Mathématiques Consolidation Cours M A I T S

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Texte intégral

(1)

T echnicien S upérieur

en M écanique et A utomatisme I ndustriel

Cours

de

Consolidation

en

Mathématiques

Conception des documents : Etienne Poulin

« La rigueur vient toujours à bout de l’obstacle »

Léonard de Vinci

Léonard de Vinci Léonard de Vinci

Léonard de Vinci

(2)

1.1. L’essentiel

ACTIVITE 1 : Rappeler l’aire d’un disque et la circonférence d’un cercle de rayon r ACTIVITE 2

- Tracer un cercle. Repérer les angles 90°, 180°, 360°.

- Si le rayon de ce cercle est de 1 Unité, sa circonférence mesure 2π.

On invente une nouvelle mesure des angles à partir de cette observation : le radian.

- 360° est égale à 2π radian.

- On peut ainsi compléter le tableau suivant :

Mesure en radian 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 2π

Mesure en degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°

ACTIVITE 3

La Mesure principale d’un angle est comprise entre

]

−π;π

]

Déterminer la mesure principale des angles suivants : α π 3

= 34 ; β π 2

5 ,

= 25 ;

6 387π δ =−

Définitions

Définition : On appelle cercle trigonométrique dans le plan muni d’un repère orthonormal

(

O i j, ,r r

)

le cercle de centre O de rayon 1 pour lequel on choisit comme sens direct le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Définition : M étant le point du cercle trigonométrique tel que

(

OA OMr, r

)

=α :

• L’abscisse du point M est le cosinus du nombre α noté cosα.

• L’ordonnée du point M est le sinus du nombre α noté sinα. cosα =OH et sinα =OK

Propriété : Quel que soit le nombre réel x :

− ≤1 cosx≤1 − ≤1 sin x≤1 cos2 x+sin2 x=1

ACTIVITE 4

Placer un point M

(

cosα;sinα

)

sur le cercle trigonométrique tel que : α

cos >0 cosα<0 cosα <0 cosα>0

α

sin <0 sinα<0 sinα>0 sinα>0

ACTIVITE 5

Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions par des points du cercle trigonométrique : a) π π

4 + ×2

= k

x b) 2y=π +2kπ c) π π

k

t 2

3 4 = 2 +

E E t t a a p p e e 1 1 . . T T r r i i g g o o n n o o m m é é t t r r i i e e

O

M

H A O

α

K

Mesure algébrique

« longueur orientée »

+

(3)

Tableau de valeurs usuelles

Voici quelques valeurs remarquables

Mesure en radian 0 π 6 π 4 π 3 π 2

Mesure en degré 0° 30° 45° 60° 90°

sinus 0 1

2

2 2

3 2

1

cosinus 1 3

2

2 2

1 2

0

tangente 0 1

3

1 3 Pas

d’image ACTIVITE 6

A l’aide d’un cercle trigonométrique, déterminons quelques propriétés :

Réels opposés : a et –a.

o cos

( )

a =cos

( )

a

o sin

( )

a =−sin

( )

a

• Réels dont la différence est π : a et π +a o cos

(

π +a

)

=−cos

( )

a

o sin

(

π +a

)

=sin

( )

a

Résolution des équations sinx=a et cosx=a

• Si a

[ ]

1;1 , l’équation sinx=a n’a pas de solution

• Si a

[ ]

1;1 , il existe 



∈ ;2 2

π

α π , unique, tel que sinα =a

L’équation sinx=sinα admet deux types de solution : (1) x=α+2kπ

(2) x=π −α +2kπ avec k entier relatif quelconque

EN TOUT ETAT DE CAUSE,

NE JAMAIS HESITER A DESSINER UN CERCLE TRIGONOMETRIQUE

• Si a

[ ]

1;1 , l’équation cosx=a n’a pas de solution

• Si a

[ ]

1;1 , il existe α

[ ]

0;π , unique, tel que cosα =a L’équation cosx=cosα admet deux types de solution : (3) x=α+2kπ

(4) x=−α +2kπ avec k entier relatif quelconque

• Réels dont la somme est π . π −a et a o cos

(

π −a

)

