J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
C
HRISTIAN
M
AIRE
Finitude de tours et p-tours T -ramifiées
modérées, S-décomposées
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
8, n
o1 (1996),
p. 47-73
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1996__8_1_47_0>
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Finitude de tours et
p-tours
T-ramifiéesmodérées,
S-décomposées
par CHRISTIAN MAIRE
RÉSUMÉ. Soit k un corps de nombres et soient T et S deux ensembles finis de
places de k ;
on peut définir la tour de Hilbertde k, T-ramifiée
modérée,
S-décomposée.
Ceci permetd’obtenir,
par
exemple,
la notion de tour de Hilbert au sensclassique
et detour de Hilbert au sens restreint.
On donne alors d’une part, un critère de finitude de cette nouvelle tour, critère construit à
partir
d’un résultatd’Odlyzko,
puis
d’autre part deux critères denon-finitude,
lepremier
étant uneconséquence
d’un résultat de Golod-Safarevic de théorie des p-groupes, le second provenant d’un résultat de Jaulent dans lecadre de la théorie des genres.
ABSTRACT. Let k be a number field and T and S two sets of
places
of k ;
we can define theT-tamely
ramified andS-decomposed
Hilbert tower of k. Inparticular,
we have the notion of Hilberttower in the classical sense and Hilbert tower in the narrow sense.
We
give
a criterion of finiteness which is a conséquence of aOdlyzko’s
result and two criteria ofnon-finiteness,
the firstcoming
from the theorem of Golod-Safarevic in thetheory
of p-groups
and the second from a work of Jaulent in genustheory.
Introduction
A un corps de nombres k et deux ensembles finis de
places de k,
T etS,
disjoints,
non archimédiennes pour T etquelconques
pourS,
onpeut
associer l’extension abélienne maximale de
k,
T-raxnifiée modérée etS-décomposée ;
dans ce cas on sait que le groupe de Galois de s’identifie au groupe des S-classesclZ,m
de rayon m= TI
v.~
vET
Si l’on note par
induction kf-rl,T
l’extension abélienne maximale deTi-ramifiée modérée,
Si-décomposée
(i
>1),
oùTz
=(w
eplks ,
ww, v E
T}
et~w
EplksT,
E S},
on definit une suite de corpskrT
et ainsi la T-S tour de
k,
notée vue comme réunion des Pour ppremier,
designera
lap-extension
maximale de k contenue dans1~~,
extension
appelée
p-T-S
tour de k.On
peut
alors se poser lesquestions
suivantes : les extensionsgaloisiennes
kslk
ouks(p)lk
sont-elles finies?Une reponse
positive
est immédiate pour lap-T-S
tourlorsque
i.e le
p-Sylow
de estcyclique
(cf.
partie
1).
D’autrepart
onpeut
remarquer que si est non
finie,
il en est de même pour(
bienentendu la
réciproque
estfausse,
certainscontre-exemples
ont été donnéspar Matsumura
[Mat,
théorème2]
pour Tvide,
Ségal
à l’ensemble desplaces
réelles et pégal
à2) ;
parconséquent
l’étude de la non-finitude de la T-S tour de J~peut
se faire à travers celle de lap-T-S
tour,
notammenten utilisant un résultat
classique
sur les p-groupesfinis ;
dans lapartie 2,
on donnera alors un critère de non-finitude de lap-T-S
tour d’un corps de nombres k(theorème 2.1).
Perret a abordé ceproblème
de construction dep-tours
ramifiées et aconjecturé
le résultatprécédent
[Pe, conjecturel].
A travers lapartie
3,
nous établirons une formule des S-T genresqui
permet
d’obtenir la suite exacte des S-T genres(partie
4)
analogue
pour T vide à la suite exacte établie par Jaulent[Ja,
théorèmeIII.2.7,
page211] ;
ainsi,
sidésigne
une extensiongaloisienne,
nous donnerons un second critère de non-finitude de lap-T-S
tour de K en utilisant la suite exacteétablie
précédemment,
danslequel
intervient lecomportement
desplaces
de k dans(partie
5,
théorème5.1).
