Quelques éléments de calcul des équilibres de Nash

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Quelques éléments de calcul des équilibres de Nash

Annie Hofstetter, Mathieu Desole, Mabel Tidball

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Annie Hofstetter, Mathieu Desole, Mabel Tidball. Quelques éléments de calcul des équilibres de Nash.

2013. �hal-01594319�

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« Quelques éléments de calcul des équilibres de Nash. »

Annie HOFSTETTER Mathieu DESOLE Mabel TIDBALL

ES n°2013-03

(3)

Nash

Annie Hofstetter

∗

, Mathieu Désolé

†

, Mabel Tidball

∗

Avril 2013

Résumé

Le alul des équilibres de Nash est évident pour les herheurs en

éonomiemaisbeauoupmoinspourlesingénieursoulesétudiants.Dans

le as d'un problème traité lors d'expérienes en laboratoire, l'analyse

proposait dele redénirsous la formed'un jeu lassiquement étudié en

théoriedesjeux.Avantela,ils'agissait debienomprendrequeltypede

jeuétaitdonnéetommenteetuerles alulsdes équilibres.Ledou-

mentproposedon unesynthèsedequelquesas dejeuxlassiquesetla

façondealulerles équilibres deNashà l'aidedes outilsinformatiques

proposésparMaple.

∗

INRA,UMR1135Lameta,F-34000Montpellier,Frane

†

SupAgro,UMR1135Lameta,F-34000Montpellier,Frane.

NousremerionsNiolasQuéroupoursesexpliationsetsontravaildereleturedeedou-

ment.

(4)

1 Introdution 3

2 Jeu en stratégiepure 3

2.1 2joueursavehaun2ations:matriearrée2x2 . . . . . . . 4

2.2 Exempleavedeuxéquilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Exempleavedeuxéquilibresoujeudeoordination . . . . . . . 6

2.4 Notiondestratégiedominante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Notiondejeux àsommenulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 2joueursavehaun3ations:matriearrée3x3 . . . . . . . 8

2.7 2 joueurs ave 3 ations pour l'un et 2 ations pour l'autre : matrie3x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Jeu en stratégiemixte 10 4 Généralisationdu problèmedans l'exemple d'AlieetBob 11 4.1 Premièrepartie :prinipederésolutionpourAlie . . . . . . . . 11

4.2 Seondepartie :prinipederésolutionpourBob . . . . . . . . . 13

4.3 Troisième partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3.1 Croiséedesmeilleuresréponses . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3.2 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Traitement informatiqueave Maple 15 5.1 Proédures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Utilisationdupakagematrixgames. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Conlusion 16 A Jeux nonoopératifs 17 A.1 Matriesde quelques jeux2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.2 Cassimple2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.2.1 Initialisationdes matries . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.2.2 1ère étape : alul meilleure réation de l'un sa- hant l'ation de l'autre . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A.2.3 2ndeétapeonstrutiondesfontionsdemeilleure réation éventail : à haque ation de l'un onassoie le jeu de l'autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A.2.4 3ème étape onsolidation : vériation de la dé- viane de(s) l'équilibre(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 21

A.3 2x2 stratégiemixte ave équationslinéaires . . . . . . . . 21

A.4 2x2 stratégiemixte Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.4.1 Lagrangienet Conditions de Premier Ordre . . . . 22

A.4.2 Pour J1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.4.3 Pour J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A.4.4 Croisée des meilleures réations . . . . . . . . . . . . 24

B Vériationave lemodulematrixgames 25

(5)

LetravaildethèsedeMathieuDésoléapourobjetl'évaluationdel'inuene

duontexted'unjeuderlessurlesomportementsdesjoueurs.Unjeuderles

simulantuneproblématiquedegestiondel'eaudansleontextesud-afriain,a

été lepoint dedépart pourlaonstrution d'unprotoolede jeu simplié.Ce

nouveauprotooleexpérimentals'appuiedanssaonstrutionsurunmodèlede

théoriedesjeuxoopératifs;ependant,parsouidesimpliation,lesjoueurs

ontplutt été misfae àune situation deoordination renvoyantàla théorie

desjeuxnonoopératifs.Lesrésultatsobtenusenlaboratoiredoiventdonêtre

onfortésparlathéoriedesjeuxnonoopératifs.

