Application de la méthode XFEM aux plaques fissurées en flexion
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Texte intégral
(2) $SSOLFDWLRQ GH OD PpWKRGH ;)(0 DX[ SODTXHVILVVXUpHVHQIOH[LRQ -/DVU\ ï-3RPPLHU <5HQDUG 06DODQ * Mathématiques pour l’Industrie et la Physique, INSA de Toulouse 135 avenue de Rangueil, 31077 Toulouse Cedex 4 ¹ : [email protected] ** Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon 20 rue Albert Einstein, 69621 Villeurbanne Cedex *** ENSICA, Département de Génie Mécanique 1 place Emile Blouin, 31056 Toulouse Cedex 5 RÉSUMÉ.. Dans cet article nous étudions les possibilités d’application de la méthode des éléments finis étendue (XFEM) au cas des plaques minces fissurées en flexion. Nous supposons le matériau homogène isotrope et la fissure traversante. La déformation de la plaque est régie par le modèle de Kirchhoff-Love, pour lequel on utilise l’élément triangulaire HCT réduit ou son équivalent en quadrangle. Deux stratégies d’enrichissement sont présentées : ajout, dans une zone fixe, des singularités de fond de fissure soit sur tous les nœuds de cette zone, soit de façon globale avec raccord intégral à la frontière de la zone d’enrichissement. Des tests numériques montrent que la méthode conduit à une précision optimale, dans le sens où l’ordre de convergence de l’erreur numérique est comparable à celui d’une méthode d’éléments finis classique sur un problème régulier. ABSTRACT.. In this paper, the eXtended Finite Element Method is applied to the bending of thin plates with a through-the-thickness crack. The material is assumed to be homogeneous and isotropic. The plate is modelled with the Kirchhoff-Love theory, and uses the reduced HCT triangular element, or the corresponding quadrilateral. Two enrichment strategies are presented : adding the crack tip singularities on a fixed area, first on each node inside this area, second in a global way with integral matching along its boundary. Some numerical tests show that an optimal accuracy is reached, in the sense that the rate of convergence is similar to what could be obtained for a regular problem.. MOTS-CLÉS :. plaques minces, modèles de Kirchhoff-Love et de Mindlin-Reissner, élément HCT réduit, singularités, enrichissement de fond de fissure, raccord intégral, erreur numérique, taux de convergence.. KEYWORDS: thin plates, Kirchhoff-Love and Mindlin-Reissner plate theories, reduced HCT element, singularities, crack tip enrichment, integral matching, numerical error, rate of convergence.. $FWHVGXHFROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUHV.
