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Défocalisation en spatialisation vidéo à partir de trois vues de référence

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Institut EURECOM 2229, route des Cr^etes B.P. 193

06904 Sophia Antipolis FRANCE

Research Report N

o

RR-96-019

Defocalisation en Spatialisation Video a partir de Trois Vues de Reference

(Expressions Analytiques)

Katia Fintzel Jean-Luc Dugelay 28 fevrier 1996

Telephone: +33 93 00 26 26 E-mail:

Jean-Luc Dugelay: +33 93 00 26 41 dugelay@eurecom.fr Katia Fintzel: +33 93 00 26 74 ntzel@eurecom.fr

Fax: +33 93 00 26 27

(2)

Resume

Dans le cadre du projet de TRA itement des I mages VI rtuelles, ce rapport interne met l'accent sur les dierentes expressions analytiques du systeme trilineaire associe a une sequence de trois vues quelconques d'une m^eme scene 3D. Un systeme de correspondance entre les parametres de chacune de ces formes est d'ailleurs mis en evidence.

Enn, nous detaillons la aussi de facon analytique, l'une des extensions de la methode de resynthese de l'une des trois vues de reference en fonction des deux autres et des parametres pre-cites: la defocalisation pour la Spatialisation Video.

Cette extension est d'ailleurs etudiee pour toutes les expressions trilineaires vues precedemment.

i

(3)

Contents

Abstract i

1 Introduction 1

2 Les relations trilineaires 1

3 Changement de focale de la camera intermediaire 6 4 Exemples de vues synthetisees par defocalisation 13

5 Conclusion 15

References 16

ii

(4)

1 INTRODUCTION

1

1 Introduction

Ce rapport interne complete les travaux publies dans CORESA'96 et IM- AGE'COM 96. Ces travaux en Spatialisation Video sont realises dans le cadre du projet interne en tele-virtualite: TRAIVI, dont le but est de creer et de gerer des espaces virtuels de reunion les plus realistes possibles via des liaisons bas debit.

En eet, par le biais de la Spatialisation Video, nous comptons ^etre en mesure de restituer des images en fonction de la place et de l'orientation \virtuelles" des cen- tres d'inter^et de chaque participant. C'est precisement ce qui nous dierencie des systemes de visio-conference actuels, qui imposent encore a chaque conferencier un point de vue general sur la scene. Enn rappelons que cette etude a ete motivee par le fait qu'aucun modele articiel de la scene 3D n'est cree et qu'au contraire les resyntheses de points de vue de la scene sont realisees a partir d'images reelles de reference, an de garantir le realisme de la scene visualisee.

Les travaux concernant la Spatialisation Video menes a EURECOM s'eche- lonnent en plusieurs etapes. Dans un premier temps, nous avons valide une phase de reconstruction d'une vue de scene 3D a partir de deux de ses vues voisines non calibrees [1]. Cette etude basee entierement sur la theorie de la Trilinearite, nous a permis d'etablir une methode de resynthese d'image composee de deux etapes:

l'estimation de dix-huit parametres a partir d'une sequence de trois vues de la scene,

la reconstruction d'une vue en fonction des parametres pre-cites et des deux autres vues.

Nous avons essayer ensuite d'extrapoler cette methode, an de synthetiser des vues a priori inexistantes de cette m^eme scene 3D, en jouant sur l'ordre des vues de reference pour la resynthese, ou directement sur les valeurs estimees des parametres [2] [3].

C'est l'une des extensions concernant les variations directes des parametres pre- calcules, qui est presentee ici, apres un rappel complet des dierentes expressions analytiques du systeme trilineaire associe a trois vues d'une m^eme scene 3D. En eet, en annexe de l'ensemble des travaux, cette note technique concerne la Defocalisation en Spatialisation Video, c'est a dire la synthese de vues inconnues de la scene 3D, qui correspondent aux vues, que nous aurions obtenues si la focale de la camera correspondant a la vue a reconstruire avait ete autres.

