Les conjectures de Weil sur les courbes

Les conjectures de Weil sur les courbes

Ce travail a été effectué sous la direction de Bernard Le Stum.

Pierre Martinez 24 septembre 2019

Résumé

Cette rédaction est en grande partie basée sur un cours¹ que Paul Monsky a donné au Japon en 1970. Nous commençons par introduire les conjectures de Weil en posant le problème et en discutant du plan d’attaque dans le cas des courbes algébriques, situation dans laquelle on se place à partir de la deuxième section. Puis, on démontre la première des conjectures par des méthodes analytiques en s’appuyant sur le théorème de Riemann- Roch. Enfin, on prouve la troisième conjecture à l’aide de résultats sur la géométrie des surfaces algébriques et de théorie de l’intersection.

1. Voir [Mon70].

Introduction aux conjectures de Weil

On posek:=Fq etk_s:=Fq^s et on se donnempolynômesP₁,P₂, . . . ,P_m∈k[X₁,X₂, . . . ,X_n]. Notons alorsN_sle nombre de solutions dansk_sdu système suivant :























P1(x1, x2, . . . , xn) = 0 P₂(x₁, x₂, . . . , x_n) = 0 ...

Pm(x1, x2, . . . , xn) = 0

La question qui se pose est la suivante : quelle est la dépendance deN_svis-à-vis des?

Lorsque l’ensemble des Pi est vide ou lorsque l’on considère l’espace projectifPⁿk_s tout entier la réponse n’est pas très difficile à trouver : on dénombre respectivementq^nset ^qs(n+1)_qs−1⁻¹ solutions. Mais dans le cas général cela revient à compter le nombre de points dans²ks d’une variété algébrique définie surk, ce qui est nettement moins facile.

C’est ce problème qui, en 1949, conduisit André Weil à énoncer les conjectures suivantes qui portent aujourd’hui son nom³:

1. (Rationalité) Pour n’importe quelle variété algébrique V définie surk, le nombre de points dans ksde V vautNs(V) =P

i

α^s_i−P

j

β_j^savecαi etβj des entiers algébriques.

2. (Equation fonctionnelle)Si V est propre et lisse de dimensionnalors l’application γ7−→ ^q_γⁿ induit une permutation desα_i et une permutation desβ_j.

3. (Pureté)Si V est propre et lisse alors chaqueα_i a pour valeur absolue archimédienne une puissance paire de√

q et chaqueβ_j a pour valeur absolue archimédienne une puissance impaire de√ q.

4. (Cohomologie)Plus généralement, il existe une théorie cohomologique pour les variétés définies sur des corps arbitraires. Sur le corps des complexes, celle-ci coïncide avec la cohomologie classique, de plus elle se comporte bien vis-à-vis de la réduction. Pour les variétés propres et lisses, celle-ci vérifie des résultats du type dualité de Poincaré et formule du point fixe de Lefschetz. Si de plusV est définie surFq et ϕest le morphisme de Frobenius alors les valeurs propres du morphisme induit en cohomologie sont des entiers algébriques de valeur absolue archimédienne q²ⁱ.

Anticipons un peu et introduisons la fonction zêta associée à une variété algébriqueV définie par ζ_V(t) := exp

∞

P

s=1 Ns

s t^s. Weil a montré⁴, et c’est précisément cette idée qui lui a permis de résoudre le problème dans le cas des courbes, que l’on pouvait traduire ses conjectures en termes de propriétés de la fonction zêta. Autrement dit les conjectures précédentes sont équivalentes à celles-ci :

1*. (Rationalité)La fonctionζ_V est une fonction rationnelle det, c’est-à-dire un quotient de deux polynômes à coefficients rationnels.