(3) $FWHVGXHFROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUHV. ,QWURGXFWLRQ /D VLPXODWLRQ QXPpULTXH GH OD SURSDJDWLRQ GHV ILVVXUHV UHSUpVHQWH XQ HQMHX LPSRUWDQWSRXUGHQRPEUHX[VHFWHXUVLQGXVWULHOV DpURQDXWLTXHVSDWLDOQXFOpDLUH
(4) 'H SOXV F HVW XQ SUREOqPH FRPSOH[H VXU OH SODQ QXPpULTXH /HV PpWKRGHV G pOpPHQWVILQLVFODVVLTXHVSUpVHQWHQWGHVFRQWUDLQWHVLPSRUWDQWHVGHUDIILQHPHQWGH PDLOODJHHQIRQGGHILVVXUHHWGHUHPDLOODJHHQFRXUVGHSURSDJDWLRQFHTXLDSRXU HIIHW G¶DXJPHQWHU OH WHPSV GH FDOFXO HW GH GpJUDGHU OD SUpFLVLRQ GHV UpVXOWDWV /D PpWKRGH GHV pOpPHQWV ILQLV pWHQGXH GpVLJQpH SDU OH VLJOH ;)(0 0RsV HW DO
(5) SURSRVHXQHDOWHUQDWLYHSURPHWWHXVHHWIDLWDFWXHOOHPHQWO REMHWGHQRPEUHX[ WUDYDX[/DFDUDFWpULVWLTXHSULQFLSDOHGHFHWWHPpWKRGHHVWGHUHSUpVHQWHUODILVVXUH LQGpSHQGDPPHQW GX PDLOODJH HQ UDMRXWDQW GDQV OD EDVH pOpPHQWV ILQLV GHV IRQFWLRQVSUHQDQWHQFRPSWHODGLVFRQWLQXLWpGHVGpSODFHPHQWVOHORQJGHODILVVXUH DLQVLTXHODIRUPHDV\PSWRWLTXHGHVGpSODFHPHQWVVLQJXOLHUVHQIRQGGHILVVXUH / REMHFWLI GH FH WUDYDLOHVW ODUHFKHUFKHGHVWUDWpJLHV RSWLPDOHVSRXUO H[WHQVLRQ GH OD PpWKRGH ;)(0 DX FDV GHV SODTXHV PLQFHV HQ IOH[LRQ GDQV OH FDV G XQ PDWpULDXKRPRJqQHLVRWURSHODILVVXUHpWDQWWUDYHUVDQWH(QSDUWLFXOLHULOHVWFDSLWDO TXH OD PpWKRGH UHVWH ILDEOH PrPH SRXU OHV SODTXHV WUqV PLQFHV HQ DpURQDXWLTXH O pSDLVVHXU GH SHDX G XQ DYLRQ SHXW GHVFHQGUH j PP SRXU GHV SDQQHDX[ GH SOXVLHXUVPqWUHV
(6) 'HSOXVRQJDUGHFRPPHREMHFWLITXHOHWDX[GHFRQYHUJHQFHGH OD PpWKRGH GRLW UHVWHU GX PrPH RUGUH TXH FHOXL G¶XQH PpWKRGH G¶pOpPHQWV ILQLV FODVVLTXHVXUXQSUREOqPHUpJXOLHU &HSHQGDQW O¶DSSOLFDWLRQ GH OD PpWKRGH ;)(0 DX[ SODTXHV PLQFHV HQ IOH[LRQ SRVHGHVGLIILFXOWpVVSpFLILTXHV7UqVSHXG DUWLFOHVRQWpWpFRQVDFUpVjFHVXMHW RQ FLWHUD HVVHQWLHOOHPHQW 'ROERZ HW DO
(7) /H PRGqOH GH SODTXHV GH 0LQGOLQ 5HLVVQHUTXLHVWOHSOXVVRXYHQWXWLOLVpSRXUGpFULUHODGpIRUPDWLRQG¶XQHSODTXHHQ IOH[LRQSUpVHQWHO¶LQFRQYpQLHQWG¶rWUHVXMHWDXSUREOqPHGHYHUURXLOODJHQXPpULTXH HQ FLVDLOOHPHQW WUDQVYHUVH &HFL REOLJH j GHV WUDLWHPHQWV VSpFLILTXHV VRXV LQWpJUDWLRQ HQ 48$' SDU H[HPSOH
(8) TXL QH SHXYHQW rWUH pWHQGXV DX[ IRQFWLRQV G¶HQULFKLVVHPHQW GH OD PpWKRGH ;)(0 1RXV UHYLHQGURQV VXU FH SRLQW GDQV OD VHFWLRQ3RXUOHVHQULFKLVVHPHQWVQRXVVXLYRQVODPpWKRGRORJLHGpYHORSSpHGDQV /DERUGHHWDO
(9) &HFLIDLWO¶REMHWGHODVHFWLRQWDQGLVTXHODGHUQLqUHVHFWLRQ SUpVHQWHTXHOTXHVUpVXOWDWVQXPpULTXHV /H0RGqOHGH.LUFKKRII/RYHHWO¶pOpPHQW+&7UpGXLW &RPPH RQ O¶D VLJQDOp SOXV KDXW OHV WUDLWHPHQWV VSpFLILTXHV LQWURGXLWV GDQV OHV VFKpPDV pOpPHQWV ILQLV DVVRFLpV DX PRGqOH GH 0LQGOLQ5HLVVQHU QH V¶pWHQGHQW SDV IDFLOHPHQW DX[ IRQFWLRQV G¶HQULFKLVVHPHQW ;)(0 'DQV O¶DUWLFOH 'ROERZ HW DO
(10) OHV DXWHXUV TXL XWLOLVHQW FH PRGqOH DYHF O¶pOpPHQW 0,7& VRXOLJQHQW GHV SUREOqPHV GH FRQYHUJHQFH ORUVTXH O¶pSDLVVHXU GHYLHQW WUqV IDLEOH &HV GLIILFXOWpV QRXVRQWFRQGXLWjHQYLVDJHUO¶XWLOLVDWLRQGXPRGqOHGH.LUFKKRII/RYH,OSURSRVH.
