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d’images, et imagerie fantôme temporelle quantique

Severine Denis

To cite this version:

Severine Denis. Images jumelles quantiques : paradoxe de Einstein-Podolsky-Rosen dans des paires uniques d’images, et imagerie fantôme temporelle quantique. Optique [physics.optics]. Université Bourgogne Franche-Comté, 2017. Français. �NNT : 2017UBFCD044�. �tel-02072305�

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

n

Images jumelles quantiques : Paradoxe de

Einstein-Podolsky-Rosen dans des paires uniques d’images et imagerie fant ˆome temporelle quantique

S ´ EVERINE D ENIS

Thèse de Doctorat

é c o l e d o c t o r a l e s c i e n c e s p o u r l ’ i n g é n i e u r e t m i c r o t e c h n i q u e s

U N I V E R S I T É D E F R A N C H E - C O M T É

TH ` ESE pr ´esent ´ee par

S ´ EVERINE D ^ENIS

pour obtenir le

Grade de Docteur de

l’Universit ´e de Bourgogne Franche-Comt ´e

Sp ´ecialit ´e :Optique et Photonique

Images jumelles quantiques : Paradoxe de

Einstein-Podolsky-Rosen dans des paires uniques d’images et imagerie fant ˆome temporelle quantique

Unit ´e de Recherche :

D ´epartement d’optique P.M. Duffieux, Institut Femto-ST

Soutenue publiquement le 22 Novembre 2017 devant le Jury compos ´e de :

FABRICE DEVAUX Directeur Professeur `a l’Universit ´e de Bourgogne Franche- Comt ´e

SARADUCCI Pr ´esidente Professeure `a l’Universit ´e Paris Diderot

SYLVAINGIGAN Rapporteur Professeur `a l’Universit ´e Pierre et Marie Curie

HANS-RUDOLF JAUSLIN Examinateur Professeur `a l’Universit ´e de Bourgogne Franche- Comt ´e

OTTAVIAJEDRKIEWICZ Rapporteure Chercheuse CNR `a l’Universit ´e de l’Insubrie de C ˆome

E´RICLANTZ Directeur Professeur `a l’Universit ´e de Bourgogne Franche- Comt ´e

Ce m ´emoire est l’aboutissement de travaux r ´ealis ´es au sein du Laboratoire d’Optique P.M. Duffieux de l’institut FEMTO-ST affili ´e `a l’universit ´e de Bourgogne Franche-Comt ´e.

Je tiens tout d’abord `a remercier l’ensemble des personnes que j’ai pu y rencontrer, pour leur accueil chaleureux et leur ouverture d’esprit. Je remercie bien s ˆur Herv ´e Maillotte et Maria-Pilar Bernal, directeurs du D ´epartement d’Optique, pour leur accueil au sein du d ´epartement.

Je tiens aussi `a remercier les membres de jury, pour avoir port ´e un int ´er ˆet `a mes travaux de th `ese, les rapporteurs Sylvain Gigan professeur `a l’Universit ´e Pierre et Marie Curie et Ottavia Jedrkiewicz chercheuse CNR `a l’Universit ´e de l’Insubrie de C ˆome, ainsi que Sara Ducci professeure `a l’Universit ´e Paris Diderot et Hans-Rudolf Jauslin professeur `a l’Universit ´e de Bourgogne Franche-Comt ´e.

Je dois notamment cet ouvrage `a ´Eric Lantz et Fabrice Devaux, mes directeurs de th `ese, qui m’ont confi ´e ce sujet de recherche et m’ont conseill ´ee durant ces trois ann ´ees th `ese, et auparavant durant mon stage de Master.

Je souhaite ´egalement remercier l’ensemble de l’ ´equipe d’Optique non lin ´eaire pour leur grande pr ´esence et leurs pertinentes discussions dans le bureau des doctorants. Je re- mercie en particulier Thibault Sylvestre chef d’ ´equipe, ainsi que Mathieu Chauvet, Jean- Charles Beugnot, Gil Fanjoux, Damien Bigourd, Coralie Fourcade-Dutin, et bien s ˆur Kien Phan Huy pour ses nombreux conseils avis ´es.

Merci `a Val ´erie Fauvez, Jo ¨elle Berthelot, Aline Chagrot, Sarah Djaouti, et Emmanuel Dordor, pour leur ´ecoute et leur disponibilit ´e.

Je n’oublie et n’oublierai pas tous mes amis de FEMTO-ST, `a commencer par Paul- Antoine Moreau qui m’a pr ´ec ´ed ´e sur ce sujet de th `ese, ainsi que mes coll `egues de bureau papa Jo ¨el Cabrel Tchahame Nougnihi, my best officemate Tintu Kuriakose, Adrien Godet, et Mo¨ıse Deroh.

Je remercie ´egalement Anurupa Shaw pour sa grande g ´en ´erosit ´e, Xavier Romain et Phong Tran Nguyen pour les bons moments pass ´es avec eux, sans oublier Alexia Bon- tempi, Guillaume Dodane, Etienne Coffy, Stefania Oliveri, Bastien Radola, J ´er ´emy Bentin, R ´emi Meyer, Vincent P ˆecheur, Raya El Beainou, Gautier Lecoutre, Xiaolong Xu, Guoping Lin, Etienne Vaillant, Guillaume Wong, Shanti Toenger, Jacques Chr ´etien, Souleymane Diallo, Tatiana Kovalevich, Bicky Marquez, Venancio Calero, Alexis Caspar, et tous ceux que j’oublie...

v

A

´

EPR : Einstein-Podolsky-Rosen SNR : Rapport signal `a bruit

APO : Amplification param ´etrique optique LiNbO₃: Niobate de lithium

LBO : Triborate de lithium

KDP : Phosphate de monopotassium BBO : Beta-borate de baryum

UV : Ultraviolet

FWHM : Largeur `a mi-hauteur (full width at half maximum) EMCCD : Electron Multiplying Charge Coupled Device px : pixels

ph : photons

CIC : Bruit de charge induite par l’horloge (clock induced charges) ICCD : Intensified Charge Coupled Device

N

ωp,s,i : Pulsations pompe, signal, idler

~kp,s,i : Vecteurs d’ondes pompe, signal, idler λ_p,s,i: Longueurs d’onde pompe, signal, idler

no(λ_p,s,i): Indice de r ´efraction ordinaire, d ´ependant deλ_p,s,i ne(λ_p,s,i): Indice de r ´efraction extraordinaire, d ´ependant deλ_p,s,i

θ,θ_p,s,i: Angle entre l’axe optique et la direction de propagation de l’onde consid ´er ´ee n(λp,s,i, θ): Indice de r ´efraction affectant une onde polaris ´ee extraordinairement

vii

np,s,i: Indices de r ´efraction pompe, signal, idler

∆k~ : D ´esaccord de phase ψ: Angle de double r ´efraction R~ : Vecteur de Poynting

Lc: ´Epaisseur du cristal non lin ´eaire sinh(F): Sinus hyperbolique deF sinc(F): Sinus cardinal deF b=−b⁰= q

g²− ^∆₄^k2

g: Gain param ´etrique dans le cristal non lin ´eaire

Ncell(∆k,g): Population de photons par cellule de coh ´erence dans les faisceaux signal et idler

|F|: Module deF

E´p: ´Eclairement moyen du cristal par une impulsion pompe de f f : Coefficient non lin ´eaire effectif du cristal non lin ´eaire c: C ´el ´erit ´e de la lumi `ere dans le vide

ε₀: Permittivit ´e du vide

∆klim : D ´esaccord de phase correspondant au premier z ´ero du sinus cardinal

α_s,i : Angle que forment les vecteurs d’onde signal et idler avec le vecteur d’onde pompe τ_uv : Dur ´ee des impulsions pompe

Euv : ´Energie des impulsions pompe

fuv : Fr ´equence de r ´ep ´etition des impulsions pompe d: Diam `etre du cristal non lin ´eaire

TBBO : Transmission `a la sortie du BBO

φ: Angle utilis ´e pour rep ´erer les vecteurs d’onde pompe signal et idler d22 : ´El ´ement de tenseur des coefficients non lin ´eaires du BBO

de f f : Coefficient non lin ´eaire effectif du BBO pour un accord de phase de type I ruv: Rayon du faisceau pompe filtr ´e par la monture du BBO

σ_uv : ´Ecart-type du faisceau pompe wuv =2σ_uv: Rayon du faisceau pompe e^F,exp(F): Exponentielle deF

er f(F): Fonction d’erreur `a la valeurF

hFi: Moyenne vrai deF

F: Moyenne arithm ´etique deF

Rmiroir: Coefficient de r ´eflectance des miroirs dichro¨ıques f : Distance focale