2. C’est un abus de langage, on y revient un peu plus bas.

3. Et qui sont devenues des théorèmes dans les années 70.

4. Voir [Wei49].

2*. (Equation fonctionnelle)NotonsEle nombre d’auto-intersections de la diagonale∆deV×V (c’est-à-dire sa caractéristique d’Euler-Poincaré). AlorsζV satisfait à l’équation fonctionnelle suivante :

ζ

(

) = ±q

t

ζ

(t)

3*. (Analogue à l’hypothèse de Riemann) On peut écrire la fonctionζV comme ci-dessous :

ζ

(t) =

0(t)P2(t)...P2n(t)

avecP₀(t) = 1−t,P_2n(t) = 1−qⁿtet pour chaque1≤i≤2n−1,P_i(t)est un polynôme à coefficients entiers que l’on peut écrire commeP_i(t) =Q

j

(1−α_ijt)avec lesα_ij des entiers algébriques de valeur absolue archimédienneq²ⁱ.

4*. (Nombres de Betti)Supposons que l’analogue à l’hypothèse de Riemann soit vérifiée, alors on peut définir leième nombre de BettiB_i =B_i(V)comme le degré duième polynômeP_i. AlorsE=P

i

(−1)ⁱB_i. Supposons que V soit obtenue à partir d’une variétéW définie sur un anneau de nombres algébriques Rpar réduction modulo un idéal premier p de R. AlorsBi(V) est égal au ième nombre de Betti de l’espace topologique Wh = (W ×RC)h. Autrement dit, leième nombre de Betti est le rang du groupe de cohomologie classiqueHⁱ(Yh,Z).

Il sera ici question de démontrer l’équivalence entre1.et1*.et de donner une preuve de1.et3.que l’on doit à Grothendieck⁵et Weil⁶dans le cas d’une courbe, i.e d’une variété de dimension 1, propre et lisse de genreg. Quant aux idées de démonstration de 1., 2., 3.et 4. dans leur cadre général et à l’historique des conjectures de Weil on pourra se référer à [Har77] et [Mon70].

5. Voir [Gro58].

6. Voir [Wei71].

Rationalité pour les courbes algébriques

Dans toute la suite, on supposera connues certaines notions de théorie de Galois⁷. Supposons que V soit une variété définie sur un corps parfait k de clôture algébrique k et identifions V avec l’ensemble de ses points k- rationnels⁸.

Définitions 1(0-cycle).

• Un 0-cycle D sur V est une combinaison linéaireP

i

niPi de points Pi de V avec les ni ∈ Z. Le degré d’un 0-cycle D, notédeg(D), est l’entierP

i

n_i[k(P_i) :k]⁹ oùk(P_i)est le corps résiduel deP_i surV. On dit que le 0-cycle esteffectif si chacun desn_i est positif.

• On dit d’un 0-cycle D qu’il est k-rationnel s’il est invariant sous l’action naturelle du groupe de Galois Gal(k/k)surV.

• Donnons-nous un pointP deV et regardons{P_i}l’orbite deP, alors on dit queP

i

P_i est un 0-cyclepremier.

Supposons maintenant quek=Fq et posons ks:=Fq^s, on va définir trois quantités qui interviendront souvent dans tout ce qui va suivre.

Définitions 2.

• As est le nombre de 0-cycles effectifsk-rationnels de degréssurV.

• Ms est le nombre de 0-cycles premiers de degréssurV.

• Nsest le nombre de pointsks-rationnels deV. Introduisons à présent notre principal objet d’étude.

Théorème - Définition 1 (Fonction zêta attachée à une variété algébrique).

Les trois séries formelles suivantes sont égales : (i).

∞

P

s=0

A

t

(ii).

∞

Q

s=1

(1 − t

)

(iii). exp

∞

P

s=1 Ns

s

t

On dit que c’est la fonction zêta attachée àV et on la noteζV. Démonstration.

– (i). = (ii).

Il est à noter que les 0-cycles k-rationnels forment un groupe abélien libre sur les 0-cycles premiers. En effet, on montre sans difficulté que l’application

Z[V]^Gal(k/k) −→Z hV

Gal(k/k) i P

i

n_iP_i 7−→P

i

n_iP_i

7. Le lecteur pourra consulter [LH12].

8. Quand la variété est définie à partir d’un système d’équations polynomiales ce sont exactement les solutions de ce système dansk.

