Plan •Vocabulaire sur les graphes et les arbres•Arbres équilibrés–Arbres AVL–Arbres a-b•Quelques compléments de Java

(1)

Plan

• Vocabulaire sur les graphes et les arbres

• Arbres équilibrés – Arbres AVL – Arbres a-b

• Quelques compléments de Java

(2)

Amphi 6 2

Graphes

Un graphe orienté 5

4 2 1

3

6

Un graphe non orienté 5

4 2 1

3

6 Sommets

arcs

(3)

Graphes

Un graphe orienté est un couple G = (S, A) où S est un ensemble de nœuds (ou sommets) et A est une partie de S x S, l'ensemble des arcs.

Un chemin est une suite (s₀, s₁, ..., s_k) de nœuds tels que, pour 1 ≤ i ≤ k, (s_i-1, s_i) soit un arc. Si s₀ = s_k et k ≥ 1, on a un circuit. Le chemin est simple si tous les nœuds s_i sont distincts.

Graphe non orienté : Un arc est une paire de nœuds {s, t} (au lieu d'un couple (s, t)).

(4)

Amphi 6 4

Arbres libres

Un graphe est connexe si deux nœuds quelconques sont reliés par un chemin.

Un arbre libre est un graphe non orienté, connexe et sans circuit.

(5)

Exercice: caractérisation des arbres libres

Soit G = (S, A) un graphe non orienté non vide. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) G est un arbre libre,

(2) Deux nœuds quelconques de S sont

connectés par un unique chemin simple,

(3) G est connexe, mais ne l'est plus si on retire une arc quelconque,

(4) G est sans circuit, mais ne l'est plus si on ajoute une arc quelconque,

(5) G est connexe et Card(A) = Card(S) - 1,

(6) G est sans circuit et Card(A) = Card(S) - 1.

(6)

Amphi 6 6

Arbres enracinés

Un arbre enraciné (ou arbre) est un arbre libre muni d'un nœud distingué, appelé la racine de l'arbre.

(7)

Arbres enracinés

Si on change la racine d'un arbre enraciné, on obtient encore un arbre...

(8)

Amphi 6 8

Les arbres enracinés en Java

class Arbre { int contenu;

ListeArbre suivant;

}

class ListeArbre { Arbre contenu;

ListeArbre suivant;

}

class Arbre { int contenu;

Arbre[] fils;

}

Solution 1 : la suite des fils est représentée par une liste.

Solution 2 : la suite des fils est représentée par un tableau.

(9)

Plan

• Vocabulaire sur les graphes et les arbres

(10)

Amphi 6 10

Performance des arbres de recherche

• Les structures d'arbre permettent de réaliser des opérations dynamiques, telles que recherche, prédécesseur, successeur, minimum, maximum, insertion, et suppression en temps proportionnel à la hauteur de l'arbre.

• Si l'arbre est équilibré, la hauteur est en O(log n) où n est le nombre de nœuds.

• Divers types d'arbres équilibrés sont utilisés : arbres AVL, 2-3, bicolores, b-arbres.

(11)

Arbres AVL : définition

Un arbre binaire est un arbre

AVL (Adelson-Velskii et Landis) si, pour tout sommet, les hauteurs des sous-arbres gauche et droit

diffèrent d’au plus 1.

0 0

1 2 1 0

3 2

4

0 1

0

(12)

Amphi 6 12

Implantation : la classe AVL

class Avl {

char contenu;

int hauteur;

Avl filsG, filsD;

Avl(Avl g, char c, Avl d) { filsG = g;

contenu = c;

filsD = d;

hauteur = 1 + Math.max(H(g), H(d));

}

...

}

(13)

Implantation : calculs sur la hauteur

static int H(Avl a)

{ return (a == null) ? -1 : a.hauteur;

}

static void Avl calculerHauteur(Avl a) {

a.hauteur = 1 +

Math.max(H(a.filsG), H(a.filsD));

}

Toutes les méthodes sont dans la classe AVL.

(14)

Amphi 6 14

Exemple : arbres de Fibonacci

(15)

Hauteur d’un arbre AVL

Propriété. Soit A un arbre AVL ayant n sommets et de hauteur h. Alors

log₂(1+n) ≤ 1+ h ≤ α log₂(2 + n) avec α ≤ 1,44.

Par exemple, si n = 100000, 17 ≤ h ≤ 25.

On a toujours

n ≤ 2^h+1 - 1 donc log (1+n) ≤ 1+ h .

