ATS 2021-22 TD M7
OSCILLATIONS FORCÉES
1 Maniement des complexes*
1. Mettez sous la forme Re+j.Im les complexes suivants :
a) 1
1−4j ; b)2 +j
j ;c) 2 + 3j
−1 +j ; d) (1 +j
2−j)2; e) 2e2jπ/3 2. Déterminer le module des nombres complexes sui-
vants :
a) 1+4j; b)2−j
j ; c) 3 + 3j
−1 +j ; d) 2e2j+5; e)e2jπ/3 3. Représentez le nombre dans le plan complexe et
déduisez-en son argument : a) 1 +j ; b) −3 ; c) −1 +j
2 ; d)√
2j; e)ej10π 4. Déterminer les complexes associés aux grandeurs
suivantes :
a)Imcos(ωt) ; b)Eosin(ωt+φ) ; c) 2 cos2(Ωt)
Réponse : 1) 1/17 + 4j/17 ; 1−2j; 1/2−5j/2 ;−8/25 + j6/25 ; −1 + j√
3, 2) √
17 ; √
5 ; 3 ; 2e5 ; 1, 3) π/4 ; ±π; 3π/4 ; π/2 ; 10π, 4)Imejωt;Eoej(ωt+Φ−π/2)
; ej2Ωt+ 1
2 Réponse en vitesse**
On poursuit l’étude du système masse-ressort excité sinusoïdalement, débutée dans le cours. On a montré que la positionX avait pour amplitude complexe :
Xm= ωo2.xAm
ωo2−ω2+jωQoω
1. Rappeler le lien qui existe entre la positionX et la vitessev, puis déduisez-en le lien entreX etv en régime sinusoïdal forcé.
2. En déduire l’expression devm.
3. Faire l’étude asymptotique (ainsi qu’en ω =ωo) du déphasage de la réponse en vitesse puis tracer l’allure de son diagramme fréquentiel.
4. Exprimer vm(ω) et simplifier l’expression jus- qu’à :
vm= ωo.xAm
q(ωωo −ωω
o)2+Q12
Faites l’étude détaillée de ses variations en vous appuyant sur la fonction auxiliaire située à l’in- térieur de la racine, puis tracer son diagramme fréquentiel.
3 Etude d’une résonance en posi- tion**
On poursuit l’étude du système masse-ressort excité sinusoïdalement, débutée dans le cours. On a montré que la positionX avait pour amplitude complexe :
Xm= ωo2.xAm
ωo2−ω2+jωQoω 1. ExprimerXm(ω).
2. Etudier les variations sur R+ de Xm(ω). On pourra astucieusement se contenter d’étudier une partie de cette fonction... Déterminer la condition sous laquelle il y a résonance. Tracer l’allure du diagramme fréquentiel de la réponse en position.
3. Dans quelles circonstances physiques la résonance est-elle trés marquée ? Comment la diminuer pra- tiquement ?
Réponse : Résonance si Q > 1/√
2 xm(réso) =
QxAm
√1−1/(4Q2)
4 Réponse d’un micro**
On fournit le diagramme fréquentiel de la réponse d’un micro, représentant le gain en décibel
G= 20.logAmplitude de sortie Amplitude d0entrée en fonction de la fréquence :
Un instrument de musique émet à proximité le signal Ue
suivant :
10 20 30 40 50 60
−0.4
−0.2 0.2 0.4
t(ms) Ue(V)
Déterminer l’amplitudeUsmde la réponseUsdonnée par le micro.
Réponse :Usm= 0.20V
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5 Audibilité d’une alarme incendie*
On souhaite équiper le lycée avec un minimum de dis- positifs sonores d’alarme incendie. Evaluer la distance maxi- male de laquelle on peut espacer deux alarmes voisines pour que toute personne présente puisse l’entendre. On fournit les documents suivants, ainsi que la conversionW att−dBpour les puissances sonores :
P(dB) = 10 logP(W) 10−12
On commentera le résultat en critiquant les hypothèses.
Doc 1 : notice de l’alarme
Alarme type 4 livrée avec pile alcaline 9V autonomie de 5 ans. Puissance sonore 90 dB, matériel conforme à la norme NF S 32-001. Boitier intégrant un diffuseur sonore et un flash LED. Fréquence d’émission : 500Hz.
Doc 2 : diagramme fréquentiel de perception de l’oreille
L’axe des ordonnées décrit la puissance sonore reçue, endB.