9. Cette extension est bien finie d’après le lemme de Zariski.

est un isomorphisme. Donnons ensuite une réécriture (il n’y a rien à démontrer, c’est simplement une autre façon de l’écrire) de (ii). :

∞

Q

s=1

(1 − t

)

= Q

D∈D

1 − t

.

Détant ici l’ensemble des 0-cycles premiers sans restriction sur le degré. Il ne reste alors plus qu’à développer cette nouvelle expression :

Q

D∈D

1 − t

= Q

D∈D

∞

P

n=0

t

=

∞

P

s=0

P

n1deg(D1)+...+nrdeg(Dr)=s

t

=

∞

P

s=0

A

t

.

Dans l’avant-dernière égalité on somme sur lesni et lesDi et la liberté conclut.

– (ii). = (iii).

NotonsPdl’ensemble des 0-cycles premiers de degrédsurV. On peut montrer¹⁰que, pour touts, l’ensemble des points dansks deV est la réunion des Pd pourd divisants. Ainsi, pour touts, Ns=P

d|s

dMd. Passons au logarithme dans (iii). et développons :

log ((iii) .) =

∞

P

s=1 N_s

s

t

=

∞

P

s=1 t^s

s

P

d|s

dM

=

∞

P

d=1

dM

∞

P

k=1 t^kd kd

=

∞

P

d=1

M

. − log 1 − t

.

On termine la preuve en passant à l’exponentielle.

On peut d’ores et déjà démontrer l’équivalence entre1. et1*..

Théorème 1 (Weil).

Pour n’importe quelle variété algébrique V définie sur k, Ns(V) =P

i

α^s_i −P

j

β_j^s si et seulement si la fonctionζV

est une fonction rationnelle.

Démonstration.

Commençons par remarquer, par exemple avec (i)., que la fonctionζV a pour coefficients des entiers positifs et pour terme constant 1. Supposons donc qu’il existe des nombres complexesαi etβj tels queNs(V) =P

i

α^s_i −P

j

β_j^s. En se servant de (iii). on obtient :

log(ζV(t)) =

∞

P

s=1 N_s

s t^s=

∞

P

s=1 P

i

α^s_i−P

j

β_j^s

s t^s=

∞

P

s=1

P

i (αit)^s

s −

∞

P

s=1

P

j (β_jt)^s

s =P

i

−log(1−αit) +P

j

log(1−βjt) Et en passant à l’exponentielle :

ζ

(t) =

Q

j

(1−β_jt)

Q

i

(1−α_it)

.

Réciproquement, mettons qu’il existe deux polynômes P et QdansC[t]tels queζ_V = ^P_Q. Alors on peut supposer que P et Q ont tous deux pour coefficient constant 1 et que P = P

j

(1−β_jt), Q = P

i

(1−α_it) avec les α_i, β_j dansC. En utilisant à nouveau (iii). et en regardant la dérivée logarithmique formelle de chaque côté de l’équation ζV = ^P_Q on trouve

∞

P

s=1

Nst^s = P

i αit 1−αit −P

j β_jt

1−βjt. Reste à identifier les coefficients devant chacun des t^s pour obtenirNs(V) =P

i

α^s_i−P

j

β_j^s.

A partir de maintenant, nous allons restreindre notre étude aux courbes algébriques. Plus précisément, consi- dérons C une courbe projective, lisse, de genre g sur k. On utilisera désormais le mot ((diviseur ))pour parler de 0-cycle. Chaque élémentf non nul du corps des fonctions de C sur k, noték(C), définit un diviseur, noté(f), de

10. C’est un résultat de théorie de Galois.

degré 0. SiD est un diviseur surC on peut s’intéresser àL(D) :={f ∈k(C)| f = 0 ou (f) +D >0} qui est un espace vectoriel surk de dimension finiel(D).

Définition 1 (Equivalence pour les diviseurs).

On dit que deux diviseursD etD⁰ sont linéairement équivalents s’il existe f dansk(C)tel queD−D⁰ = (f).

Les classes d’équivalence associées à cette relation sont appelées classes de diviseurs.

Avant de donner des résultats sur les diviseurs énonçons des faits¹¹ dont nous aurons besoin plus tard.

Faits 1.

