a p p o r t
d ' c t i v i t é
2 0 01
THÈME 4B
Projet ESTIME
Estimation de paramètres et modélisation en milieu hétérogène
Rocquencourt
Table des matières
1 Composition de l'équipe 3
2 Présentation et objetifs généraux 3
3 Fondements sientiques 4
3.1 Problèmes inverses . . . 4
3.1.1 D'où proviennent les problèmesinverses? . . . 5
3.1.2 Diultés desproblèmes inverses . . . 5
3.2 Méthodesnumériquespour les équationsaux dérivéespartielles . . . 6
3.2.1 Éléments nisetvolumes nis. . . 6
3.2.2 Déomposition de domaines . . . 7
3.2.3 Calul parallèle . . . 7
3.3 Méthodesnumériquesen optimisation . . . 8
3.3.1 Algorithmes de points intérieurs non-linéaires . . . 8
3.3.2 Autresméthodesnumériques . . . 9
4 Domaines d'appliations 10 4.1 Inversionsismique . . . 10
4.2 Imagerie érébrale . . . 11
4.3 Eoulement ettransport enmilieu poreuxpour lesproblèmes d'environnement 12 4.3.1 Transportde radionuléides autourd'unsite de stokage profond . . . . 13
4.3.2 Déplaements diphasiques . . . 13
4.3.3 Identiation deondutivités hydrauliques dansun aquifère . . . 14
4.4 Quelquesappliations de l'optimisation . . . 14
5 Résultats nouveaux 15 5.1 Eoulements en milieu poreux . . . 15
5.1.1 Eoulements en milieu fraturé . . . 15
5.1.2 Transportde ontaminants . . . 16
5.1.3 Modélisationde soure . . . 16
5.1.4 Problèmes hyperboliques non-linéaires . . . 17
5.1.5 Paramétrisation Interative . . . 17
5.1.6 Identiabilité duoeient de diusion . . . 17
5.2 Inversionsismique . . . 17
5.3 Méthodesnumériquespour lasimulation aoustique . . . 19
5.4 Méthodesnumériquespour l'optimisation . . . 19
5.4.1 Étude deheminsentraux en optimisation onvexe . . . 19
5.4.2 Méthodes dequasi-Newtonet depointsintérieurs . . . 20
5.4.3 Préonditionnement quasi-newtonien en optimisation non-linéaire . . . . 20
5.4.4 Courbure, géodésiquesetmoindres arrés . . . 21
5.5 Développement de odesd'optimisation . . . 22
5.5.1 OPINeL :unode d'optimisation deproblèmes non linéairespar points
5.5.2 M4IP2 :unode d'optimisation deproblèmes non linéairespar points
intérieurs etrégionsde onane . . . 22
6 Contrats industriels (nationaux, européens et internationaux) 23 6.1 Problèmes inversesen optométrie . . . 23
6.2 Transport deradionuléides autourd'unsite de stokage profond . . . 23
6.3 Coneptionde verres ophtalmiques progressifs . . . 24
6.4 Traitement numérique desprols d'indie danslesbres optiques . . . 25
6.5 Miseau point de moteursthermiques de voiture . . . 25
6.6 Tomographie sismique . . . 25
6.7 Aéroaoustique . . . 26
7 Ations régionales, nationales et internationales 26 7.1 Ationsnationales . . . 26
7.2 Relationsbilatérales internationales . . . 26
8 Diusion de résultats 27 8.1 Animation delaommunauté sientique . . . 27
8.2 Enseignement universitaire. . . 27
8.3 Autresenseignements. . . 27
8.4 Partiipation à desolloques,séminaires,invitations . . . 28
8.5 Conseil enentreprises . . . 29
9 Bibliographie 29
1 Composition de l'équipe
Responsable sientique
JérmeJaré [DR, Inria℄
Responsable permanent
Mihel Kern[CR℄
Assistante de projet (ave le projet Ondes)
Muriel de Bianhi[AJT℄
Personnel Inria
François Clément [CR℄
J.Charles Gilbert[DR℄
Conseiller sientique
Guy Chavent [UniversitéParis9℄
Collaborateurs extérieurs
Yann-Hervé DeRoek[Ifremer-Brest℄
PaulArmand [Université deLimoges℄
Cherheurs post-dotorants
Youssef Loukili [Université deKenitra, Maro, depuisle1/10℄
Jean-MarCognet [du1/5 au 31/8℄
Dotorants
Philippe AlKhoury[bourse CifreAuxitrol, Universités deParis 9et10℄
Jean-MarCognet [bourseInria, UniversitéParis 9,jusqu'au30/4℄
François Courty[enollaboration ave leprojetTropis,Université Paris 11℄
Frédéri Delbos[Institut Français duPétrole, Université Paris 6℄
XavierJonsson [bourse CifreEssilor,UniversitéParis 6℄
ElizabethKaras[UniversitéSantaCatarinaàFlorianópolis(Brésil)etUniversitéParis 1
(thèse sandwih )℄
Claire Leleu [bourseInria, Université Paris 9,jusqu'au30/9℄
Vinent Martin[bourseAndra, UniversitéParis 9℄
Stagiaires
RolandMorel [DESS, UniversitéParis 6 (du5/3 au 31/8)℄
Fadi Bouhanna[Maîtrise, UniversitéParis 11 (du1/4 au 31/8)℄
2 Présentation et objetifs généraux
Lamodélisationnumériquedesmilieuxhétérogènesnéessitelamiseen÷uvred'unertain
nombre de méthodes spéiques. L'exemple le plus important d'un tel milieu est le sous-sol.
D'une part, on herhe à réaliser des images de sa struture par des méthodes sismiques ou
életromagnétiques;esproblèmessontparessenedesproblèmes d'estimationdeparamètres.
