Modélisation et commande d'engins volants flexibles

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Selima Bennaceur

To cite this version:

Selima Bennaceur. Modélisation et commande d’engins volants flexibles. Automatique / Robotique.

Université d’Evry-Val d’Essonne, 2009. Français. �tel-00465065�

L'Université d'Evry Val d'Essonne

Par

Sélima BENNACEUR

Pour obtenir lediplme de

Do teur de L'Université d'Evry Val d'Essonne

Spé ialité: Mé anique Automatique

Modélisation et Commande d'Engins Volants

Flexibles

Soutenan e 28Janvier 2009

Devant le jury omposé de :

R.Lozano Professeur à l'Université de Te hnologie de Compiègne Rapporteur

F. Boyer Professeur à l'É oledes Mines de Nantes Rapporteur

A. Combes ure Professeur à l'INSA de Lyon Rapporteur

E.Delangre Professeur à l'É olePolyte hnique Examinateur

N. Azouz Maître de Conféren e àl'Université d'Évry En adreur

M.Pas al Professeur à l'Université d'Évry Dire tri e de thèse

J'exprime magratitude et mes sin ères remer iementsà Messieurs :Fréderi

Boyer Professeur à l'É ole des mines de Nantes, Alain Combes ure Professeur

à l'INSA de Lyon et Rogélio LOZANO Dire teur de re her he à l'Université de

Te hnologiede Compiègne, qui m'ont fait l'honneur d'être les rapporteurs de e

mémoire.

C'estaussiungrandplaisirpourmoid'avoirparmilesmembresdu jury

Mon-sieur Emmanuel Delangre, Professeur àl'É ole Polyte hnique.

Je tiens aussi à remer ier Monsieur Naoufel Azouz, Maître de onféren es à

l'Université d'Evry, d'avoir en adré e travail. Je lui suis également

re onnais-sante pour les onseilset les en ouragements qu'ilm'a dispensés.

Je remer ie Madame Madeleine Pas al, Professeur à l'Université d'Evry-Val

d'Essonne etMonsieurAzgalAbi houProfesseur àl'É ole Polyte hnique de

Tu-nisie pour la onan e qu'ils m'ont a ordée en m'a ueillant dans leur équipe

ainsi que pour les onseils qu'ilm'ont apportés. Je tiens aussi à lesremer ier de

m'avoirtransmis legoût de lare her he et d'avoir dirigé e travail.

Je souhaite vivement remer ier ma familleet surtout mon her frère Hedi et

mes hers parents qui m'ont soutenu tout au long de e travail ainsi que tous

lesdo torantsde notre laboratoire etmes amis, Chaker, Lamia, Asma, Anouar,

Alexis, Kamel , Ragia, Sarra, Samia, pour avoir réé une ambian e haleureuse

et ami ale, ainsi que tous eux qui m'ont aidé de près ou de loin à réaliser e

L'intérêt pour lamodélisationet la ommandedes engins volants s'est a ru

de manière signi ative au ours de es dernières années. La omplexité et les

possibilitésdesengins volantss'a roissentrapidementetlagammedesmissions

qu'elles doiventréaliser sedéveloppe.Cependant an quelesdrones puissent

at-teindre e potentiel, ertainsdéste hniquesdoiventêtresurmontés, notamment

l'étudeetl'intégrationde laexibilitéstru turelle,lapriseen omptedes

phéno-mènesaérodynamiques, etl'élaborationde stratégies de ommandes adaptées.

Letravailprésentés'ins ritdans e adre etporte spé iquement sur deux types

de drones :

-Les plus légers que l'air:Appli ation àla modélisationet ommande d'un

diri-geablesouple.

-Les pluslourds quel'air:Appli ationàlamodélisationet ommanded'un

qua-drirotorexible : leXSF.

Nousprésentonsdansunpremiertempsunmodèleglobald'enginsvolantsexibles

autonomes.On admetque esobjetsvolantssubissentdegrandsdépla ementset

de petites déformations élastiques. Le formalisme utilisé est basé sur l'appro he

de Newton-Euler, appro he souvent utilisée dans le as d'objets volants rigides.

Dans etteétudenousgénéralisonsleformalismede orpsrigidesexistanteny

in- luant l'eet de la exibilité,sans pour autantdétruire la méthodologie globale,

et e au moyen d'une te hnique hybride lagrangienne-eulerienne. La exibilité

apparaîtdans le système dynamique globalpar lemoyen d'un nombre réduit de

degrés de liberté supplémentaires issus d'une synthèse modale. Cette te hnique

permet de fa iliter par la suite l'élaboration d'algorithmes de ommande et de

stabilisation.

Lephénomène des massesajoutées est égalementpris en onsidération. Une

un orps exible en grands mouvements. Elle est basée sur la notion de

poten-tiel exible, et sur le développement de l'énergie inétique du uide sous l'eet

d'un mouvement global du orps exible. Cette méthode a permis de mettre en

éviden e le ouplage rigide-exible dans la matri e des masses ajoutées pour un

traitementglobald'undirigeableexible.Onprésenteaussi lemodèledynamique

etaérodynamiqueduquadrirotorexibleXSF onçuaulaboratoireIBISCet

des-tiné à un on ours interuniversitairesur lesmi rodrones.Une te hnique robuste

" Ba kstepping " est réaliséepour lastabilisation du dirigeableexible au

voisi-nage d'unpoint ible. Etunestratégiede ontrlede PID aété proposéepourla

stabilisation de l'XSF. La stratégie de ommande est ontrainte par l'impératif

d'optimisation du rapport pré ision/portabilité, pour que les algorithmes

déve-loppéspuissentêtreintégrésdansl'informatiqueembarquéede esenginsvolants.

Une validationnumérique est présentée à lan du rapport.

Mots lés : Méthode hybride, modélisation dynamique, masses ajoutées, engins

The interest of dynami modeling and ontrol of the autonomous ying

ob-je tsin reasedsigni antlyduringthese lastyears. Complexityand apabilityof

these ying obje ts are expanding rapidly now, and the range of missions their

designedtosupport isgrowing.Inorder tofullthis requirement,itisne essary,

in one hand, to introdu e the ee t of the stru tural exibility and the

aero-dynami phenomenon in the dynami model, and in the other hand, to build a

suitablestrategyof ommandand stabilizationfortheseying obje ts. Thework

isregistered within this framework,and relatestwotypes of engines:

- Lighter than air vehi le : Appli ationon the modelling and ontrol of exible

airship.

- Heavier than air vehi le : Appli ation on the modelling and ontrolof exible

mi ro-drone.

We present a general model of autonomous exible ying engine undergoing

greatoverallmotionandsmallelasti displa ements.Theformalismusedisbased

onthe Newton-Euler approa h,whi hisfrequently used forrigid ying obje ts.

Inthis study we generalizethe existing formalisms forrigid bodies, by in luding

the ee t of exibility without destroying the total methodology. A modal

syn-thesis is used. A hybrid method based on the energeti prin iples and Lagrange

equations is presented. The phenomenon of the added masses is also taken into

a ount.In order tointegratethe uid-stru ture intera tion ofa exibleairship,

wedevelop anoriginal analyti alformulationof the problemusing both the new

notion of exible ow potential, and the development of the kineti energy of

the air onstrained by the motionand the vibrationof the airship. This method

allowstoputinanobviouspla ethe oupling"overallmotion-exibility"inthe

exible quadrirotor alled XSF, designed in the IBISC laboratory and intended

foran interuniversity ompetition formi rodrones.

A robust methodology based on the " Ba kstepping " ontrol is realized to

sta-bilize the airship around a desired position, and a PID ontroller is proposed to

stabilisethe XSF. The strategy of ommand is ompelled by imperative to

opti-mize the ratio pre ision/portability,to allow an easy insertion of the developed

algorithms in the embedded ele troni s. A numeri al validation is presented in

the end of this report.

