Faut-il encore faire des cours magistraux?

Faut-il encore faire des cours magistraux ?

par C. Rabut

Faut-il encore faire des cours magistraux ?

Christophe Rabut, Universit´e de Toulouse (INSA, IREM, IMT) Christophe Christophe.Rabut@insa-toulouse.fr

R´esum´e

Rassurez-vous, la r´eponse est oui !... Mais en nombre bien moindre, et avec un objectif tr`es diff´erent...

Apr`es avoir examin´e certaines insatisfactions concernant l’efficacit´e des cours magistraux, nous proposons ici une autre fa¸con d’aborder des notions nouvelles, et en discutons les avan- tages, inconv´enients, contraintes. Cette m´ethode est essentiellement bas´ee sur le travail en petits groupes (4 ´etudiants), que nous appellerons ici ´equipes. Elle se r´ev`ele plus efficace (qualit´e et p´erennit´e des acquis), plus motivante, tant pour les ´etudiants que pour l’ensei- gnant.

Pour faire court, deux moyens diff´erents sont utilis´es pour pr´esenter des notions nouvelles, et donc remplacer la plupart des cours magistraux : le premier moyen consiste `a demander aux ´etudiants de pr´eparer la s´eance par la lecture d’un document (livre, ou polycopi´e), en identifiant quelles sont les points incompris, difficiles, ainsi que les points importants ; la s´eance consiste alors `a ce que les ´etudiants, r´eunis en ´equipes, essaient de r´esoudre les difficult´es rencontr´ees par les uns et les autres, par explications mutuelles, approfondissement et recherche d’explications. L’enseignant r´epond aux questions formul´ees par les ´equipes. Le second moyen consiste `a transformer le cours en un probl`eme, de fa¸con `a faire d´emontrer aux

´etudiants les principaux th´eor`emes ou r´esultats. Tout un processus accompagne cette fa¸con de travailler, pour en faire une m´ethode globale et coh´erente : probl`eme de positionnement- motivation pr´ealable, cours de restructuration (eh oui, les cours magistraux existent encore, mais ils sont moins nombreux et leur rˆole est tr`es diff´erent), exercices d’application en travail personnel, probl`emes n´ecessitant initiative abord´es en groupe... Nous appelons cette m´ethode Progresser En Groupe, (acronyme : PEG).

1. Introduction

L’INSA et la p´edagogie active

Depuis une dizaine d’ann´ees, avec la mise en place d’une r´eforme des structures d’en- seignement, l’INSA de Toulouse encourage les initiatives p´edagogiques et en particulier les p´edagogies dites actives (comprenez en g´en´eral les p´edagogies impliquant du travail de groupe), et notamment l’Apprentissage par Probl`emes et par Projets (APP, Problem Based Learning ou PBL if you prefer speaking english ; voir par exemple [2] pour une pr´esentation de la m´ethode, et [3] pour son implantation `a Louvain La Neuve).

Int´eress´e par cela, et extrˆemement surpris et impressionn´e par l’int´erˆet et l’efficacit´e du travail en groupe, mais insatisfait sur certains aspects de l’APP, j’ai progressivement mis au point une m´ethode qui permet de faire travailler les ´etudiants en ´equipe, y compris sur le cours, tout en dominant pr´ecis´ement le d´eroulement de l’acquisition des notions et en ´evitant toute r´epartition des tches et des acquisitions. Motivation et d´eroulement de cette m´ethode vous sont expliqu´es dans les lignes qui suivent.

Par ailleurs un groupe de l’IREM de Toulouse, nomm´e Apprendre Ensemble s’est constitu´e pour qu’enseignants du secondaire et du sup´erieur partagent leur exp´erience en mati`ere de p´edagogie active.

Insatisfaction concernant les cours magistraux

Soyons francs : nous sommes souvent insatisfaits de l’efficacit´e de nos cours magistraux.

Les ´etudiants ne sont pas assez attentifs, ils ne suivent pas, ils ne travaillent pas le cours avant les TD... de sorte que souvent les TD reprennent une partie du cours, soit explicitement (rappels pr´ealables !), soit plus ou moins implicitement, `a l’occasion du corrig´e des exercices...

ce qui ne peut qu’encourager les ´etudiants `a ne pas travailler le cours. Cette insatisfaction est d’ailleurs partag´ee par les ´etudiants, puisque le taux de pr´esence est souvent inf´erieur `a ce que nous voudrions qu’il soit... Je me trompe ? Qu’en est-il pour vous ? Je n’insiste pas en d´etail sur les raisons de ce qui me semble ˆetre un ´echec m´ethodologique, mais disons rapidement qu’il est simplement impossible de s’adapter aux besoins (rythme, type de motivation) de chaque ´etudiant dans la salle, et que ceux-ci sont rarement vraiment motiv´es par un cours th´eorique dont ils ne voient pas l’utilit´e imm´ediate, que l’accumulation de cours dans une mˆeme journ´ee rend souvent les ´etudiants passifs, voire blas´es...

Bien sr, nous faisons tout notre possible pour limiter les d´egts : cours aussi vivants que possible, voire humour ou anecdotes, ´el´ements de motivation historiques ou d’application...

mais force est de constater que, malgr´e tous nos efforts, cela ne passe pas bien.

Alors que faire ? Supprimer les cours ? Pas vraiment, car justement nous pensons tous que notre enseignement ne doit pas, loin s’en faut, se limiter aux savoir-faire, et nous tenons

`a ce que les ´etudiants travaillent et assimilent ce que nous leur pr´esentons en cours...

Int´erˆet du travail en ´equipe

Un groupe, c’est magique. Faire travailler les ´etudiants en petits groupes (id´ealement

´equipes de quatre ´etudiants) pr´esente beaucoup, beaucoup d’avantages. Essayons d’en lister quelques-uns.

Tout d’abord, on retient beaucoup mieux ce que l’on a discut´e, ce pour quoi on a cherch´e des arguments, et/ou ´ecout´e les arguments des autres suite `a une intervention de notre part ; certains affirment mˆeme [1] que l’on retient environ 10% de ce que l’on lit, 20% de ce que l’on entend, 70% de ce que l’on dit (dans un d´ebat, une discussion)...

Formuler une question, intervenir dans une discussion, oblige `a faire un peu le tour de la question, et aide `a prendre un peu de recul, `a choisir les bons mots pour ˆetre compris.

Cela aide donc `a s’exprimer correctement, dans un premier temps par oral, qui peut ˆetre une

´etape pour une meilleure qualit´e de r´edaction ´ecrite.

On a vraiment bien compris quelque chose que lorsqu’on l’a (correctement) expliqu´e... De sorte qu’un membre d’une ´equipe demande `a un autre membre de l’´equipe de lui expliquer un point (th´eor`eme, d´emonstration, application...) qu’il ne comprend pas, les deux ´etudiants y gagnent (ainsi que les autres membres de l’´equipe, qui ´ecoutent et ´eventuellement participent

`a la r´eponse ou aux questions), celui qui explique car cela l’aide `a clarifier, et celui qui a pos´e la question... ´ecoute attentivement, et n’h´esite pas `a reformuler sa question si la r´eponse ne lui a pas apport´e les ´eclaircissements esp´er´es.

L’effet brain storming (je pr´ef`ere dire jaillissement d’id´ees) fonctionne tr`es bien dans le domaine scientifique (nous le savons bien, c’est pour cela que nous faisons des r´eunions d’´equipe de recherche...). C’est-`a -dire qu’un d´ebut d’id´ee, encore mal formul´ee, peut ˆetre repris par un autre ´etudiant de l’´equipe, pour la formuler mieux, la prolonger, ou mˆeme peut donner naissance `a une autre id´ee, qui peut encore ˆetre reprise, amplifi´ee, contest´ee par un autre... De sorte qu’une ´equipe peut aborder et r´esoudre des questions qu’aucun membre de l’´equipe aurait ´et´e capable de r´esoudre seul. On peut donc poser `a des ´equipes des probl`emes que l’on ne peut pas poser `a des ´etudiants travaillant seuls.