Doc 3 : loi de décroissance
Pour une source isotrope (c’est-à-dire émettant la même énergie dans toutes les directions) de puissance so- norePo(sous-entendue au niveau de l’appareil), la puissance sonore perçue à une distancedvaut :
P = Po
d2 avecP enW
Réponse :d≈36km...
6 Régime sinusoïdal forcé (RSF) en électronique**
Les systèmes électroniques sont régulièrement sou- mis à des tensions sinusoïdales et peuvent, à l’image des oscillateurs mécaniques, être étudiés dans le cadre des os- cillations forcées. Conformément au programme, l’équation différentielle régissant le fonctionnement du circuit vous sera toujours fournie dans le cadre d’une épreuve de physique.
Soit le circuit suivant, excité par un générateur sinu- soïdal de tensionE(t) =Eocos(ωt) :
On peut montrer que la réponse en tension V du circuit vérifie l’équation différentielle suivante :
R Lωo2
V¨ + ˙V +R L.V = ˙E avecωo2= 1/LC.
1. Montrer qu’en régime forcé la tension V se met sous la forme :
V = E
1 +Rj(ω/ωo−ωo/ω)/Lωo
2. Exprimer l’amplitude deV en 0 et l’infini et mon- trer astucieusement qu’il y a résonance pour une pulsation particulière.
3. Exprimer la phase deV lorsqueω=ωo.
4. On excite le circuit avec E(t) = 10 cos(ωot/2).
Déterminer l’amplitude de la réponseV.
5. Evaluer l’intervalle BP de la bande passante.
Cette dernière représente l’ensemble des pulsa- tionsω telles que :
Vm
Eo(ω)> 1
√2.(Vm
Eo)max
Réponse : 2) Résonance pour ω = ωo, 3) 0, 4) Vm =
√ 10
1+9R2/(4Lωo), 5)BP = 1/RC
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7 Circuit RL**
Soit un circuit comportant en série un générateur sinusoïdal de tension E(t) =Emcos(ωt), une résistanceR, une bobine L et un condensateur C. Soit I l’intensité du circuit, elle vérifie l’équation différentielle :
E˙ =I/C+RI˙+LI¨
1. Déterminer l’amplitude complexeIm deI en ré- gime sinusoïdal forcé en fonction deω. En déduire son amplitudeImen fonction deωpuis en tracer l’allure asymptotique.
2. On s’intéresse désormais la tensionU aux bornes de la bobine en supposant que la résistance du circuit est négligeable. U vérifie alors :
U¨+ 1
LCU = ¨E
Déterminer Um en régime forcé en fonction des données et deω. On pourra poserω2o= 1/LC. 3. Exprimer l’amplitude Um et la phase φu de U
puis tracer leur allure en fonction deω. Citer le phénomène observé.
4. Exprimer complètementU(t) pour une excitation E(t) = 3 cos(ω2ot).
Réponse : 1) Im = √ ωEm
(1/C−ω2L)2+(ωR)2; 2) Um =
Em 1−(ωo/ω)2
8 Modélisation mécanique d’un haut parleur**
On modélise la partie mécanique d’un haut-parleur à l’aide d’une massemenfilée sur un axe (O, ~ex), se déplaçant horizontalement le long de cet axe. Cette massem, assimilée à un point matériel M, est reliée à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k ainsi qu’à un amortisseur fluide exerçant une force−f~v (avecf constante ).
Elle est soumise à une force F~(t), imposée par le courant i(t) entrant dans le haut-parleur. On verra dans le chapitre consacré à l’induction queF~ =Koi(t)e~x et on suppose que le courant est sinusoïdal : i(t) = Imcos(ωt) tel que ω = 6280rad/s.
Données : m = 10 g, k = 15 kN/m, Ko = 200 N/A et Im= 1A.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la positionxde M.
2. Déterminer l’amplitude xm(ω) de M en régime forcé.
3. Déterminer numériquement, pour la pulsation imposée par le courant, l’expression de la ré- ponse forcée x(t) = xmcos(ωt+ Φ). On donne f = 17,3Kg/s.
4. Poser une pulsation propre ωo et un facteur de qualitéQ, puis exprimerf de telle sorte d’obtenir Q= 1/√
2.
