I. Equation d’un plan

Droites et plans

I. Equation d’un plan

Deux m´ethodes sont `a utiliser pour d´eterminer l’´equation d’un plan :

1. Premi` ere m´ ethode

Tout plan de vecteur normal~n^pa, b, c^qa une ´equation de la formeax by cz d0.

On doit alors :

1.D´eterminer un pointAappartenant `a ce plan.

2.Chercher un vecteur normal `a ce plan.

3.Donner la forme g´en´erale de l’´equation du plan.

4.Trouverden rempla¸cant les coordonn´ees deAdans cette ´equation.

Retenir que :

Si le plan est d´efini par trois points A, B et C, alors le vecteur normal ~n v´erifie : ~n^ÝAB^Ñ 0 et

~

n^ÝAC^Ñ0 .

Si le plan est d´efini par un point et deux vecteurs~uet~v alors~n~u0 et~n~v0 .

Si un plan est :

D´efini par un point,

Parall`ele `a un autre plan d’´equationax by cz d0, Alors ce plan a pour ´equationax by cz f 0.

Exemple d’application :

Dans l’espace orthonormal^pO,~i,~j, ~k^q, on donne les points A(0, 1, 2), B(1, -2, 0) et C(3, 0, 1).

ÝÑTrouver une ´equation du plan (ABC).

R´eponse :

On sait que A(0, 1, 2)^P(ABC) et que le vecteur normal~n^pa, b, c^qv´erifie :~n^ÝAB^Ñ0 et~n^ÝAC^Ñ0.

Trouvons les coordonn´ees de ^ÝAB et de^{Ñ Ý}AC :^Ñ

On a :^ÝAB^ÑpxBxA, yByA, zBzA^qet^ÝAC^ÑpxCxA, yCyA, zCzA^q. Donc :^ÝAB^Ñp1,3,2^qet^ÝAC^Ñp3,1,1^q

On obtient alors le syst`eme :

"

a3b2c0 3abc0

En prenant arbitrairementa1, on trouve :b5 etc8.

~

n^p1,5,8^qest donc normal `a (ABC).

Jusqu’`a pr´esent, on sait que le plan (ABC) a pour ´equation :x5y 8z d0.

Puisque A(0, 1, 2) ^P(ABC), on peut donc remplacer ses coordonn´ees dans l’´equation pour obtenir : 5 16 d0

On en tire que : d11.

Conclusion :^pABC^q : x5y 8z110 .

2. Deuxi` eme m´ ethode

On cherche des r´eelsa, b, c, dtels que (ABC) ait pour ´equation ax by cz d0.

A, B et C appartiennent `a ce plan, d’o`u le syst`eme de trois ´equations `a quatre inconnues suivant :

$

&

%

b 2c d0 a2b d0 3a c d0

On fixe arbitrairement une inconnue (par exempled) puis on r´esout le syst`eme pour trouver les autres valeurs.

II. Droite de l’espace

1. Repr´ esentation param´ etrique d’une droite

La droite passant parA^pxA, yA, zA^qet ayant pour vecteur directeur~u^pa, b, c^qadmet pour repr´esentation pa-

ram´etrique ou ´equation param´etrique le syst`eme :

$

&

%

xat xA

ybt yA

zct zA

t^PR^p1^q

Exemples d’applications :

Exemple 1 :

Soient A(1 ; 2 ; -1) et B(2 ; 0 ; 3), donner une repr´esentation param´etrique de la droite (AB).

ÝÑ

AB est un vecteur directeur de (AB), ses composantes sont : (1, -2, 4) La repr´esentation param´etrique de (AB) est donn´ee par ^p1^q.

Le calcul :

x1t 1

y2t 2

z4t1

On conclut :

$

&

%

x t 1 y2t 2 z4t1

t^PR.

Exemple 2 :

Soit^pD^qla droite d´efinie par

"

x y2z5 2x yz4 ^p2^q

ÝÑDonner un point et un vecteur directeur puis une repr´esentation param´etrique de^pD^q R´eponse :

Dans^p2^qon soustrait L²L¹ : L²L^1ùñx1z

Et en rempla¸cant dansL1 :y6 3z

Les solutions du syst`eme sont de la forme :^p1z,6 3z, z^q, que l’on peut ´ecrire :^p1,6,0^q z^p1,3,1^q

pD^qa pour vecteur directeur~u^p1,3,1^qet passe par le point A(1, - 6,0).