Lamatrieoopérativeorrespondàunjeuàtroisjoueursayanthaun

lapossibilitédehoisirparmiseptarteslarépartitiondesgainsdeleuroalition.

Les trois joueurs doivent se oordonner à l'unanimité sur l'une de es artes

pourque l'aord soit sellé;dans le as ontraire, onapplique le statu quo :

lesjoueursrepartentaveleursgainsinitiaux.

Lesseptartesrenvoienthauneà desritèresde répartitionpartiuliers.

Onpeutnotammentiterlaartederépartitionéquitable(onoupelapoire

en trois ) ouenore desartesqui aordentpresquetout àl'un des joueurs

tandis que les deux autres obtiennent seulement une miette haun. La

question est alors de savoirdans quelle mesure lesjoueurs hoisirontl'une ou

l'autredesseptartesquileursontproposées,ens'appuyantsurlesoutilsdela

théoriedesjeuxnonoopératifs.

Pour tenter de mettre en ÷uvre e as omplexe (3 joueurs asymétriques

fae à 7alternatives),nous abordonsdans ette note des as simples dans le

but ultime de réerune appliation de alul automatique. L'idée est de bien

omprendre haque as simple pour ensuite reomposer la situation qui nous

intéresseet analyserlesdiérentes situationsdejeu.

Dans unpremier temps, nousétudierons leas de jeux non oopératifsen

stratégie pure, pour lesquels nous déomposerons le alul d'un équilibre de

Nash.Ensuitenousanalyseronsunasenstratégiemixteàl'aidedeséquations

linéaires, puis grâe au Lagrangien qui nous permet de généraliser le alul.

Ennnousdonneronsquelquesexemplesdealulàl'aidedeMaple.

2 Jeu en stratégie pure

Unjeuenstratégiepureestunjeu pourlequellesprobabilitésdejouerune

ationsontde0ou1pourhaquejoueur.Cequisigniequehaquejoueurjoue

uneationparmielles quiluisontproposées.

Dansettepremièrepartie,pourhaqueexempletraité,nousferonslealul

entroisétapes:

analysedela meilleureréationde haquejoueur dansle asoù l'ation

desautresjoueursest xée;

analysedesfontionsdemeilleureréation:trouverl'intersetiondesfon-

tionsdemeilleureréationpourdéterminerl'équilibre;

vériationde lastabilité de l'équilibre,en vériantpour haqueombi-

naisonquelesautresnesontpasdeséquilibresdeNash,end'autrestermes

elaonsisteàvériers'ilexisteunedéviationprotable.

(6)

unéquilibredeNashestunepaireomposéedelastratégiedujoueur1omme

étantla meilleureréponse àune stratégiedujoueur 2,et d'unestratégiepour

lejoueur2ommeétantlameilleureréponseàune stratégiedujoueur1.

2.1 2 joueurs ave haun 2 ations : matrie arrée 2x2

On traiteii l'exemple lassique dudilemme du prisonnier, le jeu ne dure

qu'un seultouret les joueursdoivent hoisirleur stratégiesimultanément.En

général,lamatrieest symétrique.