La
partie
6 est consacrée auxexemples
de corpsayant
une tour infinie au sensrestreint,
i.e pour T vide et Svide,
et une tour finie au sensordinaire,
i.e pour T vide et Ségal
à l’ensemble desplaces réelles ;
on donnera de même des corpsayant
une 2-tour infinie au sens restreint et une 2-tour finie au sens ordinaire.Enfin,
dans lapartie 7,
nous définirons pour un corps de nombres k son "discriminant étendu"qui
permettra
d’introduire la constantea(m,
ri,r2) ;
on verra alors que le rôle de la T-S tour de l~
lorsque
celle-ci estinfinie,
joue
le même rôle vis-à-vis de cette constante que le rôlejoué
par la tourde Hilbert au sens ordinaire vis-à-vis de
[Mar].
0.
Remarques préliminaires.
Par la suite k
désignera
un corps denombres,
T un ensemble fini deplaces
non archimédiennes de k et S un ensemble fini deplaces
de1~,
disjoint
deT ;
S est la réunion deSo
et deS~,
oùSo
contientuniquement
desplaces
non-archimédiennes et desplaces
archimédiennes.Notons par
cls,,,
m= II v,
lequotient
oùIk T désigne
le’
vET
’ ’ ’
Ik,T,
(80)
le sous-groupe deIk,T
construit sur lesplaces
deSo,
et lesous-groupe des idéaux
principaux
(x), x
= 1(m),
etv(x)=0
pour touteplace v
Epl" B
est l’ensemble desplaces
réelles dek) ;
on sait alors que le groupe de Galois de s’identifie àclsm
[Mai,
proposition
1.2~.
Si pour ppremier,
désigne
lap-extension
abélienne maximale de1~,
T-ramifiéemodérée,
S-décomposée,
alors il vient immédiatement que le groupe de Galois de s’ identifie aup-Sylow
decls
si denouveau l’on note par la
p-extension
abélienne maximale de%-ramifiée modérée,
Si-décomposée
(i
>1),
oùTi =
tw
EE
T}
et~w
E alors la réuniondes
krT(P)
correspond
à lap-T-S
tour définie dans l’introduction etde
plus
est lap-extension
maximale de1k,
T-ramifiéemodérée,
S-décomposée ;
on peut noter que seules lesplaces
vérifiant Nv = 1 modulo pinterviennent lors de l’étude de la
p-T-S
tour dek,
Nv étant le cardinal ducorps résiduel
de kv
[Mai,
remarque1.1] ;
ainsi pour ppremier,
on supposeque les
places v
de T vérifient la relation de conguence Nv -1(p).
D’autrepart
onpeut
remarquer que lesplongements
complexes
sont trivialementdécomposés
dans toute sur-extension dek ;
parconséquent
onpeut
supposerque ne contient que des
places
réelles. Enfin aucorps k
et aux ensembles T etS,
onadjoindra
Efm,
le groupe des S-unités de k congrues à 1 modulom, i.e
Esm
=lx
E~, ~ ~ 1
(m), v(x)
=0 V v e S}.
1. Cas où
clk,m(p)
estcyclique.
Nous allons montrer que si
cls m
(p)
estcyclique
alors) (p),
que l’onpeut
noter par abuscls,m (p),
esttrivial,
où K =kS
w,wET(K)
T(K)
etS(K)
étant les ensembles deplaces
de K contenant exactement etrespectivement
lesplaces
au-dessus de T et deS ;
il viendra alors que lap-T-S
tour de k est finie et deplus
que Tout d’abord deuxlemmes
classiques :
’
LEMME 1.1.
Soit r un groupe, H son groupe des
commutateurs;
supposons que:~ H est
abélien,
·
r/H
est un groupecyclique
engendré
paralors H.
Démonstration.
· Hl-u est
distingué
dans r(l’action
étant laconjugaison) :
tout élémentde r peut s’écrire sous la forme
(jih
avec h dans H. Ainsi pourhô-~ _
[ho, u]
de Hl-17 nous avons:e est abélien : soient T,
T’
éléments de leursreprésentants
peuvent
s’écrire sous la formehou’
pour T
et pouri’,
avecho,
hô
dansH ;
ainsiComme
ho
eth’
sont stables par l’action de u modulo on obtient : De ces deuxpoints,
on en déduitl’égalité
entre Hl-u etLEMME 1.2.
([Se,
chapitre IX,
§4,
lemme4,
page149])
Soient G’ un p-groupe fini et H’ un
~p
[G’] -module;
on a alorsl’équivalence
suivante :où
IG,
est l’idéald’augmentation
deFp [G’]
-De ces deux
lemmes ,
onpeut
en déduire le résultatprincipal
de cettepartie :
PROPOSITION 1.1.