Key words : Hybrid method, dynami modelling, added-masses, exible ying

Remer iements 1

Résumé 1

Table des matières i

Table des gures 1

1 Introdu tion 3

1.1 Introdu tion Générale . . . 3

1.2 État del'art . . . 5

1.2.1 UAV pluslourds quel'air . . . 5

1.2.2 UAV pluslégersque l'air:Dirigeables. . . 13

1.3 Obje tifsde lathèse et présentation du mémoire . . . 24

2 Modélisation d'unEngin Volant Flexible 27 2.1 Introdu tion . . . 27

2.2 Des riptionEulerienne : EnginVolant Rigide . . . 28

2.2.1 Cinématique . . . 28

2.2.2 Paramètres d'Euler . . . 34

2.2.3 Etude mé anique del'engin volant . . . 37

2.2.4 Des riptionLagrangienne totale . . . 38

2.2.5 Equationsde Lagrange . . . 42

2.3 Des ription Eulerienne d'un orpsexible . . . 48

2.3.1 Position d'un point arbitraired'un enginvolant exible . . . 48

2.3.2 Vitessed'un point arbitraire. . . 49

2.3.3 Expressiondel'énergie inétiquedel'engin . . . 53

2.3.4 Equationde Lagrange . . . 55

3 Appli ation à la Modélisation d'un Dirigeable Flexible : Intera tion

Fluides-Stru tures 63

3.1 Introdu tion . . . 63

3.2 Equations demouvement dudirigeable . . . 64

3.2.1 Dirigeable rigide . . . 64

3.2.2 Dirigeable Flexible . . . 72

3.3 Con lusion. . . 82

4 Stabilisation et Commande du dirigeable exible 83 4.1 Introdu tion . . . 83

4.2 Stabilisation asymptotiquedudirigeable exibleauvoisinage d'unpoint ible . . . 84

4.2.1 Des ription du modèle dynamique dé rivant le mouvement du dirigeable exible . . . 85

4.2.2 Stabilisation asymptotique du modèle d'étude au voisinage du point désiré . . . 92

4.3 Simulations Numériques . . . 102

4.3.1 Mouvement d'avan ement . . . 103

4.3.2 Mouvement d'altitude . . . 104

4.3.3 Mouvement deRotation Couplés à ladéformation . . . 105

4.4 Con lusion. . . 109

5 Modélisation et Commande d'un Drone Flexible XSF 111 5.1 Introdu tion . . . 111

5.2 Cara téristiques et ongurations dudrone XSF. . . 112

5.3 Modèledynamiquedu XSF"rigide" . . . 114

5.3.1 Lesmoments Gyros opiques . . . 116

5.3.2 For es et Moments Aérodynamiques . . . 116

5.4 Intégration de laexibilité danslemodèle del'XSF . . . 121

5.5 Stratégie deCommande . . . 122

5.5.1 Linéarisation desEquations . . . 125

5.5.2 Constru tion dela Commande del'XSF . . . 127

5.6 Simulations Numériques . . . 130

5.6.1 Mouvement de Translation Horizontal . . . 131

5.6.2 Mouvement de Translation Verti al . . . 132

5.6.3 Mouvement de Rouliset deTangage . . . 134

5.7 Con lusion. . . 137

Con lusionGénérale 137

A 141

B 149

1.1 Système " drone" . . . 6

1.2 Exemple de quadrirotorpourdes appli ationshors duvent. . . 8

1.3 Montéed'un Quadrirotor . . . 9

1.4 Orientation desrotors . . . 9

1.5 Mouvement de Rouliset deTangage . . . 10

1.6 Quadrirotor :XSF (Version arénée) . . . 11

1.7 Dirigeable Zeplin . . . 14

1.8 In endie du dirigeable allemand . . . 15

1.9 Prin ipe Physique duDirigeable (

F = −ρ¯

¯

gV

) . . . 17

1.10 Ellipsoïde . . . 22

2.1 Dénitions desrepères . . . 29

2.2 La et. . . 31

2.3 Tangage . . . 32

2.4 Roulis . . . 32

2.5 Rotation autour d'un axe . . . 35

2.6 Dénition desve teurs deposition . . . 37

2.7 Dénition desve teurs deposition . . . 49

2.8 Dirigeable+Ar eau . . . 52

3.1 Présentation desrepères dudirigeable . . . 65

3.2 Intera tion air-stru ture . . . 66

3.3 Dirigeable Flexible . . . 72

3.4 Cylindre immergé dansl'air . . . 77

4.1 Dirigeable ave deuxna elles . . . 84

4.2 Mouvement d'avan ement . . . 103

4.3 Position et vitessed'altitude . . . 104

4.7 Systèmes d'erreurs . . . 107

4.8 Mouvement de Rotation oupléà ladéformation

Y

d1

. . . 108

4.9 Systèmes d'erreurs . . . 108

5.1 Représentation du XSF(VersionCarénée) . . . 113

5.2 Les deuxrepères dudroneinertiel etlo al. . . 114

5.3 Des ription dufon tionnement d'une pale . . . 117

5.4 Ban de test4 axes pour l'analysedu mouvement du XSF . . . 118

5.5 Pivotement desrotors1 et 3 . . . 119

5.6 Vitesse linéaire Lo aled'avan ement . . . 131

5.7 For esdes moteurs . . . 132

5.8 Angle de Pivotement du rotor1 . . . 132

5.9 Vitesse linéaire Lo alede mouvement verti ale . . . 133

5.10 For esdes Rotorsdu mouvement d'altitude . . . 133

5.11 vitesse angulaireautourde l'axe desX . . . 134

5.12 vitesse angulaireautourde l'axe desY . . . 135

5.13 La Commande U3 . . . 135

5.14 La Commande U4 . . . 136

5.15 For esdes Rotorspour lemouvement Couplé . . . 136

Introdu tion

1.1 Introdu tion Générale

Les engins volants autonomesou semi autonomes sont desvéhi ules apables

d'ef-fe tuerdesmissions en volsansprésen ehumaine àbord.Ilssont aussi onnus sous la

dénomination "Unmanned AerialVehi les: UAV ".

Onpeutdistinguer deuxvariétésd'engins volantsautonomes :

-Lesplus légersquel'air : tels queles dirigeables.

-Lesplus lourds quel'air: tels que lesdrones-avions oules drones-héli optères.

L'intérêt de lamodélisationet ommandede es enginsvolants aaugmenté de

ma-nière signi ative au ours de es dernières années. Le domaine d'appli ation de es

véhi ules est gigantesque. Néanmoins il subsiste un ertain nombre d'obsta lesqui

ra-lentissent leurexpansion. Les her heurset les on epteurssesont alors pen héssurle

problème de manière intensive es deux dernières dé ennies pour essayer d'aplanir es

obsta les. Cela on erne aussibien le domaine de la on eption mé anique et

aérody-namiquequeles domaines del'automatique et dela ommande.

Partant desformessimplesauxplus omplexesquepeuvent avoir esengins, plusieurs

modèlesontété onçusetdéveloppésenindustriepourdesmissionsquipeuvents'avérer

di iles à réaliser. La omplexité et les possibilités des UAV s'est alors a ru

rapide-mentet lagammedesmissionsqu'ilssontappelés àréalisers'estdéveloppée aussibien

dansles domaines ivilsquemilitaires. Cependant anque esUAVpuissent atteindre

esdésestlaexibilité stru turelle.L'intégration delaexibilité dansl'analyse

dyna-miqueesttrès importante pour une modélisationnede esengins.Cependant elle est

en ore àun stade embryonnaire et ommen e àpeineà émerger.

Prenons l'exemple des dirigeables, la quasi-totalité des études préalables portent sur

l'hypothèse de rigidité de es engins [FOS96℄, [BH00℄, [Hyg03℄. Leseets de exibilité

sont parfoismodélisés omme une perturbation.

Notonsquelapriseen omptedelaexibilitéstru turelledanslessystèmesmé aniques

a onnuun essornotable enrobotique lassique[SIM87℄,[B96℄. Cependant pour les

ro-botsvolantsouUAVon ontinue en oreàprivilégierl'hypothèsedes orpsrigidespour

des raisons de simpli ité, maissurtout aril est possible d'appliquer aisément deslois

de ommande et de stabilisation e ientes pour es modèles " rigides " et onstruire

ainsidesalgorithmes rapidespouvant fon tionnerentemps réel sur esengins volants.

Néanmoinslatendan ea tuelleestla onstru tiond'UAVlégersou omportantdes

éléments élan és: négliger la déformation dans e as onduirait à un modèle

mathé-matique peu représentatif du systèmeréel.Il est don né essaired'élaborer un modèle

adéquat quitient ompte delaexibilité de esengins,touten préservant lasimpli ité

desmodèles " rigides ".