Énoné : deux suspets, omplies d'un délit, sont arrêtés par la polie,

mais faute de preuves,ils vont tous les deux en prison. Toutefois ils peuvent

bénéierd'uneremisedepeineselonqu'ilsdénonentoupasleurompère.Les

remisesdepeinesontindiquéesdans lamatrieennombred'annéesde liberté

(nombrenégatif):s'ilssetaisenttouslesdeux,ilsneferonthaunque6mois

deprison;s'ilssedénonentmutuellement,ilsferonthaun5ansdeprison;si

l'unsetaitet l'autreledénone,ilfera10ansdeprisontandisquel'autresera

libéré.

joueur2

setait(T) dénone(D)

joueur1

setait(T) (-1/2,-1/2) (-10,0)

dénone(D) (0,-10) (-5,-5)

Premièreétape: meilleure réation de l'unpar rapport au jeude

l'autre qui est onnu

Considéronslejoueur1et herhonssameilleureréationselonlehoixdu

joueur 2. Si lejoueur 2se tait et si lejoueur 1se tait, e dernier fait 6 mois

de prison, s'il dénone l'autre il est libéré; il a don intérêtà dénoner. Si le

joueur 2dénone lejoueur1,le joueur1ale hoixentresetaire auquelasil

fait 10 ansdeprison, et dénonerl'autre auquel as il fait5 ansdeprison. Si

l'on onsidèreunjoueur rationnel,il préférerafaire5anspluttque10ansde

prison,end'autrestermes,ilpréféreradondénonerpluttquesetaire.

Résumé

Joueur2=setait meilleureréationdujoueur1=dénone (D,T)

Joueur2=dénone meilleureréationdujoueur1=dénone (D,D)

Joueur1=setait meilleureréationdujoueur2=dénone (T,D)

Joueur1=dénone meilleureréationdujoueur2=dénone (D,D)

Seondeétape :éventail des ations

Àhaqueationdel'un,onassoie laréationdel'autre:

Hypothèse:lejoueur1hoisitdesetaire.Réation:lejoueur2dénone(T,D)

Hypothèse:lejoueur1hoisitdedénoner.Réation:lejoueur2dénone(D,D)

Hypothèse:lejoueur2hoisitdesetaire.Réation:lejoueur1dénone(D,T)

(7)

Àl'équilibredeNash,touslesjoueursjouentleurmeilleureréponseompte

tenudesstratégiesdesautresjoueurs.En roisantlesdeuxsériesd'hypothèses

préédentes,onherhequellestratégieoptimaleorrespondàl'intersetiondes

fontionsde meilleure réponse.Il peut yavoirplusieurséquilibres. L'équilibre

est ii(Dénone, Dénone).

Troisièmeétape: vériation

Un équilibre de Nash est une situation telle qu'auun joueur n'a intérêt à

dévierunilatéralement de sastratégie.La vériation dela stabilité de l'équi-

libre onsistedonàregarders'il existedesinitationsunilatérales àdévierde

la stratégie optimale ainsi repérée. L'équilibre est (D,D). Si le joueur 1 joue

Dénone,lejoueur2n'apasintérêtàdévierpoursetairear ilpasseraitde5

à10 ansde prison.De même, si lejoueur 2joueDénone,le joueur 1n'apas

intérêt à dévier pour se taire ar elui-i passerait lui aussi de 5 à 10 ans de

prison.L'équilibre(Dénone, Dénone)représentedonl'étatdanslequeliln'y

apasd'initationàdevierpourl'unetl'autre desjoueurs.

2.2 Exemple ave deux équilibres

Dansleasdujeusuivant,onpeutremarquerquelamatrieestsymétrique.

joueur2

gauhe droite

joueur1

haut (3,3) (1,4)

bas (4,1) (0,0)

Résumédesmeilleuresréations

Joueur2=gauhe meilleureréationdujoueur1=bas (B,G)

Joueur2=droite meilleureréationdujoueur1=haut (H,D)

Joueur1=haut meilleureréationdujoueur2=droite (H,D)

Joueur1=bas meilleureréationdujoueur2=gauhe (B,G)

Éventaildesations

Hypothèse:lejoueur1hoisithaut.Réation:lejoueur2hoisitdroite(H,D)

Hypothèse:lejoueur1hoisitbas.Réation: lejoueur2hoisitgauhe(B,G)

Hypothèse:lejoueur2hoisitgauhe.Réation:lejoueur1hoisitbas(B,G)

Hypothèse:lejoueur2hoisitdroite. Réation:lejoueur1hoisithaut(H,D)

(8)

libres:(H,D) et(B,G).