A noter que ce point est fondamental, car, grce au fonctionnement par ´equipe, nous pourrons poser des types de probl`emes que nous ne pourrions poser aux mˆemes individus travaillant pour l’essentiel isol´ement. C’est le cas des probl`emes `a initiatives, ou des probl`emes admettant plusieurs solutions, pour lesquels la discussion d’´equipe permet d’aborder de fa¸con beaucoup plus approfondie les probl`emes pos´es. C’est aussi le cas pour aborder des notions nouvelles, tel que, nous le verrons au paragraphe suivant, le cours transform´e en probl`eme, ou la r´esolution en ´equipe des points rest´es non r´esolus lors du travail individuel du cours

sur document.

“L’enseignant r´epond aux questions des ´equipes” : l’´equipe doit, pour poser une question, se mettre d’accord sur le fait qu’elle n’a pas r´eussi `a r´esoudre le probl`eme, et sur la formulation de la question. Voil`a un excellent exercice (qui de plus permet quelquefois `a l’´equipe de se rendre compte qu’elle peut r´esoudre cette question !).

Plusieurs effets collat´eraux sont importants : Apprendre `a s’´ecouter, `a r´epondre dans le registre de son interlocuteur, bref `a accepter la diff´erence, `a dialoguer. Apprentissage aussi de la solidarit´e entre ´etudiants, `a aider les autres, mais aussi `a n’avoir pas de scrupules

`a demander de l’aide. Enfin cela aide les ´etudiants `a se rendre compte qu’ils ne sont pas les seuls `a avoir des difficult´es, quelquefois aussi `a ce rendre compte qu’ils croyaient avoir compris mais qu’ils avaient saut´e sur une difficult´e...

Oui, un groupe, c’est magique, cela permet de faire plus et mieux...

2. Le travail du cours en groupe

Cours magistral souvent insatisfaisant, travail en groupe int´eressant... Alors, oui, claire- ment, il faut r´eussir `a faire en sorte que les ´etudiants travaillent le cours en ´equipe.

Je vous propose deux m´ethodes pour cela. Toutes deux supposent de travailler avec des groupes de TD (si possible 24 ´etudiants, `a d´efaut 30 ´etudiants, selon les ´etablissements). Il y a donc un surcot, mais celui-ci est largement compens´e par le fait que les ´etudiants assimilent mieux le cours, travaillent plus r´eguli`erement...

Etude du cours en ´equipe

Les ´etudiants doivent arriver en s´eance en ayant ´etudi´e une partie pr´ecise d’un document (page tant `a tant de tel livre, de tel polycopi´e...). Pendant ce travail pr´ealable, ils doivent identifier les difficult´es et les points importants. En s´eance, les ´etudiants d’une mˆeme ´equipe confrontent leurs interrogations, leurs difficult´es, leurs incompr´ehensions, ainsi que les points qu’ils consid`erent acquis lors de leur travail individuel. Ils s’expliquent mutuellement les points compris par certains et pas par d’autres, r´esolvent (ou tentent de r´esoudre) ensemble les difficult´es communes, approfondissent les points clefs...

Lorsqu’un point reste non r´esolu, l’´equipe se met d’accord pour faire appel `a l’ensei- gnant, formule une question `a laquelle l’enseignant r´epond. A noter que le type de r´eponse d´epend beaucoup de l’`a propos p´edagogique de l’enseignant. Ce peut ˆetre une r´eponse tr`es courte, validant en quelque sorte ce qui a ´et´e dit, ou une r´eponse longue, prenant le temps mˆeme d’aller au-del`a de la question proprement dite. C’est souvent aussi une r´eponse pres- qu’incompl`ete, mettant l’´equipe sur la bonne voie et lui laissant de soin de progresser par elle-mˆeme dans la direction indiqu´ee.

De cette confrontation naˆıt une meilleure compr´ehension et assimilation du cours. Par ailleurs le cours est travaill´e r´eguli`erement, au fur et `a mesure, et non en fin de s´equence, quand vient l’examen...

R´epondons tout de suite `a certaines questions `a ce propos.

Les ´etudiants font-ils le travail personnel ? Oui, la plupart du temps. En effet d’une part ils se rendent vite compte que c’est leur int´erˆet, puisque, s’ils n’ont pas compris tel ou tel point, l’´equipe pourra les aider `a r´esoudre cette question, alors que s’ils n’ont rien fait, il leur faudra bien ´etudier le cours plus tard (celui ne sera pas pr´esent´e par l’enseignant), et ils n’auront plus l’´equipe pour les aider. De plus, selon une remarque plusieurs fois exprim´ee par les ´etudiants, ceux-ci ne souhaitent pas ˆetre le boulet de l’´equipe... il y a donc, en g´en´eral, une certaine ´emulation au sein des ´equipes.

Que faites-vous si un ´etudiant n’a pas fait le travail pr´eparatoire ? Pas de probl`eme dans la mesure o`u c’est exceptionnel (en nombre d’´etudiants concern´es et en nombre de fois o`u cela arrive) : l’´equipe absorbe cette perturbation. Si n´ecessaire, on peut remixer les

´equipes en regroupant les ´etudiants n’ayant pas fait le travail pr´eparatoire... ils per¸coivent

vite l’int´erˆet de faire cette pr´eparation de la s´eance ! Si la quasi-totalit´e des ´etudiants n’ont pas fait ce travail (c’est effectivement arriv´e, soit parce que le travail n’avait pas ´et´e demand´e explicitement, soit parce que la soir´ee de la veille avait ´et´e, disons, anim´ee...), la solution est simple : il suffit de faire un cours magistral traditionnel... l`a encore ils per¸coivent vite la diff´erence et s’attachent `a faire le travail pr´eparatoire.

Cette m´ethode prend-elle plus de temps qu’un cours magistral traditionnel ? L’exp´erience montre que non : ´evidemment, il faut tenir le temps, et faire attention de ne pas laisser passer plus de temps que pr´evu... mais notons qu’un des avantages de cette fa¸con de proc´eder est que cela permet `a chaque ´etudiant d’avancer `a son rythme (en particulier au niveau de son travail personnel). Un ´etudiant plus lent, ou moins avanc´e, pourra compenser en passant plus de temps `a la partie de pr´eparation, et ainsi se trouver `a mˆeme d’´echanger avec ses co-´equipiers... alors que lors d’un cours magistral, l’´etudiant trop lent ne peut plus suivre au bout d’un certain temps, et d´ecroche, perd donc son temps (et son moral !).

Proposons tout de suite une variante (cependant pas pratiqu´ee dans ce cadre) : il est possible de faire une vid´eo d’un cours magistral, de mettre cette vid´eo sur l’intranet, et de demander aux ´etudiants, au titre du travail pr´eparatoire, de travailler telle partie de la vid´eo. Le gain par rapport au cours magistral est important pour deux raisons : d’une part les ´etudiants peuvent repasser certaines parties qui leur posent probl`eme, d’autre part bien sr ils ont en plus la s´eance de travail en ´equipe, avec d’ailleurs la pr´esence de l’enseignant, et son aide lorsque n´ecessaire.

Le cours transform´e en probl`eme

Pas de travail pr´ealable pour cette fa¸con de travailler, mais le cours est transform´e en probl`eme, pos´e aux ´equipes. Les th´eor`emes sont d´emontr´es par des questions successives, puis synth´etis´es sous forme explicite. Les ´equipes cherchent `a r´esoudre le probl`eme, les co´equipiers acqui`erent les notions par le d´ebat et les ´echanges que suscitent les difficult´es... Un exemple est donn´e en annexe, il est utilis´e en en 2`eme ann´ee d’´ecole d’ing´enieur (analyse num´erique int´egration num´erique) ; d’autres exemples (introduction de l’exponentielle en Terminale,

d´erivation num´erique) sont accessibles sur le sitehttp ://enseignants.insa-toulouse.fr/fr/amelior Prenons cet exemple. Lorsque je prsentais les m´ethodes d’int´egration au tableau, les

´etudiants le percevaient davantage comme une ((astuce)), comme des m´ethodes de plus `a connaˆıtre. En travaillant en ´equipe les premires m´ethodes, mises sous forme de problme, ils comprennent r´eellement l’int´erˆet de l’interpr´etation graphique pour trouver de nouvelles m´ethodes, les notions nouvelles et importantes de majoration d’erreur, de vitesse de conver- gence, d’ordre de convergence, de m´ethode exacte sur les polynˆomes d’un certain degr´e, l’int´erˆet d’utiliser le d´eveloppement de Taylor pour faire une majoration d’erreur...