• Le théorème de Riemann-Roch pour les courbes nous permet d’affirmer ceci : – Si deg(D)>2g−2 alorsl(D) = deg(D)−g+ 1.

– Il existe un diviseur canonique W surC tel quedeg(W) = 2g−2et l(W) =g.

– N’importe quel diviseurDde degré2g−2qui n’est pas linéairement équivalent àW vérifiel(D) =g−1.

• Quelques résultats sur la rationalité :

– Le groupe de GaloisGal(k/k)agit surk(C).

– On dit d’un élément de k(C)qu’il estk-rationnel s’il est invariant sous l’action deGal(k/k).

– Si f estk-rationnelle,(f)l’est aussi.

– Si D est un diviseur k-rationnel alors il existe une base de L(D) dont les éléments sont des fonctions k-rationnelles.

– Si un diviseurk-rationnel est le diviseur d’une fonction, c’est le diviseur d’une fonctionk-rationnelle.

– Le diviseur canonique W peut être choisik-rationnel.

On va pouvoir se servir de ceux-ci pour démontrer les théorèmes qui suivent.

Théorème 2.

Donnons-nousDun diviseurk-rationnel. Le nombre de diviseurseffectifs k-rationnels linéairement équivalents àD est ^q

l(D)−1 q−1

.

Démonstration.

Soient f1, . . . , f_l(D)

une base de fonctionsk-rationnelles deL(D)etD⁰un diviseur effectifk-rationnel linéairement équivalent àD. Par définitionD⁰est de la forme

l(D)

P

i=1

αifi

!

+Davec lesαi∈knon tous nuls. Or, deuxl(D)-uplets α₁, . . . , α_l(D)

et

α⁰₁, . . . , α⁰_l(D)

donnent le même diviseur si et seulement si chaqueα⁰_i vérifie α⁰_i =γα_i avecγ non nul dansk. Il ne reste plus qu’à compter.

Théorème 3.

Donnons-noussun entier. Il n’y a qu’un nombre fini de classes de diviseurs de degrésqui contiennent des diviseurs k-rationnels.

Démonstration.

Si s≥2g et deg(D) = salors l(D) =s−g+ 1≥g+ 1>0. Donc si D est linéairement équivalent à un diviseur

11. On renvoie le lecteur à [Har77] et [Per95].

k-rationnel il est équivalent à un diviseur effectifk-rationnel. Or, il n’y a qu’un nombre fini de tels diviseurs de degré s. Dans le cas contraire, il suffit de choisir un diviseurk-rationnelD⁰ de degré suffisamment grand et de considérer l’application qui àD associeD+D⁰.

Définition 2 (Nombre de classes).

Le nombre de classes de la courbeCsurk, notéh, est le nombre de classes de diviseurs de degré 0 qui contiennent des diviseursk-rationnels.

On dispose maintenant d’assez de résultats pour pouvoir démontrer la première des conjectures de Weil.

Théorème 4 (Weil).

Donnons-nous C une courbe projective, lisse, de genre g sur k =Fq. Alors ζ_C(t) =

2g

Q

i=1

1−αit

(1−t)(1−qt) avec les α_i des entiers algébriques tels que

2g

Q

i=1

αi=q^g. Démonstration.

Appelonsmle plus petit entier positif tel qu’il existe un diviseurk-rationnel de degrém. On va montrer quem= 1.

On commence par remarquer que si mne divise pas salors As= 0. En effet, si ce n’était pas le cas, il existerait un diviseur effectif k-rationnel de degré s et en faisant la division euclidienne de spar m on se rend compte que l’on peut trouver un diviseurk-rationnel de degré plus petit quem. Par contre, simdiviseset sis >2g−2, alors As=h(^qs−g+1_q−1⁻¹), ceci découle des faits 1 et du théorème 2.