=−cos

( )

a

o sin

(

π −a

)

=sin

( )

a

• Réels dont la somme est 2 π o a sin

( )

a

cos 2 =

 

π −

o a cos

( )

a

sin 2 =

 

π −

(4)

1.2. Exercices de l’étape 1

Exercice 1 :

Déterminer la mesure principale

( ]

−π;π

] )

des angle suivants Et placer les sur un cercle trigonométrique

6 43π

α = mesure principale : π

β =27,5 ‘’

3 5π

λ = ‘’

4 21π

δ = ‘’

Exercice 2 :

Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions par des points du cercle trigonométrique

a) π π

3 2

4t = 4 +k

(

kΖ

)

b) π π

2 2

2t = −t+k

(

kΖ

)

Exercice 3 :

a) Déterminer l’angle α tel que





= −

= 2 sin 2

2 cos 2

α α

. Le placer sur un cercle trigonométrique.

b) Déterminer l’angle β tel que





= −

= 2 sin 3

2 cos 1

β β

. Le placer sur un cercle trigonométrique.

c) Déterminer l’angle δ tel que





=

= 12 sin 3

12 cos 3

δ δ

. Le placer sur un cercle trigonométrique.

d) Déterminer l’angle ϕ tel que



=

= 1 sin

0 cos

ϕ

ϕ . Le placer sur un cercle trigonométrique.

e) Déterminer l’angle µ tel que





=

= 18 sin 3

32 cos 4

µ µ

. Le placer sur un cercle trigonométrique.

Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes

a)

( )

 

 +

=sin 2 6 3

sin π

x

x b)

2

cost = 3 c)

( )

2 4 2

sin t = − d) cos

( )

3x =0,5

(5)

2.1. A Retenir

• L’ensemble des nombres complexes est noté

C

. i est le nombre tel que i2 =−1

• Un nombre complexe z s’écrit z =a+ib où a et b sont des nombres réels, a est appelé partie réelle, b partie imaginaire et

Forme algébrique : z =a+ib où a et b sont des nombres réels.

Module : z = a2 +b2

Argument : Arg

( )

z =θ l’angle tel que

r

= a θ

cos et

r

=b θ sin b M(z)

r θ

a v

b u a

OM r r

+

= OM =r = z = a2 +b2 Abscisse de M : a=Re

( )

z =rcosθ

Ordonnée de M : b=Im

( )

z =rsinθ

Forme trigonométrique : z =r

(

cosθ +isinθ

)

r= z et θ = Arg

( )

z

Forme exponentielle : z=reiθr= z et θ = Arg

( )

z

Module, Argument et conjugué, produit et quotient :

z + ′ = + ′ z z z

zz′ = ⋅ ′z z

1 1

z z

 

 =

z

z

z

z

  

  =

1 1

z = z z×z' = z× z'

z

z z z ' = ' arg1 arg

z = − z+2kπ

arg

(

z×z'

)

=arg

( )

z +arg

( )

z' +k2π arg z' arg arg '

z = zz+2kπ où k est un entier relatif

Formule de Moivre :

(

cosθ +isinθ

)

n =cosnθ +isinnθ

( )

eiθ n =einθ

Formule d’Euler : cos

θ

= 12

(

eiθ +eiθ

) et

sinθ = 2i1

(

eiθ eiθ

)

E E t t a a p p e e 2 2 . . N N o o m m b b r r e e c c o o m m p p l l e e x x e e s s

i z =2+3

i z =3

=4 z

sont des complexes

(6)

Equations du second degré à coefficients réels

L’équation az2 +bz+c=0 (avec a, b, c réels et a≠0) de discriminant ∆=b2 −4ac admet :

• Si ∆>0, deux solutions réelles

a z b

1 2

= − et

a z b

2 2

∆ +

= −

• Si ∆=0 une solution réelle double :

a z b

z1 2 2

= −

=

• Si ∆<0deux solutions complexes conjuguées :

a i z b

1 2

= − et

a i z b

2 2

− +

= −

Dans tous les cas,

(

1

)(

2

)

2 bz c a z z z z

az + + = − − .