Tlentille: Coefficient de transmission des lentilles

p⁰ : Distance lentille-cam ´era pour un enregistrement dans le plan image G: Grandissement transverse des lentilles

∆λ: Largeur des filtres utilis ´es aux chapitres I et II Tf iltre: Coefficient de transmission des filtres

Mimpulsion: Nombre de cellules de coh ´erence spatio-temporelle dues au passage dans le cristal d’une impulsion pompe

Mx : Nombre de cellules de coh ´erence spatiale Mt : Nombre de cellules de coh ´erence temporelle

Dx' Dy : Dimensions lat ´erales d’une cellule de coh ´erence spatiale α(∆klim): Ouverture angulaire des faisceaux signal et idler

R: R ´esolution spatiale transverse

M: Nombre de cellules de coh ´erence spatio-temporelle contenue dans une image tcourt : Temps d’exposition des cam ´eras aux faisceaux signal et idler, et temps court cor- respondant au tir du laser et `a l’acquisition par la cam ´era ”esclave”

Spx : Surface d’un pixel

D: R ´esolution des images en pixels

Npaire: Nombre moyen de paires de photons g ´en ´er ´es par le cristal non lin ´eaire N⁰ : Nombre total moyen de photons pr ´esents dans les images

Nf : Nombre moyen de photons parasite pr ´esents dans les images

η, η_capteur, η_optique, η_parasite, η_bruit, η_seuil : Rendement quantique ´equivalent sur l’enregis- trement d’images jumelles, et ses diff ´erentes contributions venant des capteurs des cam ´eras, des optiques, de la lumi `ere parasite, des bruits des cam ´eras, et du seuillage p(xe|N): Probabilit ´e d’obtenir apr `es l’amplificateur de sortie xe ´electrons, sachant qu’il y avaitNphoto- ´electrons `a l’entr ´ee du registre de multiplication

N : Nombre de photo- ´electrons

gcam: Gain moyen du registre de multiplication des cam ´eras σ_lect : ´Ecart-type du bruit de lecture des cam ´eras

Nphotons,Nρ,p,s,i : Population en nombre de photons par pixel, respectivement dans le plan image, dans le plan de Fourier, dans une image signal, et dans une image idler

L(niveaux de gris): Niveau de gris d’un pixel

σ_gain(N,gcam): ´Ecart-type du nombre d’ ´electrons sortant du registre de multiplication des cam ´eras, suite `a la pr ´esence deNphoto- ´electrons `a l’entr ´ee du registre

σ_pixel(N,gcam): ´Ecart-type sur la valeur d’un pixel suite `a une restitution proportionnelle tlong: Temps long correspondant `a l’acquisition par la cam ´era ”maˆıtre”

(∆F)² : Variance deF

n: Nombre de photons appari ´es sur une image tx,y: ´Ecart entre les images signal et idler

C(tx,ty): Coefficient de corr ´elation associ ´e `a l’ ´ecart(tx,ty) S : Image signal

I : Image idler

sx,y : Coordonn ´ee d’un pixel de l’image signal ix,y: Coordonn ´ee d’un pixel de l’image idler

S NR: Rapport signal `a bruit du nombre de co¨ıncidences jumelles Cjum: Nombre de co¨ıncidences jumelles dans une image

σ_tot : ´Ecart-type du nombre de co¨ıncidences

K: Nombre de paires d’images utilis ´ees pour la formation de la figure d’intercorr ´elation pn: Niveau de bruit par pixel, non proportionnel au flux de photons jumeaux

ρ_s,i: Positions des photons signal, idler ps,i : Impulsions des photons signal, idler

~: Constante de Planck r ´eduite

Vx,y : Degr ´e de paradoxe EPR selonxouy

x,y: axes des faisceaux/images transverses `a la propagation

∆(x,y)pixels : ´Ecart-type en pixels des mod ´elisations gaussiennes et en sinus cardinal, selon xety

f(x): Fonction utilis ´ee pour l’ajustement des profils des images A: Amplitude des mod ´elisations gaussiennes et en sinus cardinal x0,y0 : Coordonn ´ees du maximum de f(x)

∆²(ρi −ρ_s), ∆²(pi+ ps) : Variances des probabilit ´es conditionnelles des positions et des impulsions des photons

δρ,p : Variance normalis ´ee des positionsρou des impulsions p P0 : Probabilit ´e qu’un pixel ne d ´etecte aucun photon

µ: Moyenne vrai du nombre de photo- ´electrons sur un pixel k: ´Etape de la s ´equence temporelle

Tk: Transmission command ´ee par l’att ´enuateur variable, associ ´ee `a l’ ´etapek Ck : Nombre de co¨ıncidences entre l’image fant ˆome et l’imagekde la s ´erie idler Ni : Nombre de photo- ´electrons associ ´e `a un pixelide l’image idler

β: Retard de l’onde apr `es le passage de la lame `a cristaux liquides, rep ´er ´e par l’axe du polariseur et la polarisation de l’onde apr `es le passage de la lame

Ns: Nombre de photo- ´electrons associ ´e `a un pixel sde l’image fant ˆome

Ns0 : Nombre de photo- ´electrons associ ´e `a un pixel sde l’image signal sans le passage de l’att ´enuateur variable

Tattenuation: Coefficient de transmission maximal de l’att ´enuateur variable

η⁰ : Rendement quantique ´equivalent d ˆu au groupement des pixels de la figure d’inter- corr ´elation

K⁰: Longueur de la s ´equence temporelle

U: Nombre de bits `a ”1” contenus dans la s ´equence temporelle

S NRk : Rapport signal `a bruit de l’ ´etapekde la s ´equence temporelle r ´ecup ´er ´ee S : Image fant ˆome

Ik: Image idlerkde la s ´erie idler

σ_k : ´Ecart-type du nombre total de co¨ıncidences au niveau du pic de co¨ıncidences L: Nombre de niveaux contenus dans la s ´equence temporelle

σc,k : ´Ecart-type du nombre de co¨ıncidences dues aux photons appari ´es σa,k =σ_a: ´Ecart-type du nombre de co¨ıncidences accidentelles

Fb : Estimateur deF cov(F): Covariance deF var(F): Variance deF

B: Surface de groupement des pixels de la figure d’intercorr ´elation

Abr ´eviations et Symboles vii

Introduction 1

1 CHAPITRE I : Cr ´eation et enregistrement d’images jumelles par amplification

param ´etrique du bruit quantique 3

1.1 Que sont les images jumelles ? . . . 3

1.2 Amplification param ´etrique du bruit quantique . . . 4

1.2.1 Accord de phase et conservation d’ ´energie . . . 6

1.2.2 Accord de phase et adaptation d’indices . . . 7

1.2.3 Diff ´erentes configurations : condition d’accord de phase . . . 8

1.2.4 Limites de l’accord de phase . . . 8

1.2.5 S ´eparation spatiale : accord de phase non colin ´eaire et angle de double r ´efraction . . . 8

1.2.6 Population moyenne des cellules de coh ´erence spatio-temporelle . 11 1.3 Montage exp ´erimental . . . 12

1.3.1 Cr ´eation des faisceaux jumeaux . . . 14

1.3.2 Traitement optique des faisceaux jumeaux . . . 16

1.3.3 Cellules de coh ´erence et r ´esolution des faisceaux signal et idler . . 20

1.3.4 Enregistrement d’images jumelles . . . 21

1.3.5 Rendement quantique ´equivalent . . . 31

1.3.6 Temps d’exposition et population moyenne des images jumelles . . 33

1.3.7 Distribution du nombre de photons . . . 34

1.4 Intercorr ´elation d’images jumelles . . . 36

1.4.1 Ressemblances al ´eatoires, ressemblances accidentelles, et res- semblances d ´eterministes . . . 37

1.4.2 Rapport signal `a bruit du degr ´e de corr ´elation . . . 38 xiii

1.4.3 Param `etres influant le SNR . . . 41

1.5 Conclusion sur les images jumelles . . . 41

2 CHAPITRE II : Paradoxe de Einstein-Podolsky-Rosen dans des paires uniques d’images jumelles 43 2.1 Pr ´eambule . . . 43