L`a encore, on utilise pleinement la force de l’´equipe : seuls, ils ne pourraient d´epasser l’obstacle que constituent les notions nouvelles mises en œuvre. L’effet brain storming joue

`a plein, la collaboration et l’effet d’entrainement ont raison de cette difficult´e.

Est-ce que cela prend plus de temps qu’un cours magistral traditionnel ? OUI et NON.

Oui, car, c’est clair, il est bien plus rapide de pr´esenter une notion, de d´emontrer un th´eor`eme, que de demander aux ´etudiants d’avancer eux-mˆemes dans la d´emonstration (mˆeme si, bien sr, ils sont soigneusement guid´es). Il faut bien deux fois plus de temps pour arriver au mˆeme point. Mais la diff´erence est de taille, car ce n’est plus seulement l’enseignant qui fait la d´emonstration, ce sont les ´etudiants, en ´equipe. Les ´etudiants ont effectivement travaill´e sur le sujet, ont argument´e sur la question, ont bien mieux compris et int´egr´e les d´etails du th´eor`eme, l’importance de telle ou telle hypoth`ese.

Du point de vue du temps proprement dit, on y gagne sur plusieurs tableaux `a la fois : meilleure compr´ehension et assimilation, de sorte qu’il est beaucoup moins n´ecessaire, par la suite, de revenir dessus ; les ´etudiants font en mˆeme temps du cours et des probl`emes/exercices...

de sorte qu’il est possible de passer moins de temps sur les exercices.

L’exp´erience de la professeur de lyc´ee qui pratique cela depuis longtemps est claire et explicite : elle termine le programme (de Terminale... avec le bac en ligne de mire) dans les temps... plus pr´ecis´ement, elle marque syst´ematiquement un retard significatif sur l’avan- cement de ses coll`egues jusqu’en d´ecembre, mais rattrape progressivement ce retard et se retrouve au niveau de ses coll`egues vers mars-avril... Pourquoi et comment ? Justement parce qu’ainsi ses ´el`eves apprennent `a r´esoudre un probl`eme, `a se poser des questions, `a affronter des situations nouvelles... De plus, comme d’ailleurs pour l’´etude du cours en ´equipe, les notions sont travaill´ees et acquises au fur et `a mesure du d´eroulement du programme, de sorte qu’il est beaucoup moins n´ecessaire que dans la m´ethode traditionnelle de reprendre des explications du chapitre 2 lorsque l’on ´etudie le chapitre 4...

La r´edaction d’un tel probl`eme est-elle difficile ?J’ai ´et´e surpris de la facilit´e d’´ecrire un probl`eme qui ((suit)) le cours. Evidemment, cela prend un peu de temps, mais cela ne pose pas de difficult´e majeure.

3. Le dispositif d’accompagnement

Plusieurs pratiques compl`etent et renforcent l’efficacit´e de l’´etude du cours en ´equipe : le cours de restructuration, le probl`eme de positionnement-motivation, les exercices faits `a la maison et corrig´es ´eventuellement en ´equipe, les probl`emes trait´es en ´equipe.

Le cours de restructuration

C’est un compl´ement essentiel aux cours travaill´es en ´equipe. Il faut structurer les connais- sances acquises en travail personnel et en ´equipe. Pour cela, de temps en temps (ma pratique est d’une s´eance toutes les quatre ou cinq s´eances), un cours magistral a pour but de recadrer les choses, de commenter ce qui a ´et´e fait, peut-ˆetre de mettre mieux en ´evidence tel ou tel point essentiel, de compl´eter le travail des ´equipes, voire d’aller plus loin dans telle ou telle notion abord´ee. Pas question de reprendre ce qui a ´et´e fait en ´equipe (ce serait le meilleur moyen d’inciter les ´equipes `a se la jouer cool !), ces cours magistraux s’appuient sur ce qui a ´et´e fait, mettent les notions en perspective, les relient `a d’autres notions, quelquefois les prolongent.

L’image que je pr´ef`ere est celle du v´elo : pendant le travail du cours en ´equipe, les

´etudiants sont, essentiellement, le nez dans le guidon, examinant les choses en d´etail, mais sans vraie liaison avec le reste de la mati`ere en cours. Le but du cours de restructuration est alors de leur faire lever la tˆete pour regarder le paysage, voir o`u ils sont par rapport `a ce qu’ils connaissent d´ej`a , voir o`u ils vont dans ce contexte, articuler les notions avec d’autres notions qu’ils pourraient croire sans point commun. J’utilise aussi l’image du puzzle : le cours de restructuration assemble les pi`eces du puzzle ´etudi´ees en travail personnel et en ´equipe.

Clairement il s’agit l`a d’un cours magistral, qui peut ˆetre fait devant des grands groupes (de la taille de nos groupes de cours magistral habituels). Mais le but et la fa¸con de le faire en sont tr`es diff´erents, comme l’attitude des ´etudiants vis-`a -vis de ce cours. En ef- fet, pour l’essentiel il ne pr´esente pas de choses nouvelles, mais il s’appuie sur ce que les

´etudiants savent d´ej`a pour articuler ces notions entre elles. Ce qui y est dit est en lien avec les pr´eoccupations des ´etudiants, qui en voient tout de suite l’int´erˆet et l’importance. Les

´etudiants ne s’y trompent d’ailleurs pas : le taux de pr´esence, la qualit´e d’´ecoute sont sans commune mesure avec ceux d’un cours magistral classique.

Le probl`eme de positionnement-motivation

Pour souder les ´equipes, leur permettre de se rendre compte de l’int´erˆet du travail en groupe, et motiver les ´etudiants pour le travail personnel pr´ealable, un probl`eme de positionnement-motivation est pos´e en d´ebut d’enseignement.

On ne demande pas aux ´etudiants de r´esoudre un probl`eme complet, mais on leur de- mande plutˆot de trouver une d´emarche de travail. Bref on leur demande comment ils feraient pour r´esoudre le probl`eme plutˆot que de leur demander de le r´esoudre en d´etail. A ce stade, il ne s’agit pas de r´esoudre compl`etement le probl`eme pos´e, mais de sugg´erer (enseignant)

puis d’´elaborer (´etudiants) plusieurs d´emarches de r´esolution, qui justement seront ensuite

´etudi´ees et approfondies en cours. A noter que l’effet brain storming permet de poser des probl`emes qui sont de vrais d´efis.

Dans certains cas ce probl`eme est utilis´e comme fil rouge de l’enseignement : p´eriodiquement (par exemple lors de certains cours de restructuration) on reprend le th`eme du probl`eme en expliquant en quoi on a avanc´e dans la r´esolution potentielle du probl`eme. Ce probl`eme peut ˆetre plus ou moins important, il est en g´en´eral bas´e sur une application ou une utilisation d’un ou de plusieurs points importants du cours. Un exemple de tel probl`eme (analyse num´erique au niveau L3, en introduction aux notions de mod´elisation, d’optimisation et d’approxima- tion) est donn´e en Annexe 2, d’autres exemples (gyroscope en m´ecanique, splines et CAO en

analyse num´erique...) sont accessibles sur le sitehttp ://enseignants.insa-toulouse.fr/fr/amelior Les exercices et probl`emes

Il est bon ici d’utiliser toute la force du travail en ´equipe, mais donc, en particulier, de ne pas poser des exercices d’application imm´ediate `a r´esoudre enti`erement en ´equipe. La solution semble ˆetre celle-ci : distinguer les exercices d’application imm´ediate du cours, qui n’ont pas a priori besoin d’ˆetre trait´es en ´equipe, des probl`emes `a initiative, qui sont au contraire tout `a fait appropri´es pour un travail en ´equipe.

Les exercices d’application imm´ediate du cours : ils sont de pr´ef´erence pos´es en travail personnel `a faire `a la maison, les ´etudiants d’une mˆeme ´equipe assurant entre eux le corrig´e, c’est-`a -dire la comparaison rapide de leurs r´esultats et/ou m´ethode exacte de r´esolution, et ne discutent vraiment de l’exercice que si il y a des diff´erences importantes au sein de l’´equipe.

