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Le groupe Al-Kashi, seul groupe spécialisé en cours de répétions à domicile et aux préparations à domicile aux concours d’entrée dans les grandes écoles scientifiques. Contact : le coordonnateur aux 75 27 74 32 97 47 64 89 Page 1 sur 2
A
EXAMEN DE : PRO BATOIREBLANC SESSION : 2009 Classe : première C Durée : 3h On tiendra compte des soins apportés aux tracés, de la clarté et du raisonnement
EXERCICE 1
Les question 1 et 2 sont indépendantes
1°Roudre l’inéquation tan²x+( 3 1− ) tanx − 3 < 0 dans l’intervalle [- Π ;Π ] 2°a) Démontrer que cos 5
12 π = 6 2 4 − et en déduire sin 5 12 π 2b) Résoudre dans IR l’équation sinx = 6 2
4
−
2c) Résoudre dans l’intervalle
[
0; 2π
[
l’équation - cosx = 6 2 4−
4) Résoudre dans l’intervalle
[
−π π
;[
l’équation(
6− 2 cos)
t+(
6+ 2 sin)
t=2 2 . Exercice 2.On considère la suite (un) définie par : un+1=7un+8un−1
1 ) Pour qu’elle valeur de u0 la suite (un) est constante
2) On suppose maintenant que la suite (un) définie par : 0 1
1 1 0, 1 7 8 n n n u u u+ u u− = = = + .
2 a . Montrer que la suite (un) n’est pas constante.
2 b Montrer que la suite sn définie par sn =un+1+un est une suite géométrique dont on précisera la raison. En déduire sn en
fonction de n.
2c . On pose vn= −( 1)nun et on considère la suite tn définie par tn=vn+1 − vn. Exprimer tn en fonction de sn.
2d. Exprimer vn puis un en fonction de n (on pourra calculer de deux manières la somme t0+ + +t1 ... tn.
2e . Déterminer lim 8 n n n u →+∞ . PROBLEME PARTIE A
GA
A
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J N M R L K I O
L'espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct (O, OI, O J, OK)
, on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est jointe sur la feuille annexe.
On note A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par : KB 2KN. 3
=
On appelle P le plan passant par les points O, A et B.
1. a. Préciser les coordonnées des points A et B.
b. Déterminer les coordonnées d’un vecteur u orthogonal à OA
et OB
. 2. a. Montrer que l'aire du triangle OAB vaut 14.
6
b. Le point C 1 ; ;11 3
appartient-il à P ? Justifier votre réponse.
3. On considère le tétraèdre OABK. a. Montrer que son volume vaut1
9.
b. En déduire la distance du point K au plan P.
N.B. : On rappelle que le volume d'un tétraèdre est le tiers du produit de l'aire d'une base par la longueur de la hauteur correspondante .
c.clculer les coordonnées de G, centre du cube.
d. Montrer que la droite (NO) est perpendiculaire au plan (OJM) et que les plans (NLI) ET (OMK) sont perpendiculaires.
PARTIE B
1. Etudier les variations de la fonction
3 2 ( ) ( 1) x f x x = − . 2. Montrer que ( ) 2 3 22 ( 1) x f x x x − = + +
− . Etudier la position de la courbe (C) de f par rapport à la droite (D)
d’équation y= +x 2.
3. En quel(s) point(s) la tangente à (C) est elle parallèle à (D) ? 4. Tracer cette (ces ?) tangente(s), (D) puis (C).
5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f x( )= +x p où p∈ℝ. 6. Résoudre la question précédente par le calcul.
7. Lorsqu’il y a deux solutions, il y a deux points d’intersection entre la droite y= +x p et (C). Déterminer
l’abscisse du point P, milieu de ces deux points d’intersection.
Fin et bonne chance
Examinateur ExaminateurExaminateur