• Rappelons les valeurs remarquables de sin et cos

θ 0 π 6 π 4 π 3 π 2

sin x 0 1

2

2 2

3 2

1

cos x 1 3

2

2 2

1 2

0

(7)

2.2. Exercices de l’étape 2

Exercice 1 :

1) Dans le plan complexe

(

O;ur,vr

)

, placer les points A,B,C,D,E d’affixes respectives 1+i ;

−2 ; −2i ; 5-4i ; i 2 3−1

− .

2) Donner les coordonnées cartésiennes de A,B,C,D,E.

3) Déterminer l’affixe du point F

(

3;7

)

.

Exercice 2 :

Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique

a) 5i

(

3+2i

)

b) 2

( ) (

5i +3i4

)

c)

(

4+2i

)

2 d)

(

5−11i

)(

2−i

)

e)

( )( )

3+i 3−i f)

(

1+2i

)

3 g) 2+i

(

2+3i

)

2 h) 23i

k)

(

4+3i

)(

2i

)

l) 2i3 m) i 3 2

1

+ n)

i i 3 2

4 1

+

− o)

( )

(

i21+37i

)

i2

Exercice 3 :

Résoudre les équations suivantes a)

(

2+i

)

z+4=0 b) =5

− + i z

i

z c) 5z =4−i d)



= +

=

i z iz

z z

7 3

54 2

2 1

2 1

Exercice 4 :

Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, puis les écrire sous forme trigonométrique

a) z1 =− 3+i b) z2 =−17 c) z3 =5i d) z4 =−12i 3+12 e) z5 =−6 3+6i Exercice 5 :

Soit z1 = 3+i 

 

 

 

− +



 

−

= sin 6

cos 6

2 2

π π i

z z3 =−2+2i

1) Ecrire z2 sous forme algébrique

2) Calculer : z , 3 z1 +z2, z1+z3, z1×z2, z1×z3,

2 1

z z ,

3 1

z z .

3) Calculer : z1 , z2 , z3 , z3 ,

2 1

z z

4) Calculer Arg

( )

z1 , Arg

( )

z2 , Arg

( )

z3 , Arg

( )

z3 , 



2 1

z Arg z

5) Ecrire sous forme trigonométrique : z1, z . 3 6) Ecrire sous forme exponentielle : z1, z2, z . 3 Exercice 6 :

Déterminer les racines carrées dans

C

de : 25 ; 3 ; -2 ; -17 ; -36 ; 0.

Exercice 7 :

Résoudre dans

C

chacune des équations suivantes :

a) z2 −3z+18=0 b) z2 +9z−4=0 c) z2

(

1+ 3z

)

+ 3 =0 d) z2 +2z+8=0

(8)

3.1. L’essentiel

Le nombre dérivé f au point d’abscisse a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Il est noté f’(a).

Equation d’une tangente au point d’abscisse a : y= f

( )(

a xa

) ( )

+ f a

Approxiamtion affine de f en a : f

(

a+h

) ( )

= f a + f

( )

a h+hϕ

( )

h avec

( )

0

lim0 =

h

h ϕ

• Dérivées de fonctions usuelles Dérivées usuelles

f(x) f’(x) Intervalle I

k ; k réel 0 IR

x 1 IR

mx+p m IR

x2 2x IR

xn, n entier naturel nxn-1 IR

1

x − 1

x2

]

−∞;0 ou

[ ]

0;+∞

[

1

xnn+

xn 1

]

−∞;0 ou

[ ]

0;+∞

[

x 1

2 x

]

0;+∞

[

sin x cos x IR

cos x - sin x IR

(

ωt+ϕ

)

cos ωsin

(

ωt+ϕ

)

IR

(

ωt

)

sin ωcos

(

ωt

)

IR

x tan

x 2 x

2

cos tan 1

1+ = IR

Opération sur les fonctions dérivables

Fonction Dérivée Fonction composée

ku (k réel) ku’ Si g(t) = f(at+b) et si f est dérivable en at+b alors g t'

( )

=af at'

(

+b

)

u+v u’+v’

uv u’v+uv’

1

vv

v '

2

u v

u v uv v ' − '

2

un nuun1

u

go u×

(

gou

)

