3 Équations différentielles linéaires du premier ordre Le but de ce chapitre est de déterminer une fonction

3 Équations différentielles linéaires du premier ordre

Le but de ce chapitre est de déterminer une fonctiony telle que l’équation (1) :

a(t)y^′(t) +b(t)y(t) =c(t) (1)

soit vérifiée pour toute valeur de t avec a,b etc des fonctions.

Exemple 1.

⊲ On considère la fonction exponentielle y(t) = e^t. On sait que pour tout t ∈ R, y^′(t) = e^t. On a donc y^′(t) = y(t) ⇔ y^′(t)−y(t) = 0. Autrement dit, la fonction t 7→ e^t est solution de l’équation différentielle :

y^′(t)−y(t) = 0

⊲ On considère f(x) = cos(x). On sait que pour tout x∈ R, f^′(x) = −sin(x) et f^′′(x) = −cos(x).

On a donc f(x) =−f^′′(x)⇔f(x) +f^′′(x) = 0. La fonction x7→cos(x) est solution de l’équation différentielle :

y^′′(x) +y(x) = 0

3.1 Vocabulaire

Définition 2 (Équation différentielle).

On appelle équation différentielle une équation dont l’inconnue est une fonction et faisant intervenir la fonction et ses dérivées.

Définition 3 (Équation différentielle linéaire).

On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle dans laquelle les fonctions y, y^′, y^′′,. . . sont additionnées entre elles.

Définition 4 (Équation différentielle linéaire du premier ordre).

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation différentielle linéaire ne faisant intervenir que y et y^′.

Définition 5 (Second membre et équation homogène).

On appelle second membre d’une équation différentielle, tout ce qui ne dépend pas de y, y^′, y^′′,. . . Le second membre est souvent « rangé » à droite du signe « = ». Si le second membre est nul, on dit que l’équation est homogène

Définition 6 (Condition initiale).

On appelle condition initialeassociée à une équation différentielle le fait d’imposer la valeur de la fonction en un point.

Exemple 7.

⊲ 2y^′(t)−3y(t) = 5 est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

⊲ y^′(t)y(t) = 1 est une équation différentielle non linéaire du premier ordre

⊲ y^′′(t) + 4y(t) = 0 est une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants

⊲ t²y^′(t) + (2t + 1)y(t) = 0 est une équation différentielle homogène linéaire du premier ordre à coefficients non constants

⊲ y^′(t) + 2y(t) = cos(6t) est une équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre à coefficients constants de second membre t7→cos(6t).

3.2 Équations différentielles à coefficients constants

3.2.1 Équations homogènes Proposition 8.

Soient a etb deux constantes réelles aveca 6= 0. On considère l’équation différentielle homogène (EH cc) : ay^′(t) +by(t) = 0 (EH cc) Les solutions de (EH cc) sont les fonctions de la forme :

yH(t) =ke^−bat

pour tout k∈R et pour tout t∈R.

Démonstration. On considère l’équation ay^′(t) +by(t) = 0 avec a6= 0. On a : ay^′(t) +by(t) = 0⇔ay^′(t) =−by(t)

⇔y^′(t) = −b ay(t)

⇔ y^′(t) y(t) =−b

a

⇔

Z y^′(t)

y(t)dt=− Z b

adt

⇔ln(|y(t)|) =−b

at+C avec C ∈Rune constante

⇔ |y(t)|=e^−abt+C

⇔y(t) = ke^−abt avec k=±e^C ⇔k∈R

Proposition 9.

Soient t₀ ∈ R et y₀ ∈ R. Il existe une unique solution de (EH cc) qui satisfasse la condition initiale y(t0) =y₀.

Exemple 10.

Les solutions de l’équation différentielle7y^′(t)−3y(t) = 0 sont les fonctions de la formeyH(t) =ke^37t pour tout k∈R. L’ensemble des solutions se note :

S^H ={ ke^37t | k ∈R }

Si on considère de plus la condition initiale y(0) = 2, il faut déterminer k tel que : yH(0) =ke^37×0 = 2

On a donc k = 2 et l’unique solution de

(7y^′−3y = 0

y(0) = 2 est yH(t) = 2e^37t Remarque.