2 Les relations trilineaires

Soit

P

un point de l'espace homogene, il se projette sur les retines de 3 cameras

C

1,

C

2 et

C

3 respectivement en

p1

,

p2

et

p3

via les trois matrices de projection

M1

,

(5)

2 LES RELATIONS TRILIN

EAIRES

2

M

2

et

M3

. On a donc:

M 1

:P

=

p1

=

x

y

!

avec:

M

1

=

I3X4

=

0

B

@

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1

C

A

=

0

B

@ i

1

i

2

i

3 1

C

A

soit:

x

y

!

=

iii132:P:P:P

i

3 :P

!

,!

(

(

i3:x,i1

)

:P

= 0

(

i3:y,i2

)

:P

= 0 (1)

De la m^eme facon on obtient en considerant les projections pour les deux autres cameras:

M 2

:P

=

p2

=

x0

y 0

!

avec:

M

2

=

A3X4

=

0

B

@ a

1

a

2

a

3 1

C

A

D'ou:

x 0

y 0

!

=

aaa132:P:P:P

a3:P

!

,!

(

(

a3:x0,a1

)

:P

= 0

(

a3:y0,a2

)

:P

= 0 (2)

Et:

M 3

:P

=

p3

=

x00

y 00

!

avec:

M

3

=

B3X4

=

0

B

@ b

1

b

2

b

3 1

C

A

D'ou:

x 00

y 00

!

=

b1:Pbb32:P:P

b

3 :P

!

,!

(

(

b3:x00,b1

)

:P

= 0

(

b3:y00,b2

)

:P

= 0 (3)

Les systemes (1), (2) et (3) peuvent ^etre regroupes sous la forme matricielle

suivante:

0

B

B

B

B

B

B

B

@ i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :x

0

,a

1

a

3 :y

0

,a

2

b

3 :x

00

,b

1

b :y 00

,b 1

C

C

C

C

C

C

C

A

:P

= 0

6X1

(4)

(6)

2 LES RELATIONS TRILIN

EAIRES

3

La matrice ci-dessus est de dimension 3, donc tous ses determinants 4

X

4 s'annulent et on a [4]:

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :x

0

,a

1

b

3 :x

00

,b

1

=

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :x

0

,a

1

b

3 :y

00

,b

2

= 0 (5)

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :y

0

,a

2

b

3 :x

00

,b

1

=

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :y

0

,a

2

b

3 :y

00

,b

2

= 0 (6)

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :x

0

,a

1

b

3 :x

00

,b

1

=

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :y

0

,a

2

b

3 :x

00

,b

1

= 0 (7)

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :x

0

,a

1

b

3 :y

00

,b

2

=

i

3 :x,i

1

i

3 :y,i

2

a

3 :y

0

,a

2

b

3 :y

00

,b

2

= 0 (8)

Le developpement des determinants donnes par l'equation (5) nous donne la premiere forme trilineaire suivante:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

: x

00

x

0

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

x

00

((

a14b31,a11b34

)

x

+ (

a14b32,a12b34

)

y

+ (

a14b33,a13b34

))+

x

0

((

a34b11,a31b14

)

x

+ (

a34b12,a32b14

)

y

+ (

a34b13,a33b14

))+

(

a11b14,a14b11

)

x

+ (

a12b14,a14b12

)

y

+ (

a13b14,a14b13

) = 0

y 00

x

0

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

y

00

((

a14b31,a11b34

)

x

+ (

a14b32,a12b34

)

y

+ (

a14b33,a13b34

))+

x

0

((

a34b21,a31b24

)

x

+ (

a34b22,a32b24

)

y

+ (

a34b23,a33b24

))+

(

a11b24,a14b21

)

x

+ (

a12b24,a14b22

)

y

+ (

a13b24,a14b23

) = 0

(9)

La seconde forme est obtenue a partir de l'equation (6):