E E t t a a p p e e 3 3 . . D D é é r r i i v v a a t t i i o o n n

f(a) T : y =[f ’(x)]x + p

y = f(x)

Coefficient directeur de T

(9)

3.2. Exercices de l’étape 3

Exercice 1 : Dériver les fonctions suivantes Exercice 1 : a) f x

( )

=4x+1 Df = IR

b) f x

( )

=5x2 3x+2 Df = IR

c) f x

( )

= x2 + −x

3 4

1

8 Df = IR d) f x

( )

= 1x x + x

3 1

2 6 4

3 2

Df = IR e) f x

( )

=3x4 +5x32x2− +x 1 Df = IR

f) f x

( ) (

= 3x+2

)(

− +4x 1

)

Df = IR

g) f x

( ) (

= − +3x 2

)

2 Df = IR

h) f x

( )

= 5x

Df =

]

0;+∞

[

i) f x

( )

x

= + x1

Df =

]

−∞;0

[

j) f x

( )

= −x3

2 Df =

]

0;+∞

[

k) f x

( )

= x + 4

1 Df =

]

− +∞1;

[

l) f x

( )

x

= + + x +

2 1 4

1 Df =

]

− +∞1;

[

m) f x

( )

x

= x

− +

2 5

3 Df =

]

3;+∞

[

n) f x

( )

x

= x + 2

2 1 Df = IR

o) g t

( )

=sin 2 t Df = IR

p) g t

( )

=sin 3 t+

2

π Df = IR q) g t

( )

=cos3 t Df = IR

r) g t

( )

=cos 3

(

− +t π

)

Df = IR

s) h

( ) (

z = 3z1

)

z Df =

]

0;+∞

[

t)

( )

3

1 4

3 

 

= − x t x

h Df =

] [

1;+∞

u) f

( )

x = x2 +5x+7 Df = IR

v)

( )

 

=  x x

f π

cos Df =

]

0;+∞

[

Exercice 2 :

Ecrire pour chaque fonction l’équation de la tangente au point d’abscisse

a) f x

( )

=x3 2x2 + +x 1 , a= - 2

b) f x

( )

x

= x − +

2 3

4 , a=0,5

a) f

( )

x =4

b) f

( )

x =10x3

c) f

( )

x = 2x +

3 1 4 d) f

( )

x = x2 − +x 6

e) f

( )

x =12x3 +15x2 4x1

f) f

( )

x = −24x5

g) f

( )

x =18x12

h) f

( )

x = −

x 5

2

i) f

( )

x = −

1 x1

2

j) f

( )

x =

x 6

3

k)

( )

( )

′ = − f x +

x 4

1 2 k)

( )

( )

′ = − f x x +

x

2 4

12 m)

( )

( )

′ = f x − +

x 1

3 2 n)

( )

( )

′ = − +

f x x+

x

2 2

1

2

2 2

o) g t′ =

( )

2cos2t

p) g t′ =

( )

3 3t+

cos π2 q) g t′ = −

( )

3sin

( )

3t

r) g t′ =

( )

3sin

(

− +3t π

)

s)

( )

z z z

h

2 1 9 −

′ =

t)

( ) ( ) ( )

( )

3

2 2

2 1

4 3 3 1

4 3 1 3 1

= −



 

 −



= −

x

x x

x t x

h

u)

( )

7 5 2

5 2

2 + +

= +

x x x x

f

v)

( )

 

= 

x x x

f π π

2 sin Exercice 2 :

a) T a pour équation y=21x+25 b) T a pour équation y= 44x

81 58 81

Réponses

(10)

4.1. L’essentiel

Notation et vocabulaire

( )

x L

f

a

n =

lim signifie : la limite de f

( )

x quand x tend vers a est L.