Ainsi,ζ_C(t) =

∞

P

s=0

Ast^s= (polynôme ent^m) +_q−1^h

∞

P

s=0

(q^ms−g+1−1)t^ms= (polynôme ent^m) +_q−1^h (_1−q^q1−g_mtm−_1−t¹m) et en mettant tout au même dénominateur on en conclut que ζ_C(t) est un quotient de deux polynômes en t^m. Profitons-en pour observer que ζ_C(t) a un pôle simple en t = 1. Posons ensuite f(t) :=

∞

Q

s=1

(1−t^s)^−Mms, alors ζC(t) =f(t^m) et f peut s’écrire comme quotient de deux polynômes. Notons ζ_C^†(t)la fonction zêta attachée à C sur km. Alors ζ_C^†(t) =

∞

Q

s=1

(1−t^s)^−M†s où M^†_s joue le même rôle que Ms sur km. Puis, si on se donne un point P de la courbe C vue surk_m celui-ci définit un diviseur effectif k-rationnel. Adeg(P) est de ce fait non nul donc deg(P) = [k(P) : k_m] est divisible par m et en appliquant la multiplicativité du degré à la suite d’extensions k(P)⊃k_m⊃k on obtient[k(P) : k] =m.[k(P) :k_m] et M^†_s =m.M_ms. Ainsiζ_C^†(t) =f(t)^m. Or, de même que ζC(t),ζ_C^†(t)a un pôle simple en t= 1, nécessairementm= 1.

Par conséquent, ζC(t) = (1−t)(1−qt)^P(t) avecP à coefficients entiers et de coefficient constant égal à 1. Supposons g= 0, alors, pour toutspositif,As=h(^qs+1_q−1⁻¹)et en évaluant ens= 0on obtienth=A0= 1.

Doncζ_C(t) =

∞

P

s=0

(^qs+1_q−1⁻¹)t^s=(1−t)(1−qt)¹ et P = 1. Supposons maintenantg >0et posonsA˜_s:=_q−1^h (q^s−g+1−1).

Si s >2g−2,As= ˜As. D’après les faits 1 et le théorème 2 on compte ^q_q−1^g−1 diviseurs effectifsk-rationnels dans la classe des diviseurs qui contient le diviseur canonique alors que dans les autres classes de diviseurs de degré2g−2 on en dénombre ^qg−1_q−1⁻¹. Ainsi,As= ˜As+q^g−1 pours= 2g−2 et

∞

P

s=0

A˜st^s= _q−1^h (^q_1−qt^1−g −_1−t¹ )que l’on peut écrire sous la forme (1−t)(1−qt)^a+bt . Enfin, ζC(t) =

2g−2

P

s=0

(As−A˜s)t^s+

∞

P

s=0

A˜st^s = (q^g−1t^2g−2+. . .) + (1−t)(1−qt)^a+bt . Il s’ensuit immédiatement queP(t) =q^gt^2g+. . . . Reste à écrire P sous la forme P =

2g

Q

i=1

(1−αit)et comme les coefficients deP sont des entiers, lesαi sont des entiers algébriques. Enfin, la relation entre coefficients et racines de P nous dit que

2g

Q

i=1 1

αi = (−1)^2g_q¹g donc

2g

Q

i=1

α_i=q^g.

On termine en traduisant le résultat précédent via le théorème 1 pour obtenir Ns(C) =q^s+ 1−

2g

P

i=1

α^s_i.

Pureté pour les courbes algébriques

Dans ce qui va suivre on supposera connus certains résultats sur la géométrie des surfaces algébriques¹². On va énoncer deux lemmes puis un théorème sur lequel se base la démonstration que l’on donne de la troisième conjecture de Weil.

Lemme 1.

Donnons-nousz1, . . . ,zndes nombres complexes tous de module 1. Alors il existe une infinité d’entiersmstrictement positifs tels que chaquez^m_k est proche de 1.

Démonstration.

Pour tout1≤k≤n, on écritzk=e^iθk et par densité deQdansRil existe(pk, qk)dansZ×N^∗ tel que pour tout ε >0, |θkqk−2πpk|< ε. Reste à poserm:=

n

Q

k=1

qk et à le multiplier par n’importe quel entier.

Lemme 2.

Donnons-nousz1, . . . ,zndes nombres complexes. Alors il existe une infinité d’entiersm >0tels que|z1|^m≤ |

n

P

i=1

z^m_i |.