(16)

Amphi 6 16

Hauteur d’un arbre AVL (2)

Soit N(h) le nombre minimum de sommets d’un arbre AVL de hauteur h. Alors

N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2).

h-1 h-2

(17)

Hauteur d’un arbre AVL (2)

La suite F(h) = N(h)+1 vérifie

F(0) = 2, F(1) = 3, F(h+2) = F(h+1) + F(h) donc

F(h) = 1/√5 (φ^h+3 – φ^-(h+3)) où φ = ^{1 +}₂^√⁵

est le nombre d'or

1 + n ≥ F(h) > 1/√5 (φ^h+3 – 1) d'où en prenant le logarithme de base φ

h+3 < log_φ(√5(2+n)) < log₂(2+n) / log₂φ + 2

(18)

Amphi 6 18

Rotations et équilibrage

Les rotations gauche et droite transforment un arbre

• Elles préservent l'ordre infixe

• Elles se réalisent en temps constant.

q p

U V

W

q p

U

V W

rotation droite

rotation gauche

(19)

Implantation (destructive)

q p

U V

W

q p

U

V W

static Avl rotationG(Avl a) { Avl b = a.filsD;

a.filsD = b.filsG;

b.filsG = a;

return b;

a

b b

a

rotation droite

rotation gauche

(20)

Amphi 6 20

Implantation (non destructive)

q p

U V

W

q p

U

V W

rotation droite

rotation gauche

a

c b

static Avl rotationG(Avl a) {

Avl b = a.filsD;

Avl c =

new Avl(a.filsG, a.contenu, b.filsG);

return new Avl(c, b.contenu, b.filsD);

}

(21)

Double rotation

double rotation droite

r p

U

q X

V W

q p

U V

r

W X

r q

p X

W

rotation

gauche rotation

droite

(22)

Amphi 6 22

Algorithme de rééquilibrage

Soit A un arbre, G et D ses sous-arbres gauche et droit et soient g et d les sous-arbres gauche et droit de G. On suppose que  h(G) – h(D)  = 2.

• Si h(G) – h(D) = 2,

si h(g) < h(d), on fait une rotation gauche de G, puis une rotation droite de A,

sinon on fait seulement une rotation droite de A.

• Si h(G) – h(D) = -2, opérations symétriques.

(23)

Le cas h(G) - h(D) = 2 et h(g) < h(d)

r p

U

q X

V W

q p

U V

r

W X

r q

p X

W

rotation

gauche de G rotation

droite de A

G

d A

D g

d

A

g G

d G A

g

(24)

Amphi 6 24

Le cas h(G) - h(D) = 2 et h(d) ≤ h(g)

r p

U

X

p

r

X

rotation droite de A

G

q

V W

d A

D g

G g A

U q

V W

d D

(25)

Implantation du rééquilibrage

static Avl equilibrer(Avl a) {

calculerHauteur(a);

if (H(a.filsG) - H(a.filsD) == 2) {

if (H(a.filsG.filsG) <

H(a.filsG.filsD))

a.filsG = rotationG(a.filsG);

return rotationD(a);

} // else

if (H(a.filsG)- H(a.filsD) == -2){...}

return a;

(26)

Amphi 6 26

Insertion dans un arbre AVL

• Insertion ordinaire, suivie de rééquilibrage.

71 44

37

83 61

50

71 44

37

83 61

61 44

37

71

83 50

double rotation autour de «71»

(27)

Insertion dans un arbre AVL (suite)

Détail de la double rotation

50

71 44

37

83 61

61

44 71 rotation droite

autour de «71»

37

71 61

44

83

50 rotation gauche

autour de «44»

(28)

Amphi 6 28

Propriétés (admis)

• Pour rééquilibrer un arbre AVL après une insertion, une seule rotation ou double rotation suffit.

• Pour rééquilibrer un arbre AVL après une

suppression, il faut jusqu’à h rotations ou double rotations (h est la hauteur de l'arbre).

(29)

Implantation de l’insertion

static Avl inserer(int x, Avl a) {

if (a == null)

return new Avl(null, x, null);

if (x < a.contenu)

a.filsG = inserer(x, a.filsG);

else if (x > a.contenu)

a.filsD = inserer(x, a.filsD);

// seul changement : return equilibrer(a);

}

(30)

Amphi 6 30

Plan

(31)

Pourquoi des b-arbres ?

• On doit souvent manipuler de grands volumes de données.

• Si les données ne tiennent pas en mémoire vive, les problèmes d'accès au disque deviennent primordiaux.

• Un seul accès au disque prend environ autant de temps que 200 000 instructions.

• L'utilisation d'un b-arbre minimise le nombre d'accès au disque.

(32)

Amphi 6 32

Information sur disque

• Un disque est divisé en pages (par exemple de taille 512, 2048, 4096 ou 8192 octets).

• La page est l'unité de transfert entre mémoire et disque.

• Les informations sont constituées

d'enregistrements, accessibles par une clé.

• Une page contient plusieurs enregistrements.

• Problème : trouver la page contenant l'enregistrement de clé c.

(33)

Arbres de recherche généralisés

34 46 15

8 65

clés

≤ 8

clés

]8-15] clés ]15-34]

clés

clés ]46-65]

clés

> 65 Chaque noeud interne contient des balises

(34)

Amphi 6 34

Arbres de recherche généralisés

Même principe que les arbres binaires de recherche

12 14 11

6 18 8

20 26 30 4 7 10 12 14 17 22 24

21 23 25

27 32

19

(35)

Définition d'un arbre a-b (2a - 1 ≤ b)

• C'est un arbre de recherche généralisé.

• Les feuilles ont toutes la même profondeur.

• La racine a au moins 2 et au plus b fils (sauf si l'arbre est réduit à sa racine).