Une repr´esentation param´etrique est donc :

$

&

%

x 1t y6 3t z t

t^PR

III. Probl` emes de parall´ elisme et d’orthogonalit´ e

Pour traiter ce type de question, il est recommand´e de d´eterminer un vecteur directeur de la droite (resp. des droites) et un vecteur normal du plan (resp. des plans) et d’appliquer un des 6 r´esultats pr´esent´es ci-apr`es (on pourra s’aider d’une figure) :

1. Le parall´ elisme

Prouver le parall`elisme entre :

a) Une droite et un plan : il suffit de prouver qu’un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan sont orthogonaux ; ils le sont ssi~u~v0.

b) Deux droites : un vecteur directeur d’une droite est colin´eaire `a un vecteur directeur de l’autre droite ; deux vecteurs~uet~vsont colin´eaires si et seulement si leurs coordonn´ees sont proportionnelles.

c) Deux plans :un vecteur normal `a l’un est colin´eaire `a un vecteur normal `a l’autre.

2. L’orthogonalit´ e

Prouver une orthogonalit´e entre :

a) Une droite et un plan :un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan sont colin´eaires.

b) Deux droites : un vecteur directeur d’une de ces droites est orthogonal `a un vecteur directeur de l’autre droite.

c) Deux plans (il s’agit de plans perpendiculaires et non de plans orthogonaux) : un vecteur normal au 1^er plan est orthogonal `a un vecteur normal au 2<sup>`eme</sup> plan .

IV. D´ eterminer une intersection

1. De deux droites

D

et

D

1.Donner une repr´esentation param´etrique des deux droites en prenanttet t¹ pour param`etres.

2.Egalerx, y, zde fa¸con `a obtenir un syst`eme de trois ´equations `a deux inconnuest ett<sup>1</sup>. 3.R´esoudre le syst`eme puis conclure.

Retenir que :

L’intersection peut ˆetre :

l’ensemble vide.

r´eduit `a un point.

une droite (lorsque les deux droites sont confondues).

2. De deux plans

1.D´eterminer une ´equation de chaque plan.

2.R´esoudre le syst`eme de deux ´equations `a trois inconnues form´e par les deux ´equations pr´ec´edentes.

3.Conclure.

Retenir que :

L’intersection peut ˆetre :

l’ensemble vide (lorsque les plans sont strictement parall`eles).

une droite.

un plan (lorsque les deux plans sont confondus).

Exemple d’application :

ÝÑQuelle est l’intersection de ^pP^qet^pP^1qd’´equations respectives : x2y 2z 20 et 3x yz10 ?

R´eponse : M

x y z

P P ^XP^{1 ðñ}

"

M ^PP M ^PP^{1 ðñ}

"

x 2y2z2

3x y z 1 ^ðñ

"

x2y2z2

3^p2y2z2^q yz 1

ðñ

"

x2^pz 1^q2z20 yz 1

On utilisez comme param`etre, c’est-`a-dire qu’on posezt:

pP^qet^pP^1qont pour intersection la droite de repr´esentation param´etrique

$

&

%

x 0 yt 1 z t

t^PR

3. De trois plans

Cela revient `a r´esoudre un syst`eme de 3 ´equations `a 3 inconnues.

L’intersection peut ˆetre :

Vide.

R´eduite `a un point (lorsque le syst`eme a une unique solution).

Une droite (lorsque le syst`eme a une infinit´e de solutions exprim´ees en fonction d’un seul param`etre).

Un plan (lorsque les 3 plans sont confondus).

4. D’une droite et un plan

D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite avec un param`etret.

Chercher une ´equation du plan.

Remplacerx, y, zpar leurs valeurs en fonction du param`etretdans l’´equation du plan.

R´esoudre cette ´equation ent puis conclure.

Exemple d’application :

D´eterminer l’intersection du plan^pP^qd’´equationx y z0 et de la droite^pD^qpassant par A(1, -2, 1) et de vecteur directeur ~u^p1,1,0^q.

R´eponse :

Une repr´esentation param´etrique de^pD^qest

&

%

x1 t y2t z 1

En rempla¸cant dans l’´equation de ^pP^qon a : 1 t2t 10 soit 00

Toutes les valeurs de t sont solutions donc tous les points de la droite sont dans le plan. La droite est donc incluse dans^pP^q.

Retenir que :

L’intersection d’une droite et d’un plan peut ˆetre :

vide (lorsque la droite est strictement parall`ele au plan)

r´eduite `a un point

une droite (lorsque la droite est contenue dans le plan)

V. L’intersection d’une sph` ere et d’un plan

L’intersection d’une sph`ere et d’un plan peut ˆetre :

vide

r´eduite `a un point (lorsque le plan est tangent `a la sph`ere)

un cercle

La sph`ere de centre Ω et de rayonR a pour ´equation cart´esienne :

pxx^{Ωq2 p}yy^{Ωq2 p}zz^Ωq2R²

Exemple d’application :

Intersection de la sph`ere<sup>p</sup>S<sup>q</sup>de centre Ω<sup>p</sup>1,1,1<sup>q</sup>et de rayon 3 avec le plan<sup>p</sup>xOy<sup>q</sup>: La sph`ere a pour ´equation : ^px1^{q2 p}y 1^{q2 p}z1^q29

le plan^pxOy^qa pour ´equationz0.