Démonstration.

Supposons pour commencer que z₁ = 1, dans ce cas on souhaite montrer qu’il existe une infinité de m tels que

|1 +

n

P

i=2

z_i^m| ≥1. Le lemme précédent nous dit qu’il en existe une infinité tels que les (_|z^zi

i|)^m sont proches de 1 et donc que les parties réelles desz_i^msont toutes strictement positives. Ainsi,

|1 +

n

P

i=2

z

| = q

(1 + Re(z

) + . . . + Re(z

))

+ (Im(z

) + . . . + Im(z

))

≥ 1.

Siz16= 1etz16= 0(si ce n’était pas le cas le résultat serait immédiat) alors il suffit de voir que l’inégalité du lemme est équivalente à ^|z_|z^1|m

1|^m ≤ |1 +

n

P

i=2

_z

i

z1

^m

|.

Théorème 5.

Les assertions suivantes sont équivalentes : (i). Pour touti,|αi|=√

q.

(ii). Il existe une constante non nullec telle que pour touts,|Ns(C)−q^s−1| ≤c.q^s2. Démonstration.

Si, pour touti, |αi|=√

qalors, d’après la rationalité de la fonction zêta,

|N

(C) − q

− 1| = |

2g

P

i=1

α

| ≤

2g

P

i=1

|α

|

≤ 2g.q

.

Réciproquement, d’après le lemme 2 il existe une infinité des >0 tels que|α1|^s≤ |

2g

P

i=1

α^s_i|=|Ns−q^s−1| ≤c.q^s2. Ainsi,|α₁| ≤√

q. Comme ce lemme est aussi valable pour n’importe lequel desα_i, on mène le même raisonnement pour montrer que|αi| ≤√

q. Enfin,

2g

Q

i=1

αi=q^g entraîne|αi|=√

qpour touti.

12. Le lecteur est invité à consulter [Mum66].

Quittons maintenant le monde des courbes pour penser en termes de surfaces. On va donner des définitions mais surtout des faits¹³ indispensables à la preuve de la pureté des courbes.

Définition 3 (Diviseur sur une surface).

Un diviseurD sur une surfaceS est une combinaison linéaireP

i

niCioù lesCisont des courbes irréductibles et les ni sont dansZ.

Faits 2.

• On peut définir une forme bilinéaire symétrique sur les diviseurs à valeurs dansZappelée produit d’intersec- tion. Pour deux diviseurs D etD⁰ on note(D.D⁰)leur produit d’intersection.

• Si on se donneDun diviseur et si on noteF(D)le faisceau inversible attaché àDethⁱ(D) := dimHⁱ(S,F(D)) alors le théorème de Riemann-Roch pourS nous affirme queh⁰(D)−h¹(D) +h²(D) = ¹₂(D.D−K) +c où K est un diviseur canonique fixé surS et cune constante.

• La dualité de Serre nous dit queh²(D) =h⁰(K−D)et en notantl(D) :=h⁰(D)on obtientl(D) +l(K−D)≥

1

2(D.D−K) +c.

Considérons un plongement projectif S ⊆Pⁿ et H une section hyperplane deS. SiD est un diviseur surS on posedeg(D) := (D.H). On va présenter quelques lemmes sur les diviseurs.

Lemme 3.

Donnons-nous{Di}un ensemble de diviseurs surS. Si l’ensemble des degrés{deg(Di)}est majoré alors l’ensemble des dimensions{l(Di)}l’est aussi.

Démonstration.

La preuve étant trop sophistiquée pour être exposée ici on se limite à dire qu’elle repose sur la notion de variété de Chow.

Lemme 4 (Inégalité de Hodge).

SoitD un diviseur surS. Sideg(D) = 0alors le produit d’intersection(D.D)≤0.

Démonstration.

Le lemme précédent nous dit que les ensembles {l(nD)} et {l(K−nD)} sont majorés pour toutn dansZ. Donc d’après les faits 2, pour tout n dans Z, (nD.nD−K) est majoré et par bilinéarité du produit d’intersection (D.D)≤0.