Par contre, les probl`emes plus importants, en particulier ceux qui sont pos´es de fa¸con

`a laisser une marge de manœuvre, de l’initiative, aux ´etudiants, ou ceux qui pr´esentent plusieurs m´ethodes de r´esolution, ne sont pas soumis au travail personnel pr´ealable, mais donn´es directement en s´eance, `a charge aux ´equipes de trouver une strat´egie de r´esolution, et de mettre en œuvre cette strat´egie. Les effets brain storming et discussion-contestation- comparaison des m´ethodes de r´esolution peuvent alors jouer `a plein, pour le plus grand b´en´efice de la qualit´e de compr´ehension et d’assimilation des notions ´etudi´ees. En g´en´eral, ces probl`emes se d´eroulent en trois phases. La premi`ere phase, au niveau de l’´equipe, consiste

`a d´efinir une (ou plusieurs) m´ethode de r´esolution, `a comparer ´eventuellement des m´ethodes sugg´er´ees par diff´erents co´equipiers. Dans la seconde phase les diff´erents co´equipiers effec- tuent chacun tout ou partie des calculs d´efinis dans la premi`ere phase (ils peuvent s’aider, se r´epartir la tche, voire utiliser certains une m´ethode, d’autres une autre m´ethode). La troisi`eme phase, de nouveau travail d’´equipe, consiste `a comparer les r´esultats obtenus et `a tirer les conclusions pour achever le travail.

Travaux sur ordinateur

Il est bien dans la mesure du possible, de concr´etiser cela par une r´ealisation informatique.

Ce peut ˆetre au stade de la motivation (mise en ´evidence d’un ph´enom`ene surprenant, ou des questions `a r´esoudre), ou au niveau d’une mise en œuvre et visualisations de notions ou r´esultats ´etudi´es. Personnellement, je demande toujours que ces travaux soient effectu´es indi- viduellement (ce qui n’empˆeche pas, bien sr, les ´etudiants de s’aider mutuellement, comparer leurs r´esultats...), ce qui leur permet de voir o`u ils en sont personnellement.

Evaluation :

Les moyens d’´evaluation restent traditionnels. Il n’y a pas d’´evaluation du travail de groupe, et aucune production n’est demand´ee aux ´equipes. Le fait de travailler en ´equipe est une m´ethode d’acquisition et d’assimilation, mais pas une comp´etence qui doive ˆetre chiffr´ee, valoris´ee en tant que telle. Par ailleurs, en ´evaluant l’aspect scientifique des acquis, on ´evalue aussi, de fait, la capacit´e `a apprendre, la capacit´e `a travailler en groupe, puisque l’on ´evalue ce que l’´etudiant a su acqu´erir en utilisant l’´equipe pour ˆetre plus efficace.

Bilan

L’ensemble de ces techniques constitue un ensemble coh´erent et efficace, une m´ethode d’enseignement que nous appelons `a l’INSA de Toulouse Progresser En Groupe (PEG). Il est bien sr possible d’utiliser certains points sans utiliser les autres, mais il faut alors veiller

`a ce que la quantit´e de travail en ´equipe et la qualit´e de l’exigence concernant ce travail, soient suffisantes, car il y a une sorte de masse critique pour que ce travail en ´equipe donne toute sa puissance et son efficacit´e.

4. Analyse, remarques et commentaires

Rythme de travail

Le travail est fait r´eguli`erement (pas seulement `a la fin, pour les examens !), les notions sont acquises au fur et `a mesure. La plupart du temps les ´etudiants ont correctement assimil´e l’essentiel des chapitres pr´ec´edents lorsqu’ils ´etudient les chapitres suivants... Voil`a qui est tr`es confortable, pour l’enseignant comme pour les ´etudiants !

L’enseignant domine l’avancement des travaux `a peu pr`es de la mˆeme fa¸con qu’avec une m´ethode traditionnelle. Il se rend cependant mieux compte si telle notion n´ecessite plus ou moins de temps pour ˆetre correctement ´etudi´ee par les ´etudiants.

Temps de travail et efficacit´e

Le temps de travail personnel est assez bien cadr´e et les ´etudiants ne partent pas dans des directions inutiles. La quantit´e de travail n´ecessaire pour obtenir certains acquis est en g´en´eral du mˆeme ordre que lors d’une p´edagogie traditionnelle, pour un acquis bien plus en profondeur, et avec davantage de recul. On obtient donc une meilleure efficacit´e dans le travail qu’avec une p´edagogie traditionnelle, mais aussi qu’avec la plupart des p´edagogies actives.

Le probl`eme de positionnement-motivation n´ecessite du temps, et n’a pas son ´equivalent dans l’enseignement traditionnel. C’est cependant un investissement tr`es int´eressant et tr`es rentable, car les ´etudiants sont d`es le d´epart impliqu´es dans la mati`ere qu’ils vont ´etudier.

C’est plus couteux en temps, mais beaucoup plus efficace que la pr´esentation par l’enseignant du probl`eme et des directions de solutions qui vont ensuite ˆetre ´etudi´ees... et bien sr est autrement mieux que la pr´esentation a posteriori d’une application-utilisation des notions

´etudi´ees.

Meilleure acquisition

Bien meilleure m´emorisation grce aux d´ebats entre ´etudiants (on m´emorise beaucoup mieux ce dont on a discut´e, ce sur quoi on a argument´e, voir [1]). Dans leur travail individuel, les ´etudiants apprennent `a pr´eciser quels sont les points qui leur font difficult´e et `a formuler clairement des questions `a ce sujet. Cette m´ethode les aide `a prendre du recul par rapport

`a leur travail et `a la mati`ere ´etudi´ee.

L’enseignant per¸coit mieux les difficult´es que rencontrent les ´etudiants (observation des

´equipes, mais aussi questions de l’´equipe, qui correspondent aux points de r´esistance), ce qui peut l’aider `a mieux insister sur ces points lors des cours de restructuration, voire `a re-r´ediger certains points du polycopi´e.

Meilleure auto-´evaluation

Par les discussions au sein de l’´equipe, les ´etudiants se rendent mieux compte de ce qu’ils ont compris et de ce qu’il leur faut encore travailler, et ceci au fur et `a mesure que se d´eroule l’enseignement.

Phase de travail du cours

Cette phase est faite s´erieusement (individuellement et en groupe), car l’´etudiant voit o`u il va et est motiv´e grce au probl`eme de positionnement-motivation, enfin car il sait que le cours ne sera pas expos´e en cours magistral. Rapidement, il se rend compte de l’efficacit´e de cette m´ethode et de l’int´erˆet de faire le travail pr´eparatoire du cours. Pr´eparer les questions

`a poser `a l’´equipe, risquer de devoir r´epondre aux questions d’autres membres de l’´equipe

l’incitent `a faire s´erieusement ce travail. La discussion en ´equipe lui permet de se rendre compte s’il avait bien compris les points difficiles. Devoir reformuler pour expliquer un point du cours (ou ´ecouter la reformulation faite par un autre ´etudiant) est un facteur important de compr´ehension et d’assimilation. R´ediger ensuite individuellement ce qui a ´et´e acquis au sein de l’´equipe lui permet d’en faire un bilan, une synth`ese, et de prendre du recul par rapport `a son propre travail.

R´epartition des tches

Cette fa¸con de travailler en ´equipe n’incite pas `a la r´epartition des tches (et des comp´etences).

En effet l’´equipe n’a pas de production `a rendre (poster, expos´e, compte-rendu d’´equipe...), de sorte qu’il n’y a pas de confusion sur le but du travail en ´equipe.

Solidarit´e entre ´etudiants, capacit´e `a dialoguer

Lors du travail en ´equipe les ´etudiants apprennent `a ´ecouter l’autre, `a r´epondre `a ses questions, en se pla¸cant dans le registre de l’autre. Ils analysent ce que l’´equipe leur a apport´e (puisque grce `a l’´equipe ils r´esolvent des probl`emes sur lesquels ils butaient, et que ceci est clairement identifi´e). Ils se rendent compte si leur travail personnel a ´et´e superficiel ou non (puisque lorsque d’autres ´etudiants leur posent des questions, ils voient s’ils avaient per¸cu la difficult´e, s’ils savent y r´epondre).