2.2 D ´emonstration d’un paradoxe EPR spatial . . . 45

2.3 R ´esultats exp ´erimentaux . . . 46

2.3.1 Acquisition et restitution des images jumelles . . . 46

2.3.2 Rendement quantique ´equivalent . . . 52

2.3.3 Intercorr ´elation de paires uniques d’images jumelles . . . 55

2.3.4 SNR du pic de co¨ıncidences . . . 56

2.3.5 Degr ´e de paradoxe EPR . . . 58

2.3.6 Diff ´erence sous-Poissonnienne des images jumelles . . . 61

2.4 Conclusion . . . 64

3 CHAPITRE III : Imagerie fant ˆome temporelle quantique 67 3.1 Qu’est-ce que l’imagerie fant ˆome ? . . . 68

3.2 Principe de fonctionnement . . . 69

3.3 Contexte . . . 72

3.4 R ´ealisation d’une exp ´erience d’imagerie fant ˆome temporelle . . . 73

3.4.1 Montage exp ´erimental . . . 74

3.4.2 El ´ements du montage . . . 75´

3.4.3 Images jumelles et propri ´et ´es du montage . . . 80

3.4.4 Cr ´eation de l’image fant ˆome . . . 86

3.4.5 Synchronisation des cam ´eras . . . 88

3.5 R ´ecup ´eration d’un signal fant ˆome . . . 90

3.5.1 R ´ecup ´eration du signal . . . 90

3.5.2 SNR des valeurs de la s ´equence . . . 93

3.6 Conclusion . . . 98

Conclusion g ´en ´erale 99

Bibliographie 105

Publications 107

De la compr ´ehension de notre environnement d ´epend la fac¸on dont nous l’utilisons. La lumi `ere est aujourd’hui encore un grand myst `ere, et chaque nouvelle d ´ecouverte faite `a son sujet est une porte ouverte vers de nouveaux proc ´ed ´es, de nouveaux march ´es, mais

´egalement de nouvelles interrogations. Avec l’introduction au d ´ebut du XX `eme si `ecle de la th ´eorie des quantas, notamment pour expliquer certains ph ´enom `enes tels que le rayonnement du corps noir [Planck, 1900], l’effet photo ´electrique [Hertz, 1887], ou l’effet Compton [Compton, 1923], apparut la n ´ecessit ´e de d ´evelopper des moyens permettant d’ ´etudier un champ ´electromagn ´etique sous la forme d’un flux de particules. Ces travaux engendr `erent le d ´eveloppement de th ´eories quantiques, afin de remplacer la physique classique alors inapplicable au comportement des quantas.

L’enregistrement d’images, form ´ees par la d ´etection de faisceaux de lumi `ere `a faible flux, est l’un des moyens permettant de mettre en ´evidence les aspects quantiques des pho- tons. Un paradoxe d ´ecrit par Albert Einstein, Boris Podolsky, et Nathan Rosen (EPR) [Einstein et al., 1935] quant `a l’application des principes d’ind ´eterminisme et de causalit ´e locale `a des photons intriqu ´es, a notamment pu ˆetre mis en ´evidence. Cela a ´et ´e r ´ealis ´e notamment au moyen d’images jumelles issues de la d ´etection simultan ´ee de photons in- triqu ´es g ´en ´er ´es par amplification param ´etrique du bruit quantique [Moreau et al., 2014].

Les images ainsi form ´ees pr ´esentent des similitudes dues aux comportements corr ´el ´es des photons intriqu ´es. C’est sur ces images jumelles que se sont appuy ´es mes travaux de th `ese, au cours desquels a ´et ´e mis en ´evidence un r ´egime quantique dans des paires uniques d’images jumelles [Lantz et al., 2015], ainsi que la r ´ealisation d’une exp ´erience d’imagerie fant ˆome temporelle [Denis et al., 2017].

Le bon d ´eroulement de ces exp ´eriences n ´ecessite une distinction ais ´ee des images ju- melles vis `a vis d’autres images. Mais l’ind ´ependance statistique des images de pho- tons, jumelles ou non, induit entre elles une ressemblance al ´eatoire `a l’ ´ecart-type non n ´egligeable vis `a vis du degr ´e de corr ´elation moyen entre images jumelles. Il est donc primordial d’ ´etudier les diff ´erents param `etres influant sur la ressemblance entre images jumelles, afin de maximiser le rapport signal `a bruit (SNR) de ce degr ´e de corr ´elation.

Dans le premier chapitre de cet ouvrage nous portons un int ´er ˆet `a la cr ´eation d’images jumelles, ainsi qu’ `a leur description. Nous montrerons comment distinguer des images jumelles, et nous nous int ´eresserons aux param `etres d’images ayant une influence sur le rapport signal `a bruit du degr ´e de corr ´elation entre images jumelles : mode de d ´etection, flux moyen, rendement quantique ´equivalent du montage. Cette description des images

1

jumelles nous permettra d’aborder avec aisance les ´etudes exp ´erimentales r ´ealis ´ees au cours de cette th `ese.

La premi `ere exp ´erience r ´ealis ´ee au moyen des images jumelles est la mise en ´evidence d’un paradoxe EPR dans des paires uniques d’images jumelles. Cette partie est d ´evelopp ´ee dans le chapitre II. Nous montrerons que seules deux paires d’images, une en champ proche et une en champ lointain, sont n ´ecessaires pour mettre en ´evidence un paradoxe EPR. Les images acquises nous permettront ´egalement de v ´erifier les esti- mations faites au premier chapitre quant au rapport signal `a bruit du degr ´e de corr ´elation entre images jumelles.

Enfin, dans le chapitre III nous d ´ecrivons une autre exp ´erience r ´ealis ´ee au moyen des images jumelles : l’imagerie fant ˆome temporelle. A travers cette exp ´erience, nous mon- trons qu’il est possible de r ´ecup ´erer une s ´equence temporelle dont la r ´esolution tem- porelle a ´et ´e perdue au cours de son acquisition. Cette exp ´erience repose sur les corr ´elations spatiales de deux motifs g ´en ´er ´es soit classiquement, soit dans notre cas gr ˆace aux images jumelles. Le protocole que nous d ´ecrirons permet la r ´ecup ´eration de s ´equence temporelles lorsque celles-ci sont non r ´ep ´etables. A l’image du chapitre II, nous

´etudierons ´egalement les param `etres ayant une influence sur la qualit ´e de r ´ecup ´eration de la s ´equence temporelle fant ˆome, ainsi que les facteurs limitant de l’imagerie fant ˆome utilisant les images jumelles.

CHAPITRE I : C R EATION ET ´

ENREGISTREMENT D ’ IMAGES JUMELLES PAR AMPLIFICATION PARAM ETRIQUE DU BRUIT QUANTIQUE ´

La premi `ere partie de cette th `ese pr ´esente l’ ´etude des images jumelles, g ´en ´er ´ees par am- plification param ´etrique du bruit quantique. Cette partie a pour but de justifier le montage exp ´erimental et les param `etres que nous avons choisis, afin de donner une description de ce qui nous a permis de r ´ealiser les exp ´eriences pr ´esent ´ees aux chapitres II et III.

Ce chapitre est l `a pour tenter de r ´epondre aux questions que l’on pourrait se poser en lisant le rapport des deux parties exp ´erimentales, et `a l’inverse, ces deux parties pourront s’appuyer sur un fond th ´eorique et exp ´erimental d ´ej `a ´eclaircis. Au cours de ce chapitre nous ferons une description des param `etres des images jumelles ayant une influence sur le SNR de leur degr ´e de corr ´elation. Nous tenterons d’ ´evaluer ce SNR dans plusieurs cas, apr `es avoir apport ´e une description du montage exp ´erimental afin de justifier les param `etres utilis ´es au cours de ces travaux exp ´erimentaux.

1.1/ Q

?

Les images jumelles, dont nous parlerons dans ce manuscrit, sont des paires d’images is- sues de la cr ´eation de paires de photons intriqu ´es, ou photons jumeaux [Shih et al., 1988, Rubin et al., 1994]. Comme nous le montrerons plus tard, les photons jumeaux ont des comportements li ´es, s’exprimant entre autres dans le domaine spatial par une corr ´elation de leurs positions et une anticorr ´elation de leurs impulsions. La cr ´eation et la s ´eparation de paires de photons jumeaux permettent la formation de faisceaux au sein desquels la r ´epartition des photons est par cons ´equent, soit analogue dans le plan image, soit sym ´etrique dans le plan de Fourier. L’acquisition spatiale de ces faisceaux permet ainsi de

3

former des paires d’images jumelles, poss ´edant des ressemblances dues `a la pr ´esence des photons jumeaux.