(11) SODTXHVILVVXUpHVHQIOH[LRQDYHF;)(0. XQHGHVFULSWLRQUpDOLVWHGHODGpIRUPDWLRQG¶XQHSODTXHPLQFH6HVVLQJXODULWpVTXL VRQWFHOOHVGXELODSODFLHQVRQWFRQQXHV *ULVYDUG
(12) ,OQ¶HVWSDVDIIHFWpSDUOH YHUURXLOODJH QXPpULTXH FDU OH WHUPH GH FLVDLOOHPHQW WUDQVYHUVH Q¶\ ILJXUH SDV &HSHQGDQWLOSUpVHQWHO¶LQFRQYpQLHQWGHQpFHVVLWHUO¶XWLOLVDWLRQG¶XQpOpPHQWILQLGH FODVVH C FHTXLHVWFRQVLGpUpJpQpUDOHPHQWFRPPHSOXVFRWHX[DSULRUL &¶HVWSRXUTXRLQRXVDYRQVFKRLVLO¶pOpPHQWWULDQJXODLUH+&7UpGXLW &LDUOHW
(13) &HOXLFL V¶REWLHQW GH OD IDoRQ VXLYDQWH O¶pOpPHQW HVW GpFRXSp HQ VRXV WULDQJOHVHWOHVIRQFWLRQVGHEDVHVRQWGHVSRO\Q{PHVGHGHJUpVVXUFKDFXQGHFHV VRXVWULDQJOHVDYHF UDFFRUG C VXU OHVDUrWHV LQWpULHXUHV'HSOXVRQLPSRVHjOD GpULYpH QRUPDOH G¶rWUH DIILQH OH ORQJ GX ERUG GX WULDQJOH 'H FHWWH PDQLqUH OHV GHJUpVGHOLEHUWpTXLUHVWHQWVRQWOHVGHX[GpULYpHVSUHPLqUHV OHVURWDWLRQVGDQVOH PRGqOH GH .LUFKKRII/RYH
(14) HW OH GpSODFHPHQW YHUWLFDO RX IOqFKH
(15) j FKDTXH Q°XG &¶HVW DXWDQW TXH SRXU OHV pOpPHQWV VWDQGDUG GX PRGqOH GH 0LQGOLQ 3RXU WHUPLQHU FHWWHGHVFULSWLRQLQGLTXRQVTXHO¶RQSHXWFRQVWUXLUHXQpOpPHQWTXDGUDQJXODLUHGX PrPHW\SHGHIDoRQDQDORJXH GpFRXSDJHGXTXDGUDQJOHHQVRXVWULDQJOHV
(16) HWTXH OH WDX[ GH FRQYHUJHQFH WKpRULTXH GH FHV pOpPHQWV HQ QRUPH GH O¶pQHUJLH HVW GH O¶RUGUHGXSDVGXPDLOODJH &LDUOHW
(17) /DPpWKRGH;)(0 5DSSHORQVTXHGDQVODPpWKRGH;)(0ODSLqFHHVWPDLOOpHVDQVWHQLUFRPSWHGH OD SUpVHQFH GH OD ILVVXUH FHOOHFL pWDQW UHSUpVHQWpH LQGpSHQGDPPHQW SDU H[HPSOH SDUGHVIRQFWLRQVOHYHOVHW(QVXLWHODVROXWLRQHVWHQULFKLHDX[HQGURLWVDSSURSULpV SDUGHVGHJUpVGHOLEHUWpVSpFLILTXHVGRQWOHVXSSRUWHVWOLPLWp6XUOHVQ°XGVVLWXpV OH ORQJ GH OD ILVVXUH RQ UDMRXWH GHV IRQFWLRQV GH IRUPH GH OD PpWKRGH G¶pOpPHQWV ILQLV FODVVLTXH PXOWLSOLpHV SDU XQH IRQFWLRQ YDODQW HW GH FKDTXH FRWp GH OD ILVVXUH &HV HQULFKLVVHPHQWV SHUPHWWHQW GH UHSUpVHQWHU O¶RXYHUWXUH GH OD SODTXH '¶DXWUHV GHJUpV GH OLEHUWp IRQFWLRQV GpFULYDQW OHV VLQJXODULWpV GH IRQG GH ILVVXUH