Supposons
cyclique,
alors k admet unep-T S
tour finie et deplus
=ks
Démonstration.
Notons par H le groupe de Galois de et par r celui de
Par le lemme 1.1 nous avons H =
Hl-u,
uH étant ungénérateur
de dansr ;
enparticulier
H’ =H / HP
est un~p
[G’]-module
etH’ =
H"-’y ,
G’ étant le sous-groupe de rengendré
par u. CommeIG,
estengendré
par 1- 0’, on en déduit alors queIG~ H’
=H’,
i.e par le lemme2.
Reprise
du résultat de Golod-Safarevic.Si l’on note par le groupe des
So-unités
au sens ordinaire de k congrues à 1 modulo m(S
=So
U pardp~A) le
p-rang deA/AP [A, A],
pour A un groupequelconque,
nous obtenons alors lepremier
critère de non-finitude d’unep-T-S
tour d’un corps de nombres k :THÉORÈME
2.1. Premier critère de non-finitude Si k est tel quealors k admet une
p-T -8
tourDémonstration.
Cette preuve est
l’adaptation
d’un résultat deRoquette
[Ro, p.235].
Notons par L la
p-T-8
tour de k et supposonsL/k
finie de groupe deGalois
G~ ;
onpeut
remarquer que le groupe de Galois de s’identifie alors àdésignant
le groupe des commutateurs de(yy
Nous allons montrer en fait que :
où
EZ,m
correspond
auxS(L)-unités
de L congrues à 1 modulom(L) =
Il w
(S(L)
etT(L)
sont les ensembles desplaces
de L au-dessus de SWET(L) et de
T),
i.eBien entendu FI
k)
C en fait si l’on note parl(L/k)
(=y)
l’ensemble des
places
réelles de k secompléxifiant
dansL/k,
nous avonsexactement
Parce que il suffit alors de montrer que
où
.
Lw
est lecomplété
de L en w,. est le groupe des unités de
L:’,
e est le sous-groupe de
ULw
formé des x tels quew~x -1)
> o. Onpeut
noter que pour uneplace
infinie w, si celle-ci est réelle alorsL
par contre si elle est
complexifiée,
on aLj§
=On a pour tout entier relatif
impair n
[Mai,
lemme4.2] :
Ainsi de la suite exacte :
il vient
l’injection
suivante :Ces deux derniers groupes étant abéliens
finis,
on a alors :Ainsi il suffit de montrer que
On
rappelle
la suite exacte[Mai
proposition
1.3] :
où
18
correspond
à18(L)
et où OU CL,m correspon a C , () e OU L = 4J
L .
En
remarquant
quecli,m
estG-cohomologiquement
trivial,
on en déduitl’isomorphisme :
’
Par un résultat de Tate
[Ta,
§11,
page197],
on sait que estest strictement inférieur à cette
inégalité
est un résultatclassique
sur les p-groupes finis[Ro,
§2,
page235].
La démonstration s’ensuit. 0
REMARQUE
2.1.Si la
p-torsion
deEk m
esttriviale,
alorssinon
REMARQUE
2.2.L’injection
seulement si :
est un
isomorphisme
si etOn
peut
remarquer que si =Eg m’
alors :i)
l’extension est-y-complexifiée,
désigne
le groupe dedécomposition
dans d’uneplace w
dekr,T(2)
quelconque
au-dessus de v.Pratiquement,
on aisomorphisme
entre.dans les cas suivants :
REMARQUE
2.3.Notons par
d§p]
l’ensemble des classes h deels
tellesque hP
=1 ;
onpeut remarquer que
cl~
est associé à l’extension abélienne maximale dek,
So-décomposée
etnon-complexifiée.
est un
IEp-espace
vectoriel de dimension le p-rang deainsi il existe une
famille ai
d’éléments de k 1 tels que :étant le sous-groupe de
Ik,T
construit sur lesplaces
deSo.
On définit alors
As,,
Par vRappelons l’homomorphisme
8~
de"T-signatures
partielles"
deAso :
où Fv
désigne
le corps résiduel dekv.
On a alors une formule de calcul du p-rang de
[Mai,
théorème1.1] :
Par cette
formule,
on remarque alors que pour l~donné,
S fixé etIII
assez
grand,
k admet unep-T-S
tour infinie. COROLLAIRE 2.1.i)
Pour p~2, ~
admet unep-T
tour infinies(So - 0)
dès que4,
ii)
Q
admet une 2-T tour infinies au sensrestreint,
i.e pour800 =
~,
dès que~T~ >
4,
iii) Q
admet une 2-T tour infinie au sensordinaire,
i.e pour800 =
dès que~T~ >
5 et même dès que~T~ >
4 si toutes lesplaces
v de T vérifient la relation v -1(4).