R ´etrospectivement, la ressemblance de deux images ne permet pas d’attester de la pr ´esence des photons jumeaux. C’est le cas lorsque des motifs d ´eterministes sont pr ´esents dans les images. Des motifs al ´eatoires peuvent ´egalement pr ´esenter des res- semblances variables. Nous verrons au cours de ce chapitre comment distinguer les images jumelles vis `a vis de paires d’images ind ´ependantes.

Les images jumelles sont utilis ´ees dans le cadre de cette th `ese pour fournir un test du paradoxe EPR sous sa forme spatiale, puis une exp ´erience d’imagerie fant ˆome tempo- relle. Elles sont donc le pivot des travaux figurant dans cette th `ese, et l’ ´etude de leurs propri ´et ´es est une ´etape n ´ecessaire `a la bonne compr ´ehension des travaux pr ´esent ´es ici. La partie suivante vise donc `a apporter une description des photons intriqu ´es, et du montage exp ´erimental permettant de g ´en ´erer les photons jumeaux et de les enregistrer sous forme d’images jumelles.

1.2/ A

´

La cr ´eation des photons jumeaux s’effectue au moyen de l’amplification pa- ram ´etrique optique (APO) [Baumgartner et al., 1979]. Comme pour la g ´en ´eration d’har- moniques optiques [Franken et al., 1961] et la g ´en ´eration de fr ´equences diff ´erences [Wang et al., 1965], son origine est l’application d’un ph ´enom `ene non lin ´eaire quadra- tique reposant sur l’utilisation :

— d’un mat ´eriau bir ´efringent : le cristal non lin ´eaire,

— d’une source optique de forte intensit ´e [Maiman, 1960, Collins et al., 1960].

Les mat ´eriaux bir ´efringents existent `a l’ ´etat naturel, l’exemple le plus connu est celui du quartz [Franken et al., 1961], mais des cristaux synth ´etiques sont ´egalement fabriqu ´es tels que le niobate de lithium (LiNbO<sub>3</sub>), triborate de lithium (LBO), le phosphate de mo- nopotassium (KDP), ou le beta-borate de baryum (BBO) que nous avons utilis ´e ici. Leurs propri ´et ´es et leur fabrication font l’objet d’ ´etudes continues afin d’en am ´eliorer la qualit ´e et les performances, notamment leurs coefficients non lin ´eaires, leur seuil de dommage, et leur transmission. En revanche les ph ´enom `enes non lin ´eaires n’ont pu ˆetre d ´emontr ´es et ´etudi ´es exp ´erimentalement qu’ `a partir du d ´eveloppement de sources lasers intenses, et notamment les lasers impulsionnels [Maiman, 1960, Collins et al., 1960].

Dans le cas de l’amplification param ´etrique optique, il s’agit d’un m ´elange `a trois ondes o `u deux des ondes sont pr ´esentes `a l’entr ´ee du cristal :

— l’onde pompe, un faisceau laser de forte intensit ´e,

— l’onde signal, constituant un signal optique peu intense.

Au cours de l’amplification param ´etrique optique, l’onde pompe de forte intensit ´e

transfert de l’ ´energie vers l’onde signal selon le principe de conservation d’ ´energie.

Une onde compl ´ementaire, l’onde idler, est ´egalement g ´en ´er ´ee au cours de ce pro- cessus par diff ´erence de fr ´equence. Ce processus permet, entre autres, l’amplifica- tion d’impulsions laser, ou l’amplification param ´etrique d’images [Fainman et al., 1986, Devaux et al., 1995a].

Cristal non linéaire

Onde pompe Onde pompe

déplétée

Onde signal Onde signal

amplifiée Onde idler de fréquence

différence (a)

Cristal non linéaire

Onde pompe Onde pompe

peu déplétée

Onde signal

Onde idler (b)

FIGURE 1.1 – (a) Amplification param ´etrique optique par diff ´erence de fr ´equences, (b) amplification param ´etrique du bruit quantique.

Lorsque l’onde signal n’est pas pr ´esente `a l’entr ´ee du cristal, le processus d ´emarre sur des ´emissions spontan ´ees [Louisell et al., 1961, Byer et al., 1968]. L’amplification pa- ram ´etrique optique et l’amplification param ´etrique du bruit quantique sont sch ´ematis ´ees en figure 1.1. L’origine quantique ne peut cependant pas ˆetre totalement ignor ´ee du fait du caract `ere multimodal des faisceaux sortants, c’est- `a-dire qu’ils sont constitu ´es de plusieurs cellules de coh ´erence spatio-temporelle. Une cellule de coh ´erence spatio- temporelle correspond, dans le plan de sortie du cristal, `a la plus petite surface (dur ´ee) sur laquelle on peut coder une information ´el ´ementaire, ind ´ependante de la cellule de coh ´erence spatio-temporelle voisine. Ses dimensions lat ´erales sont donc donn ´ees par l’inverse de la largeur de la bande de fr ´equences spatiales du bruit quantique amplifi ´e. La fr ´equence de coupure d ´epend des conditions d’accord de phase, qui sont ´etudi ´ees dans le paragraphe qui suit. Le gain en intensit ´e calcul ´e dans ce paragraphe correspond au nombre de photons moyen par cellule de coh ´erenceNcell. L’ ´emission et l’amplification des photons dans chaque cellule de coh ´erence spatio-temporelle sont soumises `a plusieurs facteurs ext ´erieurs :

— La nature probabiliste de l’ ´emission spontan ´ee,

— Des variations physiques locales au sein du cristal.

Ces points se traduisent par des variations d’intensit ´e entre cellules de coh ´erence spatio-temporelle, responsables de fluctuations visibles apr `es amplification, dont l’ori- gine est quantique. On parle alors de l’amplification param ´etrique du bruit quantique [Kleinman, 1968, Schr ¨oder, 1983, Lantz et al., 2004]. L’exemple d’un c ˆone de lumi `ere g ´en ´er ´e par amplification param ´etrique du bruit quantique et enregistr ´e dans le plan de Fourier, est repr ´esent ´e en figure 1.2.

Pixels

Pixels

50 100 150 200 250 300 350 50

100

150

200

250

300

350 240

260 280 300 320 340

FIGURE 1.2 – Exemple d’image d’un c ˆone de lumi `ere g ´en ´er ´e par amplification pa- ram ´etrique du bruit quantique, enregistr ´ee dans le plan de Fourier. Les variations d’in- tensit ´e entre cellules de coh ´erence spatio-temporelle sont visibles. Dans cette image, les variations d’intensit ´e sont sym ´etriques par rapport au centre, dues `a la position sym ´etrique des photons dans le plan de Fourier pour un accord de phase de type I (voir section 1.2.3). L’ ´echelle de couleurs repr ´esente l’intensit ´e des pixels en niveaux de gris.

[Mosset, 2004, Mosset et al., 2004]

1.2.1/ ACCORD DE PHASE ET CONSERVATION D’ ´^ENERGIE

L’amplification param ´etrique s’effectue sous les conditions bien connues de conservation d’ ´energie et d’accord de phase :

ω_p =ω_s+ω_i (1.1)

~kp=~ks+~ki (1.2)

O `u ωp,s,i et ~kp,s,i repr ´esentent respectivement les pulsations et les vecteurs d’ondes pompe, signal, et idler. La premi `ere relation (1.1) exprime la conservation d’ ´energie au

cours du processus, et la seconde (1.2) traduit la conservation de la quantit ´e de mouve- ment.

1.2.2/ ACCORD DE PHASE ET ADAPTATION D’INDICES

L’accord de phase est r ´ealisable moyennant l’adaptation des indices de r ´efraction affec- tant les ondes pompe, signal, et idler. Dans le cristal bir ´efringent, l’ajustement des direc- tions de polarisation et de propagation permet cette adaptation d’indices, en fonction des longueurs d’onde pompe, signal, et idlerλ_p,s,i.

Dans un cristal bir ´efringent uniaxe, seul un axe : l’axe optique, permet `a une onde de se propager sans bir ´efringence. Lorsque la polarisation de l’onde est perpendiculaire `a l’axe optique, l’onde est dite polaris ´ee ordinairement, et est affect ´ee par l’indice de r ´efraction ordinaireno(λp,s,i). D’autre part, lorsque la direction de polarisation de l’onde est parall `ele

`a l’axe optique, elle perc¸oit uniquement l’indice extraordinairene(λ_p,s,i).