Limites à l’infini

• 1 0

lim =

+∞

x

x 1 0

lim 2 =

+∞

x

x 1 0

lim 3 =

+∞

x

x 1 0

lim =

+∞

x

x

Exemple : 1 2

2

lim =

 

 +

+∞

x

x . 1 0

lim =

 

+∞

x a

x xlim+∞

(

x1a

)

2 = xlim−∞

(

x1a

)

2 =0

• =+∞

+∞

x

xlim =+∞

+∞

lim x2

x =+∞

+∞

lim x3

x =+∞

+∞

x

xlim

−∞

−∞ =

x

xlim =+∞

−∞

lim x2

x =−∞

−∞

lim x3 x

Exemples : =+∞

+∞

x

xlim . xlim+∞

(

3x3

)

=−∞ xlim−∞

(

3x3

)

=+∞

Limites en une valeur définie Soit a un réel.

=−∞

<

a x a

x a x

lim 1 ; =+∞

>

a x a

x a x

lim 1 ;

(

)

=+∞

2

lim 1 a x

a x

; =+∞

>

a x a

x a x

lim 1

Opérations sur les limites

Les fonctions f et g ont le même ensemble de définition.

a désigne un réel ou +∞ ou −∞ et l, l’ sont des réels.

f a pour limite en a l l l +∞ +∞ −∞

g a pour limite en a l’ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

f+g a pour limite en a l+l’ +∞ −∞ +∞ FI −∞

f a pour limite en a l l>0 l>0 l<0 l<0 +∞ +∞ −∞ 0

g a pour limite en a l’ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ou−∞

g

f × a pour limite en a

ll’ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ FI

Exemples : Attention, aux formes indéterminées :

( )

2

1 x x

f = ; g

( )

x = x2 ; xlim+∞ f

( )

x =0 ; xlim+∞g

( )

x =+∞ xlim+∞ f

( ) ( )

x ×g x =1

( )

x x

f = 1 ; g

( )

x = x2 ; lim+∞ f

( )

x =0

x ; +∞g

( )

x =+∞

xlim +∞ f

( ) ( )

x ×g x =+∞

xlim

( )

x x x

f cos

= ; g

( )

x = x ; xlim+∞ f

( )

x =0 ; xlim+∞g

( )

x =+∞ f ×g n’a pas de limite

E E t t a a p p e e 4 4 . . L L i i m m i i t t e e s s d d e e f f o o n n c c t t i i o o n n s s

(11)

f a pour limite en a l l +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ou−∞ g a pour limite en a l’≠0 +∞ou−∞ l’>0 l’<0 l’>0 l’<0 +∞ou−∞

g

f a pour limite en a l

l

0 +∞ −∞ −∞ +∞ FI

f a pour limite en a l>0 ou +∞ l<0 ou −∞ l>0 ou +∞ l<0 ou −∞ 0 g a pour limite en a 0 en restant

positif

0 en restant positif

0 en restant négatif

0 en restant négatif

0

g

f a pour limite en a +∞ −∞ −∞ +∞ FI

Méthodes :

• Etude d’une limite d’un polynôme

Pour étudier la limite en +∞ ou −∞ d’un polynôme, on met en facteur le terme de plus haut degré.

Exemple : étude de la limite en +∞ de f

( )

x =x33x2 +2x+1

On sait que =+∞

+∞

lim x3

x ; − =−∞

+∞

3 2

lim x

x ; =+∞

+∞

x

xlim2 donc FI. On ne peut pas conclure directement.

On réécrit f :

( )

 

 − + +

= 3 3 22 13

1 x x x

x x

f .

Or 3 0

lim − =

+∞

x

x ; 2 0

lim 2 =

+∞

x

x ; 1 0

lim 3 =

+∞

x

x . Donc 3 2 1 1

1

lim 2 3 =

 

 − + +

+∞

x x x

x

D’autre part, =+∞

+∞

lim x3

x donc xlim+∞ f

( )

x =+∞

• Etude d’une limite d’une fonction rationnelle

Pour étudier la limite en +∞ ou −∞ d’une fraction rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.

Exemple : étude de la limite en +∞ et en 3 de

( )

3

2 2

= + x

x x x

f définie sur

]

3;+∞

[

.

• En +∞, + =+∞

+∞

x x

xlim 2 2 et − =+∞

+∞

3

lim x

x donc FI. On ne peut pas conclure directement.

On réécrit

( )



 

 −



 

 +

=



 

 −



 

 +

=

x x x

x x x x x

f 3

1 1 2 1 3

1 2

2

.