Supposons maintenant que S=C×C⁰ avecC et C⁰ des courbes projectives, lisses.

Définition 4.

Donnons-nousDun diviseur surS. On définit deux nouvelles quantités à partir du produit d’intersection :d1(D) :=

(D.P×C⁰)et d2(D) := (D.C×P⁰)avecP etP⁰ des points surCet C⁰. La définition précédente ne dépend bien entendu pas du choix deP etP⁰. Lemme 5 (Inégalité de Castelnuovo).

Donnons-nousD un diviseur surS. Alors(D.D)≤2.d₁(D).d₂(D).

13. A nouveau, on renvoie le lecteur à [Har77] et [Per95].

Démonstration.

Notons V l’espace vectoriel de dimension 3 surQengendré par les diviseurs P×C⁰, C×P⁰ et D. La matrice du produit d’intersection dans cette base est la suivante :

M :=











0 1 d1(D)

1 0 d₂(D)

d₁(D) d₂(D) (D.D)











Supposons que det(M) = 2.d1(D).d2(D)−(D.D) < 0, choisissons une base orthogonale (E1,E2,E3) de V et posonsai:= (Ei.Ei). Le fait que la matrice de la forme quadratique associée au produit d’intersection est diagonale dans cette nouvelle base implique que a1a2a3 <0 et on peut par exemple supposera1 >0, a2>0 et a3 <0. En effet, si les ai étaient tous strictement négatifs la forme quadratique le serait aussi, or elle est indéfinie surV. On peut donc construire un diviseurE qui est une combinaison linéaire deE1etE2, de degré nul et tel que(E.E)>0.

Ce qui rentre en contradiction avec l’inégalité de Hodge.

Donnons-nousCune courbe projective, lisse etϕ:C−→Cun morphisme. NotonsΓ_ϕet∆les graphes respectifs deϕet de l’application identité surC vus sur la surfaceS :=C×C. On arrive à la dernière étape avant la preuve de la pureté.

Théorème 6.

Soitϕde degréd. Alors|(Γϕ.∆)−1−d| ≤(2−(∆.∆)).√ d.

Démonstration.

De même que pour le lemme 3 on se borne à dire que l’idée est d’appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz à une nouvelle forme bilinéaire symétrique puis d’utiliser le fait que le produit d’intersection commute avec une application bien choisie dans un anneau de Chow.

Théorème 7 (Weil).

Donnons-nousCune courbe projective, lisse, de genreg surk=Fq. AlorsNs(C) =q^s+ 1−

2g

P

i=1

α^s_i avec, pour tout i,|αi|=√

q. Démonstration.

Regardons ϕ : C −→ C le morphisme de Frobenius. Alors deg (ϕ^s) = q^s et le théorème précédent nous permet d’affirmer que|(Γϕ^s.∆)−q^s−1| ≤(2−(∆.∆)).q^2s. Or,Γϕ^s et ∆s’intersectent précisément aux points deC dans ks, de plus ils se rencontrent toujours avec multiplicité d’intersection égale à 1. Ainsi, (Γϕ^s.∆) =Nset il ne reste plus qu’à appliquer le théorème 5.

Références

[Wei49] André Weil. “Numbers of solutions of equations in finite fields”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 5 (1949), pp. 497–508.

[Gro58] Alexandre Grothendieck. “Sur une note de Mattuck-Tate”. In: J. Reine u. Angew. Math. 200 (1958), pp. 208–215.

[Mum66] David Mumford.Lectures on Curves on an Algebraic Surface. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, 1966.

[Mon70] Paul Monsky. p-Adic Analysis and Zeta Functions. Lectures in Mathematics. Kinokuniya Book-store Company, 1970.

[Wei71] André Weil.Courbes Algébriques et Variétés Abéliennes. Hermann, 1971.

[Har77] Robin Hartshorne.Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1977.

[Per95] Daniel Perrin.Géométrie algébrique. Savoirs Actuels. InterEditions / CNRS Editions, 1995.

[LH12] Yves Laszlo and David Hernandez.Introduction à la théorie de Galois. Mathématiques et Applications.

Ecole Polytechnique, 2012.