Dans les autres cas, l’onde est polaris ´ee extraordinairement, et l’indice de r ´efraction qu’elle perc¸oit est une combinaison des indices no(λp,s,i) et ne(λp,s,i), d ´ependante de la direction de polarisation de l’onde. La direction de l’onde est comprise dans le plan form ´e par l’axe optique avec sa direction de propagation. Dans ce cas, la d ´ependance de l’in- dice de r ´efraction de l’onde extraordinaire envers les indicesno(λp,s,i)etne(λp,s,i)s’exprime en fonction du seul param `etreθ, l’angle form ´e par l’axe optique avec sa direction de pro- pagation :

n(λ_p,s,i, θ)=

s cos(θ) no(λ_p,s,i)

!2

+ sin(θ) ne(λ_p,s,i)

!2

(1.3) L’adaptation d’indices s’effectue conform ´ement `a la condition d’accord de phase (1.2). La relation (1.2) s’exprime alors en fonction des indices de r ´efraction pompe, signal, et idler, de la fac¸on suivante :

np

λ_p = ns

λ_s + ni

λ_i (1.4)

Lorsque l’accord de phase est colin ´eaire, cette relation permet de d ´eduire l’angle θ = θ_p = θ_s = θ_i que forment les vecteurs d’ondes pompe, signal, et idler, avec l’axe optique.

Cette relation se simplifie d’avantage lorsque nous ´etudions les faisceaux signal et idler autour des longueurs d’onde de d ´eg ´en ´erescence, c’est `a dire autour de la configuration λ_i =λ_s=2λp. Cette configuration sera celle que nous utiliserons exp ´erimentalement.

1.2.3/ DIFFERENTES CONFIGURATIONS´ : CONDITION D’ACCORD DE PHASE

Dans un milieu uniaxe n ´egatif, ne(λ_p,s,i) < no(λ_p,s,i), deux configurations permettent l’ac- cord de phase :

— L’onde pompe polaris ´ee extraordinairement engendre les ondes signal et idler polaris ´ees ordinairement : accord de phase de type I. Aux longueurs d’onde de d ´eg ´en ´erescence, (1.4) devientn(λ_p, θ)=no(λ_s,i).

— L’onde pompe polaris ´ee extraordinairement engendre les ondes signal et id- ler, dont l’une est polaris ´ee ordinairement et l’autre extraordinairement : accord de phase de type II. Aux longueurs d’onde de d ´eg ´en ´erescence, (1.4) devient 2n(λp, θ)=n(λs, θ)+no(λi).

1.2.4/ LIMITES DE L’ACCORD DE PHASE

Lorsque l’accord de phase n’est pas satisfait, la probabilit ´e d’obtenir une interaction non lin ´eaire est r ´eduite. Cette probabilit ´e d ´ecroit d’autant que l’ ´ecart de la configuration consid ´er ´ee vis `a vis de la condition d’accord de phase est grand. Cet ´ecart est repr ´esent ´e par le d ´esaccord de phase∆k~ :

∆k~ =~kp−~ks−~ki (1.5)

La diminution de la probabilit ´e d’interaction d ´ependante du d ´esaccord de phase peut ˆetre repr ´esent ´ee par l’intensit ´e des ondes signal et idler lors de l’amplification param ´etrique.

L’acceptance repr ´esente le d ´esaccord de phase limite permettant l’amplification des fais- ceaux signal et idler.

1.2.5/ S ´EPARATION SPATIALE : ACCORD DE PHASE NON COLINEAIRE ET ANGLE´

DE DOUBLE REFRACTION´

Etudier une configuration colin ´eaire de l’accord de phase est une fac¸on pratique´ de pr ´edire les param `etres permettant d’obtenir exp ´erimentalement la conversion re- cherch ´ee. Cependant, cette configuration ne garantie pas la s ´eparabilit ´e des photons jumeaux, qui, afin de mettre en ´evidence un paradoxe EPR, ne doivent pas se situer dans la m ˆeme cellule de r ´esolution. Diff ´erentes configurations permettant la s ´eparation des photons jumeaux, pour les accords de phase de type I et II vont ˆetre pr ´esent ´ees ici.

Les directions dans lesquelles se propagent l’ ´energie des ondes signal et idler sont donn ´ees par leur vecteur de Poynting R~o,e. Dans un milieu isotrope, la permittivit ´e du mat ´eriau est scalaire, de ce fait le vecteur de Poynting et le vecteur d’onde sont co- lin ´eaires. Lorsque le milieu est bir ´efringent, la permittivit ´e du mat ´eriau est un tenseur.

Ainsi l’indice vu par l’onde et la direction de son vecteur de Poynting d ´ependent de sa

direction de polarisation, comme nous le montrons en figure 1.3 (avec la d ´ependance envers l’indice extraordinaire ne). De ce fait, lorsqu’un rayon non polaris ´e arrive dans un milieu bir ´efringent, il est scind ´e en un rayon ordinaire et un rayon extraordinaire.

Le vecteur de Poynting et le vecteur d’onde de l’onde polaris ´ee ordinairement sont co- lin ´eaires. Le vecteur d’onde du rayon extraordinaire est ´egalement colin ´eaire avec les deux pr ´ec ´edents, en revanche son vecteur de Poynting n’est pas colin ´eaire et forme un angleψavec la direction ”ordinaire” : l’angle de double r ´efraction ou walk-off.

FIGURE 1.3 – S ´eparation spatiale d’un rayon non polaris ´e dans un cristal de BBO. `A l’int ´erieur du cristal, le vecteur de PoyntingR~e(ne) du rayon polaris ´e extraordinairement forme l’angle de s ´eparation spatialeψ avec le vecteur d’onde~ke(ne). `A la sortie du cris- tal, les vecteurs de Poynting R~o,e et les vecteurs d’onde des rayons respectifs~ko,e sont colin ´eaires.

Dans le cas de l’amplification param ´etrique, les faisceaux signal et idler sont soumis au m ˆeme d ´ecalage en angle. Pour un accord de phase de type I, les ondes signal et idler ont la m ˆeme polarisation. Pourλ_s= λ_i, leurs vecteurs de Poynting forment `a l’accord de phase le m ˆeme angle vis `a vis de la pompe, ils sont : colin ´eaires `a leur vecteur d’onde respectif lorsque les ondes sont ordinaires, et non colin ´eaires lorsque les ondes sont ex- traordinaires. Lorsque l’accord de phase est non critique [Dou et al., 1991], l’acceptance due `a un d ´ecalage en angle des vecteurs d’onde signal et idler avec le vecteur d’onde pompe est ´elev ´ee. Cela se produit pour un accord de phase colin ´eaire, et les vecteurs d’onde signal et idler forment un seul c ˆone autour de la configuration d’accord de phase (voir figure 1.4). Dans ce cas, seul un enregistrement dans le plan de Fourier permet la s ´eparation des photons jumeaux. Cependant, cette configuration ne permet pas la s ´eparation des photons jumeaux pour un enregistrement dans le plan image, n ´ecessaire

`a la mise en ´evidence d’un paradoxe EPR. L’exp ´erience d’imagerie fant ˆome temporelle n ´ecessite, de plus, de disposer de faisceaux signal et idler s ´epar ´es spatialement. Par cons ´equent, ce n’est pas la configuration utilis ´ee ici.

Pour un accord de phase de type II, les ondes signal et idler ont des polarisations crois ´ees : l’onde ordinaire a son vecteur de Poynting et son vecteur d’onde colin ´eaires, tandis qu’ils sont non colin ´eaires pour l’onde extraordinaire. L’accord de phase non cri- tique a lieu lorsque les vecteurs de Poynting des ondes signal et idler sont colin ´eaires [Lantz et al., 2000]. Dans ce cas, contrairement `a l’accord de phase de type I, les vec-

0 0.5 1 1.5 2 0 0.005 0.01 0.015 0.02

∆ k (mm )

-0.01 -0.005

-0.02

-1

-0.015

Coordonnées angulaires

Δk k_s

k_i k_p

FIGURE 1.4 – Accord de phase non critique de type 1. Les photons signal et idler ne sont s ´eparables que pour un enregistrement dans le plan de Fourier et un d ´esaccord de phase∆k, 0. Dans le plan image, les photons jumeaux se situent dans la m ˆeme cellule de r ´esolution.

teurs d’onde signal et idler ne sont pas colin ´eaires et forment un angle correspondant `a l’angle de double r ´efraction. A la sortie du cristal les vecteurs de Poynting sont de nou- veau colin ´eaires `a leurs vecteurs d’onde respectifs, et la configuration d’accord de phase non critique permet ainsi la formation de deux c ˆones de lumi `ere ´etendus, le signal et l’id- ler, s ´epar ´es parψ. Cette configuration permet la s ´eparation des photons jumeaux dans le plan de Fourier et dans le plan image, et est par cons ´equent celle que nous avons utilis ´e ici. Les configurations d’accord de phase de type II permettent ´egalement la s ´eparation des photons jumeaux gr ˆace `a leurs polarisations crois ´ees.