COROLLAIRE 2.2.
___
Soit 1 un nombre
premier
tel que 2 +2 Q,
où ni
est l’ordre du groupe dedécomposition
de 2 dans(par
exemple 11, I3,
19...);
alors toute extensioncyclique
dedegré 1
sur Q
a soit une 2-tour au sens ordinaire triviale ou soit une 2-tour au sens ordinaire infinie.Démonstration.
Notons
par K
le corps dedegré 1
surQ.
II faut remarquer que le
2-rang
decl’,’
est unmultiple
de ni, ceci par action de surCl,,d (2);
par le théorème2.1,
la conclusion en découle. DREMARQUE
2.4.On
peut
adapter
le corollaireprécédent
en seplaçant
sur un corpsquadra-tique
imaginaire
qpremier;
il suffit de s’assurer queclq j% (2) =
3. Formule des S-T genres.
Cette
partie
est unegénéralisation
au cas modéré d’un travail de Jaulent[Ja,
chapitre
III].
On se fixe le cadre suivant :
où:
i)
est une extensiongaloisienne finie,
ü)
est l’extension abélienne maximale deK,
T(K)-ramifiée
modérée,
S(K)-décomposée,
iii)
jK~
est l’extension abélienne maximale de k contenue dansK,
iv)
Mk
est l’extension abélienne maximale de 1~ contenue dansKls
v) Nlk
est le corps des S-T genres deK/k,
i.e laplus grande
extension de K dansprovenant,
parcomposition,
d’une extension abélienne dek,
iciMk.
’
Rappelons
la définition deUS,.,
sous-groupe du groupe des idèles de K :On a alors le lemme suivant :
LEMME 3.1.
Démonstration.
i)
Onpeut
remarquer que en effet pour :. v E
T,
wlv, w
EplK:
l’extension étant T-ramifiée modérée enw, alors tout élément de
Ukw
est norme locale en w dans[Fr,
§8,
proposition
2,
page32],
" ’
. v E
S’,
EplK : w est
totalementdécomposée
dansKf TI K,
ainsitout élément de
Kw
est trivialement norme locale en w dans.
v ~
EplK,o: w
étant non ramifiée dans toute unitéde
Kw
est norme locale en w dans’
* si
C~,
alors tout élément deUK
est trivialement normelocale,
* si
UKw
=RX+,
alors tout élément de est soit trivialementnorme locale ou soit norme dans
C/R.
ü)
Onrappelle
la suite exacte[Mai,
proposition
1.3] :
De
plus,
par la théorie du corps declasse,
nous avons :ainsi,
de l’inclusion dupoint
i)
et de ces deux derniersrappels,
on en déduitl’égalité
désirée. DDe la suite exacte :
-"..- ---
-déduit
l’égalité
suivante : -.Enfin,
onpeut
évaluer ce dernierquotient
par la suite exacteet par
l’isomorphisme
LEMME 3.2.
Soit v E
T, w/v,
avec w EplK,
et soit c élément deUkro ;
supposons que ê soit norme dansKw/kv,
i.e e =NK.1k,,aw,
aw EKw ;
alors onpeut
prendre
aw EDémonstration.
e étant unité locale de
k,
alors aw EUKw .
D’autrepart,
on sait que le groupe des unités localesUxw
sedécompose
en somme directe de la manièresuivante :
où
AK~,
est le groupe de torsion modérée de i.eJAK- 1
estétranger
à la
caractéristique
du corps résiduel deKw.
Ainsi,
aw =(w.çw
avec(w
dansAKw
etÇw
dans parconséquent :
N Or s,
sont dans ainsi estégalement
dans étant deplus
élément deAkv’
alors il vient immédiatement queFinalement,
on a:où est constitué des éléments de
qui
sontpartout
norme locale dansK/k.
’
Avant d’énoncer le résultat
principal
de cettepartie,
onpeut
fairequelques
rappels
de théorie du corps de classe :REMARQUE
3.1.Pour
ww, v
Eplk, w E
plK,
on note parDw(K/k) (ou
encoreDu(K/k))
le groupe dedécomposition
de w dansK/k :
ce groupe s’identifie au groupe de Galois de l’extensionKw/kv
iIw(K/k),
ou encoredésignera
le groupe d’inertie de w dansK/k
et le groupe de ramificationsauvage de w dans en
particulier
estcyclique.