Vériationdeladéviane

Pour l'équilibre(H,D), lejoueur 1jouehaut. Lejoueur 2n'a pasintérêtà

jouergauhepluttquedroitesinonilreevrait3aulieude4.Lejoueur2joue

droite, silejoueur1jouaitbasalorsilreevrait0aulieu de1.

Pour l'équilibre (B,G), le joueur 1 joue bas. Le joueur 2n'a pas intérêt à

jouerdroitepluttquegauhesinonilreevrait0aulieude1.Lejoueur2joue

gauhe,silejoueur1jouaithautalorsilreevrait3aulieude4.

2.3 Exemple ave deux équilibres ou jeu de oordination

Les deux joueurs veulent voir ensemble un lm. L'un préfère Max Péas,

l'autre préfèreJamesBond.

joueur2

Péas(P) Bond(B)

joueur1

Péas(P) (2,1) (0,0)

Bond(B) (0,0) (1,2)

Joueur2=Péas meilleureréationdujoueur1=Péas (P,P)

Joueur2=Bond meilleureréationdujoueur1=Bond (B,B)

Joueur1=Péas meilleureréationdujoueur2=Péas (P,P)

Joueur1=Bond meilleureréationdujoueur2=Bond (B,B)

Éventaildesations

Hypothèse:lejoueur1hoisitPéas.Réation:lejoueur2hoisitPéas(P,P)

Hypothèse:lejoueur1hoisitBond.Réation:lejoueur2hoisitBond(B,B)

Hypothèse:lejoueur2hoisitPéas.Réation:lejoueur1hoisitPéas(P,P)

Hypothèse:lejoueur2hoisitBond.Réation:lejoueur1hoisitBond(B,B)

En roisantlesdeux séries d'hypothèsespréédentes,on trouvedeux équi-

libres:(P,P)et (B,B).

Pourl'équilibre (P,P), lejoueur1jouePéas.Lejoueur 2n'apasintérêtà

jouerBondpluttque Péassinon ilreevrait 0au lieude1.Lejoueur 2joue

Péas,silejoueur1jouaitBondalorsil reevrait0aulieude2.

(9)

jouerPéaspluttqueBondsinon ilreevrait 0au lieude2.Le joueur2joue

Bond,silejoueur1jouaitPéasalorsil reevrait0aulieude1.

Onomprendlanotiondeoordinationommeuneonvergenedelastra-

tégiedehaquejoueurverslemêmehoixquel quesoitlelmhoisi.

2.4 Notion de stratégie dominante

exemplehaut/baset gauhe/droite

joueur2

gauhe droite

joueur1

haut (4,0) (5,1)

bas (8,3) (3,4)

Joueur2=gauhe meilleureréationdujoueur1=bas (B,G)

Joueur2=droite meilleureréationdujoueur1=haut (H,D)

Joueur1=haut meilleureréationdujoueur2=droite (H,D)

Joueur1=bas meilleureréationdujoueur2=droite (B,D)

Ononstateiiquequelquesoitlehoixdujoueur1laréationdujoueur

2seralamême.Laréponsedroitedujoueur2estappeléestratégiedominante.

Éventaildesations

Hypothèse:lejoueur1hoisithaut.Réation:lejoueur2hoisitdroite(H,D)

Hypothèse:lejoueur1hoisitbas.Réation: lejoueur2hoisitdroite(B,D)

Hypothèse:lejoueur2hoisitgauhe.Réation:lejoueur1hoisitbas(B,G)

Hypothèse:lejoueur2hoisitbas.Réation: lejoueur1hoisithaut(H,D)

En roisant les deux séries d'hypothèses préédentes, on trouvel'équilibre

(H,D).