D'autrepart,onmodélisenumériquementdiverstypesd'éoulementsenmilieuporeux:trans-
port de ontaminants pour les problèmes d'environnement, ou déplaements d'hydroarbures
pour l'ingénierie pétrolière. Le ÷ur d'un réateur nuléaire est un autre exemple de milieu
Tousesproblèmesontunephysiqueompliquéeetdestehniquesappropriéesdoiventêtre
utilisées pour les modéliser numériquement. Deplus, les milieuxétudiés sont diilesd'aès
et l'estimationde paramètres joue don un rleessentieldansleur modélisation.
S'appuyant sur l'expertise de ses membres onernant les méthodes numériques etles as-
pets théoriquesetpratiquesde l'identiation, le projetEstimea pour objetif de mettreau
point desméthodes à lafois eaesetpréises pour larésolution desproblèmes mentionnés
i-dessus.
Lestravaux del'équipe sont entrés surlesdomaines d'appliations suivants :
lamodélisationnumérique deséoulementsdeuidesenmilieuporeux,aveappliations
auxproblèmes d'environnement ou àlasimulation de réservoirs pétroliers,
l'inversionsismique,
lamodélisationnumérique enneutronique.
La plupart de es appliations néessitent de grandes ressoures de alul, et fournissent
des exemples naturels pour utiliser le alulparallèle. Le projet s'intéresse don aux aspets
algorithmiques (déomposition de domaines), ainsi qu'à la mise en ÷uvre eetive de es
méthodes surdiversalulateurs parallèles.
Un aspetimportant de l'ativité duprojet provient de e que lesproblèmes d'estimation
de paramètres sont le plus souvent formulés sous forme de problèmes d'optimisation ave
ou sans ontraintes. Le projet herhe don aussi à développer les tehniques d'optimisation
numérique pour les problèmes de grande taille. Outre les appliations mentionnées i-dessus,
ette disipline touhe aussi à d'autres domaines qui varient d'année en année; mentionnons
la oneption optimale de verres ophtalmiques, le traitement numérique des prols d'indie
danslesbresoptiques,l'optimisation deformesaérodynamiques,lamiseaupointdemoteurs
thermiques pour l'automobile, latariation dansles réseauxde téléommuniation.
3 Fondements sientiques
3.1 Problèmes inverses
Mots lés : problème inverse,estimation de paramètre, moindres arrés.
Glossaire :
Problème mal posé Problème dont la solution n'existe pas, ou si elle existe, n'est pas
unique oune dépend pasdefaçon ontinue desdonnées
MoindresarrésOnherhe àminimiserl'erreur quadratiqueentrelesmesuresréelles et
lesquantitésorrespondantesalulées par le modèlepour divers jeuxde paramètres
Résumé : Un problème inverse, ou d'estimation de paramètres, onsiste à re-
herher les oeients d'une équation aux dérivées partielles, à partir demesures
sur sa solution. Une formulation aux moindres arrés utilisant les tehniques de
ontrle optimalest une façon naturellede poser e problème.
Les problèmes inverses sont typiquement mal posés, e qui donne une grande
importaneà leurformulation.D'autresdiultés spéiquessontduesàla grande
taille des problèmes renontrés, au alul exat du gradient de la fontionoût, au
3.1.1 D'où proviennent les problèmes inverses?
Considérant une équation aux dérivées partielles ou un système de telles équations, le
problèmediretonsisteàalulerlasolution,onnaissantlesoeientsetlestermessoures.
Cependant, es oeients et es termes soures sont souvent mal onnus. Pour terminer la
modélisation,ilfaut donenore résoudreleproblèmeinverse:étant donnéesdesmesuressur
uneobservationdelasolution,aluleruneestimationdesoeientset/oudestermessoures
del'équation oudu systèmed'équationsonsidéré.
La lasse de problèmes onsidérés atuellement porte essentiellement sur l'estimation de
oeients. Ceux-ipeuvent dépendresoit delavariabled'espae,soitdutemps, soitêtredes
fontionsdelasolution(non-linéaritésdel'équation).Leproblèmed'estimationdeparamètres
est formulé omme un problème de minimisation au sens des moindres arrés, la variable de
minimisation étant le veteur desparamètres à estimer, et la fontion à minimiser étant une
évaluation ennorme L 2
dela diéreneentre l'observation alulée par lemodèleave un jeu
donné de paramètres et elle mesurée eetivement. Dans les problèmes abordés le nombre
de paramètres sera grand (d'une vingtaine à un million), e qui onduit à l'utilisation pour
l'optimisation deméthodesitératives de type gradient utilisant l'étatadjoint.
3.1.2 Diultés des problèmes inverses
Les problèmes inverses, tels qu'ilsviennent d'être rapidement dérits, présentent de nom-
breuses diultés liées à leur non-linéarité, à leur taille, au fait qu'ils sont très gourmands
en temps de alul et qu'ils sont souvent mal posés. Ils se formulent omme des problèmes
d'optimisation, souvent de grandetaille.
Depuis les travaux de J.-L. Lions et de G. Chavent au début des années 70 montrant
omment résoudre les problèmes d'estimation de oeients par les tehniques de ontrle
optimal,lesavoir-faireaonsidérablementévoluéetonpeutaujourd'huiidentierlesdiretions
dereherhe suivantesomme essentielles :
Choixdelaformulation:suivantlafaçondontestformuléleproblèmeinversehoixdes
paramètresàestimer,hoixdelafontionnelleàminimiserleproblèmedeminimisation
assoiéestplusoumoinsbienposé.Unebonneompréhensionduproblèmephysiqueest
néessairepour faireles bonshoix.
Choix de la paramétrisation : 'est souvent un problème non trivial de hoisir la re-
présentation disrète des paramètres à estimer. Ce hoix a aussi une inuene sur le
onditionnement duproblèmedeminimisationassoiéetsurl'unimodalitédelafontion
oût, ommel'a montrélesuèsdesparamétrisations multi-éhelles.