Cette m´ethode favorise et encourage donc une vraie solidarit´e entre ´etudiants, et cette solidarit´e devrait (ph´enom`ene non ´evalu´e, mais esp´er´e !) pouvoir d´eteindre sur les autres mati`eres, mˆeme enseign´ees de fa¸con traditionnelle (encourager les ´etudiants `a se dire entre eux tu as compris cela, toi ? Si oui explique-moi, si non, on essaie chacun d’expliquer ce qui le g`ene, et de r´esoudre ensemble cette difficult´e).

Rˆole de l’enseignant

Les questions des ´equipes sont les bienvenues, et l’enseignant y r´epond volontiers, mˆeme lorsqu’elles sont assez techniques. Il veille cependant `a ce qu’il s’agisse bien d’une question sur laquelle l’ensemble de l’´equipe a r´efl´echi et sollicite son aide. Pour cela, il peut, par exemple, choisir l’´etudiant qui pose la question au nom de l’´equipe, et demander `a l’´equipe s’il est d’accord sur sa formulation, avant d’aborder le sujet avec l’´equipe. Le type de r´eponse (re-questionnement, d´etail technique, contre-exemple...) d´epend bien sr de la question pos´ee et de l’`a -propos p´edagogique de l’enseignant.

Bien sr le rˆole de l’enseignant est profond´ement modifi´e. De personne qui sait et transmet son savoir, il devient une aide `a la construction du savoir, et est bien per¸cu comme tel. Ce qui change tout dans la vision que l’enseignant a de son rˆole, et que l’´etudiant a du sien, mais aussi le rapport enseignant-´etudiant.

Loin de perdre sa qualit´e d’enseignant en n’introduisant plus les notions au tableau, il est pleinement dans son rˆole quand il fait des cours de restructuration (plus passionnants

`a concevoir que de d´erouler des th´eor`emes !), quand il aide les ´equipes `a r´esoudre leurs difficult´es... et quand il r´edige un document adapt´e `a un travail autonome.

Initiation `a la recherche

Cela ne vous aura pas ´echapp´e : ce travail en ´equipe, travail pr´eparatoire autonome d’ac- quisition de notions, suivi d’un travail en ´equipe, l’utilisation de l’´equipe en brain storming pour trouver une m´ethode de r´esolution, confrontation des r´esultats en ´equipe... voil`a des d´emarches qui sont bien proches des nˆotres en recherche. Au moment o`u nous devons faire une certaine initiation la recherche, il me semble que PEG est un tr`es bon moyen dans cette direction...

Qu’en pensent les ´etudiants ?

Voil`a quatre ans que PEG est mis en œuvre sous cette forme (il a fallu environ quatre ans pour la mettre au point), et les r´esultats des bilans d’enseignement montrent que les

´etudiants, dans leur quasi-totalit´e, appr´ecient beaucoup de travailler ainsi. Ils estiment en g´en´eral que cela ne n´ecessite pas plus de travail que par une m´ethode traditionnelle, qu’ils ont beaucoup plus de plaisir et de motivation, qu’enfin la contrainte de travailler r´eguli`erement

leur est particuli`erement b´en´efique. Le fait de mieux percevoir leurs progr`es, mais aussi leurs difficult´es contribue `a leur motivation.

Et si nous mettions cela en œuvre dans nos enseignements ? Souplesse

Facile `a mettre en œuvre, cette m´ethode est facilement mixable avec une m´ethode plus traditionnelle, que ce soit au sein d’un mˆeme enseignement ou en cohabitant avec d’autres enseignement plus traditionnels.

Qui applique cette m´ethode ?

C’est encore tout `a fait marginal. Nous sommes essentiellement deux enseignants (Pierre Baudy en m´ecanique et moi-mˆeme, en math´ematiques appliqu´ees) sur l’INSA de Toulouse `a travailler avec cette m´ethode, mise au point au fil des ann´ees. Nous travaillons aussi, dans le cadre de l’IREM, avec une professeur de maths de Terminale qui fait travailler ses ´el`eves en ´equipes, avec le cours transform´e en probl`eme, et des exercices et probl`emes trait´es en

´equipes. Bien insuffisant pour en tirer une r`egle g´en´erale. Mais suffisant pour dire `a quel point cela nous parait plus efficace et plus int´eressant que la m´ethode des cours magistraux pr´ealables, que nous avons largement pratiqu´ee dans le pass´e. Nous sommes maintenant dans la phase de diffusion de l’information sur cette m´ethode, d’o`u cet article dans Matapli...

A quel niveau l’appliquer ?

Tous les niveaux universitaires sont possibles, avec des adaptations n´ecessaires pour le niveau M2. Il est clair en tous cas qu’il est possible de l’utiliser d`es le niveau L1. Je pense mˆeme que ce serait une bonne fa¸con d’inciter les ´etudiants `a modifier leurs m´ethodes de travail par rapport `a ce qu’ils faisaient au lyc´ee, et contribuerait ainsi `a un changement de mentalit´e `a l’arriv´ee en universit´e, et serait un ´el´ement de lutte contre l’´echec des jeunes

´etudiants. Bien sr cette m´ethode est tout `a fait utilisable pour la plupart des mati`eres.

Quelles en sont les difficult´es ?

Tout d’abord changer ! Oui, changer nos habitudes, changer nos mentalit´es, ce n’est pas facile. La plupart des enseignants `a qui nous parlons de cette fa¸con de travailler se montrent int´eress´es... mais h´esitent `a faire le pas (on verra l’an prochain...). De plus cela demande du temps (en fait pas tant que cela), et l’ensemble de nos activit´es nous presse `a tous les niveaux... pas facile ! Mais, c’est sr, passionnant !

Deux difficult´es techniques, essentiellement :

1. La n´ecessit´e de mettre `a la disposition des ´etudiants un document qui leur permette de travailler de fa¸con autonome. Livre ou polycopi´e, `a chacun de voir en fonction de sa sensibilit´e et des sp´ecificit´es de l’enseignement concern´e. Il me semble que les livres sont souvent r´edig´es de fa¸con peu conviviale et se prˆetent mal `a une premi`ere approche en autonomie, surtout lorsque les ´etudiants ne sont pas habitu´es `a cette fa¸con de travailler. Je pr´econise, au moins pour le ou les premiers enseignements effectu´es en cours pr´epar´e en autonomie et approfondis en ´equipe, de r´ediger un polycopi´e en pensant aux diff´erentes digressions que nous mettons en cours magistral pour soutenir l’int´erˆet et l’attention des ´etudiants, et de les mettre dans le polycopi´e. D’un autre cot´e, un livre, plus complet, permet `a des ´etudiants diff´erents de faire des lectures diff´erentes, ce qui est source de confrontation, de dialogue et d’enrichissement...

2. Par ailleurs, il n’est pas ´evident, lors de la mise en place de cette m´ethode pour un enseignement, de savoir exactement l’agencement des s´eances (en particulier quand placer les cours de restructuration), ni le temps n´ecessaire pour telle ou telle partie. Le plus simple est de se baser sur le cadencement des s´eances faites sous forme traditionnelle, et de reconduire ainsi le rythme d’avancement.

... et une difficult´e administrative : bien sr, il faut transformer certaines s´eances de cours en amphi par des s´eances de travail de cours en ´equipe... d’o`u un certain cot, `a n´egocier avec les autorit´es comp´etentes... une certaine sensibilit´e sur la lutte contre l’´echec, sur les m´ethodes actives, devrait aider `a convaincre vos responsables.

Nous aussi travaillons en ´equipe !

Bien sr c’est ce que nous faisons. Certes, pour la d´ecision de changement c’est un peu moins simple (il faut que tous les membres de l’´equipe enseignante partagent, ou en tous cas acceptent de travailler avec cette m´ethode), mais pour la mise au point d’un enseignement PEG, le travail en ´equipe permet `a la dynamique de groupe et `a la confrontation des id´ees de jouer `a plein, et permet de plus une certaine r´epartition des tches au sein de l’´equipe, all`ege donc la charge li´ee `a la mise en place de cette nouvelle fa¸con d’enseigner.