FIGURE 1.5 – S ´eparation spatiale des rayons signal et idler `a la sortie du cristal non lin ´eaire, pour un accord de phase non critique de type II, et une pompe polaris ´ee extra- ordinairement.

L’angle de double r ´efraction d ´epend du tenseur des permittivit ´es et par cons ´equent

d ´epend du mat ´eriau utilis ´e. Cet angle est estim ´e `aψ = 6,5˚ pour un cristal de BBO aux longueurs d’onde que nous utilisons. Cet angle permet une s ´eparation spatiale suffisante des c ˆones de fluorescence signal et idler, mais ce n’est pas le cas de tous les cristaux non lin ´eaires. Par exemple l’angle de double r ´efraction est'4˚ pour le KDP, et<1˚ pour le LBO.

1.2.6/ P^{OPULATION MOYENNE DES CELLULES DE COH}ERENCE´ SPATIO-

TEMPORELLE

Le nombre moyen de photons N contenus dans les cellules de coh ´erence spatio- temporelle des faisceaux signal et idler d ´epend du d ´esaccord de phase ∆k et du gain param ´etrique par unit ´e de longueur dans le cristal non lin ´eaireg. Il est exprim ´e `a la sortie du cristal en approximant<sup>1</sup>la distance de propagation `a l’ ´epaisseur du cristalLc. Selon le gain param ´etrique et le d ´esaccord de phase, nous pouvons distinguer deux cas de figure [Devaux et al., 2000] :

∆k/2<g

Ncell(∆k,g)= g²

b² sinh²(b Lc) (1.6)

∆k/2>g

Ncell(∆k,g)=g²L²_c sin²_c(b Lc) (1.7) o `ub= q

|g²−^∆₄^k2|. Dans notre cas le gain param ´etriquegest faible vis `a vis du d ´esaccord de phase∆k. Nous nous situerons donc principalement dans le cas o `u∆k/2> g. Le gain param ´etrique d ´epend de l’ ´eclairement pompe E´p, du coefficient non lin ´eaire effectif du cristalde f f, ainsi que des longueurs d’ondes et indices de r ´efraction signal et idler :

g²= 8π²d_{e f f}²

λ_sλ_i n(λs, θ)no(λi)n(λp, θ)cε₀ E´p (1.8) avec c ' 3,00·10⁸ m/s la vitesse de la lumi `ere dans le vide, et la permittivit ´e du vide ε<sub>0</sub> ' 8,85.10<sup>−12</sup> s<sup>4</sup>A<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>/kg. L’ ´equation 1.7 montre dans notre cas (voir au besoin la figure 1.9 `a la section 1.3.1 concernant la description du montage exp ´erimental) que les populations Ncell(∆k,g) signal et idler sont maximales pour un d ´esaccord de phase

∆k =0. Le nombre moyen de photons d ´ecroit ensuite avec l’augmentation du d ´esaccord de phase jusqu’ `a une moyenne nulle pour∆klim =2q

π² L²_c +g².

Pour un accord de phase de type II non critique, les vecteurs d’onde signal et idler

−

→ks,i forment respectivement un angle αs,i avec la direction du vecteur d’onde pompe

−

→kp (voir figure 1.6). D’apr `es l’ ´equation 1.2, les vecteurs d’onde sont alors reli ´es par la

1. L’angle de double r ´efractionϕ=3,3˚ est suffisamment petit pour proc ´eder `a cette approximation.

Δk k_s

k_i k’_s

k’_i

k_p α’_s

α_i α_s

α’_i

k_i k’_i

FIGURE1.6 – Repr ´esentation de la relation entre les vecteurs d’onde pompe, signal, et idler, pour un accord de phase non critique et pour un d ´esaccord de phase∆k.

relation kp = ks(α_s) cos(α_s) + ki cos(α_i). Nous consid ´erons dans cette relation que le rayon idler est polaris ´e ordinairement, tandis que le rayon signal est polaris ´e extraor- dinairement, et par cons ´equent ks a une d ´ependance envers sa direction de propaga- tion. Lorsque les vecteurs d’onde signal et idler s’ ´ecartent respectivement d’un angle α⁰_s,i , αs,i avec la direction de→−

kp, la population moyenne de photons Ncell(∆k,g) est af- fect ´ee par un d ´esaccord de phase ∆k=kp−k⁰_s(α_s)cos(α⁰_s)−k⁰_i cos(α⁰_i), avec α⁰_s etα⁰_i li ´es par k⁰_s(αs) sin(α⁰_s) = k⁰_i sin(α⁰_i). L’ ´evolution de la population Ncell(∆k,g) avec le d ´esaccord de phase est ainsi repr ´esentative du profil moyen transverse des faisceaux signal et idler dans le plan de Fourrier (voir la figure 1.10 du paragraphe 1.3.1).

Seul le profil moyen du nombre de photons a ´et ´e pr ´esent ´e dans cette section. Il repr ´esente la probabilit ´e de pr ´esence des photons dans les faisceaux signal et idler.

1.3/ M

´

Le montage exp ´erimental mis en place pour l’enregistrement des images jumelles, repr ´esent ´e en figure 1.7, a ´et ´e ´etudi ´e afin d’enregistrer les faisceaux signal et idler, s ´epar ´es spatialement par le walk-off. Ce montage est constitu ´e d’ ´el ´ements permettant :

— La cr ´eation des faisceaux jumeaux signal et idler : un laser pompe et un cristal non lin ´eaire ;

— Le traitement optique des faisceaux jumeaux : miroirs, lentilles, filtres ;

— L’acquisition des faisceaux signal et idler : deux cam ´eras pilot ´ees par ordinateur ;

— L’ ´etude des images enregistr ´ees : programmes de d ´epouillement.

En raison d’attentes diff ´erentes entre les exp ´eriences d’imagerie fant ˆome temporelle et

Filtre 709,3 nm

Filtre 709,3 nm

Pompe UV 354,65 nm

BBO Type II

(a)

Filtre 709,3 nm

Filtre 709,3 nm

Pompe UV 354,65 nm

BBO Type II

(b)

FIGURE1.7 – Montage exp ´erimental pour l’enregistrement d’images dans le plan image du cristal (a), puis dans le plan de Fourier (b). La seule diff ´erence entre ces deux confi- gurations est la distance s ´eparant la lentille des capteurs, avec f = 125 mmpour (b) et p⁰ '435mmpour (a).

la mise en ´evidence d’un paradoxe EPR, certains ´el ´ements du montage ont ´et ´e modifi ´es entre les deux exp ´eriences. D’autres ´el ´ements ne sont pr ´esents que pour l’exp ´erience d’imagerie fant ˆome.

Nous allons dans cette section apporter une description des ´el ´ements du montage n ´ecessaires `a l’enregistrement d’images jumelles dans les cas d’imagerie fant ˆome temporelle et de mise en ´evidence d’un paradoxe EPR. Les ´el ´ements ajout ´es par la suite uniquement pour l’imagerie fant ˆome temporelle seront d ´ecrits au chapitre III.

1.3.1/ CREATION DES FAISCEAUX JUMEAUX´

Le laser utilis ´e est un laser impulsionnel ultraviolet (UV), `a 354,65 nm. Les impulsions ont une dur ´ee τ_uv = 300 ps, une ´energie Euv = 28 µJ, et une fr ´equence de r ´ep ´etition

fuv =1kHz.

Le cristal non lin ´eaire est un cristal de beta-borate de baryum (BBO), taill ´e pour que l’accord de phase de type II colin ´eaire (aux longueurs d’onde2λp=λs,i) ait lieu pour une incidence normale de la pompe sur le cristal, c’est `a dire pour un angleθ=48,7˚ entre la pompe et l’axe optique. Il est dispos ´e dans une monture circulaire de diam `etred=5mm, son ´epaisseur est Lc = 800µm, et la transmission des photons `a sa sortie est estim ´ee `a TBBO =98±1%.

Le choix du cristal non lin ´eaire utilis ´e est effectu ´e suivant plusieurs crit `eres.