Nousessayonspar etteétudede ontribueràl'étudedelaexibilitédesengins

vo-lantsenreprésentantl'eetdelaexibilitépardesdegrésdelibertésupplémentairesnon

ommandés. La déformation de l'engin volant souple n'est pas onsidérée omme une

perturbation mais plutt omme agissant sur son mouvement. L'impératif de légèreté

desmodèlesdéveloppésesttrèsimportantdans ettedémar he.Ce ipermettraitde

dé-velopper desalgorithmes de ommande et destabilisation adaptéspour êtreimplantés

surl'informatiqueembarquéedesenginsvolants,souventde apa itéetdetailleréduite.

Deux appli ations ont étéétudiées pour valider e modèle. Un UAVplus léger que

l'air:undirigeable;etunautre"pluslourdquel'air":undronequadri optère.Chaque

type d'UAV possède ses propres spé i ités, omplexités et points d'ombre. Nous

es-saieronsdelever levoile sur espointset ontribueràunemeilleure ompréhensiondes

ajoutéesentre la ontribution de mouvement d'ensemble et ladéformation.Les études

existantes on ernaient ex lusivementdessimulationspar deslogi ielsd'élémentsnis.

Cepro édéné essitedestemps de al ul très longs etinadaptés pour du temps réel.

Nousavons her hé à travers e travail à élaborer une méthode analytique pour le

traitement de e problème, moyennant quelques hypothèses, an deprouver la

faisabi-lité de la démar he, ainsique la ompatibilité du modèle mathématique établi ave le

al ul entemps réel.

Pour l'élaboration des ommandes de ontrle et stabilisation de es modèles, nous

avons été guidé par la re her he du meilleur ompromis pré ision/portabilité. Nous

avons pour ela développé, dans un premier temps, un algorithme de ommande qui

stabiliselo alementet asymptotiquementledirigeableauvoisinaged'unpoint ible,en

utilisant late hnique du Ba kstepping. Cette te hnique robuste nous a permis

d'atté-nuer les vibrations de l'engin volant exible à travers les ommandes du mouvement

rigide.Dansundeuxièmetemps,nousavonsadoptéunete hniquebaséesurlaméthode

despetitesperturbations.Lemodèlequenousobtenonsestfortementnon-linéaire,nous

utiliserons pour stabiliser l'engin, une méthodologie basée sur la linéarisation et nous

proposonsun ontrleur PID pour lestabiliser.

1.2 État de l'art

Onprésentera i-aprèsles dénitionsné essaires pour biensituerlesengins volants

autonomes (UAV)ainsi que les prin ipales études les on ernant ayant fait l'objet de

publi ations.Nousdiérentions pour elaparles UAVpluslourds quel'airde euxqui

sont pluslégers.

1.2.1 UAV plus lourds que l'air

Les UAV plus lourds que l'air sont souvent appelés drones. D'origine anglaise, le

mot"drone",qui signie"bourdon", ou"bourdonnement",est ommunément employé

Le dronen'estenfaitqu'undesélémentsd'un système, onçuet dénipourassurer

une ouplusieurs missions.C'est laraison pour laquelleles spé ialistesparlent de

"sys-tèmesde drones".

Ondistingueainsideux atégories dedrones: euxquirequièrentee tivement

l'as-sistan e d'un pilote au sol,par exemple pour lesphases de dé ollage et d'atterrissage,

et eux quisont entièrement autonomes.

Cette autonomie de pilotage peut s'étendre à la prise de dé ision opérationnelle pour

réagir fa eà toutévénement aléatoire en ours de mission; elle onstitue ladeuxième

ara téristique essentielle desdrones.

Figure 1.1: Système "drone "

Lesdronesontétéutilisés esdernièresdé enniespour desappli ationsnombreuses

et variées. Ilssont très largement utilisés dans le domaine militaire pour la

re onnais-san e, le renseignement, et omme relais de ommuni ation. Mais sont aussi utilisés

dans le domaine ivil pour l'inspe tion d'ouvrages d'art, la surveillan e du littoral ou

pourdonnerdesinformationspré ises surlesdéparts defeu oudel'étendue desdégâts

edomaine,dansunpremiertempsave lelaboratoireHEUDIASYC(Compiègne)dans

le adredelamodélisationdynamiqueetlepilotageautomatiqued'enginsvolantsà

voi-lures tournantes (héli optères et X4-Flyer), puis ave le laboratoire LAAS (Toulouse)

etl'E ole Polyte hnique de Tunisie danslamodélisationne d'enginsvolants.

Notreéquipe parti ipe àun on ourslan é par l'ONERAet laDGA surlesdrones

miniatures, ave un projet qui a été retenu par la ommission du on ours. Ce projet

intituléXSFest undrone quadrirotorsde faible dimension.

Les quadrirotors sont a tuellement étudiés de manière intensive par diérents

labora-toiresdepartlemonde, pourlesparti ularitésintéressantesquiles ara térisent etsont

appelés à unavenir trèsprometteur.

Voyonsd'abord omment est venue l'idée d'unhéli optère àquatrehéli es.Le premier

quadrirotorremonte à1921.En eet,le orps del'arméede l'airAméri aineaattribué

un ontrat au Dr. DE BOTHEZAT pour développer une ma hine à dé ollage

verti- al. Ce dernier ont mis sur pied une ma hine volante de 1678 kg dont le fuselage est

onçu sousforme de X.Chaque brasdu fuselageétait de 9mde longueur tenant à son

extrémitéun rotor dediamètre environ8m.

Cependant, bien que De Bothezat ait démontré qu'il était théoriquement possible

àsonhéli optère devoler et qu'ilétait théoriquement bienstable, e quadri optèren'a

paspu réaliserles performan es es omptées; par exemple on lui demandait de voler à

unealtitude de 100malors que, pour ausede surpoids,l'altitude maximale qu'il apu

atteindre était juste de 5m. Ainsi, suite à sa omplexité mé anique et sonmanque de

puissan e, et héli optère à quatre rotors n'a paspu satisfaire son ahier des harges,

etest rentréaux oubliettes.

Mais ette onguration est revenue à la mode lors de es deux dernières dé ennies,

enraisondesavan ées spe ta ulairesenéle tronique etautomatique. Les her heurs se

sont inspirésde e géant quadrirotoret ont développé desdrones luiressemblant.

-Présentation :

Unquadrirotorestunappareilvolant omportant 4rotorspoursasustentation.Les

4rotors sont généralement pla és aux extrémitésd'une roix. Onpeut aussipla er les

à pla er les4 rotorsaux4 oinsd'un arré,surun mêmeplan horizontal.

Figure 1.2: Exemple de quadrirotor pour des appli ations hors du vent.

Un Quadrirotorpeut êtretrès manoeuvrable, il alepotentiel de planeret dé oller,

voler et atterrir dans des empla ements limités et peut avoir des mé anismes simples

de ommande [AOM02℄. Il est mé aniquement simple et est ontrlable en hangeant

seulementlavitessede rotationdesquatremoteurs. Etpuisquelemouvement dula et

est ontrlé en hangeant seulement lavitessedesmoteurs, lerotor de queuen'est pas

né essairepour ommanderlemouvementdela et ettoutelapousséepeut êtrefournie

pour ledé ollage.

Un Quadrirotor peut également voler sans rainte pour l'entourage ontrairement aux

autres ongurations onventionnelles d'héli optères qui disposent d'un grand rotor

[M K04℄.

Ladynamiquedel'enginestbonnenotamment en equi on ernelesavoir-faire.

Néan-moins,lamodélisationdynamiqueduQuadrirotorpeut s'avérerêtreunetâ hedéli ate.

-Prin ipe du mouvement d'unquadrirotor:

A l'inverse deshéli optères où lepasvariable estplus répandu, lequadrirotorse prête

mieux au pas xe : les moteurs éle triques pro urent de nos jours toute la puissan e

souhaitée et leshéli es restentpetiteset légères par rapportàlataille del'appareil, e

qui lui pro ure une bonne réa tivité. Mais il n'est pas impossible d'imaginer un gros

quadrirotoréquipéd'un uniquemoteur thermiqueetde4héli esà pasvariable.T

oute-fois,nousallonsnousfo aliseri isurlemodèleàpasxe,2héli esrotativeset2héli es

ontrarotatives.