Génération automatiquede logiiels:l'érituredeprogrammesalulant legradientpar
laméthode de l'étatadjoint esttoujours longue etlaborieuse, alors queette proédure
pourraitêtre automatisée.Deuxvoies,s'appliquantàdessituationsdiérentessontpos-
sibles : génération automatique simultanée des programmes de alul de la fontion à
minimiser et de son gradientainsi le programme Gradj érit en Maple et développé
au sein de Ident etEstime, ou générationdu seul programme de aluldu gradient à
partir d'un programme déjà existant de alulde lafontion à minimiservoie hoisie
quanddegrosprogrammesdealulexistentdéjà,alorsquelapremièreestplusadaptée
quandlesimulateur peutêtreréérit.
Eaitédanslarésolutionduproblèmediret:danslesproblèmesquenousonsidérons
la résolution du problème diret est très oûteuse. On doit don herher à améliorer
les tehniques de résolution de e problèmeamélioration des méthodes numériques,
utilisationdu parallélismeou àutiliser desmodèles simpliés.Une partie dee travail
estfaitendehorsduprojet(parexemple dansleprojetOndespour lasismique,etdans
leprojetAladin pourl'algèbre linéaire).
Identiabilité :laquestion se posetoujours, de façon théorique etpratique, de savoirsi
les mesures sont susantes pour estimer les paramètres que l'on herhe, et omment
l'inertitude sur les mesures se réperute sur les paramètres estimés. Les questions de
stabilité et d'identiabilité sont don au ÷ur de l'estimation de paramètres et sont
intimement liées auhoix de laparamétrisation.
Optimisation:lesproblèmes inversesseramenant à desproblèmes d'optimisation, ilest
néessaire d'avoir à sa disposition des méthodes d'optimisation eaes adaptées aux
diultésde sesproblèmes,enpartiulier non-linéarité,grandetaille,oûtimportant de
lafontionà minimiser.
3.2 Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles
Mots lés : élément ni, volume ni, alulparallèle,déomposition dedomaine.
Glossaire :
Déomposition de domaineTehnique de résolution d'un problèmequi onsiste àpar-
titionner sondomaine de dénitionenplusieurs sous-domaines.
MPI,MessagePassingInterfaeSpéiationd'unebibliothèquestandardpermettant
de faire ommuniquer des proessuss'exéutant sur des proesseurs diérents d'une mahine
parallèle.
Résumé: Lesméthodesdedisrétisationappropriéespourlesproblèmesenmilieu
hétérogène sontlesvolumes nisentrés sur lesmailles etleséléments nismixtes
ou mixtes-hybrides.Lesméthodes dedéomposition de domainesans reouvrement
permettent dedéomposer ledomaine dealul ensous-domaines surlesquels sont
dénisdesmodèlesphysiquesdiérents.Lamiseen÷uvreparallèleestunenéessité
pour les problèmes degrande taille.
3.2.1 Éléments nis et volumesnis
Les méthodes de volumes nis entrés sur les mailles sont partiulièrement adaptées aux
problèmes où les oeients varient beauoup. C'est le as, en partiulier, des problèmes
onernant les éoulements en milieu poreux. Ainsi la omposante normale vitesse de Dary,
~
u= K
~
gradP, reste régulière même lorsque la perméabilité absolue K varie beauoup, pour
satisfaire les propriétés de onservation des diérents uides (phases). Cette situation se re-
trouvedansd'autresappliationsommeladiusionneutronique oulessemi-onduteurs. En
permettentd'obtenir de bonnesapproximations delavitesse deDary,même lorsque K varie
beauoup, toutenrespetant lespropriétés deonservation auniveaude lamaillede disréti-
sation.
Lesméthodes d'éléments nis mixtessont une généralisation de es méthodesde volumes
nisentréssurles maillesqui,s'appuyant surdesformulationsvariationnelles, ont permis de
traiterle asdes maillages non-struturés utilisant des maillestriangulaires ou tétraédriques.
LesélémentsnismixtesontpermisaussidetraiterleasoùK n'estplusniunoeientsa-
lairenimêmeunematrie diagonale,maisunematriepleine endimension2ou 3.Cependant
esméthodessont plusoûteusesqueles méthodesde volumesnispuisqu'ilfaut résoudreun
systèmelinéaire pour déduire lavitesse ~u de lapression P.Deplus, étant plus abstraitesar
baséessurla formulationvariationnelle,es méthodesont moinsd'attrait pour les physiiens.
Unediretiondereherheprometteuseexploréeatuellementonsisteàherherdestrans-
formationsalgébriquespermettantdealuleruneapproximationmixteenutilisant seulement
desinonnues de type volume ni, e qui permetde onilierla souplesse de l'approximation
mixteetl'eaité numérique desvolumesnis.
3.2.2 Déomposition de domaines
Lesméthodesdedéompositiondedomainespeuventêtreutiliséesenvued'uneimplémen-
tation parallèle eae, mais elles peuvent être aussi un outil pour assembler des domaines
danslesquelsdesmodèles physiquesdiérentsdoivent êtreutilisés.
Pour leséoulementsnisenmilieuxporeux,onpeut êtreainsiamenéàutiliserunmodèle
monophasiquedansunepartiedudomainequiestsaturée,unmodèlediphasiqueoutriphasique
dansune région quiestnon-saturée, unmodèledouble porosité làoùlemilieu estfraturé,et
desfailles peuvent traverser lemilieu.Parfois,même silemodèlenehange pas,unevariation
brusque du milieuhangement de type de roheintroduit des onditions de transmission
non-standardsurl'interfae.
Pour egenredeproblèmes,lesméthodesdedéompositiondedomaine sansreouvrement
sontappropriées.Ellespermettentde faireoïniderlessous-domaines dealulaveles sous-
domaines physiques. Évidemment, es méthodes doivent pouvoir utiliser des pas de temps
loauxarleséhellesdetempsassoiéesauxdiérentssous-domainespeuventvarierbeauoup.
