EMPRUNT INDIVIS
Objectifs :
- Savoir calculer une annuité de remboursement constante ;
- Dresser un tableau d’amortissement d’emprunt par annuités constantes ou par amortissements constants ;
- Calculer un taux réel d’emprunt et un taux effectif global .
I. Introduction
L’emprunt ordinaire contracté auprès d’un prêteur unique, est appelé emprunt indivis.
Ce type d’emprunt peut être :
- un prêt personnel pour des particuliers (achat d’automobiles, de meubles, etc. ) ; - un prêt immobilier (pour un achat ou pour des travaux de rénovation) ;
- un prêt pour une entreprise (financement d’un investissement en matériel).
Cet emprunt est défini par l’établissement d’un contrat entre prêteur et emprunteur où sont précisés :
- le montant et le taux de l’emprunt ;
- la périodicité du remboursement et le montant des annuités ;
Enfin, le tableau d’amortissement précise pour chaque période, l’intérêt versé pour le capital restant dû et la part du capital remboursé.
II. Comment établir le tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par annuités constantes ?
Approche : ( annuité constante )
On a vu précédemment que le calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes ( remboursement d’une dette ) était donnée par la relation :
V0 = a
t t
n
( 1 )
1
alors : a =t
nt V
) 1 ( 1
0
III. Comment établir un tableau de remboursement d’emprunt à amortissements constants ?
L’amortissement constant A est le rapport du capital emprunté sur le nombre de périodes de remboursement :
n
AV0 avec V0 : Capital emprunté et n : nombre de période.
Le tableau d’amortissement s’établie en calculant :
L’intérêt de chaque période calculé à intérêts simples en appliquant le taux d’intérêts au capital restant dû en début de période.
L’annuité d’une période : somme de l’amortissement et de l’intérêt de la période.
Application : annuités constantes
Pour acheter une voiture, une personne emprunte à sa banque 10 000 €.
Elle rembourse son prêt par mensualités constantes sur une durée de 3 ans.
Le taux effectif global (TEG) est un taux réel qui tient compte de tous les frais occasionnés par le prêt (frais de dossier, éventuellement assurance…).
Le TEG annuel proposé par la banque est de 10,08 %.
1. Calculer le taux mensuel.
2. Calculer le nombre de mensualités que devra verser cette personne sur 3 ans.
3. Calculer le montant d’une mensualité.
4. Calculer l’intérêt simple versé à la fin du premier mois.
5. Calculer l’amortissement de capital de la première mensualité.
6. Etablir les 3 premières lignes du tableau d’amortissement d’emprunt à annuités constantes.
Mois
Capital restant dû en début de période
Amortissement Intérêt ( i ) Mensualité 1
2 3
Règle de calcul:
Pour chaque ligne du tableau :
amortissement + intérêt = annuité
l’intérêt se calcule par rapport au capital restant dû : I = D
t (taux périodique) le capital restant dû se calcule à partir de la ligne précédente. Pour la dernière annuité, le capital restant dû est égal au montant de l’amortissement.
Application : amortissement constant
Une entreprise a décidé d’emprunter 48 000€ pour renouveler une partie de son équipement. Le taux d’intérêt est de 6, 5% par an. Elle souhaite rembourser cet emprunt sur une durée de 4ans en versant 4 annuités. Elle choisit le remboursement par amortissements constants.
1. Calculer le montant de l’amortissement constant lors du versement de chacunes des 4 annuités et compléter la colonne correspondante au tableau « Amortissement ». On le note A.
2. On veut maintenant compléter la colonne « Capital restant dû ».
a) Indiquer le capital restant dû au début de la première période. On le note D1. D1 est égal au capital emprunté V0.
b) Le capital restant dû au début de la deuxième période D2 est égal à : D1 – A1. Calculer D2.
c) Recommencer les calculs pour D3 et D4.
3. Pour compléter la colonne « Intérêts », calculer pour chaque période l’intérêt simple sur le capital restant dû en début de période.
4. Compléter la dernière colonne « Annuité » en effectuant pour chaque période la somme de l’amortissement et de l’intérêt.
période
Capital restant dû en début de période
Amortissement Intérêt ( i ) Mensualité
1 2 3
4
Règle de calcul:
Pour chaque ligne du tableau :
amortissement + intérêt = annuité
l’intérêt se calcule par rapport au capital restant dû : I = D
t (taux périodique) le capital restant dû se calcule à partir de la ligne précédente.
Pour la dernière annuité, le capital restant dû est égal au montant de l’amortissement.
Exercice1
Voici un tableau d’amortissement sur 8 mois d’un emprunt contracté par Hector au taux annuel de 2,91%.
Échéance Amortissement Intérêts Annuités Capital restant dû 1 - € - € - € 3 000,00 € 2 371,83 € 7,28 € 379,10 € 2 628,17 € 3 372,73 € 6,37 € 379,10 € 2 255,44 € 4 373,63 € 5,47 € 379,10 € 1 881,81 € 5 374,54 € 4,56 € 379,10 € 1 507,27 € 6 375,45 € 3,66 € 379,10 € 1 131,82 € 7 376,36 € 2,74 € 379,10 € 755,46 € 8 377,27 € 1,83 € 379,10 € 378,19 € 9 378,19 € 0,92 € 379,10 € 0,00 € Total 3 000,00 € 32,83 € 3 032,83 €
1) Quel est le montant emprunté par Hector ? 2) Quel type de remboursement a choisi Hector ? 3) Comment retrouver la valeur de l’annuité versée ?
4) On s’intéresse à la troisième ligne du tableau soit celle de l’échéance 2.