⊲ Sans condition initiale, une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre admet une infinité de solutions. Mais si on fixe une condition initiale il ne reste qu’une seule solution !

⊲ La fonction exponentielle joue un rôle central dans la résolution d’équation différentielle. On rap- pelle quelques propriétés :

1. On appelle fonction exponentielleexp, l’unique solution de l’équation différentielle y^′(t) =y(t) telle quey(0) = 1 et qui soit dérivable sur R

2. exp est continue et dérivable sur R 3. exp^′ = exp

4. e^t>0 pour tout t ∈R 5. exp est croissante sur R 6. e⁰ = 1 et e¹ =e≈2,718

3.2.2 Équations avec second membre Ensemble des solutions

Définition 11 (Solution particulière).

On appelle solution particulière de l’équation (1), une fonction notée yP qui est solution de (1) (c’est à dire que a(t)yP^′ (t) +b(t)yP(t) =c(t)).

Théorème 12.

Soit (Ecc) une équation différentielle linéaire et soit (EH cc) son équation homogène associée :

ay^′(t) +by(t) =c(t) (Ecc)

ay^′(t) +by(t) = 0 (EH cc)

On note :

⊲ yH les solutions de (EH cc)

⊲ yP une solution particulière de (Ecc) Alors les solutions de (E^cc) sont les fonctions :

y(t) =yH(t) +yP(t)

Théorème 13.

Soient t₀ ∈ R et y₀ ∈ R. Il existe une unique solution de (Ecc) qui satisfasse la condition initiale y(t0) =y₀.

Exemple 14.

On considère l’équation différentielle

(7y^′(t)−3y(t) = 2t

y(0) = 1

1. On résout l’équation homogène associée : 7y^′(t)−3y(t) = 0. Les solutions sont les fonctions de la forme yH(t) =ke^37t pour tout k∈R

2. On cherche une solution particulière de 7y^′(t)−3y(t) = 2t. yP(t) = −2

3t− 14

9 est une solution particulière, en effet :

y^′_P(t) =−2 3 d’où

7yP^′ (t)−3y^P(t) = 7×

−2 3

−3

−2 3t− 14

9

=−14

3 + 2t+14 3 = 2t 3. Les solutions de 7y^′(t)−3y(t) = 2t sont les fonctions de la forme

y(t) =yH(t) +yP(t) =ke^37t−2 3t− 14

9 pour tout k ∈R.

4. On cherche k pour que la condition initiale soit vérifiée.

y(0) =ke^37×0− 2

3 ×0− 14

9 = 1 ⇔ k− 14

9 = 1 ⇔ k = 23 9 5. L’unique solution de

(7y^′(t)−3y(t) = 2t

y(0) = 1 est

y(t) = 23

9 e^37t−2 3t− 14

9 Méthode

1. Résoudre l’équation homogène associée 2. Chercher une solution particulière 3. Donner la forme des solutions

4. Chercher la valeur de la constante pour que la condition initiale soit vérifiée 5. Donner l’unique solution

Recherche d’une solution particulière

Pour trouver une solution particulière on imite le second membre Si c(t) est un polynôme

yP(t) = polynôme de même degré que c(t) Exemple 15.

y^′−2y=t²−3t+ 1 (2)

On pose yP(t) =αt²+βt+γ et on cherche les coefficients α, β et γ.

yP(t) =αt²+βt+γ donc

y_P^′ (t) = 2αt+β

Comme on veut que yP soit solution de (2), on cherche α, β et γ tels que :

yP^′ −2yP =t²−3t+ 1 ⇔ 2αt+β−2(αt²+βt+γ) =t² −3t+ 1

⇔ −2αt²+ 2(α−β)t+β−2γ =t²−3t+ 1

⇔







−2α = 1 2α−2β = −3 β−2γ = 1

⇔











α = −1

2

β = 1

γ = 0

Donc yP(t) =−1

2t²+t est une solution particulière de l’équation (2).