3.2.3 Calul parallèle
Commeelaa étésoulignéplushaut,aussibienlesproblèmes inversesquelamodélisation
enmilieuporeuxsontdegrosonsommateursdealul.Ilestdonnatureldesetournerversles
tehniquesutilisant le alulparallèle, tant pour réduirele temps de alul, quepour aéder
àune mémoire plusimportante.
Une lasse de méthodes générales pour obtenir des algorithmes parallèles pour la réso-
lution d'équations aux dérivées partielles sont les méthodes de déomposition de domaine.
Ces méthodesont étéétudiées de façon intensive dansle as des problèmes elliptiques. Elles
onstituent atuellement le moyen le plus général d'obtenir des appliations portables et e-
aessur une large gamme d'ordinateurs parallèles. Leur miseen ÷uvreeetive est failitée
d'appliationdans diérentesdiretions :
Pour la simulation d'éoulements en milieu poreux. Il s'agit d'adapter la méthode à
desproblèmes ave desonditionsde raord non-standards surl'interfae,par exemple
onditionsde disontinuité, onditionsnon-linéaires, onditions non-loales.
Pourlealulderitiitédanslesréateursnuléairesquiseformuleommeunproblème
auxvaleurspropresnon-symétrique.Nousproposonsd'étendreàeproblèmelaméthode
desynthèsemodalequin'aétéutiliséejusqu'iiquedansleasd'opérateurssymétriques.
Pour lasimulationdelapropagationdesondespar desméthodesd'élémentsnis.L'uti-
lisation des éléments d'ordre élevés développés au sein du projet Ondes onduit à une
méthode expliitepour laquellelamiseen÷uvreestplussimple quepour lesproblèmes
stationnaires.
3.3 Méthodes numériques en optimisation
Mots lés : optimisation sousontraintes, algorithmede pointsintérieurs, algorithmede
quasi-Newton, diérentiation automatique.
Glossaire :
Algorithmes de points intérieurs Méthodes numériques d'optimisation adaptées à la
résolution des problèmes soumis à un grand nombre de ontraintes d'inégalité. Dans ette
approhe,les itérés sont maintenus dansl'intérieur du domaine admissible. Onles qualie de
non-linéaires s'ils sontonçus pour résoudredesproblèmes nonlinéaires.
Méthodes de quasi-NewtonMéthodesnumériquesd'optimisation permettant de ons-
truire une approximation d'un hessien à partir des dérivées premières. Celles-i permettent
d'éviter le aluloûteux des dérivées seondes et d'aélérer la onvergene des algorithmes
dupremier ordre.
Diérentiation automatiqueMéthodesnumériqueset informatiquespermettant degé-
nérerunprogrammealulantenunpointlesdérivéesd'unefontionquin'estonnuequepar
ladonnéed'unautre programme informatique.
Les problèmes inverses ou d'estimation de paramètres onsidérés dans le projet Estime
seformulent en général ommedesproblèmes d'optimisation d'une fontionnellede moindres
arrés. C'est pourquoi il existe dans le projet une ativité de reherhe dans le domaine de
l'optimisation.
En termesgénéraux, on s'intéresseaux méthodes numériquespour résoudreles problèmes
qui reviennent à minimiser un ritère salaire x2R n
7!f(x)2R, les variablesà optimiser x
devant éventuellement vérier desontraintes d'égalité
E
(x)=0 et d'inégalité
I
(x)0,où
E : R
n
! R m
E
et
I : R
n
! R m
I
. Nous nous plaçons dans le ontexte de l'optimisation
diérentiable, où lesfontionsf,
E et
I
sont régulières, par exemple delasse C 1
.
3.3.1 Algorithmes de pointsintérieurs non-linéaires
Les méthodes de points intérieurs (PI) sont réemment apparues omme pouvant of-
frir une approhe intéressante pour résoudre des problèmes d'optimisation non-linéaires ave
(minimisationd'unritèrelinéaire sousdesontraintes anes).Ellesontdonné lieuàdenom-
breusesétudes aprèsqu'à lasuite destravaux de Karmarkar on aitmontréqu'elles pouvaient
êtrebeauoupplus eaesque l'algorithmedu simplexejusqu'alors utilisé, notamment lors-
qu'ilyaungrandnombrede ontraintes d'inégalité. Lesalgorithmesadaptés àl'optimisation
linéairesont à présent bienstabilisés.
LessuèsremportésparlesméthodesdePIenoptimisationlinéaireaveungrandnombre
deontraintesontonduitdenombreuxherheursàétendrelesoneptsdebasedel'approhe
àd'autrestypesdeproblèmesd'optimisation.Cesdernièresannées,d'importantseortsontété
fournispour développerestehniquesen optimisationsemi-déniepositive(ritèrelinéaireet
ontraintesdesemi-déniepositivitésurlavaleurmatriiellepriseparuneappliationanedes
inonnues), enoptimisation sousontraintes oniques(généralisationdu problèmepréédent),
enoptimisation onvexe,et ...
L'appliation de l'approhe par PI aux problèmes d'optimisation non-linéaires généraux
est plus réente et onstitue une part importante de nos reherhes. Ces problèmes sont très
diiles à résoudre, d'une part du fait des ontraintes d'inégalité (pare que l'on ne sait pas
à l'avane quelles vont être les ontraintes
i
, i 2 I, qui seront nulles on dit atives en
la solution) et d'autre part du fait de la non onvexité éventuelle de es problèmes. L'ap-
prohe par PI repousseastuieusement à l'inni lapremière diulté, en introduisant un
paramètre > 0 perturbant les onditions d'optimalité, là où la ombinatoire du problème
s'exprime (dans les onditions de omplémentarité). On fait tendre elui-i progressivement
verszéro,pourforerlesitérésà serapproherdelasolution.Cettetehnique permetdon de
maîtriserlaombinatoire intrinsèquedeesproblèmes, liéeà ladéterminationdesontraintes
atives. La seonde diulté est pluslassiquement surmontée par l'utilisation de tehniques
quasi-Newtoniennesoud'une approhe ombinant région de onaneoureherhe linéaireet
gradient onjuguétronqué.