Premi `erement, le BBO est transparent aux longueurs d’ondes utilis ´ees. De m ˆeme son seuil de dommage est ´elev ´e et sup ´erieur `a l’ ´eclairement produit par le laser pompe. Fi- nalement, il convient que ses coefficients non lin ´eaires soient ´elev ´es, afin de permettre une conversion efficace de photons. Le BBO est un cristal appartenant `a la classe cris- talline 3m. Son coefficient non lin ´eaire effectifde f f est calcul ´e `a partir de son tenseur des coefficients non lin ´eaires pour un accord de phase de type II [Dmitriev V.G. et al., 1999] :

de f f =d22 cos²(θ)cos(3φ) (1.9)

O `ud22 =2,22 pm/V est l’un des coefficients non lin ´eaires du BBO, etφ=0est un angle utilis ´e pour rep ´erer les vecteurs d’onde pompe, signal, et idler, et dont la valeur est choisie afin de maximiser la valeur du coefficientde f f. Pour l’angleθ<sub>p</sub>=47,7˚, correspondant `a la configuration utilis ´ee d’accord de phase non critique, nous avonsde f f =1,00 pm/V. Les indices de r ´efraction no(λ_p,s,i) et ne(λ_p,s,i), d ´ependants de la longueur d’onde, sont d ´eduits des ´equations de Sellmeier pour le BBO [Eksma optics, 2017] :

no(λp,s,i(µm))²=2,7359+ 0,01878

(λ²_p,s,i−0,01822) −0,01354λ²_p,s,i (1.10) ne(λp,s,i(µm))²=2,23753+ 0,01224

(λ²_p,s,i−0,01667) −0,01516λ²_p,s,i (1.11) Les indices de r ´efraction affectant les ondes polaris ´ees extraordinairement sont par la suite d ´eduits de l’ ´equation 1.3, pour l’angle correspondant `a la configuration utilis ´eeθ_p = 47,7˚ et θs,i = θ_p±ϕ ' θ_p lorsque le walk-off ϕ << θ_p. Avecλs,i = 2λp = 709,3nm, nous obtenons les indices de r ´efraction suivant :

n(λp, θ_p)=1,6312 n(λs, θ_s)=1,5966 no(λi)=1,6637

(1.12)

Nous allons maintenant estimer l’ ´eclairement du cristal non lin ´eaire par les impulsions pompe. Cela nous permettra par la suite d’estimer le gain param ´etrique moyen dans le cristal non lin ´eaire, puis avec l’ ´equation (1.7) d’estimer le nombre moyen de photons par cellule de coh ´erence des faisceaux signal et idler.

L’ ´eclairement du cristal n’est pas uniforme spatialement et temporellement, en raison du profil spatial transverse gaussien du laser et du profil gaussien de l’impulsion temporelle.

L’impact de cet ´eclairement sur les intensit ´es signal et idler d ´epend du gain param ´etrique g (exprim ´e en ´equation 1.8) dans le cristal non lin ´eaire. Lorsque le gain param ´etrique est tr `es faible vis `a vis du d ´esaccord de phase permis (g << ∆k), le sinus cardinal peut s’exprimer uniquement en fonction du d ´esaccord de phase : sinc(b Lc) ' sinc(∆k Lc/2).

Par cons ´equent, le nombre de photons par cellule de coh ´erence devient proportionnel au carr ´e du gain param ´etrique :

Ncell(∆k,g)=g²L²_c sin²_c ∆k Lc

2

!

(1.13) et les puissances des faisceaux signal et idler deviennent proportionnelles `a la puis- sance pompe. Afin d’estimer le gain param ´etrique moyen, nous allons supposer que l’ ´eclairement moyen est suffisamment faible pour avoir, `a un d ´esaccord de phase∆kfixe, une variation lin ´eaire du nombre de photons Ncell(∆k,g) vis `a vis du gain param ´etrique (voir ´equation 1.8) et par cons ´equent Ncell ∝ E´p. Cela permet d’approximer le gain pa- ram ´etrique `a sa valeur moyenne.

L’ ´eclairement moyenE´p repr ´esente la densit ´e d’ ´energie rec¸ue par le cristal. Temporelle- ment, le cristal rec¸oit l’int ´egralit ´e de l’impulsion, tandis que le profil gaussien transverse de la pompe est filtr ´e spatialement suivant les dimensions transverses du cristal. Les confi- gurations exp ´erimentales utilis ´ees dans les exp ´eriences de d ´emonstration d’un paradoxe EPR et d’imagerie fant ˆome temporelle sont l ´eg `erement diff ´erentes. Nous ne donnerons dans ce chapitre que la configuration utilis ´ee pour la d ´emonstration d’un paradoxe EPR.

Dans cette exp ´erience, la partie du faisceau passant `a travers le cristal correspond au centre du faisceau jusqu’ `a un rayonruv=wuv, sa demi-largeur `a1/e². Cette configuration est repr ´esent ´ee en figure 1.8. Nous estimons ici que le faisceau pompe est collimat ´e et centr ´e sur le cristal non lin ´eaire. De m ˆeme nous consid ´erons pour le moment que les deux dimensions transverses du faisceau, suivant les axesxety, sont les m ˆemes.

La quantit ´e d’ ´energie rec¸ue par le cristal correspond donc `a l’int ´egrale du profil spatial gaussien born ´e parruv, et de l’impulsion temporelle. L’ ´eclairement moyen est d ´eduit dans

FIGURE1.8 – Paradoxe EPR : La monture du cristal non lin ´eaire bloque le faisceau pompe sur un rayon correspondant au beam waist du faisceauwuv.

les deux cas de cette quantit ´e d’ ´energie, connaissantruvet la dur ´ee des l’impulsionsτ_uv :

E´p= Euver f² 2/√

2 τ_uv πr²uv

(1.14) er f

2/√ 2

est la fonction d’erreur `a la valeur 2/√

2. Elle correspond `a la fonction de r ´epartition d’une gaussienne entre −wuv et wuv. Avec ruv = d/2 = 2,5 mm, nous obtenons alors un ´eclairement moyen E´p = 433,1 kW/cm<sup>2</sup>. Cela permet le calcul du gain param ´etrique moyen `a partir de l’ ´equation 1.8. Pour les longueurs d’onde λ_s,i = 2λp = 709,3 nm nous obtenons g = 7,70 ·10⁻³ mm⁻¹. L’hypoth `ese de gain pa- ram ´etrique faibleg<<∆kest ainsi v ´erifi ´ee, avec un d ´esaccord de phase limite que nous choisirons `a∆klim =2p

π²/L²c +g²'2π/Lc=7,85mm⁻¹.

Le nombre moyen de photons par cellule de coh ´erence spatio-temporelles Ncell(∆k,g), d ´ependant du d ´esaccord de phase, est finalement d ´eduit de l’ ´equation 1.13 et est repr ´esent ´e en figure 1.9. Pour un d ´esaccord de phase allant de ∆k = 0 mm⁻¹ `a ∆klim, nous obtenonshNcelli=17,3·10⁻⁶photon par cellule de coh ´erence spatio-temporelle.

Comme nous l’avons mentionn ´e au paragraphe 1.2.6, l’ ´equation 1.13 nous permet

´egalement de tracer le profil moyen deNcell(∆k), en fonction des angles s ´eparant le vec- teur d’onde pompe des vecteurs d’onde signal et idler. Cette repr ´esentation est donn ´ee en figure 1.10, et nous donne les profils moyens des faisceaux signal et idler dans le plan de Fourier.

1.3.2/ TRAITEMENT OPTIQUE DES FAISCEAUX JUMEAUX

Les ´el ´ements optiques du montage permettent d’adapter les faisceaux signal et idler `a l’enregistrement d’images jumelles analogues dans le plan image (figure 1.7 haut) et sym ´etriques dans le plan de Fourier (figure 1.7 bas). Le nombre d’ ´el ´ements optiques du montage doit cependant ˆetre limit ´e en raison des pertes optiques. Par exemple, lorsqu’il

0 5 10 15 20 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

4x 10⁻⁵

Désaccord de phase (mm⁻¹)

Nombre de photons par cellule de cohérence

FIGURE 1.9 – Nombre moyen de photons par cellule de coh ´erence Ncell, en fonction du d ´esaccord de phase∆k.

αx (rd) αy (rd)

1 0 0.05 0.1

1

0

0.05

0.1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10

-0.05 -0.1

-0.1

-0.05

-5

φ=114 mrd

FIGURE1.10 – Nombre moyen de photons par cellule de coh ´erence `a la sortie du cristal.

