ATS 2021-22 TD MF4
ENERGETIQUE DES FLUIDES
1 Jet d’eau du lac de Genève**
Le débit massique à la base du jet d’eau vertical de Genève est Dm = 500 kg/s. Le diamètre de la section à la base est d = 11 cm. Trouver la hauteur du jet puis la puissance mécanique nécessaire P pour l’alimenter. L’eau du lac est captée par la pompe proche de la surface. Schéma indispensable. Hypothèses à préciser.
Réponse :h= 141m ; P = 0.69M W
2 Puissance d’une pompe*
On considère l’écoulement parfait. On note Dv = 1 L/sle débit volumique pour l’écoulement et µ= 1kg/L la masse volumique du fluide supposé homogène. Le régime est stationnaire.
Les sections des conduites en amont et en aval sont identiques. La pression en amont de la pompe est de P1= 1.1baret la hauteur vauth= 5m. Le fluide est rejeté dans l’atmosphère.
Déterminer et calculer la puissance d’alimentation de cette pompe, de rendementη= 0.5.
Réponse :P = 7.8kW
3 Etude d’un chauffe-eau solaire*
Une réserve d’eau chaude collective de volumeV = 5000L, dont l’arrivée de remplissage est située au 1er étage (H = 5m), est alimentée par un écoulement d’eau chauffée par des panneaux solaires situées sur le toit du bâtiment de
hauteurh= 10m. L’eau froide du réseau arrive (au niveau du sol) sous une pression de Ps = 3 bar et le chauffage se fait chaque jour pendant la durée limitée où le soleil éclaire les panneaux, soit environ 5 h. La section des tuyaux est identique sur l’ensemble du dispositif. La masse volumique de l’eau est notéeµ.
Vue la section (supposée constante) des tuyaux, on néglige les pertes de charges régulières. En revanche, on ajoute sur le circuit hydraulique un compteur d’énergie ther- mique Sharky Solar 775 dont la perte de charge singulière est fournie ci-dessous (type 2) :
Faire un schéma du dispositif et déterminer la pression de l’eau à l’entrée de la réserve. On précisera les éventuelles hypothèses faites.
Réponse :P = 2.3bar
4 Temps de vidange d’un récipient : théorème de Torricelli**
1. Soit un récipient cylindrique de hauteur H, de rayon R, rempli d’un liquide homogène supposé parfait (niveau repéré parh(t)). On fore un orifice circulaire de rayonrdans le fond.
On négligera la zone de turbulence probable si- tuée à proximité de l’orifice, et on supposera que sur de court temps, la vidange est suffisam- ment lente pour que l’écoulement soit quasi sta- tionnaire (h varie lentement). Données : H = 50cm; R= 10cm; r= 0.50cm
(a) Trouver une relation entreuetv, les vitesses du fluide en surface et à l’éjection.
(b) Trouver une relation entre u, v et h. En dé- duire la vitessev d’éjection de l’eau en fonc- tion deh, en supposant rR. Cela ne vous rappelle-t-il rien ? AN lorsque le cylindre est rempli.
(c) En faisant un bilan de volume au récipient, montrer quedhdt =−u. En fait on aurait-on pu affirmer directement cette relation, pourquoi ? (d) En supposant toujours r R, déduisez des questions précédentes l’équation différentielle vérifiée par h(t). En séparant les variables 1
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pour la résoudre, exprimer le temps de vi- dange totaleT du récipient. AN.
2. Le récipient n’est plus cylindrique, mais possède toujours un axe de révolution vertical. Quelle de- vrait être l’équation z = f(R) d’une génératrice pour que la hauteur de fluide restant dans le réci- pient soit proportionnelle au temps d’écoulement restant ? Application d’un tel système ?
Réponse : 1c) dhdt =−√
2gh(Rr)2, 1d)T = (Rr)2q
2H g = 128s
5 Optimisation d’une canalisa- tion**
Déterminer lequel des deux montages hydrauliques ci-dessous minimise la puissance nécessaire pour acheminer le fluide de son entrée (bas du schéma) à sa sortie pour un débitDv= 1L/s, la pression étant la même en entrée qu’en sortie. Calculer cette puissance.
La section de la canalisation cylindrique est de rayon constant R = 3 cm, le fluide transporté est l’huile (visco- sitéη= 1usi,ρ≈1 kg/L).L= 1m.
On fournit les documentations suivantes sur les pertes de charges dans une canalisation :
Pertes singulières :Jsing =K2ρv2 avec :
Pertes régulières sur une longueurl de conduite : Jreg = 8ηDvl
πR4
Par ailleurs on attire l’attention de l’étudiant sur le fait que sinn(α)6= sin(α)n...