Or 2 1

1

lim =

 

 +

+∞

x

x ; 3 1

1

lim =

 

 −

+∞

x

x ; =+∞

+∞

x

xlim . Donc +∞ f

( )

x =+∞

xlim

En 3, avec x>3 15 2 lim 2

3 + =

x x

x et lim 3 0

3 − =

x

x ,

Or x−3>0 sur l’intervalle, donc +

> −3=0 lim

3 3x

x

x . Donc +∞ f

( )

x =+∞

xlim

(12)

Limite de la composée de deux fonctions

Soient a, b, c des réels ou +∞ ou −∞, et f et g deux fonctions.

Si limxa f

( )

x =b et limxbg

( )

x =c, alors limxa

(

go f

)( )

x =c

Exemple : étude de la limite en +∞ de

( )

 

=  x x

h 1

cos . On pose

( )

x x

f 1

= . g

( )

X =cosX . h

( ) (

x = go f

)( )

x

Or lim+∞ f

( )

x =0

x ; lim

( )

1

0 =

g X

X . donc lim+∞

(

g f

)( )

x =1

x

o

Conséquences graphiques : Les asymptotes

( )

xlim→x f x = +∞

0

ou −∞

La droite d’équation x=x0 est la droite asymptote à la courbe.

Le signe de la limite infinie détermine la position de la courbe

( )

xlim ou

f x l

→+∞−∞ = avec lIR La droite d’équation y=l est la droite asymptote à la courbe.

Le signe de f(x)-l détermine la position de la courbe

( ) ( )

[ ]

xlim ou

f x ax b

→+∞−∞ − + =0 La droite d’équation y=ax+b est la droite asymptote à la courbe.

Le signe de f(x)-(ax+b) détermine la position de la courbe

y

O x0 x

y

O x l

y

O x

(13)

4.2. Exercices de l’étape 4

Exercice 1 :

Déterminer les limites de f aux bornes de l’intervalle d’étude I.

1) f

( )

x =4x3 +5x2 1 I = IR

2) f

( )

x =x4 +3x+1 I = IR

3)

( )

1 2

= − x x

f I =

]

−∞;1

[ ] [

∪1;+∞

4)

( )

3 1 +

+

= − x x x

f I =

]

;3

[

5)

( )

2 2 3

2 2

− + +

= −

x x

x x x

f I =

]

2;+∞

[

6)

( )

1 1 3 2 2

− +

= − x

x x x

f I =

]

;1

[ ] [

1;+∞

7)

( )

x x x

f = − + −

2 3 4

2 I =

]

−∞;2

[

8)

( )

x x x x

f 1

2 2 + −

= I =

]

0;+∞

[

9) f

( )

x = 4x2 +12x I = IR (On utilisera l’expression conjuguée si nécessaire)

Exercice 2 :

Soit f définie par

( ) ( )

2

3

1 2

3 4

= − x

x x x

f sur 

 +∞

= ; 2

D 1 et C sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal

(

O;ir;rj

)

.

1) Vérifier que pour tout x de D, f

( )

x = x+1

(

2x11

)

2

2) Déterminer f

( )

x

x 2

lim1

et xlim+∞ f

( )

x .

Que déduit-on graphiquement de la première limite ?

3) Déduire de 1) l’équation de l’asymptote oblique D à la courbe C, puis étudier la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.

Exercice 3 :

Soit f une fonction définie par

( ) ( )

2

2 3

1 4 8 4

− +

= − t

t t t t

f . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

1) Déterminer l’ensemble de définition de f.

2) Etudier la limite de f en 2. En déduire l’existence d’une asymptote V dont on donnera une équation.

3) Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.

Déterminer a, b, c, et d pour que f

( )

t =at+b+

( )

ctt+1d2 . En déduire l’existence d’une asymptote oblique A dont on précisera l’équation et sa position par rapport à la courbe.

(14)

5.1. L’essentiel

Sens de variation

Si pour tout réel x de I Alors

f’(x)=0 f est constante sur I

f’(x)>0 f est strictement croissante sur I f’(x)<0 f est strictement décroissante sur I

Extremum

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f’(a)=0.