Le projet développe deux odes d'optimisation non linéaire généralistes fondés sur ette
approhe : l'un utilise la reherhe linéaire (opinel, voir la setion 5.5.1), l'autre les régions
deonane (voir lasetion5.5.2).
3.3.2 Autres méthodes numériques
Danslarésolution desgrandsproblèmes, lealuldesdérivéespremières etseondesreste
une diulté importante, malgré les progrès réalisés en diérentiation automatique. En op-
timisation, les méthodes de quasi-Newton ont été onçues pour permettre de onstruire une
approximation d'unhessienà partirdegradientsalulés en divers points. Onomprend bien
eneetquelavariationdu gradient lorsque l'onpassed'unitéréàl'autre donnede l'informa-
tionsurlesdérivéesseondes.Cettetehniquequis'estbeauoupdéveloppéedanslesannées70
et80ontinueàêtreétudiéepours'appliqueràdesontextespartiuliersounouveaux.Citons:
l'optimisation sur lesvariétés,
les méthodesdepointsintérieurs,
lesproblèmes demoindres-arrésnonlinéaires(pour approherlesdérivéesseondesdes
résidus etaélérer ainsil'algorithme de Gauss-Newton),
génération dynamiquede préonditionneurs quasi-newtoniens danslarésolution de sys-
Ave la diérentiation automatique, on herhe au ontraire à mettre à la disposition du
numériiendesoutilsluipermettantdealulerlesdérivées,enpriniped'ordrequelonque,de
manièreeaeetpréise,d'unefontionquin'estonnuequeparunprogrammeinformatique.
On distingue un mode diret et un mode inverse de diérentiation. Le mode diret est bien
adapté au alul des dérivées diretionnelles d'une fontion à valeurs vetorielles. Le mode
inverse peutêtrevuommeune automatisationde latehnique del'étatadjoint.Ilpermetde
aluler toutes les dérivées partielles formant le gradient d'unefontion àvaleurssalaires en
untemps qui est dumême ordre queelui néessaireàl'évaluation de lafontion.Il est don
intéressant en optimisation où legradient estl'objetnumérique debase.
4 Domaines d'appliations
4.1 Inversion sismique
Partiipants : Guy Chavent,FrançoisClément, Jean-MarCognet, J.Charles Gilbert,
MihelKern,Benoît Lavaud,Claire Leleu.
Mots lés : sismique, problèmeinverse, migration.
Glossaire :
MBTT, Migration-Based TravelTime Nomde laméthoded'inversionsismique déve-
loppée à l'Inria-Roquenourt. Après séparationdes propriétés de propagationetde réexion
dans les paramètres reherhés, laméthode MBTT onsiste essentiellement en l'introdution
d'une inonnue de réetivité en temps de parours reliée à la réetivité en profondeur par
une étapede migration.
Migration Opération onsistant à estimer une image de laréetivité en profondeur du
sous-solàpartirdesdonnéesdesismiques-réexionenréalisantuneinversionlinéaireapprohée
del'équation desondes. Elle dépend d'une hypothèse surlepropagateur danslemilieu.
Propagateur Inonnue représentant la partie lisse du paramètre vitesse de propagation
desondes, 'est-à-diresesomposantes bassesfréquenesspatiales.
Résumé : Les reherhesdu projetontpourbut d'automatiserautant quepossible
l'inversionsismique. Ellessontfondées surla méthodeMBTTassoiée à diérents
modèles de propagation :équation des ondes aoustiques, approximation paraxiale,
méthode de rayons.
L'inversion sismique onsiste à onstruire une image du sous-solà partir de la mesure en
surfae de laréponsede e sous-sol à des ébranlements sismiques. Ces réponses représentent
laréexiondes ondessismiquessurles interfaesentreles ouhesgéologiques (réeteurs).
L'état atuelde l'artdel'ingénieuronsiste àfaireuneinversionmanuelle desdonnées
sismiques, manuelle signiant simplement qu'il n'y a pas d'algorithme onduisant automa-
tiquement à la solution du problème inverse. Par ailleurs, il est ertain que es méthodes
renontrent de grandesdiultés quandlagéométrie estompliquée ou dansleasdes fonds
marins(problème desréexions multiples).
L'inversiondedonnéessismiquesest,apriori,unaspartiulierd'estimationdeparamètres
point du sous-sol, e qui donne ainsi l'image herhée de e sous-sol. Mais, à la diérene
de nombre de problèmes d'estimation de paramètres, dans la pratique, l'inversion sismique
n'estpasengénéralunproblèmemal poséausenshabituel,arlesdonnéessont extrêmement
redondantes. En eet, une fois que l'on a fait une hypothèse sur la vitesse ave laquelle les
ondes aoustiques se propagent dans le sous-sol, en utilisant un opérateur de migration, les
donnéesenregistrées pour haque tir permettent d'obtenir une image stabledu sous-sol,mais
limitée à la zone illuminée par le tir onsidéré. Ces images ne sont aeptables que si elles
se superposent bien d'un tir à l'autre, e qui n'a lieu que si l'hypothèse faite au départ sur
lavitesse est orrete. C'est la détermination de ette vitessede migration qui onstitue
la diulté prinipale de l'inversion sismique : il s'agit d'arriver à mettre en ohérene les
nombreusesimagesomplexesdusous-solobtenuesàpartird'uneampagnesismique pouvant
omporter plusieurs entainesde tirs.
La formulation standard par moindres arrés est ineae pour la détermination d'une
vitessedemigration satisfaisanteardenombreux minimaloauxrendentimpossibleladéter-
minationduminimum globalpar desméthodesd'optimisationloales.Lenombred'inonnues
déterminant (la partie lisse de) la vitesse (quelques entaines à quelques milliers) et le oût
d'uneévaluationduritère(quinéessitelarésolutiond'uneéquationdesondespartir)limitent
beauoupl'intérêt desalgorithmesd'optimisation globale.Onest dononduit àherher des
reformulationsduproblèmesuseptiblesd'êtrerésoluespardesméthodesd'optimisationloale.