(18) VRQWUDMRXWpVGDQVXQH]RQHFLUFXODLUHFHQWUpHVXUOHIRQGGHILVVXUHGRQWOHUD\RQ HVW LQGpSHQGDQW GX SDV GH PDLOODJH 'HX[ VWUDWpJLHVVRQWSRVVLEOHV SRXULQWURGXLUH FHVVLQJXODULWpVGHIRQGGHILVVXUH. . Ajout de degrés de liberté sur chaque noeud 2Q DMRXWH VXU FKDTXH Q°XG DXWDQW GH GHJUpV GH OLEHUWp TX¶LO \ D GH IRQFWLRQV VLQJXOLqUHVSRXUFKDTXHIRQFWLRQGHIRUPHGHODEDVHpOpPHQWILQLFODVVLTXH&HFLD SRXUHIIHWG¶DXJPHQWHUOHQRPEUHWRWDOG¶LQFRQQXHV HQ+&7UpGXLWLO\DGHJUpV GH OLEHUWpV SDU Q°XGV HW IRQFWLRQV VLQJXOLqUHV FH TXL IDLW GRQF GHJUpV GH OLEHUWpV VXSSOpPHQWDLUHV VXU FKDFXQ GHV Q°XGV VLWXpV j O¶LQWpULHXU GH OD ]RQH G¶HQULFKLVVHPHQW $LQVL OD IRQFWLRQ G¶DSSUR[LPDWLRQ V¶H[SULPH GH OD PDQLqUH VXLYDQWH . N. u = h. ¦ a ϕ + ¦b Hϕ + ¦¦ c ϕ F i. i=. i. j. j∈IH. j. kl. k∈IS l =. k. l. . . . >@.
(19) $FWHVGXHFROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUHV. R {ϕ i }i = UHSUpVHQWHQW OD EDVH pOpPHQW ILQL FODVVLTXH IRQFWLRQV GH IRUPH GH O¶pOpPHQW +&7 UpGXLW
(20) /HV IRQFWLRQV {Fl }l = VRQW OHV VLQJXODULWpV GX PRGqOH GH .LUFKKRII/RYH 2Q OHV WURXYH GDQV *ULVYDUG
(21) HW OHXU H[SUHVVLRQ SHXW rWUH GpYHORSSpHVXUODEDVHVXLYDQWH HQFRRUGRQQpHVSRODLUHV
(22) N. r VLQ θ. r FRV θ. r VLQ θ. r FRV θ . . >@. /¶HQVHPEOH I H UHSUpVHQWHOHVLQGLFHVGHVGHJUpVGHOLEHUWpHQULFKLVSRXUUHSUpVHQWHU OH VDXWGX GpSODFHPHQW OHORQJGHODILVVXUH7RXVOHVQ°XGVGRQWOHVIRQFWLRQVGH EDVHDVVRFLpHVRQWOHVXSSRUWFRPSOqWHPHQWWUDYHUVpSDUODILVVXUHIRQWSDUWLHGHFHW HQVHPEOH (QILQ I S UHSUpVHQWH OHV LQGLFHV GHV Q°XGV LQFOXV GDQV OD ]RQH G¶HQULFKLVVHPHQW YRLUILJXUHjJDXFKH
(23) )LJXUHA gauche, localisation des nœuds enrichis : par la fonction H (carrés), les singularités (cercles), et les deux (points noirs). A droite, les deux sous-domaines : la zone enrichie par les singularités est hachurée. Singularités globales avec raccord intégral (Mortar) /DVWUDWpJLHSUpFpGHQWHSUpVHQWHFHUWDLQVLQFRQYpQLHQWV/HQRPEUHGHGHJUpVGH OLEHUWpDMRXWpVGDQVOD]RQHGHIRQGGHILVVXUHHVWLPSRUWDQW OHQRPEUHG¶LQFRQQXHV GDQVFHWWH]RQHHVWPXOWLSOLpSDU'HSOXVOHFRQGLWLRQQHPHQWGXV\VWqPHOLQpDLUH DXJPHQWH VLJQLILFDWLYHPHQW FRPPH QRXV O¶DYRQV REVHUYp QXPpULTXHPHQW (Q V¶LQVSLUDQW GH /DERUGH HW DO