Si l’on notepar l’abélianisé de alors ce groupe est
égal
au groupe de Galois de l’extension abélienne maximalede kv
contenue dansKw ;
désignera
alors le groupe d’inertie de l’extension etIv
son groupe de ramification sauvage ; deplus
ces deux derniersgroupes sont
respectivement
égaux
à et àOn sait que
s’identifie,
par lesymbole
deréciprocité
local(. ,
àD:b(K/k)
[Ko,
chapitre
1,
paragraphe
6,
page98];
cesymbole
est
égal
par définition à( .
ainsi estengendré
par lessymboles
des unités locales par lessymboles
des éléments deUl.1J
[Se,
chapitre
XV,
§2,
théorème2,
page235].
Deplus
par cesymbole
nous avons les troisisomorphismes
suivants :Nous avons alors la
proposition
suivante :PROPOSITION 3.1. Formule des S-T genres: On a:
LEMME 3.3.
Pour v E
plk,
nous avons les troiségalités
suivantes :où les
complétés
de K sontpris
dans une même clôturealgébrique
dek,
et où wo est uneplace quelconque
de K au-dessus de v.Démonstration.
Par le lemme
3.2,
on voitqu’il
suffit de montrer lapremière égalité.
Remarquons
ensuite que ainsi par unicité de lacorrespondance
du corps declasse,
il vient :Finalement,
l’extension étantgaloisienne,
alors tous les corpscomplé-tés en w sont
identiques
et ainsin Kw
=Kwo,
avecwo lv
quelconque.
0wlv
4. Suite exacte des S-T genres.
On conserve les notations introduites dans la
partie
3.PROPOSITION 4.1. Suite exacte des S-T genres:
On a la suite exacte :
C> o _
Démonstration.
i)
Construction deoù
(. , Mk,w/kv)
est lesymbole
deréciprocité
associé à uneplace
quelcon-que w de
Nlk
au-dessusde v,
et à valeurs dansoù
0’v I Mk
est la restrictionde uv
àMk,w , wlv,
w Eplm .
Ce dernier
produit
peut
donc être vu dansGal(Mk/k);
en effet pourO"v E on
prend
sa restriction àMk,w,
cequi
donne un élément deDv (Mk/k)
car estabélienne;
l’extension étant T-ramifiéemodérée,
S-décomposée,
alors est fixepar les
groupes dedécomposition
dans desplaces v
deS ,
par les groupes d’inertie dansMk/k
desplaces
v finies en dehors de S U T et par les groupes pour v dans T. A l’aide de la remarque
3.1,
on en déduit que est stable parainsi
Im(II§£)
ç
toujours
par la même remarque et parmaximalité de est de
plus
surjectif.
ii)
Identification deSoit x E alors x est norme locale
partout
dansMk/k,
donc norme locale dansK / k ;
réciproquement,
soit x E alors il existey
EUk,m,
ceci parle lemme
3.2,
tel que x = par le lemme3.1,
y
est norme danset par
conséquent z
est norme dansMk/k.
ceci par la formule du
produit
dans une extension abélienne.Ainsi Ç
iv)
Exactitude de la suite exacte : il faut remarquer queID:b(Mk/k)1
pour vE s,
SUT,
etab ( KI ~ )
1 =
1
p our vE T ;
en utilisant alors laproposition
3.1,
on en déduit que d’oùl’égalité
entre etker(IIm) .
D5. Second critère de non-finitude.
On se réfère
toujours
au schéma de lapartie 3 ;
notons parp-T-S,
lap-T(K)-S(K)
tour de K et par le groupe desS(K)-unités
de K au sens ordinaire congrues à 1 modulo~n(K) ;
il vient alors le résultat suivant :THÉORÈME
5.1. Second critère de non finitude : SoitK / k
une extensiongaloisienne finie;
alors siK admet une
p-T-S
tour infinie.’ ’ . ’
Démonstration.
Il faut noter que ,
théorème 2.1 si
ainsi par le
alors .K admet une
p-T-S
tour infinie.Par la
proposition
4.1,
on conclut alorsfacilement;
onpeut
remarquerque n’intervient pas
puisque
pour vE T,
Nv -1(p),
et ainsip est
étranger
à lacaractéristique
du corps résiduelFv. 0
COROLLAIRE 5.1.