5) Comment retrouver la valeur de l’intérêt pour cette échéance ? 6) Comment retrouver la valeur de l’amortissement ?
7) Comment retrouver la valeur du « capital restant dû » ? Exercice2
Un particulier emprunte 12 000 € qu’il s’engage à rembourser en 1 an par mensualité constante.
Le taux de l’emprunt est de 3,85% annuel. Compléter le tableau d’amortissement délivré par la banque.
Échéance Amortissement Intérêts Mensualités Capital restant dû 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
Exercice3
Établir le tableau d’amortissement, d’un emprunt de 8 000 € remboursé en 10 mensualités au taux de 16,29% annuel.
Exercice4
Pour acheter sa voiture Icham a emprunté une certaine somme. La banque lui a envoyé un tableau d’amortissement mais certains éléments ont disparus sur ce tableau.
Échéance Amortissement Intérêts Mensualités Capital restant dû 1 0 0 0
2 1 563,67 € 35,98 € 3
4
5 14,49 €
6 7,26 € 0,00 € Total 108,26 € 7 998,26 €
1) Retrouver le capital emprunté par Icham.
2) Retrouver le montant des mensualités versées par Icham.
3) Déterminer à l’aide des 2 premières échéances le taux d’intérêt mensuel de l’emprunt.
(Arrondir à 10-3)
4) Compléter le reste du tableau.
Exercice5 (Extrait sujet Bac pro compta 2004)
M. Nive non fumeur a économisé durant 14 ans environ 30 000 € ; il souhaite maintenant acheter un appartement d’une valeur de 100 000 €.
Il emprunte alors 70 000 € au taux mensuel de 0,42 %, qu’il s’engage à rembourser en 12 ans par mensualités constantes.
1) Montrer que le montant de la mensualité est de 648,83 €
2) Compléter les deux premières lignes du tableau d’amortissement ci-dessous :
Mois
Capital restant dû en début de
période Amortissement Intérêts Mensualités 1 70 000 €
2 292,51 €
… … … … …
3) M.Etna lui aussi souhaite investir dans l’immobilier : un T3 à 100 000 €. N’ayant pas économisé, il doit emprunter la totalité dans les conditions suivantes :
Taux mensuel : 0,42 % ; Mensualité : 648,83 €.
Calculer le temps qu’il faudra à M.Etna pour rembourser la banque. Arrondir à l’unité.
Exercice6
Construire le tableau d’amortissement, d’un emprunt de 13 580 € à la société 123crédit.com (T.E.G : 16,29 %) remboursé en 7 amortissements constants. Le premier remboursement s’effectuant l’année suivante de l’année où l’emprunt à été contracté.
Exercice7
Une entreprise souhaite renouveler son parc informatique. Elle estime qu’elle doit dépenser 35 000
€ ; elle emprunte cette somme au taux de 5 % annuel le 1er janvier 2006. Elle décide de rembourser cet emprunt sur une durée de 7 ans en versant 7 annuités par amortissement constant à partir du 1er janvier 2007. Voici le tableau d’amortissement, que le comptable de l’entreprise doit présenter à la direction.
Échéance
N° Date Amortissement Intérêts Annuités Capital restant dû
1 01.01.06 0 0 0 35 000 €
2 01.01.07
3 01.01.08
4 01.01.09
5 01.01.10
6 01.01.11
7 01.01.12
8 01.01.13
Un lycée souhaite renouveler ses photocopieuses, pour cela elle emprunte 65 000 € au taux de 3,8 %. Elle rembourse par amortissement constant en versant 5 annuités, le premier remboursement s’effectuant dés le début de l’année en cours.
Compléter le tableau d’amortissement et en déduire le coût de l’emprunt.
Échéance
N° Amortissement Intérêts Annuités Capital restant dû 1
2 3 4 5
Exercice8
Voici le tableau d’amortissement « très incomplet » d’un bien remboursé par amortissement constant pendant 6 mois.
Échéance
N° Amortissement Intérêts Annuités Capital restant dû
1 0 0 0
2 3 4
5 606,25 € 6856,25 €
6 7
1) Calculer le montant de l’amortissement et compléter la colonne amortissement du tableau.
2) En déduire la valeur du bien acheté et compléter la colonne capital restant dû.
3) En déduire le taux mensuel de l’emprunt et compléter le reste du tableau.
4) Quel est le T.E.G. offert par la société de crédit si on exclue tout frais de dossier et d’assurance ?
Exercice9
Afin de réaliser des travaux dans votre institut, vous décidez de vous constituer un capital. Vous versez 8 trimestrialités d’un montant de 1 500 € au taux annuel de 6,60%. La capitalisation des intérêts est trimestrielle.
1° - Calculer le taux trimestriel proportionnel.
2° - Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement.
3° - Quel serait le nombre de versement minimum si vous souhaitiez obtenir une valeur acquise de 16 000 € minimum.
Exercice10
Pour financer l’achat de votre institut, vous avez contracté un emprunt de 80 000 € remboursable sur 10 ans par mensualités constantes. Le taux annuel est de 4,2%.
1° - Calculer le taux mensuel proportionnel.
2° - Calculer le montant d’une mensualité.
3° - Recopier et compléter les trois premières lignes du tableau d’amortissement ci-dessous : Echéance Capital restant dû Intérêt Amortissement Annuité
1 80 000
2 3
4° - Les amortissements forment une suite géométrique : a. Déterminer le premier terme de la suite et la raison q.
b. Calculer le capital remboursé après la 80ème mensualité. En déduire le capital restant dû après la 80ème mensualité.
5° - Calculer le coût du crédit.