(24) RQ LQWURGXLW XQH PpWKRGH GDQV ODTXHOOH OHV VLQJXODULWpV GH IRQG GH ILVVXUH VRQW LQFOXVHV GDQV OD EDVH GH PDQLqUH JOREDOH /D SODTXHHVWSDUWLWLRQQpHHQVRXVGRPDLQHV YRLUILJXUH
(25) /HSUHPLHUHVWIRUPpGH O¶HQVHPEOHGHVpOpPHQWVHQWLqUHPHQWLQFOXVGDQVOD]RQHG¶HQULFKLVVHPHQWOHVHFRQG HVWIRUPpSDUWRXVOHVDXWUHVpOpPHQWV$ORUVO¶H[SUHVVLRQGHODVROXWLRQGDQVOD]RQH G¶HQULFKLVVHPHQWYDXW . v = h. ¦ a ϕ + ¦ b Hϕ + ¦ c i. i∈N. v. i. j. v j∈I H. j. k =. k. Fk . . . . >@ . 'DQVFHWWHH[SUHVVLRQOHVHQVHPEOH N v HW I Hv GpVLJQHQWOHVQ°XGVDSSDUWHQDQWjOD IRLV DX[ HQVHPEOHV N HW I H HW DX[ pOpPHQWV HQWLqUHPHQW LQFOXV GDQV OD ]RQH G¶HQULFKLVVHPHQW6XUOHVDXWUHVpOpPHQWVODVROXWLRQV¶H[SULPHSDU .
(26) SODTXHVILVVXUpHVHQIOH[LRQDYHF;)(0. wh =. ¦ a ϕ + ¦ b Hϕ i. i∈N. w. i. j. j. . . . . . >@. w j∈I H. . 'HODPrPHPDQLqUHOHVHQVHPEOHV N w HW I Hw GpVLJQHQWOHVQ°XGVDSSDUWHQDQWjOD IRLV DX[ HQVHPEOHV N HW I H HW DX[ pOpPHQWV TXL QH VRQW SDV LQFOXV GDQV OD ]RQH G¶HQULFKLVVHPHQW $LQVL RQ SHXW FRQVWDWHU TXH OHV Q°XGV VLWXpV j OD IURQWLqUH HQWUH OHV VRXVGRPDLQHV QRWpH Γ YRLUILJXUH
(27) VRQW GXSOLTXpV 2Q LPSRVHGRQFXQH FRQGLWLRQGHUDFFRUGDXVHQVIDLEOHHQWUHOHVIRQFWLRQV v h HW wh . ³ [ (v. h. ). (. ). ]. − w h λ + ∂ n v h − w h ∂ n λ dΓ = ∀λ ∈ Λ . . . >@. Γ. . R Λ GpVLJQH XQ HVSDFH GH PXOWLSOLFDWHXUV 3RXU OHV WHVWV QXPpULTXHV QRXV DYRQV FKRLVLODUHVWULFWLRQVXU Γ GHVIRQFWLRQVGHEDVHGHO¶pOpPHQW+&7UpGXLW HQULFKLHV SDUODIRQFWLRQHSRXUOHVpOpPHQWVFRXSpVSDUODILVVXUH
(28) (WXGHGHFRQYHUJHQFHHWFRQFOXVLRQ /D PpWKRGH D pWp LPSOpPHQWpH GDQV OD ELEOLRWKqTXH *HWIHP 5HQDUG HW DO
(29) 8QH SUHPLqUH pWXGH GH FRQYHUJHQFH DYHF GHV pOpPHQWV WULDQJXODLUHV HW TXDGUDQJXODLUHV D pWp HIIHFWXpH DYHF OHV GHX[ VWUDWpJLHV G¶HQULFKLVVHPHQW VXU XQ FDVWHVW SODTXH FDUUpH XQLWDLUH ILVVXUpH
(30) SRXU OHTXHO OD VROXWLRQ H[DFWH HVW FRQQXH FRPELQDLVRQ OLQpDLUH GH FHUWDLQHV VLQJXODULWpV
(31) /H UD\RQ GH OD ]RQH G¶HQULFKLVVHPHQW YDXW /D ILJXUH GRQQH O¶HUUHXU FRPPLVH UHODWLYHPHQW j OD VROXWLRQH[DFWHSRXUGLIIpUHQWHVYDOHXUVGXSDVGHPDLOODJHHQQRUPHGHO¶pQHUJLH 2Q SHXW YRLU TXH O¶REMHFWLI HVW DWWHLQW SRXU QRWUH FDVWHVW SXLVTXH OHV WDX[ GH FRQYHUJHQFHDWWHLJQHQWWRXV2QUHPDUTXHUDTXHOHWDX[GHFRQYHUJHQFHHVWSOXV pOHYp HQ TXDGUDQJOHV VWUXFWXUpV GDQV OH FDV GH OD SUHPLqUH VWUDWpJLH