La reformulation MBTT (Migration-Based TravelTime), développée préédemment dans
leprojet Ident, a montré sa apaitéà élargir de façon spetaulairele domaine d'attration
duminimum global (travauxde F. Clément, R.-E. PlessixetB.Lavaud).
Cestravauxétaientsoutenusdepuis1995parl'industriepétrolièresouslaformeduonsor-
tium SIGMA. Malheureusement les onentrations intervenues dans e milieu (aquisition
d'Amoo par BPetd'Elf par Total Fina)ont amené àarrêter e onsortium début 1999.
Les axes de reherhe atuels portent sur l'exploitation des possibilités ouvertes par es
travauxenvuedetraiterdesdonnéesplusomplexes(priseenomptedesmultiples,inversion
3-Ddu fond de l'eau), en ollaboration ave Ifremer (Y.-H. de Roek). Une ation de onseil
s'estdéveloppéeauprèsdel'IFPàproposdelaontinuationenprofondeurdedonnéessismiques
desurfae (post-dode B. Lavaud).
4.2 Imagerie érébrale
Partiipants: GuyChavent, François Clément.
L'imagerie érébrale estun nouveau domaine d'appliation du projet. Il est développé en
ollaboration ave les projets Ondes et Robotvis,le Cermis, l'U.T.C. et des partenaires du
milieuhospitalier dansleadred'Ationsde Reherhe Conertées(3D-MEG 1
etMC2),ainsi
quedel'AtionConertéeInitativeProblèmesdiretsetinversesenEEGetMEG:Théorie,
algorithmiqueetvalidation surdesasd'épilepsie .
Le problème inverse onsiste ii à retrouverles densités de ourant qui sont à l'origine de
l'ativitééletromagnétiqueduerveau.Il estalors trèsimportant derégularisere paramètre
1
en en préservant les disontinuités, ainsi que de le ontraindre de manière raisonnable
anatomiquement àpartir d'imagerie par résonanemagnétique(IRM).
L'idée diretrie est d'adapter les tehniques issues du ontrle optimal développées pour
l'inversionsismique:enpartiulier, laminimisationparoptimisationloaled'unefontionnelle
d'éartauxdonnéesdontlegradientestaluléparétatadjoint.Lesindiateursderanement,
proposés par Ben Ameur, Chavent et Jaré
[BCJ99 ℄
, donnent une approximation du premier
ordre de l'eet sur les mesures de l'ajout de degrés de liberté au jeu ourant de paramètres.
Le problèmedu bruit surles mesures estabordépar laméthode SOLA, proposée par Bakus
et Gilbert [BG68 ℄
, qui repose sur la onstatation de l'antinomie entre la reherhe de l'eet
minimum du bruit de mesure sur les paramètres estimés et une bonne résolution spatiale de
ette estimation.
4.3 Eoulement et transport en milieu poreux pour les problèmes
d'environnement
Partiipants : Clarisse Alboin, Hend BenAmeur,Guy Chavent, JérmeJaré,Jean
Roberts 2
,Xueweng Wang.
Mots lés : éoulement en milieuporeux,hydrogéologie, pollution, environnement,
simulationde réservoir pétrolier, élément ni, volume ni,déompositionde domaine,
problèmeinverse.
Résumé : Les problèmes d'hydrogéologie sont des problèmes d'éoulement enmi-
lieu poreux dont la physique peut être très ompliquée. L'objetif du projet est la
miseaupointdetehniquesperformantespourdetelsproblèmes,enpartiulierdes
méthodes basées sur les éléments nis mixtes et la déomposition de domaine sans
reouvrement. Lesproblèmesd'estimationde paramètres sontaussi très importants
ar on n'a aès à la onnaissane du sous-sol que très loalement.
La réation réente du projet Estime orrespond à un redémarrage de la modélisation
numériqued'éoulementsenmilieuporeuxenprivilégiantlesproblèmesd'environnement,alors
quedanslepassé,l'aent avaitété surtout mis surlesproblèmes deréservoirs pétroliers.
Notre reherhe danse domaine est orientéeprinipalement suivant trois diretions. Une
première diretion onerne la mise au point de tehniques numériques performantes pour
traiterdesproblèmes àlaphysique deplus enplusompliquée. Vu learatère hétérogènedu
sous-sol,il s'agit d'assoier domaines de aluletrégionshomogènes etde oupler l'ensemble
grâeauxméthodesdedéompositiondedomaines, ave éventuellementutilisation d'éléments
joints quand les maillages ne se raordent pas. Une deuxième diretion onerne la modéli-
sation des milieux fraturés. Ces deux sujetsfont l'objet d'une ollaboration ave J. Roberts
2
ProjetOndes
[BCJ99℄ H.BenAmeur,G.Chavent,J.Jaffré,Ranementetdéranementdeparamétrisationpour
l'estimationdeondutivitéshydrauliques, Rapport de Reherhen o
3623,Inria,Roquenourt,
Frane,1999, http://www.inria.fr/RRRT/RR-362 3.htm l.
[BG68℄ G. Bakus,F. Gilbert, Theresolvingpowerofgrossearthdata, Geophys.J.R.Astr. So.
du projet Ondes. Enn nous mentionnerons omme troisième diretion de reherhe le pro-
blème de l'estimation des oeients apparaissant dans les modèles : perméabilité absolue,
perméabilitésrelatives, pression apillaireà partir desmesures disponibles.
Surlamodélisationdireteommesurlesproblèmesinversesuneollaborationsuivieexiste
aveP.AkereretR.Mosédel'InstitutdeMéaniquedesFluidesdel'UniversitéLouisPasteur
àStrasbourg.