Figure1.3: Montée d'un Quadrirotor

- Lamontée s'obtient enaugmentant lerégimedes quatrerotors.

-Lades ente s'obtient endiminuantlerégimedesrotors.Lades ente esttoujoursplus

déli ate arle ompromisentrelademande dupilotede des endreet lemaintientde la

stabilitéde l'appareilest plusdi ile à obtenir.

Figure 1.4: Orientation des rotors

d'héli e rotatif, et endiminuant lavitessedu ouple ontrarotatif.

- Le roulis et le tangage s'obtiennent en augmentant la vitesse d'une héli e, tout en

diminuant lavitessede l'autrehéli e dumême ouple.

Figure 1.5: Mouvement de Roulis etde Tangage

-Drone XSF :

Comme illustration desdrones quadrirotors nousprésentons i-après le droneXSF

développé aulaboratoire IBISC.

Le XSFest un quadrirotor fabriqué sous forme de roix en bre de arbone,

d'en-vergure 70 m, demasseenviron2kg.

Au entrede la roixsetrouve un ylindre entral ontenant :

- Une entrale inertielle

- Une batterie

- Des apteurs Ultrason

- Une stationde base

Pour ompenserlesanti- ouplesdeshéli esentreellesetassurerlastabilitédudrone

en la et, les rotors 1 et 3 tournent dans le même sens qui est en même temps le sens

ontrairede rotationdes rotors3et 4.

Figure 1.6: Quadrirotor :XSF (Version arénée)

defairepivoterlesaxes portantles rotors1 et3autour del'axedetangage. Ce

pivote-mentluipermet soitdefaireunmouvementre tilignehorizontalsoit unmouvement de

rotationautourdel'axede la et,soitla ombinaison de esdeuxmouvements, ils'agit

don d'un virage[ABDP07℄.

Cette optionde pivotement desrotors renfor e aussilastabilité du dronefa eaux

rafales du vent possibles. En eet,lors de son mouvement horizontal , le drone garde

son attitude stable (position horizontale), ainsi sa résistan e fa e aux rafales de vent

estplusimportante que elledudrone quadri-rotor lassique.

Plusieurs travaux, onsa rés àla on eptionde e type de modèle et de diérentes

ommandes, ont été publiés. Dans la littérature, pour aborder la modélisation de es

enginsvolants, denombreuxtravauxsesontinspirésdeladynamiqued'un orpsrigide

orrespondant au fuselage auquel serajoutent les for es aérodynamiques générées par

lesrotors[CDL04℄, [MEG06℄, [CHI01℄,[ER59℄,[BAA06a℄.

Cette idée a étéadoptée an de pouvoir ontourner la question de exibilité de la

ma hine. Certaines propositions de modélisation du drone sont présentées dans la

lit-térature telles elles basées sur le formalisme de Newton[HMLO02℄, [CHI01℄, [AB08℄,

liées prin ipalement au repère lo al, et elles basées sur le formalisme d'Euler-

Newton Euler, T.Hamel et al [HMLO02℄, ont établi la modélisation dynamique d'un

quadrirotorprenanten ompteladynamiquedemoteurset leseetsaérodynamiqueet

gyros opiques desrotors.

D'autres ont onsidéré le drone omme un Multi- orps à omposantes exibles en

intégrantlephénomèned'aéroélasti ité[MA06℄.Dans etravail,[MA06℄présentele

mo-dèledynamique ompletd'un Héli optèreexibleàquatrerotorsou droneHéli optère.

Il établit ladynamiquedu systèmemé anique en utilisant une appro he Lagrangienne

du mouvement basée sur la méthode des oordonnées généralisées relatives. Une

ana-lyse du omportement vibratoire des héli es est faite en onsidérant le phénomène de

ouplage aéroélastique.

Con ernantla ommandedudrone, ertainsprésententdesloisde ommandebasées

surle systèmelinéarisédesdrones,alors que d'autrestraitent le modèleen entier.

T.Hamelet al[HMLO02℄proposent aussiunenouvelle stratégiede ommandepour

la stabilisation des onditions de volquasi-stationnaires. L'appro he adoptée implique

la séparation de la dynamique du orps rigide entral à elle des moteurs. Dans ette

appro he,T.Hamelet aldéveloppent une ommandeséparative baséesurles fon tions

de Lyapunov, et arrivent àborner leserreurs deperturbationsan de stabiliser le

sys-tème omplet. En onsidérant une linéarisation du modèle dynamique de leur

quadri-rotor [PMHR02℄, P.Pound et Al présentent la on eption, la fabri ation et la

modéli-sation dynamique d'un quadrirotor. Ils proposent, aussi, une stratégie de ommande

pour lemouvement de dé ollageverti al duquadrirotor "X4 yer". Sansservo-motors

de ommandeoude piè esmobiles autresquelesrotors,la omplexitéde lamé anique

dudispositifestréduite auminimum.Untel systèmeapourbutdemodierlaréponse

dynamique du système de manière à le rendre plus fa ile à piloter. La réponse

dyna-mique du système doit être modiée pour se onformer à la dynamique VTOL d'un

avion. Néanmoins,il n'est pasné essairede stabiliser le systèmede ontrle, de façon

autonome, et deprendre en ompte ladynamiqued'altitude.

Lozanoetal[PCD05℄ontsynthétiséet établidiérentesétudes on ernantla

modélisa-tionet ommanded'enginsvolantstels queleshéli optèresdanstoutes leurs

ongura-tions pourleur adaptabilitéet leur manoeuvrabilité,les dirigeables etles quadrirotors.

Uneméthodedestabilisationetdepoursuitedetraje toirebaséesurlanotionde

plati-tude était onçudans[BAA06a℄.Cetteméthodeaétéappliquéesurlesystèmelinéarisé

Bouabdallah et al. [BNS04℄ présentent les résultats des deux modèles à base de

te hniquesde ontrle appliquéesà une autonomiede quatremi ro-rotor d'héli optère

appeléQuadrirotor.Uneappro he lassique(PID)aétéappliquéepour unedynamique

simpliée et une te hnique moderne (LQ) pour un modèle plus omplet. Cette

om-mande présentée arrive à stabiliser le modèle entier, néanmoins elle est assez sensible

auxperturbationspouvant ae ter ledrone. Dans [CH06℄,Chen et Huzmezan ont

ob-tenuun modèlelinéarisé quia étésynthétisépourun ontrleur

H

∞

. Ils ont testé leur

algorithmesurune plateforme pivotant librement.

Enutilisantdeuxméthodesd'appro hesdiérentes,dans[MEG06℄,K.Zamale he a

étu-diélastabilitépourdeuxquadrirotorsdiérents,(X4etXSF).Enpremier, ila ombiné

late hnique deba ksteppingàl'appro hede Lyapunov.Ense ond,une ommande

ba-séesurlathéoriedelalogiqueoueaétéélaborée pourlemodèleLagrangien dudrone

XSFde notreLaboratoire.

Dansnotretravail,onaétabliunestratégiedestabilisationquel'ontpeutprésenter

ainsi.VuquelemodèleestEulerien,etquelesparamètres inématiquesetdynamiques

sontexprimés danslerepère lo al,on autilisé laméthodedespetites[DEG01℄

pertur-bations pour linéariser lemodèle. La méthode développée fournit unoutil de

stabilisa-tione a e, qui présente l'avantage de s'implanter aisément dansun mi ro- ontrleur

embarqué.L'algorithmedestabilisationdel'XSFaététestédansdiérents asde

mou-vementsperturbéset pluspré isément danslemouvement de rouliset detangage. Les

résultatsobtenus sont satisfaisants et prouvent l'e a ité dela démar he.

1.2.2 UAV plus légers que l'air :Dirigeables

1.2.2.1 Introdu tion

Les ballons dirigeables ont été les premiers aéronefs de l'humanité. Ils ont réalisé

avant tous les autres types d'aéronefs un grand nombre des exploitsde l'aéronautique

ivileet militaire :

Figure1.7: DirigeableZeplin

monde, bombardement, dépose de soldats dans un pays ennemi, photographies et

ob-servations aériennes...

Ces exploits ont été possibles ar il n'y a pasde puissan e minimale à embarquer

pour leur vol. Les qualitésrequises pour l'éventuel moteur d'aérostat sont don moins

ritiques, omparées ave ellesdesaéronefs "plus lourds quel'air".