Pour l'équilibre(H,D), lejoueur 1jouehaut. Lejoueur 2n'a pasintérêtà

jouergauhepluttquedroitesinonilreevrait0aulieude1.Lejoueur2joue

droite, silejoueur1jouaitbasalorsilreevrait3aulieu de5.

2.5 Notion de jeux à somme nulle

Un jeu àsommenulle est unjeu où lasommede gains detousles joueurs

estégaleàzéro.Soitl'exempled'AlieetBoboùl'ungagneequel'autreperd

(10)

Bob

bus(B) marher(M)

Alie

bus(B) (3,-3) (6,-6)

marher(M) (5,-5) (4,-4)

Bob =bus meilleureréationd'Alie=marher (M,B)

Bob =marher meilleureréationd'Alie=bus (B,M)

Alie=bus meilleureréationdeBob=bus (B,B)

Alie=marher meilleureréationdeBob=marher (M,M)

Éventaildesations

Hypothèse:Aliehoisitlebus.Réation: Bobhoisitlebus(B,B)

Hypothèse:Aliehoisitdemarher.Réation:Bobhoisitdemarher(M,M)

Hypothèse:Bobhoisitlebus.Réation:Aliehoisitdemarher(M,B)

Hypothèse:Bobhoisitdemarher.Réation: Aliehoisitlebus(B,M)

Iln'y apasd'équilibre.Question : lanotiond'équilibreest-elleompatible

aveunjeuàsommenulle?

2.6 2 joueurs ave haun 3 ations : matrie arrée 3x3

exempleaveauunéquilibre:lejeupierre/iseaux/feuilleestégalementun

jeu àsommenulle.Onparleégalementdeonitpur.

joueur 2

pierre(P) iseaux(C) feuille(F)

joueur1

pierre(P) (0,0) (1,-1) (-1,1)

iseaux(C) (-1,1) (0,0) (1,-1)

feuille(F) (1,-1) (-1,1) (0,0)

(11)

Joueur2=iseaux meilleureréationdujoueur1=pierre (P,C)

Joueur2=feuille meilleureréationdujoueur1=iseaux (C,F)

Joueur1=pierre meilleureréationdujoueur2=feuille (P,F)

Joueur1=iseaux meilleureréationdujoueur2=pierre (C,P)

Joueur1=feuille meilleureréationdujoueur2=iseaux (F,C)

Éventaildesations

Hypothèse:lejoueur1hoisitpierre.Réation:lejoueur2hoisitfeuille(P,F)

Hypothèse:lejoueur1hoisitiseaux.Réation:lejoueur2hoisitpierre(C,P)

Hypothèse:lejoueur1hoisitfeuille.Réation:lejoueur2hoisitiseaux(F,C)

Hypothèse:lejoueur2hoisitpierre.Réation:lejoueur1hoisitfeuille(F,P)

Hypothèse:lejoueur2hoisitiseaux.Réation:lejoueur1hoisitpierre(P,C)

Hypothèse:lejoueur2hoisitfeuille.Réation:lejoueur1hoisitiseaux(C,F)

Dansejeuil n'yapasd'équilibre.

2.7 2 joueurs ave 3 ations pour l'un et 2 ations pour

l'autre : matrie 3x2

joueur2

B1 B2

joueur1

A1 (3,3) (3,2)

A2 (2,2) (5,6)

A3 (0,3) (6,1)

Joueur2=B1 meilleureréationdujoueur1=A1 (A1,B1)

Joueur2=B2 meilleureréationdujoueur1=A3 (A3,B2)

Joueur1=A1 meilleureréationdujoueur2=B1 (A1,B1)

Éventaildesations

Hypothèse:lejoueur1hoisitA1.Réation:lejoueur2hoisitB1(A1,B1)

Hypothèse:lejoueur2hoisitB1.Réation:lejoueur1hoisitA1(A1,B1)

Hypothèse:lejoueur2hoisitB2.Réation:lejoueur1hoisitA3(A3,B2)