4.3.1 Transport de radionuléides autour d'un site de stokage profond
Un projet à long terme onsiste à onstruire un modèle numérique du déplaement des
radionuléidesdanslesous-solautourd'unsitedestokageprofonddedéhetsnuléairesdans
leadred'étudesdirigéesparl'Andra(AgeneNationalepourlesDéhetsRadioatifs,J.Jaré
faitpartie desonConseil Sientique). Le déplaement est detype misible(uneseule phase)
arles radionuléides sont dissous dans l'eau. Celaonduit à un système ouplé de plusieurs
équations de type diusion-onvetion, modélisant le transport de haun desradionuléides,
etd'uneéquation elliptique,alulant lehampdesvitesses de Dary.Évidemment, le milieu
onsidérén'est pashomogène etesten faitomposé dediversesouhesgéologiques. Deplus,
ilfaut prendre en ompte laprésene de fratures quisont, dans lesas qui nousintéressent,
desmilieux poreux bidimensionnels de grande perméabilité. Sies fratures ne sont pastrop
nombreuses, on les modélisera individuellement. Lorsqu'elles sont trop nombreuses on doit
avoir reoursàdes modèles appropriés(modèlesà double porositépar exemple).
Les méthodes de déomposition de domaines sans reouvrement sont pour nous surtout
unmoyen de oupler les modèles diérents utilisés dans les diérentes parties du domaine, y
ompris les fratures les plus grandes. Elles doivent être assoiées aux méthodes d'éléments
jointspourpermettred'assoierentreeuxdessous-domainesdontlesmaillagesneseraordent
pas. Enn, les éhelles de temps pouvant être très diérentes suivant les sous-domaines, les
tehniques de pas de temps loaux doivent être utilisées. Rappelons à e propos que l'ordre
degrandeur deladurée d'unesimulationpour leproblème onsidéréest ladizainedemilliers
d'années.
4.3.2 Déplaements diphasiques
Malgré sa relative simpliité physique, le modèle des déplaements diphasiques en milieu
poreux reste un problème modèle très intéressant. Dans leas inompressible, il seramène à
une équation de diusion-onvetion non-linéaire dont leterme de diusion dégénère ouplée
àune équationelliptique.
On s'intéresse au as d'un milieu hétérogène où les hétérogénéités se traduisent par des
disontinuités dans les non-linéarités du système au passage d'un type de rohe à l'autre.
Cependant ertaines quantités restent ontinues (omposante normale des vitesses de Dary
et pression de haune des phases, pression apillaire) alors que d'autres sont disontinues
(saturationetpressionglobale).Celaonduitnaturellement àl'utilisation detehniquesdedé-
ompositiondedomainessansreouvrementnon-linéairesetavedesonditionsauxinterfaes
Pour ladisrétisation, les méthodesde volumesnis basées surles élémentsnis disonti-
nus etles éléments nismixtes-hybrides sontpartiulièrement appropriées. Danse adre, on
utilisera des méthodes de déomposition de domaine sans reouvrement. Là enore, on étu-
dieral'utilisationdepasdetempsloauxappropriésàlaphysiquedesdiérentsdomaines.Les
tehniques étudiées devront être assez robustes pour permettre le passage au as limite sans
diusionapillaire.
4.3.3 Identiation de ondutivités hydrauliques dans un aquifère
Commeiln'estpaspossibled'avoiruneonnaissanediretedesondutivitéshydrauliques
dansunmilieusaturéeneau,ilestnéessairedelesestimeràpartirdesmesurespiézométriques
disponibles en un ertain nombre de puits. Il s'agit en fait de l'estimation du oeient de
diusiondansuneéquationparabolique.Onutilisepour elauneméthodedemoindresarrés.
Cependant, d'une part le nombre de mesures est très insusant pour estimer une valeur
deondutivité par maille, maisd'autre parte oeient esten réalitéonstant par zoneen
raisondelagéologie,leszonesn'étantpasonnues.Pourentenirompte,diérentesapprohes
sont possibles. Par exemple, on peut régulariser la fontion à minimiser par la norme L 1
du
gradient du paramètre à estimer, omme ela a été proposé par K. Kunish. Des tehniques
semblablessontutiliséesentraitementd'images.Uneautrefaçondeproéderonsisteàutiliser
des indiateurs de ranement introduits par G. Chavent et qui permettent de déouper le
domaineenunnombreminimumdezonesoùlesparamètressontonstants.Cesindiateurs
sont alulés à partir du gradient de la fontion à minimiser, onsidérée omme dépendant
d'un paramètrepar maillede disrétisation;legradient étant alulépar laméthode del'état
adjoint.
4.4 Quelques appliations de l'optimisation
Partiipants : François Courty 3
,Alain Dervieux 3
,J.Charles Gilbert,XavierJonsson.
Mots lés : verres ophtalmiques, formesaéronautiques, bresoptiques,moteurs
thermiques devoiture.
Résumé : Les appliations de l'optimisation sont très nombreuses. Outre l'esti-
mation de paramètres, la ommande optimale et l'optimisation de forme sont des
soures importantes de problèmesd'optimisation.
Les appliations de l'optimisation sont nombreuses, variées et onstamment renouvelées.
La démarhe estsouvent lasuivante.Au départ, le modèledéritune situation où ils'agit de
déterminer un ensemble de paramètres de manière à minimiser un ritère. Le plus souvent il
s'agitde modèles en dimension innie.Après disrétisation(enespae et/ouen temps), on se
ramène àunproblèmed'optimisation ave ontraintes, endimension nie,de formestandard.