Pour des enseignements concernant peu d’´etudiants (disons une cinquantaine ou moins) et assur´es par un ou deux enseignants, c’est la souplesse de d´ecision et d’organisation qui devient un avantage pour faciliter le changement.

Peut-on ne faire que la partie cours transform´e en probl`eme ?

Oui. C’est mˆeme une bonne fa¸con pour commencer en douceur. Transformer un cours en probl`eme est beaucoup plus simple que je ne pensais. On peut aussi tout `a fait transformer le d´ebut d’un chapitre en probl`eme, puis prolonger le probl`eme sous la forme d’un cours de restructuration. Les ´etudiants s’accrocheront alors beaucoup plus au cours car ils en auront en quelque sorte cr´e´e eux-mˆemes les bases et appr´ecieront de voir les cons´equences de ce sur quoi ils ont travaill´e. Cependant, il est clair que le travail de groupe est moins efficace lors des premi`eres s´eances... il faut donc une quantit´e suffisante de travail de groupe pour en tirer tout le b´en´efice.

5. Conclusion

Une chose est sre : quelles qu’en soient les raisons, un cours magistral pr´ealable, pr´esen- tant les notions nouvelles (ce que j’appelle la beaut´e de la science !), ¸ca passe mal. Nous avons beau nous d´ecarcasser pour rendre le cours attractif, vivant... les ´etudiants s’accrochent peu, et nos cours magistraux ne sont pas aussi efficaces que ce que nous voudrions. Si nous voulons ˆetre plus efficaces dans notre enseignement, il nous faut changer. Il faut r´eussir `a rendre les

´etudiants moins passifs, plus actifs, plus responsables de leur apprentissage, de leurs progr`es.

Pour cela, il me semble que le travail en ´equipe est incontournable, et que PEG est un bon moyen pour faire travailler les ´etudiants sur le cours, et faire en sorte qu’ils ne limitent pas leurs ambitions au savoir-refaire. L’avantage, c’est que tout le monde y trouve son compte, enseignants comme ´etudiants.

Regardez les deux situations ci-dessous ; celle de gauche, appel´ee le penseur de l’INSA est

`a l’INSA de Toulouse et symbolise `a mes yeux l’attitude lors d’un cours en amphi, tandis que celle de droite, sur la place de l’universit´e `a Louvain La Neuve (Belgique) symbolise plutˆot le travail collaboratif. De ces deux situations, laquelle pr´ef´erez-vous ?

penseurINSA.ps

PlaceUniversitLLN.ps

Alors, osez le changement, lancez-vous !

R´ ef´ erences

(1) R. V. Krivickas, Active Learning at Kaunas University of Technology, Global Journal of Engineering Education, Vol. 9, 1, 2005 (UICEE)

(2) J. Proulx, Apprentissage par projet. 2004. Presses de l’universit´e du Qu´ebec Pour en savoir plus sur PEG :

http ://enseignants.insa-toulouse.fr/fr/ameliorer mon cours/peg.html Pour en savoir plus sur l’APP :

http ://www.apsq.org/sautquantique/doss/d-app.html

http ://edutechwiki.unige.ch/fr/Apprentissage par probl`eme http ://edutechwiki.unige.ch/fr/Apprentissage par projet

Annexe 1 : Exemple de cours transform´ e en probl` eme :

Calcul approch´ e de

a

f (x) dx

1. Position du probl`eme

Dans certaines situations, on a besoin de calculer la valeur de^R_a^bf(x)dx pour une fonction f connue. Cependant, si on sait calculer f(x) pour tout x dans [a .. b]), on ne sait pas calculer une forme analytique d’une primitive de f).

Comme pour la d´eriv´ee, nous devons donc trouver une m´ethode qui donne une valeur approch´ee de l’int´egrale, et donner une majoration de l’ ”erreur”, c’est `a direI−<sup>R</sup><sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dxo`uI est la valeur approch´ee calcul´ee.

Pour un entiernfix´e, on notera par la suiteh= ^b−_n^a etx_i =a+i h.

2. M´ethode des rectangles

Il nous faut donc d’abord trouver une formule donnant une valeur approch´ee de l’int´egrale.

Pour cela, comme pour la d´eriv´ee (et comme souvent pour trouver une valeur approch´ee), utilisons la d´efinition de l’int´egrale :

Z _b

a

f(x)dx = lim

n→∞

b−a n

n−1

X

i=0

f(a+i^b−_n^a)

ceci nous pousse `a penser que la quantit´e ^b−_n^{a Pn}_i=0⁻¹f(a+i^b−_n^a) est une approximation de^R_a^bf(x)dx, laquelle devrait ˆetre d’autant plus pr´ecise quen est grand.

2.1 Faites un graphe qui vous permette de comparer qualitativement la diff´erence entre la valeur exacte de l’int´egrale et la valeur calcul´ee. Cette m´ethode est-elle exacte pour une fonction constante (∀x∈IR, f(x) =a) ? Pour une fonction affine (∀x∈IR, f(x) =a x+b? Que pensez-vous, a priori, de l’ordre de la m´ethode ?

2.2Prenez maintenant une fonctionf particuli`ere, dont vous connaissez une primitive (vous pouvez prendre par exemple^R₀^π/2sinx dx... mais prenez aussi au moins une autre fonction !), et int´egrez-la analytiquement, puis num´eriquement pour diff´erentes valeurs de n. Faites ces calculs sur Excel, seulement, disons, pour n= 3, n= 9, n= 27,n= 81 etn= 243, puis faites-les sur matlab (vous ˆetes alors moins limit´e en valeur den!).

Tracez l’´evolution de l’erreur en fonction de n (`a vous maintenant de choisir la gamme de variation de n, le type d’´echelle...). Quelle est (exp´erimentalement !) l’ordre de la m´ethode pour cette fonction ?

Changez de fonction (ou d’intervalle d’int´egration), en prenant maintenant une fonction crois- sante puis d´ecroissante. Que constatez-vous concernant l’ordre de la m´ethode ? Cela est-il surpre- nant (interpr´etation graphique) ?

2.3 Apr`es cette phase exp´erimentale, majorons l’erreur d’int´egration. Faites donc un d´evelop- pement limit´e (reste de Taylor) `a l’ordre 1, de f en a+ih, et d´eduisez-en une majoration de

R_xi+1

xi f(x)dx−^b−_n^af(x_i)(utilisezM₁, majorant de la valeur absolue de la d´eriv´ee def sur [a .. b]).

Majorez maintenant l’erreur de m´ethode^R_a^bf(x)dx−h ^Pn_i=0⁻¹f(a+i h). Est-ce coh´erent avec l’approche exp´erimentale ci-dessus ?

3. M´ethode des rectangles centr´es

3.1 Essayons d’am´eliorer la m´ethode pr´ec´edente. Comme en 2.3, examinons ce qui se passe dans l’intervalle [x_i.. x_i+1], et comme en 2.1 faisons un graphe pour chercher un formule simple qui approche mieux ^R_x^x_iⁱ⁺¹f(x)dx. Au lieu d’approcher f sur [x_i.. x_i+1] par f(x_i), pensez-vous qu’il serait plus astucieux d’approcher f sur [x_i.. x_i+1] par f(x_i+^h₂) ? Cette m´ethode est-t-elle exacte sur les constantes ? Sur les polynˆomes de degr´e 1 ? Que pensez-vous, a priori, de l’ordre de cette m´ethode ?

3.2Donnez la formule d’int´egration correspondante. Pour majorer l’erreur de m´ethode, faites main- tenant le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 2 de f enx_i+h, et et d´eduisez-en une majoration de

Rxi+1

xⁱ f(x)dx−h f(xi+^h₂)(utilisezM₂, majorant de la valeur absolue de la d´eriv´ee seconde def sur [a .. b]).

Majorez maintenant l’erreur de m´ethode^R_a^bf(x)dx−^Pn_i=0⁻¹f(a+ (i+¹₂)^b−_n^a). Est-ce coh´erent avec ce que vous aviez pr´evu en 3.1 ? Remarquez que cette m´ethode ne demande pas plus de calculs que la premi`ere m´ethode : en r´efl´echisssant un peu, on y gagne en pr´ecision, sans mˆeme le “payer”

en temps de calcul !