Commeleurs aspe tsfantasmatiques ontinuent d'alimenterdesdis ussions,voyons

e qu'il enest desballonset dirigeables, et e qu'il ensera dansl'avenir.

1.2.2.2 Historiquedes dirigeables

Les premiers essais,en 1783 menèrent à une on eptionmodernedu dirigeable par

le général

Meusnier

dont le ballon était de forme ellipsoidale muni d'un gouvernail,

maisà l'époqueau un moteur n'existait.

En 1900, on enregistre le premier vol du dirigeable allemand (rigide)"Zeppelin

LZ1"(Figure1.7).Ave l'apparitiondesdirigeablesrigidesZeppelin,plusieursproblèmes

sont orre tement poséspuis résolus,notamment :

Figure1.8: In endiedu dirigeableallemand

Cependant, enmai 1937 ily aeu l'é he spe ta ulairedu dirigeable Heidelberg

in-venté parle omte

VonZepplin

etquia ausélamortde36personnes(voirgure1.8).

Ilaurafalluplusdesoixante ansauballondirigeable pourea erdanslesmémoires

la atastrophede Heidenburg.

A tuellement, espremiers é he sd'exploitationsemblentêtreoubliésetdépassés,pour

preuve l'avan ement intensif desre her hes en aéronautique et en robotique qui

enva-hissent a tuellement e domaine.

iviles, et surtout é ologiques. En eet, le dirigeable renaît de es endres après la

réation deplusieurs prototypesqui sont pluse a es et plussurs.

Le dirigeable est aussi un mode de transport qui possède une grande apa ité de

dépla er detrèslourdes hargesave unminimumde risquededéfaillan esmé aniques

et qui sont moins ritiquesque pour un avion par exemple.

Un tel dirigeable pourrait apparemment servir à transporter dire tement ertaines

harges en ombrantes. Il pourrait transporter es harges dans des lieux autrement

di iles d'a ès. Il rempla erait à lui tout seul l'avion et l'héli optère pour un oût

moindre, et il s'intégrerait biendans un adre dedéveloppement durable et de respe t

de l'environnement.

De nouveaux projets de dirigeables ont vu le jour , plus grands, plus performants et

plus exibles.Le projetallemand "Cargolifter" en estune belleillustration.

Dans e travail, on s'est fo alisé sur l'étude des dirigeables exibles, qui

symbo-liseraient très probablement l'avenir des dirigeables, an de les perfe tionner en vue

d'une exploitation dans des domaines diverses tels que (transport de mar handises,

surveillan e, a hespubli itaires...)

1.2.2.3 Prin ipe Physique

Undirigeableestfondamentalementunemontgolèredotéed'unsystèmede

propul-sion.Pour améliorersesperforman es,laformedelamontgolèreest onsidérablement

modiée. Le prin ipal hangement onsiste à donner à l'enveloppe, appelée également

arène, une forme aérodynamiquepro he d'uneforme ellipsoidale.

Tous les ballons utilisent le THÉORÈME D'ARCHIMÈDE appliqué dans l'air :

"Tout orpsimmergédansunuidesubitunefor eopposéeaupoidsduuidedépla é".

Onnomme ette for e"portan e aérostatique" :(voirgure 1.9).

On note:

-

F

¯

: Poussée d'Ar himède

-M : massedu ballon

- G: entrede gravité, pointd'appli ation du poids M.gduballon

- A : entre de lapoussée d'Ar himède

Figure1.9: Prin ipePhysique du Dirigeable (

F = −ρ¯

¯

gV

)

Si la portan e dépasse le poids du dirigeable, le ballon dirigeable monte pour

at-teindrel'altituded'équilibre,etinversement.L'altituded'équilibreest ellepourlaquelle

lamasse volumique de l'air réalise l'équation d'équilibre. La masse volumique de l'air

(etpar voiede onséquen e laportan e) dé roîten eetave l'altitude.

1.2.2.4 État de l'art

Plusieursprojetsambitieuxsonta tuellementen oursandedévelopperdes

plate-formesdirigeables apables d'opérer en diérents milieux notamment en stratosphère,

leurobje tif estd'embarquerdeséquipements de ommuni ation oud'observation

mé-téorologique.

Dans la plupart des appli ations existantes à e jour, les dirigeables sont pilotés soit

parunpiloteàbord soitparunopérateurhumainviauneliaisonradio.Envuede

don-ner une autonomie à ette plateforme, il est né essaire d'automatiser les fon tions de

pilotageet de plani ation detâ hes qui sont généralement basées surla onnaissan e

à priori du modèle dynamique du dirigeable. Des travaux ont porté sur la réalisation

d'unmodèledynamiquerigide[Hyg03℄,[KG99℄,qui s'estenri hi aul desannéespour

prendre en ompte le vent [APR

+

01℄. Les premiers travaux ont on erné

aérodynamiques pour les diérents modes de vol et tenant ompte du type

d'a tion-nement [BH00℄. Selon le mode de propulsion, les modèles proposés, ont despropriétés

diérentes qui orrespondent à des systèmes sous-a tionnés. Ces travaux se sont aussi

portés sur la plani ation et génération de traje toires d'un dirigeable rigide [HB03℄.

En onsidérant l'hypothèse de rigidité de la arène, des modèles dynamiques qui

in-tègrent les phénomènes mé aniques et aérodynamiques ont été établis dansbeau oup

de travauxnotamment [Hyg03℄, [BH00℄.

Dans le adre d'un programme de développement de dirigeable gros porteur,

er-taines études surle omportement d'un é oulement non visqueux ouplé à elui d'une

stru ture exible d'un dirigeable ont été établies. Pour mener ette étude, Koobus et

al. [OEKA05℄ ont opté pour un outil non linéaire qui modélise d'une part, les

équa-tions d'Euler instationnaires pour lapartie uide(l'air) et, d'autre part, les équations

élastodynamiques lassiquesqui gouvernent lesdéformationsde lastru ture.Les

équa-tions asso iées à la stru ture sont dis rétisées par la méthode des éléments nis dans

une formulation lagrangienne. Dans ette étude, Koobus et al. ont réalisé une série de

al ulsd'é oulementsnon visqueuxand'évaluer ave pré isionles oe ients

aérody-namiques globaux. Ils omparent enpremier lieu lesinuen esde diérentsraidisseurs

ajoutés àlastru ture initiale, dansle asd'é oulements àin iden e

0

ou

20

◦

. Ensuite,

ils étudient l'inuen e de la dissipation numérique ainsi que elle du

pré onditionne-ment bas Ma h. Ils observent - omme prévu - l'eet stabilisateur des raidisseurs, et

essentiellement elui desraidisseurs longitudinaux. Ilsévaluent également l'impa t

po-sitifdupré onditionnement basMa h surles résultats,ainsique eluide ladiminution

de ladissipation numérique.

Par ailleurs, an devérier l'hypothèse de rigidité de la arène, nousnous sommes

intéressésàl'étudedesphénomènesdeexibilitéintroduitsparletissude ettedernière

[ABL02℄,[BAA06b℄.

Silesdirigeables ommebonnombred'enginsvolantsontdon étédepuislongtemps

onsidérés ommedes orpsrigides,néanmoins,danslalittérature, plusieursappro hes

ontétéproposéesand'étudierlesproblèmesdes orpsexiblesdansl'espa e,[PAS91℄,

[SHA88℄, [CN02℄, [BQM03℄, [SCS06℄, [SIM87℄. Les appro hes peuvent être lassiées

dansdeux groupes:

- Le premier groupe emploie la des ription de Newton-Euler [SHA88℄, [GOL01℄.

atta hés parti ulièrement à réaliser es transformations dans le se ond hapitre de e

rapport,enmettant l'a entsurlalégèretéduformalisme anqu'onpuissetoujourss'y

appuyer dansl'étudede lastabilité et la ommandedesengins volants souples.

Dansuneétudeintéressante deBoyeretKhalil[BK99℄uneappro heapermisd'étendre

lesalgorithmesarbores ents"rigides"deNeton-Eulerau asdesmanipulateursexibles.

On notera dans e as une nette diminution des opérations de al ul. Cependant es

algorithmesprésentent généralement une grandesensibiliténumérique.