Si c(t) est une fonction exponentielle Si c(t) =e^ωt avec ω ∈R, yP(t) =αe^ωt

Exemple 16.

y^′ −2y=e^8t (3)

On pose yP(t) =αe^8t et on cherche le coefficient α.

yP(t) =αe^8t donc

y_P^′ (t) = 8αe^8t

Comme on veut que yP soit solution de (3), on cherche α tel que : y^′P −2yP =e^8t ⇔ 8αe^8t−2αe^8t =e^8t

⇔ 6αe^8t=e^8t

⇔ 6α= 1

⇔ α= 1 6 Donc yP(t) = 1

e^8t est une solution particulière de l’équation (3).

Si c(t) est une fonction trigonométrique Si c(t) = cos(ωt) ouc(t) = sin(ωt)avec ω∈ R, yP(t) =αcos(ωt) +βsin(ωt)

Exemple 17.

y^′−2y= cos(3t) (4)

On pose yP(t) =αcos(3t) +βsin(3t) et on cherche les coefficients α et β.

yP(t) = αcos(3t) +βsin(3t) donc

y^′_P(t) = 3βcos(3t)−3αsin(3t) Comme on veut que yP soit solution de (4), on cherche α et β tels que :

y_P^′ −2yP = cos(3t) ⇔ 3βcos(3t)−3αsin(3t)−2(αcos(3t) +βsin(3t)) = cos(3t)

⇔ (3β−2α) cos(3t)−(3α+ 2β) sin(3t) = cos(3t)

⇔

(3β−2α = 1 3α+ 2β = 0

⇔







α = − 2

13

β = 3

13 Donc yP(t) =− 2

13cos(3t) + 3

13sin(3t) est une solution particulière de (4).

Si c(t) est solution de l’équation homogène associée yP(t) =αtc(t) Exemple 18.

y^′ −3y=e^3t (5)

Les solutions de l’équation homogène associée y^′ −3y = 0 sont de la forme yH(t) = ke^3t pour tout k ∈R. On remarque donc que le second membre (e^3t) de l’équation différentielley^′−3y=e^3test solution de l’équation homogène associée.

On pose yP(t) =αte^3t et on cherche le coefficient α.

yP(t) =αte^3t donc

yP^′ (t) =αe^3t+ 3αte^3t Comme on veut que yP soit solution de (5), on cherche α tel que :

y_P^′ −3yP =e^3t ⇔ αe^3t+ 3αte^3t−3αte^3t=e^3t

⇔ αe^3t=e^3t

⇔ α = 1

Donc yP(t) =te^3t est une solution particulière de (5).

3.3 Équations différentielles à coefficients non constants

3.3.1 Équations homogènes Proposition 19.

Soient a et b deux fonctions à valeurs réelles. On considère l’équation différentielle homogène (EH) : a(t)y^′(t) +b(t)y(t) = 0 (EH) Les solutions de (EH) sont les fonctions de la forme :

yH(t) =ke^−F(t) pour tout k ∈R, pour tout t∈R tel que a(t)6= 0 et où F(t) =

Z b(t)

a(t)dtest une primitive de la fonction f(t) = b(t)

a(t).

Démonstration. On procède de la même manière que dans la preuve du proposition 8.

On considère l’équation a(t)y^′(t) +b(t)y(t) = 0 pour tout t∈R tel que a(t)6= 0. On a : a(t)y^′(t) +b(t)y(t) = 0 ⇔a(t)y^′(t) =−b(t)y(t)

⇔y^′(t) =−b(t) a(t)y(t)

⇔ y^′(t)

y(t) =−b(t) a(t)

⇔

Z y^′(t)

y(t)dt=−

Z b(t) a(t)dt

⇔ln(|y(t)|) = −F(t) +C avec C ∈R une constante

⇔ |y(t)|=e^−F(t)+C

⇔y(t) =ke^−F(t) avec k=±e^C ⇔k ∈R

Proposition 20.