3.3Comparez par un graphique sous matlab l’´evolution des erreurs par les deux m´ethodes ci-dessus, et dites si l’ordre exp´erimental des m´ethodes correspond `a celui que vous avez trouv´e th´eoriquement.

Vous ferez cela d’une part avec des r´eels “longs” (inutile de le pr´eciser `a Matlab, c’est le choix par d´efaut), puis avec des r´eels “courts” (instruction short suivie des variables que vous voulez stocker sous moins de chiffres significatifs).

4. M´ethode des trap`ezes

4.1Une autre fa¸con d’am´eliorer la pr´ecision de la formule d’int´egration num´erique est d’approcher f, dans l’intervalle [x_i.. x_i+1] non plus par une constante mais par le segment passant par (x_i, f(x_i)) et (x_i+1, f(x_i+1)). Faites un graphique permettant de visualiser ce qui se passe, et dites ce que vous en pensez (“trap`ezes” au lieu de “rectangles”, exact sur les polynˆomes de degr´e 1 ? sur les polynˆomes de degr´e 2 ?, ordre de convergence ?).

4.2 En utilisant la formule de la surface d’un trap`eze, ou bien en d´eterminant (expression locale autour dex_i) l’´equation de la droite passant par (x_i, f(x_i)) (x_i+1, f(x_i+1)), puis en l’int´egrant entre x_ietx_i+1, donnez maintenant une nouvelle formule d’int´egration approch´ee pour^R_x^x_iⁱ⁺¹f(x)dxpuis pour ^R_a^bf(x)dx. N’oubliez pas de rapprocher les deux ´el´ements en f(x_i)... si besoin, commencez par ´ecrire la formule de fa¸con extensive (avec f(x₁),f(x₂,f(x₃), ... f(x_n), et voyez que la plupart des termes sont pr´esents deux fois et peuvent ˆetre regropup´es.

4.3 Calcul d’erreur : Le calcul d’erreur est maintenant un peu plus d´elicat puisqu’il faut d’abord approcher f sur [x_i.. x_i+1] par le segment passant par (x_i, f(x_i)) et (x_i+1, f(x_i+1)). Pour cela,

´ecrivez d’abord le d´eveloppement de Taylor def(x), au voisinage dex_i et `a l’ordre 2. Comme celui- ci d´epend explicitement de f<sup>′</sup>(x<sub>i</sub>), il faut remplacer f<sup>′</sup>(x<sub>i</sub>) par une approximation ne d´ependant que de f(x<sub>i</sub>) et f(x<sub>i+1</sub>)... Cela ne vous rappelle rien ? Ecrivez donc le d´eveloppement de Taylor de f(xi+1), `a l’ordre 2 et au voisinage dex_i, et d´eduisez-en l’approximation cherch´ee de f^′(xi), et reportez-la dans r. Vous devez maintenant avoir une formule de Taylor modifi´ee du type

f(x) =f(x_i)+(x−x_i)^f(xi+1)_h^−f(xi)+^(x−₂^xi)2 f^′′(c₁)−^(xi+1₂^−xi)2 f^′′(c₂) o`uc₁est compris entrex_ietx,

c₂entrex_ietx_i+1. D´eduisez-en maintenant la majoration d’erreur suivante :^R_x^x_iⁱ⁺¹f(x)dx−h^f(xi)+f(x₂ ⁱ⁺¹⁾≤

2M2

3 h³, puis la majoration suivante

Rb

af(x)dx−h ^f(a)+f(b)₂ +^Pn_i=1⁻¹f(a+i h)≤ ^2M₃² (b−a)h². 4.4 V´erification num´erique

Ajoutez au graphe obtenu en 3. l’´evolution de l’erreur par la m´ethode des trap`ezes. Commentez le graphe ainsi obtenu ? La majoration d’erreur obtenue en 4.3 se r´ev`ele-t-elle exacte ?

A noter la majration d’erreur suivante peut ˆetre obtenue, moyennant un calcul un peu plus d´elicat : ^R_a^bf(x)dx−h ^f(a)+f(b)₂ +^Pn_i=1⁻¹f(a+i h)≤ ^M₁₂² (b−a)h².

Est-elle plus fine ou non que la majoration que vous avez obtenue ? Son ordre est-il le mˆeme ? Votre exp´erimentation satisfait-elle cette nouvelle majoration d’erreur ?

L`a encore, faites les calculs en precision longue et en pr´ecision courte, et comparez.

5. Autres m´ethodes

Au lieu d’approcherf sur [x_i.. x_i+1] par un segment de droite, on peut approcherfsur [x_i.. x_i+2] par un polynˆome de degr´e 2, int´egrer ce polynˆome entre x_i et x_i+1, et obtenir ainsi une formule d’int´egration entre x_i etx_i+1 approch´ee, puis en sommant une formule d’int´egration entre a et b approch´ee (“formule de Simpson”). Comme polynˆome approchantfsur [x_i.. x_i+2], on prend souvent le polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 interpolant les trois points (x_i, f(x_i)), (x_i+1, f(x_i+1)) et (x_i+2, f(x_i+2)). Qu’en pensez-vous (exact sur quels polynˆomes, ordre de convergence ?...). Auriez- vous une autre id´ee de polynˆome approchantf sur [x_i.. x_i+2] ? Que pensez-vous de l’approximation alors obtenue ?

On peut encore faire plus, en prenant, un polynˆome de degr´e 4 approchant f sur [xi.. x_i+4] (“formule de Villarceau”), voire mˆeme de degr´e 6 (“formule de Hardy”) , ou mˆeme de degr´e 2n (“formules de Newton-Cotes”) sur les intervalles appropri´es. En vous servant des coefficients pr´esent´es sur le polycopi´es (ou que vous pouvez trouver sur internet !), programmez les formules correspondantes (Villarceau et Hardy), joignez les courbes d’erreurs ainsi obtenues aux graphes pr´ec´edents, et interpr´etez l’´evolution des erreurs, les ordres des m´ethodes...

6. Quelques commentaires

Ce que vous avez fait ici est significatif de plusieurs d´emarches et ph´enom`enes classiques : – Pour calculer quelquechose que l’on ne sait calculer exactement, on en calcule une valeur

approch´ee. Pour cela on approche le probl`eme par un probl`eme plus simple, dont la solu- tion “devrait” ˆetre proche de la solution exacte. Ceci n’est aps seulement vrai en “analyse num´erique”, mais `a peu pr`es dans tous les domaines de l’ing´enieur.

– Il y a presque toujours plusieurs fa¸cons d’approcher la solution, et les r´esultats obtenus ne sont pas ´equivalents. Il ne faut dons pas s’arrˆeter `a la premi`ere m´ethode envisag´ee. On peut souvent “affiner” l’approximation pour obtenir des r´esultats meilleurs.

– Pour approcher un ph´enom`ene physique, pensez d’abord au probl`eme lui-mˆeme, et voyez s’il n’existe pas des mod`eles plus simples, s’il n’y a pas des moyens d’approcher le ph´enom`ene loca- lement, qui `a faire plusieurs approximations locales (comme nous avons fait, pour l’int´egration, une approximation locale de f par un segment, puis cette mˆeme approximation locale en diff´erents points.

– Pour approcher une fonction localement, il est souvent pratique d’utiliser les polynˆomes (ils s’additionnent, se soustraient, s’int`egrent, se d´erivent... bien). En g´en´eral (mais ce n’est pas toujours vrai), plus le degr´e est ´elev´e, meilleure sera l’approximation.

– Pour majorer l’erreur de m´ethode, on utilise souvent le d´eveloppement de Taylor de la fonc- tion...

– ... Nous verrons lors des prochaines s´eances une autre m´ethode, tr`es importante aussi, pour approcher la solution d’un probl`eme. Cela consistera `a faire des “it´erations”... Patience, on y est presque !

7. A l’issue de ce travail, vous devez...

Savoir parfaitement interpr´eter des courbes en coordonn´ees logarithmiques ou semi-logarithmiques.

Avoir parfaitement assimil´e la notion de m´ethode approch´ee, d’erreur de m´ethode, d’erreur d’arrondi et leurs variations respectives.

Avoir bien int´egr´e que plusieurs m´ethodes diff´erentes peuvent permettre de r´esoudre un mˆeme probl`eme... et qu’elles ne sont souvent pas ´equivalentes, qu’elles peuvent donner des r´esultats diff´erents.