• Les autres nœuds internes ont au moins a et au plus b fils.

• Lorsque b = 2a - 1, un arbre a-b est appelé un b- arbre d'ordre a-1.

• En pratique, a peut être de l'ordre de plusieurs

(36)

Amphi 6 36

Un arbre 2-4

12 14 11

6 40 20

8 21 26 30 42

4 7 10 12 14 18 21 25 30 36 41 50

Clés Balises

c₀ ≤ k₁ < c₁ ≤ ... ≤ k_d < c_d

10 ≤ 11 < 12 ≤ 12 < 14 ≤ 14 < 18

(37)

Taille d'un arbre a-b (2a - 1 ≤ b)

Preuve. Tout nœud a au plus b fils. Il y a donc au plus b^h feuilles. Tout nœud autre que la racine a au moins a fils, et la racine au moins 2. Au total, il y a au moins 2a^h-1 feuilles.

Proposition. Si un arbre a-b de hauteur h contient n feuilles, alors 2a^h-1 ≤ n ≤ b^het donc

log n / log b ≤ h ≤ 1 + log(n/2) / log a

(38)

Amphi 6 38

Recherche dans un arbre a-b (ici 2-4)

12 14 11

6 40 20

8 21 26 30 42

4 7 10 12 14 18 21 25 30 36 41 50

Recherche de 30

(39)

Insertion dans un arbre a-b (1)

13 10

6 40 20

8 21 26 30 42

4 7 9 12 14 21 25 30 36 41 50

Insertion de 11:

la balise est min(11, 12)

13 10 10 11 13

(40)

Amphi 6 40

Insertion dans un arbre a-b (2)

13 10

6 40 20

8 21 26 30 42

4 7 9 12 14 21 25 30 36 41 50

Insertion de 13 : la balise est

min(12, 13)

13 10

9 12 14

10 12 13

9 12 13 14

(41)

Eclatement d'un nœud

L'insertion d'un élément peut produire un nœud ayant plus de b fils. Il faut alors éclater le nœud.

21 26 27

21 25 27 30 30

36 21 21 25

27 27 30 30

36

26

(42)

12 14 11

6 40 20

8 21 26 30 42

4 7 10 12 14 18 21 25 30 36 41 50

Insertion de 15

12 14 11

40 20

8 10 12 14 18

15 14

11 10 12 14 15 18 20

12 8 40

A éclater !

(43)

12 11 6

40 20

8 21 26 30 42

4 7 10 12 14 18 21 25 30 36 41 50

Après insertion de 15

15 14 15

(44)

Amphi 6 44

Fusion de deux nœuds

C'est l'opération inverse de l'éclatement.

21 26 27

21 25 27 30 30

36 21

21 25

27 27 30 30

36

26

(45)

Partage de deux nœuds

21 29 30 32 18 26

27 20 21 29 30

32 18 27

26

20

(46)

Amphi 6 46

Suppression d'une feuille (1)

Algorithme.

• Supprimer la feuille, puis les balises figurant sur le chemin de la feuille à la racine.

• Si les nœuds ainsi modifiés ont toujours a fils, l’arbre est encore a-b.

• Si un nœud possède seulement a -1 fils, examiner ses frères adjacents.

– Si l'un de ces frères possède au moins a + 1 fils, il suffit de faire un partage avec ce frère.

– Sinon, les frères adjacents ont a fils, la fusion avec l'un deux produit un nœud ayant 2a - 1 ≤ b fils.

(47)

Exemples de suppression (1)

21 26 30

20 25 30 36

Suppression de 25

21 30

20 30 36

21 20

racine

(48)

Amphi 6 48

Suppression de 12 (1)

Suppression de 12

11 6

20 8

21 26 30

4 7 10 12 21 25 30 36

(49)

Suppression de 12 (2)

L'arbre n'est plus 2-4

6 20 8

21 26 30

4 7 10 21 25 30 36

(50)

Amphi 6 50

Suppression de 12 (3)

Après partage avec le frère droit.

20 6

21 8

26 30

4 7 10 21 25 30 36

(51)

Suppression de 13 (1)

11 6

20 8

21 4 7 10 13 21 25

Suppression de 13

(52)

Amphi 6 52

Suppression de 13 (2)

6 20 8

21 4 7 10 21 25

L'arbre n'est plus 2-4

(53)

Suppression de 13 (3)

6

8

21 4 7 21 25

20 10

Après fusion avec le frère droit.

(54)

Amphi 6 54

final

La déclaration d'une variable final doit toujours être accompagnée d'une initialisation.

Une méthode final ne peut être surchargée.

Une variable final ne peut être modifiée.

Attention ! Si la variable est un tableau, donc une référence, cette référence ne change plus, mais les valeurs du tableau peuvent être modifiées.

Une classe final ne peut pas avoir de classe dérivée.

Les méthodes d'une classe final sont implicitement final.

(55)

final

class Test {

static final int n = 100;

static final int[] a = {1, 2, 3};

public static void main(String args[]) {

a[0] = 5; // OK

n = 9; // Erreur ! Variable finale }

}