Minimum local

Etude et Représentation graphique d’une fonction

Pour Etudier une fonction et construire sa représentation graphique, on procède généralement de la manière suivante:

o Limites aux bornes de l’intervalle d’étude o Etude des variations :

• Dérivée

• Signe de la dérivée

• Tableau de variation

o Le plan étant muni d’un repère orthogonal ou orthonormal, on dessine la courbe représentative après avoir placé :

• Les éventuels points représentatifs des extremums

• Des points ou des droites particuliers

• Quelques points obtenus à l’aide d’une calculatrice

Exemple : Etudier et représenter sur [-5 ;5]

( )

12 1

3

2 3 2

+

− +

= x x x

x f

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si f est une fonction continue sur sur [a, b], alors pour tout réel k compris entre f

( )

a et f

( )

b , il

existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f

( )

c =k.

Théorème « de bijection » Si f est une fonction dérivable et strictement monotone sur [a, b], alors pour tout élément λ compris entre f

( )

a et f

( )

b , l’équation f x

( )

=λ admet une solution unique dans [a, b].

a x0 b

E E t t a a p p e e 5 5 . . E E t t u u d d e e d d ’ ’ u u n n e e f f o o n n c c t t i i o o n n

f(b) λ f(a)

(15)

5.2. Exercices de l’étape 5

Exercice 1 :

f est la fonction définie sur IR par : f

( )

x =x4 6x2 8x

a) Etudier la limite de f en −∞ et +∞

b) Déterminer la donction dérivée de f et démontrer que f

( ) (

x =4 x2

)(

x+1

)

2

c) Etudier le signe de f

( )

x . En déduire dans un tableau les variations de f.

Exercice 2 :

Etudier la fonction f définie sur IR par f

( )

x = x3 +2x2 3

Exercice 3 :

Etudier la fonction f définie sur IR par

( )

3 2

2 +

= x x x f

Exercice 4 :

Etudier la fonction f définie sur

]

0;+∞

[

par

( )

x x x

f 3

3 +

=

Exercice 5 :

F est la fonction définie sur IR – {1} par :

( ) ( )

2

2

1

2 −

= + x

bx x ax

f .

Déterminer les réels a et b pour que la fonction f admette un extremum égal à 2 en x=2.

Exercice 6:

1) Etudier la fonction f définie sur par f

( )

x =x3 +x+1

Démontrer que l’équation f

( )

x =0 admet une unique solution dans l’intervalle ]-1,0[. Donner un encadrement d’amplitude 10-3 de cette solution.

Exercice 6 :

Soit f une fonction définie par

( ) ( )

2

2 3

1 4 8 4

− +

= − t

t t t t

f . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité 1 cm. On étudiera f sur I=

[

3;6

]

, mais on s’intéressera aussi au comportement de f en +∞ et en −∞.

1) Sur I, Déterminer l’ensemble de définition de f.

2) Etudier la limite de f en 2. En déduire l’existence d’une asymptote V dont on donnera une équation.

3) Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.

Déterminer a, b, c, et d pour que f

( )

t =at+b+

( )

ctt+1d2 . En déduire l’existence d’une asymptote oblique A dont on précisera l’équation et sa position par rapport à la courbe.

4) Calculer f

( )

t . On démontrera que

( ) ( ) ( )

3

2

1 3

= −

t t t t

f .

5) Etudier le signe de f. En déduire les variations de f sur I.

6) Déterminer le point d’intersection J de C et A. O, admettra que les coordonnées de J

sont : 

 

 −

12

; 47 3

1 Déterminer l’équation de la tangente à C en ce point.

Tracer A, V et C sur I.