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

: x

00

y

0

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

x

00

((

a24b31,a21b34

)

x

+ (

a24b32,a22b34

)

y

+ (

a24b33,a23b34

))+

y

0

((

a34b11,a31b14

)

x

+ (

a34b12,a32b14

)

y

+ (

a34b13,a33b14

))+

(

a21b14,a24b11

)

x

+ (

a22b14,a24b12

)

y

+ (

a23b14,a24b13

) = 0

y 00

y

0

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

y

00

((

a24b31,a21b34

)

x

+ (

a24b32,a22b34

)

y

+ (

a24b33,a23b34

))+

y

0

((

a34b21,a31b24

)

x

+ (

a34b22,a32b24

)

y

+ (

a34b23,a33b24

))+

(

a21b24,a24b21

)

x

+ (

a22b24,a24b22

)

y

+ (

a23b24,a24b23

) = 0

(10)

(7)

2 LES RELATIONS TRILIN

EAIRES

4

De m^eme pour la troisieme:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

: x

0

x

00

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

x

0

((

a34b11,a31b14

)

x

+ (

a34b12,a32b14

)

y

+ (

a34b13,a33b14

))+

x

00

((

a14b31,a11b34

)

x

+ (

a14b32,a12b34

)

y

+ (

a14b33,a13b34

))+

(

a11b14,a14b11

)

x

+ (

a12b14,a14b12

)

y

+ (

a13b14,a14b13

) = 0

y 0

x

00

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

y

0

((

a34b11,a31b14

)

x

+ (

a34b12,a32b14

)

y

+ (

a34b13,a33b14

))+

x

00

((

a24b31,a21b34

)

x

+ (

a24b32,a22b34

)

y

+ (

a24b33,a23b34

))+

(

a21b14,a24b11

)

x

+ (

a22b14,a24b12

)

y

+ (

a23b14,a24b13

) = 0

(11)

Et la quatrieme:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

: x

0

y

00

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

x

0

((

a34b21,a31b24

)

x

+ (

a34b22,a32b24

)

y

+ (

a34b23,a33b24

))+

y

00

((

a14b31,a11b34

)

x

+ (

a14b32,a12b34

)

y

+ (

a14b33,a13b34

))+

(

a11b24,a14b21

)

x

+ (

a12b24,a14b22

)

y

+ (

a13b24,a14b23

) = 0

y 0

y

00

((

a31b34,a34b31

)

x

+ (

a32b34,a34b32

)

y

+ (

a33b34,a34b33

))+

y

0

((

a34b21,a31b24

)

x

+ (

a34b22,a32b24

)

y

+ (

a34b23,a33b24

))+

y

00

((

a24b31,a21b34

)

x

+ (

a24b32,a22b34

)

y

+ (

a24b33,a23b34

))+

(

a21b24,a24b21

)

x

+ (

a22b24,a24b22

)

y

+ (

a23b24,a24b23

) = 0

(12)

Ces formes peuvent ^etre re-ecrites plus simplement de la facon suivante:

1ere forme:

(

x

00

(

1x

+

2y

+

3

) +

x00x0

(

4x

+

5y

+

6

) +

x0

(

7x

+

8y

+

9

) +

10x

+

11y

+

12

= 0

y

00

(

1x

+

2y

+

3

) +

y00x0

(

4x

+

5y

+

6

) +

x0

(

13x

+

14y

+

15

) +

16x

+

17y

+

18

= 0 2ieme forme:

(

x

00

(

1x

+

2y

+

3

) +

x00y0

(

4x

+

5y

+

6

) +

y0

(

7x

+

8y

+

9

) +

10x

+

11y

+

12

= 0

y

00

(

1x

+

2y

+

3

) +

y00y0

(

4x

+

5y

+

6

) +

y0

(

13x

+

14y

+

15

) +

16x

+

17y

+

18

= 0 3ieme forme:

(

x

0

(

1x

+

2y

+

3

) +

x0x00

(

4x

+

5y

+

6

) +

x00

(

7x

+

8y

+

9

) +

10x

+

11y

+

12

= 0

y

0

(

1x

+

2y

+

3

) +

y0x00

(

4x

+

5y

+

6

) +

x00

(

13x

+

14y

+

15

) +

16x

+

17y

+

18

= 0 4ieme forme:

(

x

0

(

1x

+

2y

+

3

) +

x0y00

(

4x

+

5y

+

6

) +

y00

(

7x

+

8y

+

9

) +

10x

+

11y

+

12

= 0

y

0

(

1x

+

2y

+

3

) +

y0y00

(

4x

+

5y

+

6

) +

y00

(

13x

+

14y

+

15

) +

16x

+

17y

+

18

= 0 Les 52 parametres ci-dessus ne sont pas independants les uns des autres, il existe

en eet le systeme de correspondance ci-dessous entre ces parametres:

(8)

2 LES RELATIONS TRILIN

EAIRES

5

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

: a

14 b

31 ,a

11 b

34

=

1

=

7

=

7

a

14 b

32 ,a

12 b

34

=

2

=

8

=

8

a

14 b

33 ,a

13 b

34

=

3

=

9

=

9

a

31 b

34 ,a

34 b

31

=

4

=

4

=

4

=

4

a

32 b

34 ,a

34 b

32

=

5

=

5

=

5

=

5

a

33 b

34 ,a

34 b

33

=

6

=

6

=

6

=

6

a

34 b

11 ,a

31 b

14

=

7

=

7

=

1

a

34 b

12 ,a

32 b

14

=

8

=

8

=

2

a

34 b

13 ,a

33 b

14

=

9

=

9

=

3

a

11 b

14 ,a

14 b

11

=

10

=

10

a

12 b

14 ,a

14 b

12

=

11

=

11

a

13 b

14 ,a

14 b

13

=

12

=

12

a

34 b

21 ,a

31 b

24

=

13

=

13

=

1

a

34 b

22 ,a

32 b

24

=

14

=

14

=

2

a

34 b

23 ,a

33 b

24

=

15

=

15

=

3

a

11 b

24 ,a

14 b

21

=

16

=

10

a

12 b

24 ,a

14 b

22

=

17

=

11

a

13 b

24 ,a

14 b

23

=

18

=

12

a

24 b

31 ,a

21 b

34

=

1

=

13

=

13

a

24 b

32 ,a

22 b

34

=

2

=

14

=

14

a

24 b

33 ,a

23 b

34

=

3

=

15

=

15

a

21 b

14 ,a

24 b

11

=

10

=

16

a

22 b

14 ,a

24 b

12

=

11

=

17

a

23 b

14 ,a

24 b

13

=

12

=

18

a

21 b

24 ,a

24 b

21

=

16

=

16

a

22 b

24 ,a

24 b

22

=

17

=

17

a

23 b

24 ,a

24 b

23

=

18

=

18

(13)

Or on conna^t l'expression complete des deux matrices de projection

A3X4

et

B

3X4

:

A

3X4

=

0

B

@ a

11 a

12 a

13 a

14

a

21 a

22 a

23 a

24

a

31 a

32 a

33 a

34 1

C

A

A

3X4

=

0

B

@ r

2

11 :k

2

u :f

2

+

r312 :u20 r122 :k2u:f2

+

r232:u20 r213:ku2:f2

+

r233:u20 t21:ku2:f2

+

t23:u20

r 2

21 :k

2

v :f

2

+

r231:v20 r222:k2v:f2

+

r232:v20 r232 :k2v:f2

+

r233:v02 t22:k2v:f2

+

t23:v20

r 2

31

r 2

32

r 2

33

t 2

3

1

C

A

De m^eme: (14)

(9)