(32) TXL V¶H[SOLTXHVDQVGRXWHSDUXQSKpQRPqQHGHVXSHUFRQYHUJHQFHHWTXHODGHX[LqPH VWUDWpJLHG¶HQULFKLVVHPHQW IRQFWLRQJOREDOHHWUDFFRUGLQWpJUDO
(33) FRQGXLWjXQQLYHDX G¶HUUHXU SOXV IDLEOH TXH OD SUHPLqUH PrPH VL OHV RUGUHV GH FRQYHUJHQFHV VRQW OpJqUHPHQWLQIpULHXUV (QILQ FH WUDYDLO SUpVHQWH XQH DXWUH SHUVSHFWLYH LQWpUHVVDQWH 6DFKDQW TXH OHV PRGqOHVGH.LUFKKRII/RYHHWGH0LQGOLQ5HLVVQHUGRQQHQWGHVUpVXOWDWVSURFKHVHQ SODTXHVPLQFHVHWTXHOHVpOpPHQWV+&7UpGXLWVSRUWHQWDXVVLGHJUpVGHOLEHUWpSDU QRHXGV QRXV HQYLVDJHRQV GH WHVWHU XQH PpWKRGH QXPpULTXH K\EULGH R OD ]RQH G¶HQULFKLVVHPHQW XWLOLVHUDLW OH PRGqOH GH .LUFKKRII/RYH DYHF OD PRGpOLVDWLRQ ;)(0 TXH QRXV SURSRVRQV HW VHUDLW UDFFRUGpH DYHF OH UHVWH GH OD SODTXH TXL XWLOLVHUDLWOHPRGqOHGH0LQGOLQ5HLVVQHU.
(34) $FWHVGXHFROORTXHQDWLRQDOHQFDOFXOGHVVWUXFWXUHV. )LJXUHCourbes de convergence (en norme de l’énergie) pour la méthode XFEM. 5HPHUFLHPHQWV &HWWH pWXGH D pWp PHQpH GDQV OH FDGUH G¶XQ FRQWUDW FRILQDQFp SDU $LUEXV HW OH &156 1RXV UHPHUFLRQV HQ SDUWLFXOLHU 0DUF %DO]DQR $LUEXV )UDQFH
(35) HW 3DWULFN /DERUGH 8QLYHUVLWp7RXORXVH,,,
(36) SRXUO¶LQWpUrWHWOHVRXWLHQTX¶LOVRQWWpPRLJQp %LEOLRJUDSKLH &LDUOHW3*The finite element method for elliptic problems1RUWK+ROODQG 'ROERZ-0RsV1%HO\WVFKNR7©0RGHOLQJIUDFWXUHLQ0LQGOLQ5HLVVQHUSODWHVZLWKWKH H[WHQGHGILQLWHHOHPHQWPHWKRGªInternational Journal of Solids and StructuresYRO S *ULVYDUG3Singularities in boundary value problems0DVVRQ /DERUGH33RPPLHU-5HQDUG<6DODQ0©+LJKRUGHUH[WHQGHGILQLWHHOHPHQWPHWKRG IRUFUDFNHGGRPDLQVªInternational Journal for Numerical Method in EngineeringYRO S 0RsV 1 'ROERZ - %HO\WVFKNR 7 ©$ ILQLWH HOHPHQW PHWKRG IRU FUDFN JURZWK ZLWKRXW UHPHVKLQJªInternational Journal for Numerical Method in EngineeringYRO S 5HQDUG < 3RPPLHU - Getfem++, an open source generic C++ library for finite element methods,KWWS ZZZJPPLQVDWRXORXVHIUJHWIHP.
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