(16)

6.1. L’essentiel

Notation : exp

( )

x =ex

Pour tout nombre réel x, ex >0

e0 =1 e1 =e

ea b+ =ea ×eb e e

a a

= 1

e e

e

a b a b

=

( )

ea n =ena

Dérivée :

( )

ex =ex

( )

eu( )x =u

( )

x ×eu( )x 

( )

eu =u×eu

Limites : lim

x ex

→−∞ =0 lim

x ex

→+∞ = +∞

Variations et courbe représentative

x −∞ +∞

( )

ex =ex

+

ex

+∞

0

Théorèmes admis : →+∞ x =+∞

e x

x

lim →+∞ n =+∞

x

x e

xlim n>0

0 lim−∞ =

xex

x →−∞lim xnex =0

x

¢¢ →+∞lim e−x =0

x

( )

ex =ex

E E t t a a p p e e 6 6 . . L L a a f f o o n n c c t t i i o o n n

e e x x p p o o n n e e n n t t i i e e l l l l e e

(17)

6.2. Exercices de l’étape 6

Exercice 1 :

x

x − +e

−∞

1

lim x

x − +e

+∞

1

lim

t

x e

−∞

3+

lim t

x e

+∞

3+ lim

t

xlime2

−∞

t xlim e2

+∞

x

x x + −e

+∞

2

lim 2 lim 2 2

x x ex

x

+∞

x ex

xlim+∞

• lim 3 4

−∞

x

x xe lim 3 4

−∞

x

x xe

Exercice 2 :

Déterminer les dérivées de la fonction f sur l’ensemble donné où elle est définie dérivable.

a) f x

( )

= +x ex Df = b) f

( )

t =e0,2t Df = b) f x

( )

=2xe3x Df = d) f x

( )

=e3x+5 Df =

e) f x

( )

= x e2 x Df = f) f x

( )

x

ex

= Df = g) f x

( )

=2 x Df = h) f

( ) (

x = 3x2

)

ex Df = i)

( )

1 2

= xx e x e

f Df = j) f

( )

x =e1x Df = * k) f

( )

x =e x Df =

]

0;+∞

[

l) f

( )

x =e3xx+11 Df =

] [

1;+∞

Exercice 3 :

Etudier la fonction f sur définie par f

( )

x = x+ex

Exercice 4 :

Etudier la fonction f sur définie par f

( )

x =3000e200x

Exercice 5 :

Etudier la fonction f sur définie par f

( )

x =ex2

Exercice 6 :

Etudier la fonction f sur définie par f

( )

x =ex2+x Exercice 7 :

Etudier la fonction f sur définie par f

( )

x = x +ex

2 1

(18)

7.1. L’essentiel.

• La fonction logarithme népérien f

( )

x =lnxest la primitive de x x a 1

sur

]

0;+∞

[

qui

prend la valeur 0 pour x=1.

• Dérivée :

( )

x 1x ln ′ =

( ( ) ) ( )

( )

x

u x x u

u ′ = ′

ln 

( )

= 

u u u ln

• ln1=0 lne=1 lnen =n

• Pour tout x de

] [

1;+∞ , lnx>0

Pour tout x de

] [

0 1; , lnx<0

Relations fonctionnelles lnab=lna+lnb ln1 ln a = − a lna ln ln

b = ab lnan =nlna ln a = 1lna

2

Equivalences lna=lnb ssi a = b.

lna≤lnb ssi ab lna≥lnb ssi ab

Limites lim ln

x x

→ = −∞

0 lim ln

x→+∞ x= +∞ lim ln

x

x

→+∞ x =0

Variation – Courbe représentative.

x 0 +∞

( )

ln x = x

1 +

lnx

+∞

−∞

logarithme népérien & exponentielle : Fonctions réciproques

• Pour tout nombre réel x, ln ex = x

• Pour tout nombre réel de

]

0;+∞

[

, elnx =x

• la fonction exponentielle est la fonction qui à tout nombre réel x associe le nombre strictement positif unique y tel que x=lny.

Pour tout nombre réel x et tout nombre réel strictement positif y, y=ex ssi x=lny

E E t t a a p p e e 7 7 . . L L a a F F o o n n c c t t i i o o n n l l o o g g a a r r i i t t h h m m e e

1

1 2 e 3

(19)

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln se déduisent l’une de l’autre par la symétrie orthogonale d’axe la droite d’équation y = x.

y=ln x

y = x

y = ex

Remarque :

La courbe exponentielle admet pour asymptote l’axe des abscisses, ce qui est l’interprétation de

xlim ex

→−∞ =0.

x -3 -2 -1

f(x)

x 0 1 2

f(x)

Figure

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Références

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