Avoir compris la notion d’ordre d’une erreur,

Savoir utiliser le d´eveloppement de Taylor pour majorer une erreur de m´ethode.

...avoir de “bonnes” r´eactions face `a un probl`eme que vous devez approcher pour trouver une solution approch´ee, et majorer l’erreur de m´ethode.

Annexe 2

Exemple de probl` eme de positionnement-motivation

(donn´e `a des ´etudiants de troisi`eme ann´ee, en introduction `a une UV (Des donn´ees aux mod`eles, visant les questions de mod´elisation, optimisation et approximation)

Un probl` eme type : PHm´ etrie

On dispose de diff´erentes mesures de la neutralisation d’un acide simple par une base simple, et on d´esire obtenir une bonne ´evaluation de la position du point d’´equilibre, qui est, comme vous le savez certainement, le point d’inflexion d’un mod`ele sous-jacent au processus. On d´esire que cette

´evaluation ne mette en œuvre aucune intervention humaine, de fa¸con par exemple `a ce qu’elle puisse faire partie d’un ensemble plus complet `a r´esoudre enti`erement par ordinateur.

Comment feriez-vous pour r´esoudre un tel probl`eme ?

Bien sr, les donn´ees dont vous disposez sont “bruit´ees”, c’est `a dire ne sont pas exactes (erreurs de mesure, influence de param`etres inconnus et plus ou moins al´eatoires,...), et il vous faudra vous d´ebrouiller pour “faire avec”, tout en trouvant le point d’inflexion de fa¸con aussi exacte que possible.

On appellera les donn´ees x_i, y_i)_i=1:n, o`u y_i est le PH mesur´e pour un volume d’acide x_i vers´e.

Vous vous poserez successivement les quatre probl`emes suivants :

1.Pour simplifier, dans un premier temps, on supposera (hypoth`ese totalement irr´ealiste !) que les donn´ees sont exactes, et correspondent exactement `a un mod`ele que l’on connait, et qui d´epend, disons, de quatre param`etres (la forme du mod`ele est connue, mais on ne connait pas la valeur des param`etres). Appelonsf(K_a, δK, a, b, V_base) (K_a,δK,aetbsont les quatre param`etres) le PH de la solution obtenue apr`es avoir vers´e un volume V_base de base dans la solution. En appelant x le volume de base vers´e (x = V_base)et y le PH de la solution obtenue, on utilise par exemple la fonctiony =f(K_a, δK, a, b, x) =K_a+δK e^xb−ax

1 + e^xb−xa.

Dans le cas de la fonction f propos´ee ci-dessus, dites quelle est l’influence des param`etres K<sub>a</sub> et δK, et d´eduisez-en des informations sur leur signification physique (vous pourrez vous poser la mˆeme question pour les param`etres aetben fin de la derni`ere s´eance).

Dites alors comment vous feriez pour d´eterminer le point d’´equilibre. De quelles m´ethodes num´eriques ou math´ematiques avez-vous besoin ?

Quelles sont les d´ecisions arbitraires que vous ˆetes oblig´es de prendre, et quels seraient vos choix

`

a ce propos (bien sr pr´ecisez pourquoi !). Quels sont les d´efauts de cette m´ethode (pensez arbitraire, stabilit´e...) ? Vous paraissent-ils r´edhibitoires ? Connaissez-vous d’autres situations (domaine scien- tifique ou non scientifique) o`u ce genre de probl`eme apparaˆıt ?

Qu’y a-t-il de chang´e dans la situation o`u f est connue et d´epend de p param`etres de valeur inconnue ? Fondamentalement, les d´efauts sont-ils chang´es ?

(Temps estim´e pour cette premi`ere partie : 1h15)

2. Soyons maintenant un peu plus r´ealistes. Consid´erons que nous disposons encore d’un mod`ele

“id´eal” (la fonction f ´evoqu´ee ci-dessus), et consid´erons que les mesures contiennent du “bruit”, c’est `a dire des oscillations, peut-ˆetre dues `a des erreurs de mesure, mais aussi peut-ˆetre dues `a d’autres ph´enom`enes plus complexes inh´erents au processus (bref que le mod`ele est trop simple).En d’autres termes, le mod`ele utilis´e est peut-ˆetre trop “simpliste” pour pouvoir refl´eter enti`erement la complexit´e du processus et que donc les donn´ees, mˆeme s’il n’y a pas d’erreur de mesure, ne passeront pas exactement par le mod`ele, quelles que soient les valeurs des param`etres.

Comment faire pour trouver les valeurs des param`etres qui soient le mieux appropri´ees possible ? Essayer de trouver une strat´egie qui permette de d´eterminer la “meilleure” valeur num´erique de ces param`etres... Pour cela vous chercherez un crit`ere objectif de satisfaction (ou plutˆot d’insatis- faction), et vous chercherez quelle d´emarche math´ematique vous permettra d’ˆetre le plus satisfait possible.

Que deviennent les inconv´enients de la m´ethode mise en avant en 1. ? Discutez des avantages et inconv´enients de cette nouvelle m´ethode.

3.Pas de chance ! Les donn´ees ne semblent pas r´epondre `a l’allure g´en´erale d’un mod`ele pr´e-´etabli, comme celui propos´e en 1. Bref, les ing´enieurs chimistes n’ont pu nous fournir de mod`ele qui donne des r´esultats satisfaisants. Il va donc falloir faire sans l’appui du chimiste, et trouver tout de mˆeme ce qui pourrait bien ˆetre une approximation de la position du point d’inflexion...

Nous supposerons d’abord, comme en 1, que les donn´ees sont exactes. Supposons aussi que pour toutn∈IN nous disposons d’un espace vectoriel de fonctions, dont la dimension estn. Effectivement de tels espacs vectoriels existent : ainsi par exemple l’ensemble des polynˆomes : en prenant l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1, nous avons un espace vectoriel de dimension n, et ceci quelque soit n. De plus nous en connaissons une base “facile” (mais nous verrons plus tard que ce n’est pas la meilleure, loin de l`a !), `a savoir la base canonique (B<sub>i</sub>(x) =x<sup>i</sup>, pour i variant de 0 `a n−1). Avez-vous d´ej`a rencontr´e d’autres tels espaces vectoriels (c’est `a dire dont vous pouvez choisir arbitrairement la dimension), et servaient-ils pour approcher des fonctions ?

Revenons au cas g´en´eral, et appelons B_iⁿ le i^eme ´el´ement de la base de l’espace vectoriel de dimension n. Donnez la condition que doivent satisfaire les coefficients dans la base (B_iⁿ)i=1:n

d’un ´el´ement g de l’espace vectoriel pour qu’il “interpole” les donn´ees, c’est `a dire qu’il satisfasse

∀i∈[1 :n], g(x_i) =y_i (ici, on a appel´e (x_i, y_i)_i=1:n les donn´ees). Que pensez-vous de la solution de ce probl`eme (conditions d’existence, d’unicit´e,...) ? Pour vous, quelles seraient les “bonnes”

propri´et´es, c’est `a dire les propri´et´es qui permettraient d’avoir de bonnes chances d’obtenir un r´esultat “satisfaisant” ?

4.Evidemment, les donn´ees sont peut-ˆetre un peu erron´ees, le r´esultat obtenu en 3 n’est peut-ˆetre pas satisfaisant (mˆeme si les donn´ees sont exactes !), on d´esire peut-ˆetre un mod`ele plus simple, d´ependant de peu de param`etres, mˆeme si on a beaucoup de donn´ees...

On souhaite donc trouver maintenant l’´el´ement de l’espace vectoriel de dimensionk(aveck < n, voire mˆeme k << n) qui soit le “plus proche possible” des donn´ees...

Posez le probl`eme (en supposant connaˆıtre les (B<sub>j</sub>)<sub>j=1:k</sub>, et bien sr les donn´ees (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>)<sub>i=1:n</sub>, et ce qu’il faut faire, concr`etement, pour obtenir une fonction g la plus appropri´ee possible.

Comparez les avantages et les inconv´enients des diff´erentes m´ethodes envisag´ees...

Temps estim´e pour les questions 2, 3, 4 : 2h30