Prenons
K/k
cyclique
dedegré
p ; sioù
-
rT est le nombre de
places finies,
en dehors deT,
se ramifiant dansK
- is
est le nombre deplaces
de S inertes dansK/k,
alors K admet unep-T-S
tour infinie.On
peut
énoncer un second corollaire enremarquant
que celui-ci a été établi par Schoof[Scho,
§3,
proposition
3.3] :
COROLLAIRE 5.2.
Soit
K/k
cycliques
dedegré
p ;désignons
par po le nombre deplaces
finies de k se ramifiant dans et par le nombre deplaces
infinies de k inertes dansK/k (i.e
le nombres deplaces
infinies secomplexifiant
dansK
Ainsi si
où
EJtd
etdésignent
les groupes d’unités au sens ordinaire de K et dek,
alors K admetune p-tour
au sens ordinaire infinie(T
=0,
S’ =REMARQUE
5.1.Si K est une extension
quadratique
totalementimaginaire
sur un corps k totalement réel dedegré n
alors avec p =2,
sipo >
3+2B/~+ 1,
Kadmet une 2-tour infinie
(ici
le sens restreintéquivaut
au sensordinaire ),
où po estégal
au nombre deplaces
finies se ramifiant dansK/k.
On retrouve ici un résultat de Martinet
[Mar,
§3,
page68~ ;
deplus,
comme l’observeMartinet,
si r~ = 10l’inégalité
est satisfaite dès que po =10.
Observons le schéma suivant :
oùF=Q(~-3.13.40l)
etk est le corps de Hilbert au
sens ordinaire
de Q(B/40l).
I
On
peut
mettre enparallèle
cette construction avec celles de Schoof[Scho]
et de Matsumura[Mat] ;
on remarque que 3 et 13 sont inertes dansQ
401
/Q,
parconséquent
ces deuxplaces
sedécomposent
totalement dansk /Q ( 401 ;
en observant que deplus
cesplaces
se ramifient dansalors on a po
= 10,
et ainsi K admet une 2-tour infinie.111 vient alors
que F
a une tour infinie au sens ordinaire(=
au sensrestreint ) ;
onpeut
à ce propos noter que~Dp~)~ ~ 125.05,
i.ea (0,1 ~
125.05 ...[Mar §1] ;
on trouve ici unexemple
établi par B. Schmithals[Schm,
exemple
2].
Par une constructionidentique,
onpeut
également
Q(~V’-3.5.-7.127)
a une tour de Hilbert infinie au sensordinaire ;
cetexemple
permet
demajorer
1)
par 115.47... et améliore leplus petit
majorant
dea(o,1)
pour un corpsquadratique,
établiprécédemment
parMartinet,
et
qui
était de139, 21...
pour ~ -3.5.17.19
[Mar,
§5,
exemple
5.3].
EXEMPLE 5.2. On
peut
reprendre
le schémaprécédent
avec Q(B/577)
et. et ainsi par action
Par le théorème
3.1,
on saitque K
a une 2-tour infinie si10,
par
conséquent
si 8.Lors de la démonstration du théorème
5.1,
on voit qued2 K -
Po - 1 ;
ici po = 9.’
Ainsi M admet une tour de Hilbert
infinie ;
dans ce cas, nous avonsa(0,1)
179. Onpeut
noterqu’une
utilisation directe du corollaire 5.2 nepermet
pas de conclure.REMARQUE
5.2.Avec un schéma
identique,
onpeut
avoir une meilleurmajoration
dea(o,1)
avec lecorps Q
577
si on le composeavec Q
( B/20135.7).
EXEMPLE 5.3.
Désormais on considère une extension
cyclique
dedegré
2 ;
on désire etudier la2-T(K)-S(K)
tour deK,
oùT(K)
etS(K)
sont des ensembles deplaces
de K stables parGal(K/k) ; S(K)
est la réunion deSo (K),
ensemble deplaces finies,
et deS~ (K),
ensembles deplaces
archimédiennes.A ces
ensembles,
onpeut
associer des ensembles . deplaces
dek,
So(k)
et
S~(k)
tel queSa(K)
=~w
EplK,
wlv, v
ESo(k)~
etSm(K)
=fw
EE
n faut remarquer que la 2-tour
T(K)-ramifiée
modérée,
S(K)-décomposée
-de K est la même que sa 2-tour
T(K)-ramifiée
modérée,
S(K)-décomposée,
-où
S(K)
est l’ensemble desplaces
de K au-dessus deS(k)
U , etoù 1
estl’ensemble des
places
de k secomplexifiant
dansK/k.