M

x y z

PS^XpxOy^qðñ

"

M ^PS M ^PpxOy^q

ðñpx1^{q2 p}y 1^{q2 p}z1^q29 etz0

ðñpx1^{q2 p}y 1^q28 etz0

Cette ´equation est celle d’un cercle de centre I(1 ; -1 ; 0) et de rayon 2

?

2, situ´e dans le plan^pxOy^q

VI. Plan m´ ediateur d’un segment

Il s’agit du plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal `a ce segment.

Le plan m´ediateurP d’un segment [AB] est l’ensemble des points ´equidistants de A et de B :

M ^PP ^ðñM AM B

Exemple :

Soient A(2 ; 0 ; -1) et B(4 ; -2 ; 3). D´eterminer une ´equation du plan m´ediateur P du segment [AB].

M ^PP^ðñAMBM ^ðñAM²BM²

ðñpx2^q2 y^{2 p}z 1^q2px4^{q2 p}y 2^{q2 p}z3^q2

ðñx²4x 4 y² z² 2z 1x²8x 16 y² 4y 4 z²6z 9

ðñ4x4y 8z240^ðñ xy 2z60 Autre m´ethode :

CommeP est le plan m´ediateur du segment [AB], alors^ÝAB^ÝÑest un vecteur normal `a P.

Une ´equation deP est de la forme 2x2y 4z d0^p1^q Le milieu I de [AB], de coordonn´ees

2 4

2 ; 02

2 ; 1 3 2

c`ad (3 ; -1 ; 1), appartient au plan P. Ses coordonn´ees v´erifient donc (1). On a donc 232<sup>p</sup>1<sup>q</sup> 41 d0, c’est-`a-dired12.

P a pour ´equation 2x2y 4z120 ou apr`es simplicationxy 2z60.

VII. D´ eterminer une distance

1. D’un point ` a un plan

Si P a pour ´equation ax by cz d0 et A est un point, la distance du point A `a P est donn´ee par la formule :

d^pA, P^{q |}axA byA czA d^|

?

a² b² c²

2. D’un point ` a une droite D

1.D´eterminer une ´equation du planP passant par A et perpendiculaire `aD 2.Chercher les coordonn´ees du point B d’intersection entreP etD

3.On a alorsd^pA, D^qAB

Exemple :

D´eterminer la distance entre le point A(0 ; 3 ; -1) et la droiteD d´efinie parx y z0 ety2 M(-1 ; 2 ; -1) et N (0 ; 2 ; -2) appartiennent `aD donc^ÝM N^ÝÑp1; 0;1^qest un vecteur directeur deD.

Le plan perpendiculaire `aD et passant par A a pour vecteur normal^ÝM N^ÝÑ

Une ´equation en est donc xz d0 ; A^PP donc ses coordonn´ees v´erifient l’´equation de ce plan donc 1 d0, doncd1.

P a pour ´equationxz10.

Cherchons l’intersection de P et de D.

B ^PP^XD^ðñ

"

B^PP B^PD ^ðñ

$

&

%

xz10 x y z0 y 2

ðñ

$

'

'

&

'

'

%

x1 y2 2

z3 2 On obtientB1

2; 2;3 2 d(A,P) = AB =

?

6 2 .

3. Volume d’un t´ etra` edre

On appelle hauteur d’un t´etra`edre toute droite contenant l’un des sommets de ce t´etra`edre et perpendiculaire au plan de la face oppos´ee `a ce sommet.

V 1

3bho`ubest l’aire d’une base et hla hauteur correspondante.

Application :

Soient A(3 ; 0 ; -1) B(2 ; 1 ; -1) C(4 ; 2 ; 5) F(3 ; 4 ; 3)

On admet que (ABC) a pour ´equation 2x 2yz70 (exercice : le d´emontrer) et que l’aire du triangle isoc`ele ABC est ´egale `a 9

Calculer la distance de F `2a (ABC) :

d^pF;^pABC^qq|2xF 2yFzF7^|

?

4 4 1

4

?

9

4 3 Calculer le volume du t´etra`edre ABCF :

la distance calcul´ee pr´ec´edemment est la hauteur du t´etra`edre ABCF issue de F corrrespondant `a la base ABC.

VABCF

1

3AireABCd^pF;^pABC^qq 1 3

9 2

4

3 2 Unit´es de volume