J122. La grande rafle de la dame
Au jeu de dames, la dame a une grande marge de manœuvre :
- Elle prend tout pion situé sur sa diagonale et s'arrête sur la case libre de son choix située après la pièce.
Cette opération est une prise.
- Lorsqu'après une prise, la dame se trouve à nouveau en présence, sur une même diagonale, d'une pièce adverse derrière laquelle se trouve(nt) une ou plusieurs cases libres, elle doit obligatoirement sauter par- dessus cette seconde pièce, voire d'une troisième et ainsi de suite, et occuper au choix une case libre se trouvant derrière et sur la même diagonale que la dernière pièce capturée. Les pièces adverses ainsi capturées sont ensuite enlevées du damier dans l'ordre de la prise. Cette opération complète est une rafle.
- Au cours d'une rafle, la dame change de direction pour prendre d'autres pièces. Elle ne peut passer qu'une seule fois sur un même pion. En revanche, elle peut passer deux ou plusieurs fois sur une même case libre.
Sur un damier de dimensions , on place pions noirs ( ) de telle sorte que la dame blanche puisse les prendre tous au cours d'une seule rafle. Quelle est la valeur maximale de ?
On étudiera les deux variantes suivantes:
1ère variante : au cours d'une rafle, il est interdit de passer plus d'une fois au-dessus d'une même pièce adverse et les pièces prises ne peuvent être enlevées du damier qu'à l'issue de l'exécution complète de la rafle.
2ème variante : les pions noirs sont enlevés du damier au fur et à mesure de leur prise par la dame blanche. Les cases qu'ils libèrent peuvent alors être utilisées ultérieurement par la dame blanche lors de son périple.
Nota : les règles du jeu de dames sont accessibles sur le site http://www.ffjd.fr/Web/
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Variante 1
L’exemple suivant démontre l’existence d’une rafle de pions :
Montrons ensuite qu’il ne peut pas exister de rafle de pions (ou plus).
Un pion sur le contour du damier est imprenable (figure ci-dessous). En effet, il n’y a aucune case libre derrière lui.
Si 3 pions sont disposés en V, quelque soit son orientation, (figure ci-dessous, à gauche) alors le pion situé au sommet de ce V est imprenable en une seule rafle. En effet, la dame ne peut passer qu’une seule fois sur un même pion, et ce pion n’est retiré qu’à la fin de la rafle. Une région de cases (contenant 4 cases sombres) contient donc au maximum 2 pions noirs prenables (exemples sur la figure ci-dessous, au milieu et à droite).
En considérant les 6 régions de cases de la figure ci-dessous, on conclut que le nombre maximum de pions noirs qui vérifient les deux critères mentionnés plus haut est (2 pions dans chaque région, 8 pions extérieurs
l l l l 4 3 9 10
l l l l 1 2 8 11
l 5
l l l 15 7 12
l l 16 6
l l 14 13
l l l 17 18 19
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occupants toutes les autres cases à l’exclusion du contour). En outre, cette disposition est unique (voir figure) car les contraintes imposées par les pions extérieurs déterminent le placement des pions dans les régions.
Pour prendre les deux pions situés dans le coin supérieur gauche de cette disposition, la dame doit nécessairement commencer et finir sa rafle dans ce coin :
Le même raisonnement peut être appliqué au coin inférieur droit. Ce qui fournit une contradiction. On en déduit que les 20 pions ainsi disposés ne peuvent donc pas être pris en une seule rafle.
On conclut que la rafle maximale est bien de pions.
Variante 2
Comme dans la variante 1, un pion sur le contour du damier est toujours imprenable, pour les mêmes raisons.
Si 4 pions sont disposées en losange, alors ils sont imprenables (il faudrait nécessairement en sauter 2, ce qui n’est pas possible). Une région de cases (contenant 4 cases sombres) contient donc au maximum 3 pions noirs prenables (figure ci-dessous).
En considérant les 6 mêmes régions de cases que pour la variante 1, on conclut cette fois que le nombre maximum de pions noirs qui vérifient les deux critères mentionnés plus haut est (3 pions dans chaque région, 8 pions extérieurs occupants toutes les autres cases à l’exclusion du contour). En outre, cette disposition est unique (voir figure ci-dessous), à une symétrie près, car les contraintes imposées par les pions extérieurs déterminent le placement des pions dans les régions.
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L’exemple suivant montre l’existence d’une rafle prenant tous ces pions :
On conclut que la rafle maximale est bien de pions.