Dans
l’inégalité
du corollaire5.1,
rT+is
devient rT+is
+!7))
par contre, -,- , ,
Cette remarque est intéressante si
lorsque
K/k
est peu connue, onremplace
différence
d2Ee,m
étantmajorée
par1,
on voit alorsqu’il
est k,m k,préierable
d’utiliserS(k)
U y au lieu deS(k)
dèsque 1-yl
> 1. Mustrationnumérique :
Dans l’extension
quadratique Q(B/23)/Q,
se ramifient lesplaces
au-dessus de 2 et de
23 ;
5 est inerte dans cetteextension,
par contre 7 et 41se
décomposent respectivement
en v7, V4, et V4l. On peutégalement
noter que le groupe des unités au sens ordinaire
de Q
(-,/2-3)
estengendré
par
~-1,
êo),
où so = 24 +5 23.
Considérons alors le schéma suivant :
les
places
au-dessus de2, 5,
7et 41 se ramifient dans
K/k.
Nous allons montrer que eo est
partout
norme locale dans· £0 étant totalement
positive,
eo est norme locale dans les différentsplongements
archimédiens de~ pour une
place
vI2.5.7.41, v
finie,
l’extensionK/k
étant non ramifiéeen v alors tout unité locale
de kv
(
et donce)
est norme dans ie pour v = 5
(5
inerte dansk%~) :
avec
ici (Eo, -2.5.’1.415
=(1 );
il sufft ensuite de remarquer que Eo-4 (5).
a en
appliquant
la démarcheprécédente
auxplaces
divisant 7 et 41puis
enremarquant
que eo m 4(v7),
9(V~),
49(V41),
60 =25
(v, 4 1),
alors on conclut que eo estpartout
norme locale dansK/k,
sauf éventuelement envl2.
On
récupère
le cas où v = V2 par la formule duproduit.
A
présent,
on désire étudier la finitude de la 2-tour de Hilbert de K(ici
sens restreint = sensclassique).
1)
Onprend
Soo(k)
=0 :
l’inégalité
du corollaire 5.1indique
que siK a une 2-tour infinie au sens
restreint,
i.e pour po > 7.2)
Onprend
~oo(~)
= icil’inégalité
donne :Par construction po =
6,
ainsi seul le second cas permet d’affirmer queK a une 2-tour infinie.
6. Tour infinie au sens restreint et finie au sens ordinaire.
1)
Exemples
de corpsayant
une tour infinie au sens restreint(T
= S =0)
et une tour finie au sens ordinaire(T
=0,
S =où:
1~ est le corps de Hilbert
de
pet q
sontpremiers ;
p=3
(g)~
1 q -1(4)
est de la formeX,
Y entiers(i.e q
sedécompose
totalement dansk/Q).
Ainsi,
lesplaces
au-dessus de q et de 2 se ramifient dansK/k ;
elles sontau nombre de 3h. En
appliquant
le corollaire5.2,
on en déduit que pourh >
5,
K a une 2-tour infinie.En remarquant que
K/Lo
est nonramifiée, puis
queLo/L
est non ramifiéepour les
idéaux,
alors il en résulte que L a une tour infinie au sens restreintdès 5.
Finitude de la tour au sens ordinaire de L :
i)
Li
est le corps de Hilbert au sens ordinaire deL ;
ü)
par laproposition
1.1,
cl"d(2)
=1;
iü)
pour 1
premier, l =1=
2,
= l.Ainsi sous les conditions
précédentes,
LI
est la tour de Hilbert au sensordinaire de L.
On
peut
remarquer, par la formule duparagraphe
2,
que le2-rang
du groupe des classes au sens restreint de L estégal
à 2.EXEMPLES 6.1.
Le
corps Q (B1"53.131)
a une tour infinie au sens restreint et une tourfinie au sens ordinaire
2)
Exemples
de corpsayant
une 2-tour infinie au sens resteintet une 2-tour finie au sens ordinaire.
où:
1~ est le corps de Hilbert
q de la forme
Pour h = 16 et en
appliquant
le corollaire5.2,
alors K a une 2-tourinfinie et par
conséquent
L a une 2-tour infinie au sensrestreint ;
onpeut
remarquer que le
2-rang
du groupe des classes au sens restreint de L vaut2.
