elle est vraie ou fausse. Justifiez votre réponse ; on pourra utiliser des contre-exemples graphiques.
1. Si une fonction f est telle que, pour tout x strictement positif, f (x)
61
x , alors lim
x→+∞
f (x) = 0.
2. Si f est une fonction telle que, pour tout x réel, f(x) > x
2, alors lim
x→−∞
f (x) = + ∞ .
3. Si a est un nombre réel quelconque , et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a; + ∞ [, alors lim
x7→+∞
f (x) = −∞ .
4. f et g sont deux fonctions définies sur [0; + ∞ [, g ne s’annulant pas.
Si lim
x7→+∞
f (x) = −∞ et lim
x7→+∞
g(x) = + ∞ , alors lim
x7→+∞
f (x) g(x) = − 1 5. Si f est une fonction définie sur [0; + ∞ [ telle que 0 ≤ f (x) ≤ √
x sur [0; + ∞ [, alors lim
x7→+∞
f(x) x = 0
• • •
EXERCICE 3 ( points)
On considère la suite (u
n)
n∈Ndéfinie par
u
0= 1 et u
n+1= 3u
n− 4n + 2 1. Calculer u
1, u
2et u
3.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u
n>2n.
En déduire la limite de la suite (u
n)
n∈N. 3. (v
n)
n∈Nest la suite définie par v
n= u
n− 2n.
(a) Démontrer que la suite (v
n)
n∈Nest géométrique.
(b) En déduire l’expression de v
npuis de u
nen fonction de n.
4. Exprimer S
n= u
0+ u
1+ . . . + u
nen fonction de n.
En déduire la limite de (S
n)
n∈N.
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2016 - 2017EXERCICE 4 ( points)
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la pro- pagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.
Temps en heures 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Concentration en mg/L 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4
Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g définie sur l’intervalle [0; + ∞ [ par
g(t) = 4t t
2+ 1
Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g(t) représente la concen- tration en mg/L de l’antibiotique.
Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction g.
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 t
g(t)
O
+ + +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1. Par lecture graphique, donner sans justification : (a) Les variations de la fonction g sur [0; 10] ;
(b) La concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières heures ;
(c) L’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/L.
2. (a) Déterminer la dérivée g
′(t) de la fonction g.
(b) En utilisant l’expression de g
′(t), montrer que la concentration maximale serait, avec cette mo- délisation, atteinte exactement 1 heure après l’injection.
3. Déterminer la limite de la fonction g en + ∞ . Comment peut-on interpréter ce résultat ?
4. On définit la CMI (concentration minimale inhibitrice) d’un antibiotique comme étant la concentration au-dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier. La CMI de l’antibiotique injecté est 1,2 mg/L.
Déterminer par le calcul, le temps d’antibiotique utile c’est à dire la durée pendant laquelle la concen- tration de l’antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.
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2016 - 20175. Compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre d’heures nécessaires à ce que la concen- tration de l’antibiotique étudié soit inférieure à 0,01 mg/L.
Variables : t nombre entier t prend la valeur 0
Tant que ...
t prend la valeur ...
Fin Tant que Afficher t
• • •
EXERCICE 5 ( points)
Soient f et g les fonctions définies sur ]0; + ∞ [ par : f (x) = 1
x sin 1
x
et g(x) = πx 4(x + 1) 1. Prouver que lim
x→+∞
f (x) = 0.
2. Déterminer lim
x→+∞
g(x).
3. En déduire lim
x→+∞
q
f (x) + g(x).
• • •
EXERCICE 6 (
BONUS)
f est la fonction définie sur
Rde la façon suivante :
• Si x ∈ [0; 2], f (x) = x
2(2 − x) ;
• Pour tout réel x, f (x + 2) = f (x).
La fonction f a-t-elle une limite en + ∞ ?
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