6 Danger de la navigation*
Quel risque encourent les capitaines de deux navires suivant des trajectoires proches et parallèles ?
7 Tube de Pitot à prise frontale**
Une sonde cylindrique horizontale est parcourue par de l’air arrivant avec une masse volumique ρo et une vi- tesse~v parallèle à son axe, supposé en écoulement parfait.
Une dérivation avec une prise frontale et une prise latérale contient du mercure de masse volumiqueρet qui se stabilise avec une dénivellationh. La prise frontale (A) est si petite que l’air y est stoppé à son entrée et la prise latérale (B) ne perturbe pas l’écoulement, de sorte que la vitesse de l’air y est identique à~v. Loin du tube l’écoulement est uniforme (caractéristiques :ρo et~v ). L’air dans la dérivation est au repos entre A et D ainsi qu’entre B et C.
1. Tracer la ligne de champ qui passe par A. Idem par B.
2. Que dire de l’air et de sa pression dans le tube entre A et D ? Idem entre B et C ? Déterminer la relation entrePA, PB eth.
3. En exploitant les deux lignes de champ passant par A et par B montrer que la norme de la vitesse v s’exprime en fonction deρghet ρo.
4. AN : Que vaut v pour h= 3 cm. On donne ρ= 13.6 103 kg.m−3 et dans les conditions standard ρo= 1.2kg/m3.
Réponse :v=q
2ρgh
ρo = 82m.s−1
8 Autre tube de Pitot...**
On place un tube de Pitot sur l’aile d’un avion pour déterminer sa vitesse. On se place dans le référentiel tel que le tube de Pitot soit immobile. Un manomètre donne la me- sure de la différence de pression ∆P = P(A)−P(S). Le point A est un point d’arrêt et le point S est assez éloigné de A pour que l’écoulement n’y soit pas perturbé.
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SoitPo, µo, voles caractéristiques du fluide loin du tube. On suppose l’écoulement stationnaire, incompressible et parfait.
1. Expliquer la façon d’utiliser un tel manomètre.
Comment mesure-t-on ∆P?
2. Exprimer voen fonction de ∆P etµo. Réponse : 2)vo2= 2∆P/µo
9 Interprétation d’une expé- rience**
A l’aide d’hypothèses, bâtir une modélisation qui rendent compte du profil d’un filet d’eau coulant d’un ro- binet.
10 Résolution de problème**
Les 4 immenses tours disposées sur le pont sont mises en rotation par des moteurs. Expliquer comment le navire peut avancer grâce à elles lorsqu’il y a du vent.
11 Résolution de problème*
Déterminer la puissance maximale potentiellement récupérable des chutes du Niagara, de hauteur moyenne h= 57met de débit moyen D= 2800m3/s.
12 Carburateur - Effet Venturi**
Expliquer l’intérêt du rétrécissement pratiqué sur la conduite d’air au niveau du gicleur.
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13 Problème de circulation chez la girafe**
Données : µsang ≈ µeau; apport nécessaire au cerveau : 700 mL/min; Pentree coeur = 5 mmHg; Pentree cerveau = 100mmHg; rayon moyen de l’artère carotide :R= 0,6cm; 1bar= 750mmHg;ηsang= 4.10−3 P l.
1. En négligeant d’abord la viscosité, calculer la puissance P que le coeur de la girafe doit four- nir pour maintenir irrigué son cerveau ?
2. Quel problème physiologique la girafe peut-elle ressentir lorsqu’elle relève brusquement la tête après avoir bu dans une mare ?
3. Critiquer les hypothèses faites à la question 1. La valeur trouvée est elle sur ou sous estimée ? 4. En utilisant la formule de Poiseuille des pertes
régulières sur une longueurlde conduite de rayon R :
Jreg = 8ηDvl πR4
reprendre la question 1). Commentaire.
5. Reprendre le raisonnement précédent en rempla- çant l’artère par 10 artérioles de rayon 10 fois moindre, mais véhiculant le même débit total.
Réponse : 2)v2o= 2∆P/µo
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Eval
Connaître les conséquences de l’écoulement parfait (frott et Q nuls)
Relation de Bernoulli classique le long d’une ligne de champ avec ses hypothèses
Relation de Bernoulli avec pompe ou turbine (terme P/Dv en plus)
Relation de Bernoulli avec perte de charge (termeJ d’expression fournie en plus)
Distinguer perte de charge régulière et singulière
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