-Le deuxième prin ipal groupe d'études des orps exibles utilise la méthode

la-grangienne, qui onsiste à dénir le mouvement relativement à une onguration xe

de référen e. Mais e pro édé mène également à des relations omplexes lors de la

des riptiondesdéformationsetdes ontraintesdansle orpsexible.UneMéthode

La-grangienne a tualisée (U.L.M.) a étéproposée par BATHE et al. [Ba75℄ et développée

pour les orps déformables qui subissent de grands dépla ements de translation et de

rotation.Larésolution duproblèmedynamiqueestin rémentale.La ongurationetle

mouvement du orps sont identiés en utilisant une onguration de référen e mobile

représentantlapositiondu orpsdéformabledanslepaspré édent.AzouzetAl[ABL02℄

proposent omme onguration deréféren e, une onguration rigidedudirigeable qui

suit lemouvement du orps sans oïn ider ave lui. Cependant l'in onvénient de ette

appro heestletempsde al ulquiparaitimportant.Lemodèledynamiqueobtenusera

di ile à ommander.

D'un autre oté, ledomaine de re her he on ernant la ommande des dirigeables

sous-a tionnés est potentiellement intéressant. Dans une étude ré ente, une lasse de

systèmesautonomessous-a tionnésaétéétudiéparBeji,Abi houetBestaoui[BAB04℄.

Dans e travail, Beji et al. établirent une loi feedba k en temps-variables . La loi de

ommande est déterminée par la théorie de l'homogénéisation. Ils ont aussi établi la

stabilisation asymptotique de la position et de l'orientation du dirigeable en utilisant

uniquement les trois entrées de ommandes disponibles. Par ailleurs, Morin et

Sam-son [MS95℄ ont été appliqué ave su ès les approximations homogènes et le ontrle

par retourd'état à dessystèmes sansdérive. Lesauteurs ont présenté un retour d'état

Pettersen et Egeland [PE96℄ ont prouvé qu'une large lasse de véhi ules

sous-a tionnées ne peuvent pas êtrestabilisée par un retour d'état ontinu ni par unretour

d'état dis ontinu. Ils ont onsidérés un système ave dérive (bateau) omme modèle

d'étude et ils ont montré qu'une loi de retour d'état ontinue, périodique et

instation-naire peut le stabiliser. Certains auteurs ont traité ave su ès la ommande globale

d'un avion exible[Tuz01℄, ependant lestravauxquitraitent e problèmede ouplage

pour lesdirigeables exiblessont quasiment inexistants.

1.2.2.5 Intera tion-Air-Stru ture

Les engins volants plus légers que l'air (dirigeables) sont également régis par des

phénomènes aérodynamiques qu'il est important de modéliser. La base pour analyser

le mouvement d'un orps rigide dansun uide parfait a été établie au 19ème siè le et

dé rite par Lamb [LAM45℄. Dans sontravail,Lamb a onsidéré le as du dépla ement

simple dans une grandemasse innie de uide, où le mouvement de e dernier est

en-tièrement dû au mouvement du solide. Le mouvement sera onsidéré irrotationnel. Il

montre que l'énergie inétique duuide peut êtreexprimée omme une forme

quadra-tiquedessixvitessesde translationet derotationduvéhi ule.Lesdérivations données

par Lamb seront utilisées dans la des ription du dirigeable dans un milieu uniforme

stationnaire. Les termes provenant de l'a élération ou (massesajoutées) viennent du

fait queleuide onsidéré parfaitest a éléré. Quandunellipsoïde sedépla e dansun

uide non visqueux in ompressible et inni de sorte que le ux extérieur soit partout

irrotationnel et ontinu, l'énergie inétiquedu uide produit un eet équivalent àune

augmentation importante de la masse et des moments de l'inertie du orps [KG99℄.

Dans e travail, l'analyse de l'intera tion uide-stru ture est intégrée d'une manière

innovatri e dans le modèle Eulerien. On a pour ela utilisé une appro he énergétique

pour intégrer l'eetdu uidedansnotre formalisme Eulerien.

-Expli ation du Phénomène des masses ajoutées : Dirigeables Rigides :

Le mouvement dudirigeable dépla e un ertainvolume d'airpréalablement en état

stationnaire. Pour permettre au véhi ule de passerà travers le uide, le uide doit se

dépla er autour du dirigeable pour lui libérer le passage. Le uide a quière ainsi une

On onsidère parexemple un orps ayant un volume important et demasse m , qui se

dépla edansl'airsuivantl'axexave unevitesseu.L'airopposantsoninertieprovoque

une for e résistive instationnaire -X

˙

u

˙

u ave X l'ensemble des for es extérieures

appli-quéessurledirigeable,et X

˙

u

=

∂

X

∂

u

˙

ladérivéede esfor espar rapportàl'a élération

˙

u(X

˙

u

> 0

).

Par onséquent l'équation de ladynamiquesuivant ette dire tion serasousla forme:

m ˙u = −

X

˙u

u

˙

+ X

(1.1)

On peut dire don qu'en présen e du uide, la dynamique du dirigeable suivant

l'axex orrespond à elled'un orps demasse

m +

X

˙

u

,par suitel'équationdynamique

del'ensembledirigeable-air prend laforme :

(m +

X

˙

u

) ˙

u

=

X (1.2)

à partir de l'équation 1.2, il résulte que, le orps voit sa masse augmenter par la

quantité

X

u

˙

.

Cette quantité est identiée omme une masse supplémentaire appelée masse ajoutée

ou en ore masse virtuelle. Elle est proportionnelle à la masse volumique

ρ

du uide.

Le oe ient de proportionnalité étant un volume de référen e V multiplié par un

oe ient demasseajoutée k.

X

u

˙

= k.ρ.V

(1.3)

Par exemple,pourunellipsoïde parfaitsedéplaçant selonunaxe parallèleà songrand

axe(1.10),dansunuideparfaitdemassevolumique

ρ

,le oe ient kpeuts'exprimer

ainsi[FOS96℄ :

X

u

˙

=

α

0

2 − α

0

| {z }

k

.ρ.V =

α

0

2−α

0

.ρ

4

3

πab

2

etsi l'on introduitl'ex entri ité

e = 1 − (

b

a

)

2

, ona

α

0

=

2(1−e

2

)

e

3

(

1

₂

Ln(

1+e

_1−e

− e))

D'unemanièreplusgénérale,dansle asd'unellipsoïderigidesedéplaçant dansun

a

b

x

Figure1.10: Ellipsoïde

(M

E

+ M

a

) ˙ν = F

(1.4)

Ou

M

E

estlamatri edemassedel'éllipsoïde,

˙ν

lamatri e olonnedesa elerations

et Fl'ensemble desfor esappliquées au orps mobile.

Les masses ajoutées sont représentées par

M

a

est une matri e de dimension 6x6.

Cettematri eaété al uléedanslalittérature[LAM45℄.Eneet,lamatri edesmasses

ajoutées peut êtreexpriméesous laforme:

M

a

=

























A

C

′

_B

′

_F

_F

′

_F

_”

B

A

′

_G

_G

′

_G”

C

H

H

′

_H

_”

Sym

P

R

′

_Q

′

Q

P

′

R

























(1.5)

Lamatri ereprésentéedans1.5n'estpassymétriquedansle asgénéral.Néanmoins,sa

symétrieestadmisedansle asd'un orpstotalementimmergé dansunuide[FOS96℄.

L'étude de la masse ajoutée due au mouvement d'un orps déformable en grands

dépla ement dansunuideest en oredansunstade embryonnaire et s'appuiesouvent

surdes odesde al ul numérique. Enlittérature, onpeut répertorier deuxgroupes:

- Le premiergroupe qui traitel'impa tdu mouvement en grandsdépla ementssur

leuide [FOS96℄, [Hyg03℄, [LAM45℄; dans es études la matri e de masse ajoutée est

al ulée à partir des équations de Kirsho et de l'expression de l'énergie inétique du

uide.Ce travailest inspiréde l'étudedes sous-marins.

- Le deuxième groupe traite l'impa t des petites vibrations autour d'une position

d'équilibre surle mouvement du uide. Ce travail a ététraité par plusieurs méthodes.

Ohayon et al. [HM95℄, par exemple, a utilisé la méthode de sous-stru turation. Il a

ainsidéniune matri ede ouplageentreleuideetlastru ture.La matri edemasse

ajoutéea été al uléeà partir de ettematri e de ouplage.