Soient t₀ ∈ R et y₀ ∈ R. Il existe une unique solution de (EH) qui satisfasse la condition initiale y(t₀) =y₀.

Exemple 21.

Les solutions de l’équation différentielle ty^′(t) + (t² + 1)y(t) = 0 sont les fonctions de la forme yH(t) =ke^−F(t) pour tout k ∈R avec :

F(t) =

Z b(t) a(t)dt=

Z t² + 1 t dt=

Z t+ 1

t

dt= t²

2 + ln(t) On a alors :

yH(t) =ke^−t

2

2−ln(t) =ke^−t

2

2 e^−ln(t) =ke^−t

2 2

ln() =k1 e^−t

2 2

Si on considère de plus la condition initiale y(1) = 1, il faut déterminer k tel que : yH(1) =k1

1e⁻¹

2

2 =ke⁻¹² = 1

On a donc k =e¹² et l’unique solution de

(ty^′(t) + (t²+ 1)y(t) = 0

y(1) = 1 est yH(t) =e¹²1 te^−t

2

2 = 1

te^−t

2

−1 2

3.3.2 Équations avec second membre Ensemble des solutions

Théorème 22.

Soit (E) une équation différentielle linéaire et soit (EH) son équation homogène associée :

a(t)y^′(t) +b(t)y(t) =c(t) (E)

a(t)y^′(t) +b(t)y(t) = 0 (EH)

On note :

⊲ yH les solutions de (EH)

⊲ yP une solution particulière de (E) Alors les solutions de (E) sont les fonctions :

y(t) =yH(t) +yP(t) Théorème 23.

Soientt₀ ∈Rety₀ ∈R. Il existe une unique solution de (E) qui satisfasse la condition initialey(t0) =y₀. Recherche d’une solution particulière – Méthode de la variation de la constante

On cherche une solution particulière sous la forme : yP(t) =κ(t)e^−F(t) où κ est une fonction que l’on va déterminer et F(t) =

Z b(t)

a(t)dt est une primitive de la fonction f(t) = b(t)

a(t). Exemple 24.

Résoudre l’équation différentielle :







y^′(t) + 2t

1 +t²y(t) = e^t 1 +t²

y(0) = 0

1. On résout l’équation homogène associée. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme yH(t) =ke^−F(t) pour tout k ∈R avec :

F(t) =

Z 2t

1 +t²dt= ln(1 +t²) On a donc

yH(t) =ke^−ln(1+t2)= k

e^ln(1+t2) = k 1 +t² 2. On cherche une solution particulière. On pose yP(t) = κ(t)

1 +t² et on cherche la fonction κ.

yP(t) = κ(t) 1 +t² donc

yP^′ (t) = κ^′(t)(1 +t²)−2tκ(t)

(1 +t²)² = κ^′(t)

1 +t² − 2t

(1 +t²)²κ(t) Comme on veut que yP soit solution de l’équation, on cherche κ telle que :

y^′P(t) + 2t

1 +t²yP(t) = e^t

1 +t² ⇔ κ^′(t)

1 +t² − 2t

(1 +t²)²κ(t) + 2t

1 +t² × κ(t)

1 +t² = e^t 1 +t²

⇔ κ^′(t)

1 +t² = e^t 1 +t²

⇔ κ^′(t) = e^t

⇔ κ(t) =e^t Donc yP(t) = e^t

1 +t² est une solution particulière.

3. On donne la forme des solutions. Les solutions de l’équation sont de la forme : y(t) =yH(t) +yP(t) = k

1 +t² + e^t

1 +t² = k+e^t 1 +t² 4. On cherche k pour que la condition initiale soit vérifiée.

y(0) = k+e⁰

1 + 0² =k+ 1 = 0

Donc k =−1 et l’unique solution de







y^′(t) + 2t

1 +t²y(t) = e^t 1 +t²

y(0) = 0

est :

y(t) = e^t−1 1 +t²