De
plus
est donccyclique,
ainsi par lapropo-sition
1.1,
L a une 2-tour finie au sens ordinaire.EXEMPLE 6.2.
Les
corps Q
( 3.157.571), ~ ( 5.179.911)
ont une 2-tour infinie au sens restreint et une 2-tour finie au sens ordinaire.A l’aide des tables
numériques
de B. Oriat[Or], pour
lepremier
exemple,
on
prend
~puis
7. Introduction d’une constante
a(m, rl, r2).
a)
Quelques
calculs.Dans ce
paragraphe, k désigne
un corps de nombres et T un ensemble deplaces
finies K est une extension finie de k. On suppose que l’extensionK/k
est T-ramifiée modérée.Pour L une extension finie de
K,
également
T-ramifiéemodérée,
nous désirons évaluer le discriminant de l’extension en fonction du discriminant deNotons
désigneront
les ensembles deplaces
de .K et de L au-dessus de T. Pour uneplace v
deT,
wdésignera
uneplace
de K au-dessusde v ;
W sera uneplace
de L au-dessus de w.Il vient immédiatement la relation suivante :
où
ew(L/ K)
désigne
l’indice de ramification de W dansL/K
etf w(L/K)
le
degré
résiduel de W dansL/K.
Cette
égalité
provient
du fait que est T-ramifiée modérée[Fr,
théo-rème2,
page21].
On
rappelle
lespoints
suivants :,,- . --" .. ,,-. --" ..
-Ceci
permet
d’obtenir :On a alors la
proposition
PROPOSITION 7.1.
REMARQUE
7.1.Si les extensions sont non
ramifiées,
il vient :b)
Définition dea(m,rl,r2)-Dorénavant
posons k
= Q
et soitDK
la valeur absolue du discriminant absolu d’un corps de nombresK,
i.eDK
=Soit m un
produit
de nombrespremiers distincts ;
notons par T l’ensemble desplaces de Q
divisant m; alorsAK(m) désignera,
pour un corps de nombresK,
la valeur absolue du discriminantétendu,
défini comme suit :Pour ri , r2 deux entiers
positifs,
et pour no = ri +2r2 ,
définissons alorscomme étant le minimum des
AK (m)
lorsque K
parcourt
l’ensem-ble des corps de
degré n
multiple
de no, pourlesquels
ri(K)
et r2(K)
sontdans les mêmes
proportions
que ri et r2.On
peut
alors définir rir2 ) :
c)
Propriétés.
i)
coincide avec la constanteclassique
étudiéenotamment dans
[Mar].
ii)
Soit K un corps dedegré
nmultiple
de no =rl + 2r2,
respectant
ri et r2 ; supposons que K admette une tour
modérée,
plK,m-décomposée infinie,
alors par laproposition 7.1,
on al’inégalité
suivante :iii)
On a pour tout corpsK,
ainsi si l’on note pardno,n
le minimum deDK
lorsque
Kparcourt
les corps dedegré n
multiple
deno = rl
+ 2r2,
pourlesquels
ri(K)
et r2(K)
sont dans les mêmesproportions
par
conséquent,
lâm inf d’l’
Tt no,n - Tt
On en déduit que
a (rl, r2)
et de manièreplus
générale
iv)
Si on remarque que alorsl’inégalité
est immédiate.
d) Utilisation "grossière"
des bornesd’Odlysko.
On connait par les travaux
d’Odlysko,
Poitou etSerre,
une minoration deDx, qui
se traduit pourAK(m)
de la manière suivante :où n est le
degré
deK,
avec 111 vient alors :PROPOSITION 7.2:
Si un corps K de
degré
n(n
= ri(K)
+2r2 (K)),
vérifiealors K a une tour T-ramifiée
modérée,
noncomplexifiée,
finie.EXEMPLES 7.1.
1)
Tout corpsquadratique
réel K tel que soit strictement inférieurà 60.83 admet une
T-plK,oo
tour finie.Par
exemple
a uneT-plK,oo
tourfinie,
avec T ={2,
3}.
2)
Tout corpsquadratique
réel K tel queAK (m) «I 2
soit strictement inférieur à22.38,
admet une T-tour finie au sens restreint.3)
Pour K=~,
AQ (m)
= m, et ainsi pour mfi0, (~
a une T-tour finieau sens
large,
et pour m22, Q
a une T-tour finie au sens restreint.4)
SoitKIQ
une extension T-ramifiée modérée tel que, alors K admet une
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