3 CHANGEMENT DEFOCALE DELA CAM

ERA INTERM

EDIAIRE

6

B

3X4

=

0

B

@ r

3

11 :k

3

u :f

3

+

r331:u30 r312:k3u:f3

+

r332:u30 r313:ku3:f3

+

r333:u30 t31:k3u:f3

+

t33:u30

r 3

21 :k

3

v :f

3

+

r331:v30 r322:k3v:f3

+

r332:v03 r233 :k3v:f3

+

r333:v03 t32:k3v:f3

+

t33:v30

r 3

31

r 3

32

r 3

33

t 3

3

1

C

A

(15) (

uk0;v0k

) etant l'intersection de l'axe optique et du plan image

k

, on peut utiliser l'approximation suivante: (

uk0;v0k

) = (0

;

0), ce qui permet de simplier les matrices de projection et par suite les valeurs des parametres issus des systemes trilineaires.

On obtient ainsi:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1

=

7

=

7

=

t21:k2u:f2:r313 ,r112 :k2u:f2:t33

2

=

8

=

8

=

t21:k2u:f2:r323 ,r122 :k2u:f2:t33

3

=

9

=

9

=

t21:k2u:f2:r333 ,r132 :k2u:f2:t33

4

=

4

=

4

=

4

=

r312 :t33,t23:r331

5

=

5

=

5

=

5

=

r322 :t33,t23:r332

6

=

6

=

6

=

6

=

r332 :t33,t23:r333

7

=

7

=

1

=

t23:k3u:f3:r113 ,r312 :k3u:f3:t31

8

=

8

=

2

=

t23:k3u:f3:r123 ,r322 :k3u:f3:t31

9

=

9

=

3

=

t23:k3u:f3:r133 ,r332 :k3u:f3:t31

10

=

10

=

t31:k2u:f2:ku3:f3:r211,r311:ku2:f2:k3u:f3:t21

11

=

11

=

t31:k2u:f2:ku3:f3:r212,r312:ku2:f2:k3u:f3:t21

12

=

12

=

t31:k2u:f2:ku3:f3:r213,r313:ku2:f2:k3u:f3:t21

13

=

13

=

1

=

t23:k3v:f3:r321,r231:kv3:f3:t32

14

=

14

=

2

=

t23:k3v:f3:r322,r232:kv3:f3:t32

15

=

15

=

3

=

t23:k3v:f3:r323,r233:kv3:f3:t32

16

=

10

=

t32:k2u:f2:kv3:f3:r112 ,r321:k2u:f2:k3v:f3:t21

17

=

11

=

t32:k2u:f2:kv3:f3:r122 ,r322:k2u:f2:k3v:f3:t21

18

=

12

=

t32:k2u:f2:kv3:f3:r132 ,r323:k2u:f2:k3v:f3:t21

1

=

13

=

13

=

t22:k2v:f2:r331,r221:kv2:f2:t33

2

=

14

=

14

=

t22:k2v:f2:r332,r222:kv2:f2:t33

3

=

15

=

15

=

t22:k2v:f2:r333,r223:kv2:f2:t33

10

=

16

=

t31:k2v:f2:k3u:f3:r212 ,r311:k2v:f2:k3u:f3:t22

11

=

17

=

t31:k2v:f2:k3u:f3:r222 ,r312:k2v:f2:k3u:f3:t22

12

=

18

=

t31:k2v:f2:k3u:f3:r232 ,r313:k2v:f2:k3u:f3:t22

16

=

16

=

t32:k2v:f2:k3v:f3:r221,r321:kv2:f2:kv3:f3:t22

17

=

17

=

t32:k2v:f2:k3v:f3:r222,r322:kv2:f2:kv3:f3:t22

18

=

18

=

t32:k2v:f2:k3v:f3:r223,r323:kv2:f2:kv3:f3:t22

(16)

3 Changement de focale de la camera intermediaire

On conna^t, par exemple, l'expression des parametres de la 1ere forme du

systeme trilineaire suivante:

(10)

3 CHANGEMENT DEFOCALE DELA CAM

ERA INTERM

EDIAIRE

7

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1

=

,t33:

(

r211:k2u:f2

+

r231:u20

) + (

t21:ku2:f2

+

t23:u20

)

:r331

2

=

,t33:

(

r212:k2u:f2

+

r232:u20

) + (

t21:ku2:f2

+

t23:u20

)

:r332

3

=

,t33:

(

r213:k2u:f2

+

r233:u20

) + (

t21:ku2:f2

+

t23:u20

)

:r333

4

=

t33:r312 ,t23:r331

5

=

t33:r322 ,t23:r332

6

=

t33:r332 ,t23:r333

7

=

,

(

t31:ku3:f3

+

t33:u30

)

:r231

+

t23:

(

r113 :k3u:f3

+

r313 :u30

)

8

=

,

(

t31:ku3:f3

+

t33:u30

)

:r232

+

t23:

(

r123 :k3u:f3

+

r323 :u30

)

9

=

,

(

t31:ku3:f3

+

t33:u30

)

:r233

+

t23:

(

r133 :k3u:f3

+

r333 :u30

)

10

= (

t31:ku3:f3

+

t33:u30

)

:

(

r211:k2u:f2

+

r231:u20

)

,

(

t21:k2u:f2

+

t23:u20

)

:

(

r113 :k3u:f3

+

r331:u30

)

11

= (

t31:ku3:f3

+

t33:u30

)

:

(

r212:k2u:f2

+

r232:u20

)

,

(

t21:k2u:f2

+

t23:u20

)

:

(

r123 :k3u:f3

+

r332:u30

)

12

= (

t31:ku3:f3

+

t33:u30

)

:

(

r213:k2u:f2

+

r233:u20

)

,

(

t21:k2u:f2

+

t23:u20

)

:

(

r133 :k3u:f3

+

r333:u30

)

13

=

,

(

t32:k3v:f3

+

t33:v03

)

:r312

+

t23:

(

r213 :k3v:f3

+

r331:v03

)

14

=

,

(

t32:k3v:f3

+

t33:v03

)

:r322

+

t23:

(

r223 :k3v:f3

+

r332:v03

)

15

=

,

(

t32:k3v:f3

+

t33:v03

)

:r332

+

t23:

(

r233 :k3v:f3

+

r333:v03

)

16

= (

t32:kv3:f3

+

t33:v30

)

:

(

r112 :k2u:f2

+

r312 :u20

)

,

(

t21:k2u:f2

+

t23:u20

)

:

(

r321:kv3:f3

+

r331:v30

)

17

= (

t32:kv3:f3

+

t33:v30

)

:

(

r122 :k2u:f2

+

r322 :u20

)

,

(

t21:k2u:f2

+

t23:u20

)

:

(

r322:kv3:f3

+

r332:v30

)

18

= (

t32:kv3:f3

+

t33:v30

)

:

(

r132 :k2u:f2

+

r332 :u20

)

,

(

t21:k2u:f2

+

t23:u20

)

:

(

r323:kv3:f3

+

r333:v30

) Ces parametrespermettent de reconstruire l'image (

x00;y00

) a partir de

f

(

x;y

);(

x0;y0

)

g

par le systeme de resynthese suivant:

8

<

: x

00

=

,x(0(17x+8y +9)+10x+11y +12 x+

2 y +

3 )+x

0

(

4 x+

5 y +

6 )

y

00

=

,x0((1x+213x+14y +3y +)+x15)+0(4x+516x+17y +6)y +18

Si l'on decide de resynthetiser une vue inconnue equivalente a la vue que l'on au-

rait obtenue si la focale de la camera relative a la vue reconstruite avait etedierente,

il sut de repercuter ce changement de focale dans l'expression des parametres du

systeme trilineaire. Ainsi la focale

f3

est multipliee dans ces equations par un fac-

teur

a

et on obtient, apres renommage et renumerotation les nouveaux parametres

(

i

) suivants:

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