La plupart des études utilisent la méthode des éléments nis [UE06℄, [Pao04℄,

[YTL03℄, [SBL06℄, [JM06℄. J. F. Sigrist [SBL06℄ présente une analyse modale d'une

stru ture industrielle ouplée ave un uide, en utilisant les te hniques numériques de

al uls ouplés uide/stru ture. Comptetenu de lanature axisymétriquede la

géomé-triedelastru tureétudiéeetdelanaturenonaxisymétriquedeséquationsde ouplage,

lamodélisation du problème est réalisée au moyen d'éléments nis axisymétriques

dé-veloppésen sériede Fourier. Un ode de al ul fût développé pour permettre l'analyse

modalede lastru ture.

Certainsauteurssesontfo alisésurlavibrationdestru turesnon-mobilesdansunuide

aux ara téristiquesles plus diverses telque DeLangre[Lan02℄. Une méthodologie

in-téressante basée surdesmodèles numériquesa étédéveloppé par Combes ure [AC80℄.

Quelquesétudessurdesbateauxexibles ommen entàtraiterleproblème

analytique-ment sousdes onditions parti ulièresde houles sinusoïdales [FC06℄,[WM05℄.

L'originalitédenotretravailestl'étudeanalytiquedesphénomènesdesmassesajoutées

pourun orpsimmergé exibleengrandsdépla ement etpetitesdéformations,in luant

laprise en ompte du ouplage entre es deuxmouvements. An demieux prendre en

la vitesselo ale sur levéhi ule déformé est utiliséedans le al ul desfor es

aérodyna-miques.

1.3 Obje tifs de la thèse et présentation du

mé-moire

Cettethèses'ins ritdansunesuitelogiquedetravauxréalisésaulaboratoireIBISC

on ernantlesenginsvolantsautonomes.Elle on ernelamodélisationet ommandede

esengins tenant ompte de leur exibilitésstru turelles. L'intégration de laexibilité

stru turelle représente une per ée majeure dansla modélisation globale de es engins

maniables. Elle soulève en même temps un bon nombre de problèmes nouveaux dont

nousessaieronsderésoudreunepartieau oursde etravaildethèse.Nousseronsguidé

dans ette démar he par l'impératif d'optimisation durapportpré ision/probabilité. Il

est en eet important d'avoir un modèle dynamiquequi allie la pré ision à la légèreté

pour qu'onpuisseyintégrer desloisde ommandeer de stabilisation ompatibles ave

letemps réel.

Certains problèmes, tels que la modélisation dynamique, sont ommuns à diérents

typesd'engins volants exiblesd'autres sont plus spé iques, omme l'aérodynamique

et lastabilisation, et nousdistinguerons dansnotreétude :

- Lesplus légersquel'air : ave omme illustrationledirigeable exible.

-Les pluslourds que l'air,ave omme illustration undronequadri optère.

Pour mener à bien etteétude, e rapportsera stru turé omme suit:

Chapitre 2

Dans e hapitre, nous présentons le modèle dynamique d'un engin volant à

ompo-santsexibles. Le modèleutilisé à eteetest lemodèleEulérien. Pour ela,dansune

première appro he, on onsidère un engin volant rigidean d'établir le parallèle entre

lesdes riptionsEulerienneetLagrangienne.Onsepropose,parlasuite,d'étendre ette

te hnique aux orps déformables, sans pour autant détruire le formalisme général

ob-tenu pour les orps rigides.Etgrâ e àun ertainnombrede transformations, onétabli

Dans e hapitre, nous nousproposons d'expli iter le modèle dynamiqueet

aérodyna-mique d'un dirigeable exible. On présente de manière analytique le phénomène

aé-rodynamiquequi agit sur le dirigeable exible et en parti ulier sur sonenveloppe.On

introduitlephénomènedemassesajoutées.L'eetdelaexibilitéstru turellede

l'enve-loppedel'enginsemanifestedansl'expressiondel'énergie inétiqueduuide.A partir

del'expressionénergétique del'air, età travers l'introdu tionde lanotionde potentiel

exible de uide (PFF), nous déterminons de manière analytique l'intera tion de e

dirigeable ave l'air environnant.

Chapitre 4

Ce hapitre propose l'élaboration d'une stratégie de ommande et de stabilisation du

dirigeable exibledont lemodèlea étédénidansle hapitre pré édent.Onentame la

stabilisation asymptotique de la plateforme au voisinage d'un point ible, en utilisant

late hnique du"Ba kstepping",ainsion exposeuneloide ommandequi assure

l'at-ténuationdes vibrationsdu dirigeable exible àtraversles ommandes dumouvement

rigide.

Chapitre 5

Dans e hapitre, une deuxième appli ation du modèle eulérien est établie. On

pré-sente,dansune premièrepartie,lamodélisationdudronehéli optère quadri-rotorXSF

exible.Cettemodélisationestétablieenprenant en onsidérationlesfor es

aérodyna-miquesetlestermesgyros opiques.Dansunedeuxième partie,ongénèreunalgorithme

de ommandepermettantdestabiliserl'enginauvoisinaged'unpoint ible.Nousavons

Flexible

2.1 Introdu tion

Dans e hapitre, nous présentons le modèle dynamique d'un engin volant à

om-posantsexibles.Cesengins volantsont souvent étéassimilésàdes orpsrigides.Cette

hypothèse permet de les modéliser de manière simpliée par la méthode de

Newton-Euler [DEG01℄, [SHA88℄, [B96℄. Ce i a l'avantage de fa iliter la mise en oeuvre

d'al-gorithmes de ontrle, de stabilisation ou de génération de traje toires qui leurs sont

dédiés.

On se propose à travers e hapitre d'étendre la te hnique de Newton-Euler aux

orps déformables, sans pour autant détruire le formalisme général obtenu pour les

orpsrigides.Cependant, e iné essiteaupréalableune reformulationglobale du

om-portementdynamiqued'unestru tureexibledansl'espa eparunedes ription

Lagran-gienne, puisl'appli ation d'un ertainnombre detransformations et lamiseen oeuvre

d'unesynthèsemodale.Onréintroduitparlasuitedesparamètres Euleriensdu

mouve-mentpourélaborerainsiunsystèmedynamiquehybrideprésenté omme uneextension

dumodèle Euleriendédié aux orpsrigides.

L'algorithme développé doit répondre à l'impératif d'optimisation du rapport

pré i-sion/adaptabilité. Nous avons en eet her hé à intégrer la exibilité des omposants

du système, et le ouplage inertiel entre la déformation et le mouvement d'ensemble,

toutenrespe tant les ontraintesd'adaptabilité en vued'uneappli ation aisée deslois

Dans unesprit de lari ation de ladémar he,on dénira l'algorithmed'abord sur un

engin volant rigideavant de l'étendre aux orpsexibles.

2.2 Des ription Eulerienne : Engin Volant Rigide

2.2.1 Cinématique

On présente dansun premier temps la des ription Lagrangienne totale d'un orps

dansl'espa e; 'està direl'analysedumouvement par rapportàuneréféren exeliée

au repèreglobal.

On hoisit unrepèrexelié àlaterre

R

0

=

(O, X

0

, Y

0

, Z

0

)

; l'originedurepèrepeut être

hoisie d'une manière arbitraire omme par exemple la position initiale sur Terre de

l'engin. Sesaxes sont hoisis omme suit (voirgure2.1).

♦X

0

: dirigéverslenord

♦Y

0

: dirigéversl'Est

♦Z

0

: dirigévers lebas

On dénit aussi un deuxième repère, appelé repère mobile

R

m

=

(G, X

m

, Y

m

, Z

m

)

xéau entredegravitédel'enginG; sesaxessontlesprin ipauxaxes inertiels, hoisis

de lamanièresuivante :

♦X

m

l'axe longitudinal.

♦Y

m

l'axe transversal.

♦Z

m

l'axenormal à

(X

m

, Y

m

)

.

-Untroisièmerepèreintermédiaireparallèle aurepèrexemaisliéàl'enginet

d'ori-gine G:

R

a

=

(G, X

a

, Y

a

, Z

a

)

Figure2.1: Dénitions des repères

η

1

= [x

0

, y

0

, z

0

]

T

:matri e olonnepositiondurepèremobileexprimédanslerepère xe

R

0

η

2

= [φ, θ, ψ]

T

:matri e olonne d'orientation du repère mobileexprimé dans le

re-pèrexe

R

0

donné par les angles d'Euler.