L’angle de double r ´efractionϕ=114mrdest repr ´esent ´e. L’ ´echelle de couleurs correspond

`a l’intensit ´e moyenne en nombre de photons par cellule de coh ´erence

y a absorption d’un photon signal, un photon idler devient c ´elibataire et constitue une source de bruit. Le choix d’optiques ayant un fort coefficient de transmission ou r ´eflexion permet donc de diminuer ce risque.

A la sortie du cristal non lin ´eaire, les faisceaux signal et idler sont s ´epar ´es spatialement par l’angle de double r ´efraction. Cependant, la faible valeur de cet angle vis `a vis de l’ouverture angulaire des faisceaux rend difficile le placement de deux dispositifs d’enre-

gistrement distincts. De m ˆeme, le faisceau pompe est tr `es peu d ´epl ´et ´e par la conversion dans le cristal, et sa proximit ´e avec les faisceaux jumeaux cr ´ee un risque suppl ´ementaire de fluorescence parasite. C’est notamment le cas lorsque la pompe traverse les optiques.

Afin de r ´esoudre le probl `eme d’encombrement, des miroirs dichro¨ıques sont plac ´es sur le trajet des faisceaux jumeaux, et envoient ces derniers dans des sens oppos ´es. La r ´eflectance de ces miroirs estRmiroir>99±1% `a709nm. Comme la pompe est filtr ´ee spa- tialement sur un diam `etre d = 5 mm, correspondant `a la monture du cristal non lin ´eaire (voir figure 1.8), l’espacement entre les miroirs doit ˆetre sup ´erieur `a 5 mm afin d’ ´eviter que les miroirs fluorescent sous l’effet de la pompe. Cet ´ecartement implique que l’angle de walk-off soit suffisamment grand, ou la divergence des faisceaux suffisamment faible, pour que les faisceaux jumeaux soient int ´egralement r ´efl ´echis par les miroirs. Un pi `ege

`a faisceau est ensuite plac ´e derri `ere les deux miroirs afin de bloquer le faisceau pompe.

Un filtre passe bas peut ´egalement ˆetre utilis ´e pour s ´eparer le faisceau pompe des fais- ceaux jumeaux, apr `es le passage du cristal non lin ´eaire. Cette m ´ethode n’a pas ´et ´e uti- lis ´ee au cours des travaux pr ´esent ´es ici, mais est d ´esormais utilis ´ee sur notre montage exp ´erimental.

Une lentille de distance focale f = 125mmet de transmissionTlentille > 98±1% permet d’adapter le montage `a des enregistrement dans le plan image du cristal, ou dans le plan de Fourier. Pour un enregistrement dans le plan image les cam ´eras sont positionn ´ees `a la distancep⁰ '435mmdes lentilles, afin d’imager la surface du cristal et d’enregistrer les positions des photons. Le grandissement transverse dans le plan imageG=2,44±0,02 est mesur ´e en imageant une mire positionn ´ee `a la place du cristal (voir figure 1.11). Dans le plan de Fourier les cam ´eras sont positionn ´ees `a la distance f des lentilles, permettant d’enregistrer les impulsions des photons.

(a)

Pixels

Pixels

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 50

100 150 200 250 300 350 400 450 500

(b)

FIGURE 1.11 – Exemple de mire optique utilis ´ee pour le calcul du grandissement (a).

Image de la mire utilis ´ee pour le calcul du grandissement sur la cam ´era (b). L’ ´echelle de couleurs correspond `a des niveaux d’intensit ´e. Le grandissement est calcul ´e connaissant les fr ´equences spatiales des ´el ´ements de la mire.

Un filtre centr ´e `a la longueur d’onde de d ´eg ´en ´erescence λ<sub>s</sub> = λ<sub>i</sub> = 2λp est plac ´e sur le trajet des faisceaux signal et idler. Il a pour but de r ´eduire la bande passante de d ´etection des faisceaux signal et idler autour de la longueur d’onde de d ´eg ´en ´erescence, et ainsi d’ ´eviter que les vecteurs d’ondes signal et idler ne forment un angle diff ´erent avec le vecteur d’onde pompe [Blanchet et al., 2008]. Il permet ´egalement de r ´eduire consid ´erablement la lumi `ere parasite indiscernable des photons jumeaux. En raison de la non disponibilit ´e de filtres fins, d’une largeur `a mi-hauteur (FWHM) de 1 `a 5nm, et ayant un coefficient de transmission ´elev ´e, des filtres diff ´erents ont ´et ´e utilis ´es au cours des exp ´eriences pr ´esent ´ees ici. Pour la mise en ´evidence d’un paradoxe EPR, un filtre au profil de transmission gaussien, d’une FWHM de5nm, d’une transmission maximale ' 80%, et centr ´e sur la longueur d’onde de d ´eg ´en ´erescence 709,3 nma ´et ´e utilis ´e (voir 1.12). Ce filtre gaussien peut ˆetre assimil ´e `a un filtre au profil de transmission rectan- gulaire, d’une largeur ∆λ ' 11 nm et d’une transmission estim ´ee (voir [Moreau, 2015]

p75) `aTf iltre=56,6±2,0%. Pour la mise en place d’une exp ´erience d’imagerie fant ˆome, nous avons privil ´egi ´e un filtre au profil de transmission rectangulaire d’une largeur de

∆λ=16nmet centr ´e sur la longueur d’onde708nm. Sa transmission maximale est>95%

et sa transmission moyenne est estim ´ee (voir section 3.4.2) `aTf iltre=95±2,0%. Le choix de ces filtres est argument ´e dans les parties concern ´ees, `a la section 3.4.2.

FIGURE1.12 – Profil de transmission en longueur d’onde des filtres utilis ´es pour la mise en ´evidence d’un paradoxe EPR. La longueur d’onde centrale est de 709,3 nm, et la FWHM de5nm.

1.3.3/ CELLULES DE COHERENCE ET R´ ESOLUTION DES FAISCEAUX SIGNAL ET´

IDLER

Par analogie avec la r ´esolution d’une image, la r ´esolution spatiale des faisceaux signal et idler est d ´etermin ´ee par le nombre de grains d’intensit ´e ind ´ependants contenus dans le plan transverse des faisceaux (voir figure 1.2). Ces grains correspondent uniquement aux cellules de coh ´erence spatiale des faisceaux, mais les cellules de coh ´erence temporelle jouent ´egalement un r ˆole dans la distribution du nombre de photons dans les faisceaux [Mosset et al., 2004]. Le facteur de d ´eg ´en ´erescence Mimpulsion repr ´esente le nombre de cellules de coh ´erence spatio-temporelle dans les faisceaux signal et idler, suite au pas- sage dans le cristal d’une impulsion pompe. Mimpulsion peut ˆetre d ´eduit de Mx le nombre de cellules de coh ´erence spatiale et Mt, le nombre de cellules de coh ´erence temporelle, par (voir [Mosset et al., 2004]) :

Mimpulsion= Mx·Mt (1.15)

Dans le plan image, la r ´esolution spatiale transverseRdes faisceaux peut ˆetre calcul ´ee en d ´eterminant le nombre de cellules de coh ´erence spatiale contenues dans la section du cristal non lin ´eaire imag ´ee par les cam ´eras. Leurs dimensions lat ´eralesDxetDy dans le plan image `a la sortie du cristal, sont donn ´ees par :

Dx= λs,i

α(∆klim)/2 ' Dy (1.16)

o `uα(∆klim)/2est la demi-ouverture angulaire transverse des faisceaux signal et idler dans le plan de Fourier. Elle est d ´etermin ´ee par l’interm ´ediaire de simulations num ´eriques, connaissant les conditions d’accord de phase. La r ´esolution transverse R est ensuite calcul ´ee connaissant le diam `etre du cristal non lin ´eaire ´eclair ´e par la pomped =5mm:

R= d

Dx (1.17)

Avec α(∆klim)/2 ' 38 mrd, nous obtenons un nombre de cellules de r ´esolution dans une dimension transverse R = 268. Le nombre total de cellules de r ´esolution spatiale Mx

enregistr ´es dans les images est d ´eduit de la proportion du cristal non lin ´eaire imag ´e par les cam ´eras. Les lentilles actuellement utilis ´ees permettent de visualiser le diam `etre du cristal sur la diagonale des capteurs. Mx est donc d ´eduit deRsimplement en utilisant le th ´eor `eme de Pythagore :

Mx = R²

2 (1.18)

Nous obtenons par cons ´equent un nombre total de cellules de r ´esolution spatiale vues