Réponse : 3)x(t) = 0,5.10−3.cos(6280.t−2.86)
9 Réponse d’une voiture aux défor- mations de la route***
Une automobile est sommairement modélisée par une masse mplacée en M et reposant sur une roue de centre O, par l’in- termédiaire d’un ressort de raideurkmis en parallèle sur un amortisseur de coefficient de frottementh. En toutes circons- tances, l’axe OM reste vertical. On se propose d’examiner le comportement du véhicule lorsqu’il a la vitesse constante vsur une route ondulant sinusoïdalement (bande rugueuse), dont le profil impose au centre O de la roue une élongation :
zO(t) =acos(2πx λ)
par rapport à sa position moyenne,xétant la variable car- tésienne horizontale.
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On repère le mouvement de la masse par son élongationz(t) par rapport à sa position d’équilibre quand le véhicule est au repos. L’amortisseur placé entre O et M exerce sur M une force de frottement f~ =−h( ˙z−z˙O)~ez. La longueur totale du ressort pourra être confondue avec la distanceOM.
1. En raisonnant sur la voiture au repos, déterminer la longueur leq du ressort à l’équilibre. Puis, ex- primer la longueur l du ressort hors équilibre en fonction deleq, zetzO.
2. Déterminer l’équation différentielle du mouve- ment vérifiée par z(t) en fonction des données, dezo(t) et de sa dérivée.
3. Exprimer la position horizontalexdu système en fonction det. En déduire l’expression dezo(t) ex- plicitement en fonction du temps (et non pas de x). Identifier alors la pulsation temporelle ω de l’excitation en fonction de v et λ. Dessiner l’al- lure de la route et retrouver ce résultat.
4. Déterminer l’amplitude zm des oscillations de la voiture en fonction deω.
5. On fournit le graphe normalisé dezm(ω). A quelle allure convient-il de rouler pour que cette ampli- tude soit aussi faible que possible ?
Réponse : 1)l=leq+z−zo; 2) ¨z+mhz˙+mkz=mhz˙O+
k
mzO; 3)ω= 2πv/λ
10 Pourquoi le ciel est-il bleu ? (mo- dèle de Thomson)**
On considère un électronM d’une molécule dont le noyau est immobile en O. Cet électron est soumis à une force de rappel le liant à la moléculeF~ =−k ~OM ainsi qu’à une force de freinage f~v = −λ~v où~v est la vitesse de M. Une onde lumineuse caractérisée par un champ électrique E~ =E~0cos(ωt)~ex exerce la force f~e =−e ~E sur l’électron.
On néglige le poids. On travaille en base cartésienne.
1. Pourquoi le mouvement est-il nécessairement sui- vant ~ux? Déterminer l’équation différentielle du mouvement de l’électron vérifiée par son abscisse x.
2. On s’intéresse au régime sinusoïdal forcé. Définir les grandeurs complexes appropriées à la résolu- tion de l’équation différentielle. En déduire l’am- plitude réelle de la solution forcéexm. On pourra poser des notationsωo et Qhabituelles.
3. On s’intéresse à une molécule de l’atmosphère éclairée par la lumière du soleil : m= 9,1.10−31 kg,e= 1,6.10−19 C,k= 100 N.m−1,h= 10−20 kg.s−1. Calculer numériquement ω0 (pulsation propre) etQfacteur de qualité.
4. Rappeler la relation entre la longueur d’onde λ de l’onde lumineuse et sa pulsation ω. Rappeler également la célérité des ondes lumineuses c.
Calculer les pulsations limites du visible et en dé- duire une expression approchée dexm.
5. Sachant que la puissance réémise par l’électron est proportionnelle au carré de son accélération, calculer le rapport émis pour le rouge (λ = 800 nm) et pour le bleu (λ = 450nm). En déduire pourquoi le ciel apparaît bleu.
Réponse : 2) xm = √ eEo/m
(ω2o−ω2)2+(ωoω/Q)2; 4) xm ≈
eEo m|ω2o−ω2|
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Je sais résoudre une équation différentielle en RSF (passage en complexe, simplification des dérivées, suppression des ejωt, obtention de l’amplitude com- plexe de la grandeur)
6,7,8,9 10
Je connais les liens entre grandeur réelle, complexe associé, amplitude complexe, amplitude réelle
2,3,6,7 8,9,10 Je sais déterminer l’amplitude réelle et le déphasage à
partir de l’amplitude complexe (Xm=|Xm| ; Φ = arg(Xm))
2,3,6,7 8,9,10 Je sais faire une étude asymptotique de l’amplitude
réelle et du déphasage. Graphe.
2,3,6,7 Je sais ce qu’est un phénomène de résonance et je
sais trouver la pulsation à laquelle il se produit
3,6,7
4