η = [η

1

, η

2

]

T

matri e olonne attitudepar rapport à

R

0

.

˙

η

: matri e olonne vitessepar rapportà

R

0

exprimé dans

R

0

.

¨

ν

1

= [u, v, w]

T

: matri e olonne vitesse lo al de translation par rapport

`

a R

0

ex-primé dans

R

m

.

ν

2

= [p, q, r]

T

: matri e olonne vitesse lo alde rotationpar rapport

`

a R

0

exprimé

dans

R

m

.

ν = [ν

1

, ν

2

]

T

:matri e olonne vitesselo al.

τ

1

: matri e olonne desfor es généraliséesagissant surlevéhi ule.

τ

2

: matri e olonne desmoments généralisés agissant surlevéhi ule.

τ

=[

τ

1

,

τ

2

℄ : for eset moments généralisésagissant sur levéhi ule.

2.2.1.1 Dénitions des matri es de passage

Généralement, une paramétrisation en la et,tangage et roulis est utiliséepour

dé- rire lapositionet l'orientation de l'engindanslerepèreinertiel

R

0

.

La onguration del'enginest dé riteaumoyen de troisrotationsélémentaires

dé-nies par troisangles d'orientation

`

a

savoir lela et

ψ

, letangage

θ

et le roulis

φ

:

B(X

o

, Y

o

, Z

o

) −→

H

ψ

B(U, Z

1

, Z

o

) −→

H

θ

B(X

m

, Z

1

, W ) −→

H

φ

B(X

m

, Y

m

, Z

m

)

(2.1)

Où

B(X

o

, Y

o

, Z

o

)

estlabasedurepèreglobal

R

o

,

B(X

m

, Y

m

, Z

m

)

labasedurepère

lo al

R

m

,

B(U, Z

1

, Z

o

)

et

B(X

m

, Z

1

, W )

sont lesbasesintermédiaires et

H

ψ

,

H

θ

et

H

φ

les matri esde rotationorthogonales.

Lapremièrerotationd'angledela et

ψ

,est omptéepositivementdanslesensdire t

Figure2.2: La et

entre lesbases

B(X

o

, Y

o

, Z

o

)

et

B(U, Z

1

, Z

o

)

.

Ladeuxièmerotationd'angle

θ

dé rit letangageautourdel'axe

Z

1

(voirgure2.3)

etdonnelamatri edepassage

H

θ

entrelesbases

B(U, Z

1

, Z

o

)

et

B(X

m

, Z

1

, W )

donnée

par :

H

θ

=









cos θ

0 sin θ

0

1

0

− sin θ 0 cos θ









danslabase

(U, Z

1

, Z

o

)

Latroisièmerotationd'anglederoulis

φ

s'ee tueautourdel'axe

X

m

delanouvelle

base(voir g2.4) donnée par :

H

φ

=









1

0

0

0 cos φ − sin θ

0 sin φ

cos φ









danslabase

(X

m

, Z

1

, W )

La matri e de rotation qui dé rit la transformation entre le repère global

R

0

et le

repèrelo al

R

m

est donnée par :

J

1

(η

2

)

=

H

ψ

H

θ

H

φ

Figure2.3: Tangage Figure2.4: Roulis

J

1

(η

2

) =









cos ψ cos θ − sin ψ cos φ + sin φ cos ψ sin θ

sin φ sin ψ + sin θ cos ψ cos φ

cos θ sin ψ

cos ψ cos φ + sin θ sin ψ sin φ

− cos ψ sin φ + cos φ sin θ sin ψ

− sin θ

cos θ sin φ

cos θ cos φ









(2.2) telle que

J

1

(η

2

)

T

_J

1

(η

2

) = J

1

(η

2

)J

1

(η

2

)

T

= Id

3

2.2.1.2 Transformation des vitesses de translation et de rotation

A l'aide de lamatri e de passage de hangement debase

J

1

(η

2

)

, latransformation

des omposantesdes vitessesde translation, par rapport

`

a R

0

estdonnée par :

˙

Partant de larelation(2.1) lavitesselo alede rotationpeut êtreexpriméeainsi:

ν

2

= ˙

ψZ

o

+ ˙θZ

1

+ ˙

φX

m

(2.4)

Onpeut alorsexprimerleve teur vitessede rotationdanslabasedurepèremobile

B(X

m

, Y

m

, Z

m

)

ainsi:

ν

2

=









p

q

r







 =









1

0

0

0

cos φ

sin φ

0 − sin φ cos φ

















˙

φ − ˙

ψ sin θ

˙θ

˙

ψ cos θ







 =









˙

φ − ˙

ψ sin θ

˙θ cos φ + ˙ψ sin φ cos θ

˙

ψ cos θ cos φ − ˙θ sin φ









(2.5) d'o

u

`

:









p

q

r







 =









1

0

− sin θ

0

cos φ

sin φ cos θ

0 − sin φ cos φ cos θ

















˙

φ

˙θ

˙

ψ









(2.6)

Ondésigne par

J

2

(η

2

)

lamatri e depassage reliant les omposantes desvitessesde

rotationdanslerepèreglobal à ellesrelatives aurepère lo al.

Soit:

J

2

(η

2

) =









1

0

− sin θ

0

cos φ

sin φ cos θ

0 − sin φ cos φ cos θ









−

₁

=









1 sin φ tan θ cos φ tan θ

0

cos φ

− sin φ

0

sin φ

_{cos θ}

cos φ

_{cos θ}







D'où ladeuxième relation inématique :

˙

η

2

= J

2

(η

2

)ν

2

(2.8)

Remarque2.1

On remarque quelaparamétrisation par les angles d'Euler fait apparaîtreune

sin-gularité en

θ =

π

2

.

On retrouve ainsi l'expression inématique de l'engin volant qui peut s'exprimer

omme suit :

˙

η

1

˙

η

2

!

=

J

1

(η

2

)

0

3∗3

0

3∗3

J

2

(η

2

)

!

|

{z

}

J(η

2

)

ν

1

ν

2

!

(2.9) 2.2.2 Paramètres d'Euler

And'éviterlasingularitédel'angledetangage, onutiliseraparlasuitelaméthode

desparamètres d'Euler.Cettete hnique peutêtreprésentéeainsi: Touterotationnie

dans l'espa e peut être exprimée omme une rotation d'angle

β

autour d'un axe de

rotation Z.

Quatre paramètres dénissent ainsi la rotation : les omposantes

Z

x

, Z

y

, Z

z

, de

l'axe Z et l'angle

β

de la rotation autour de et axe (voir gure 2.5) ave

|Z| =

q

Z

2

x

+ Z

y

2

+ Z

z

2

= 1

;

β ∈ [0, π]

Par suite,la matri ede rotation

J

1

(η

2

)

peutêtre exprimée omme suit :

J

1

= [I

3

+ ˜

Z.sinβ + 2 ˜

Z

2

sin

2 β

₂

] o`

u ˜

Z

est lamatri e dupré-produit ve toriel asso ié au

Figure 2.5: Rotationautour d'un axe

Lesparamètres d'Euler peuvent êtredénis omme suit :







































q

0

= cos(

β

2

)

q

1

= Z

x

sin(

β

2

)

q

2

= Z

y

sin(

β

2

)

q

3

= Z

z

sin(

β

2

)

esparamètres satisfontlarelation suivante :

P

3

k=0

q

k

2

= q

T

q = 1

ave

q = [q

0

q

1

q

2

q

3

]

T

Ainsi lamatri e de rotation

J

1

(η

2

)

peut être expriméeen fon tion des paramètres

d'Euler sous ette forme [SHA88℄,[SHA81℄:

J

1Q

=









1 − 2(q

2

₂

+ q

2

₃

) 2(q

1

q

2

− q

0

q

3

) 2(q

0

q

2

+ q

1

q

3

)

2(q

1

q

2

+ q

0

q

3

) 1 − 2(q

2

1

+ q

3

2

) 2(q

2

q

3

− q

0

q

1

)

2(q

1

q

3

− q

0

q

2

) 2(q

0

q

1

+ q

2

q

3

) 1 − 2(q

2

1

+ q

2

2

)









(2.10)