Outre les problèmes d'estimation de paramètres déjà mentionnés (en sismique et pour
les éoulements en milieu poreux), on présente quelques appliations en ours d'étude pour
lesquelleson trouvera desinformationsplus loin :
3
Laoneptionoptimaledeverresophtalmiquesprogressifs.Pouronevoirdesverresoph-
talmiques progressifs destinésà orriger lapresbytie, on est amenéà déterminerl'équa-
tiond'unesurfaeprogressive(plaéeengénéral surlafaeavant duverre) demanièreà
obtenir lespropriétésdeorretionpresritespourunporteurdonné (puissaneduverre
pourlavisiondeprèsetdeloin).Lagéométrie partiulièrede elle-ienfaitune surfae
asphérique etintroduit unastigmatisme desurfae,de même natureque l'astigmatisme
ornéen d'unporteur.Le ontrle de et astigmatisme estune tâhe importante lors de
laoneptiond'undesignprogressif.Celaonduitàunproblèmedemoindresarrésnon
linéaire ave ontraintes d'égalité et d'inégalité, où l'on herhe à minimiser les éarts
entre desgrandeurs de nature géométrique ou optiqueévaluées en ertains pointsde la
surfae progressive ou pour ertaines diretions de regard, et elles souhaitées pour le
verre optimisé.Cetravaila étéproposéparlasoiété Essilor(Saint-Maur-des-Fossés).
Pour plusd'information, voirlasetion6.3.
Optimisation de formesenaéronautique.
Traitement numérique des prols d'indie dans les bres optiques.Voirlasetion6.4.
Mise aupoint demoteurs thermiques de voiture. Voirlasetion 6.5.
Tomographie sismique.Voir lasetion6.6.
5 Résultats nouveaux
5.1 Eoulements en milieu poreux
Partiipants: ClarisseAlboin,Hend BenAmeur 4
,FadiBouhanna, Guy Chavent,
MagneEspedal 5
,Jérme Jaré,Mihel Kern,Vinent Martin,Roland Morel,JeanRoberts 6
.
Mots lés : fratures, doubleporosité, déompositionde domaine, problèmeinverse,
hangement d'éhelles.
5.1.1 Eoulements en milieu fraturé
L'éhelle onsidérée esttellequelesfraturesoufailles,onsidéréeselles-mêmesommeun
milieuporeuxdegrandeperméabilité,peuvent êtremodéliséesindividuellement.Lesfratures
sont alors représentées par des interfaes. Des tehniques habituelles de sous-struturation
(déompositiondedomainessansreouvrement)permettentalorsdeserameneràunproblème
surlesinterfaes.Toutefoisl'opérateurd'interfaeobtenuestnonstandardetmalonditionné.
C'est la somme d'un opérateur de type laplaien vivant uniquement sur l'interfae et d'un
opérateur nonloaldetypeSteklov-Poinaré.Desreherhesd'unpréonditionneureaese
sontalors avérées néessaires.
Des essais numériques ont montré desrésultats enourageants : en utilisant le ode déve-
loppé par Roland Morel pendant son stage [18℄ et sur une idée de Yves Ahdou 7
, Vinent
4
UniversitédeBizerte,Tunisie
5
UniversitédeBergen,Norvège
6
ProjetOndes
7
Martinaremarquéuneonvergenebeauoupplusrapideennepréonditionnantquelapartie
purement loalede l'opérateur.
De plus amples reherhes semblent néessaires pour onrmer théoriquement la validité
e préonditionneur.
Dans un travail ommun ave Magne Espedal, Jean Roberts, Jérme Jaré et Vinent
Martin ont étudié la validité du modèle présenté dans la thèse de Clarisse Alboin et l'ont
étenduau asoùla frature estremplaée par une barrièregéologique (faibleperméabilité).
Des testsnumériques onrment lavalidité du nouveau modèleave barrière.
5.1.2 Transport de ontaminants
Neumann-Neumann Dans le adre de son stage de DESS [18 ℄, Roland Morel a étudié le
omportement de l'algorithme de Neumann-Neumann. L'objetif était de tester le préondi-
tionneur de Neumann-Neumann ave équilibrage ( balaning Neumann-Neumann ) dansle
ontextedesmilieuxporeux.
IlaainsidéveloppéunodeMatlab2Dàpartirdeetalgorithmeavedessolveursparsous-
domainesutilisantdesélémentsnismixteshybrides.Lestestsqu'ilaeetuéssurunexemple
demilieu poreux fraturé sontonformesauxrésultatsthéoriques:ilsmontrent enpartiulier
l'utilité du solveur grossier quand le nombre de sous-domaine augmente, et d'autre part la
sensibilité modérée de la vitesse de onvergene par rapport à la forme du sous-domaine
( aspetratio ).
Déomposition de domaines ave maillagesnon raordés V.Martin apoursuivises
travauxdethèse sousladiretion deJ. Roberts etJ.Jaré.Lors desapartiipation àl'Eole
d'étéCemras 2001onsaréeauxproblèmesmulti-éhelles,ilaontribué,enpartenariat ave
S.Wagner 8
,àunprojetnanéparl'ANDRA.Le butdeeprojetétaitdevaliderl'utilisation
de la déomposition de domaines non onformes pour traiter le terme soure. Grâe à ette
tehnique on peuten eet opérer unranement loal autourdusite de stokage.
V.MartinaainsidéveloppéunodeéritenC++,utilisantladéompositiondedomaines2D
avemaillagesnonraordésetbasésurdesvolumesnisentréssurlesmailles.Lesonditions
d'interfae sont de type Robin-Robin. Un as-test de diusion de ontaminants autour d'un
site de stokage dansune ouhe d'argile, utilisant des oeients réalistes,a pu être mis en
÷uvre. Lesrésultatsontainsimontrélapertinenede ette approhe.
5.1.3 Modélisation de soure
Dans le adre d'un stage de maîtrise de l'université de Paris 11 (sous la diretion de M.
Kern),F. Bouhannaa étudiélamodélisationne d'unsite destokage de déhets radioatifs.
Untelsiteomporteungrandnombredemodules,haquemoduleétantlui-mêmeonstituéde
plusieurs onteneurs. Ilestdiile, pour nepasdireimpossible,deprendreen ompte haque
olis individuel dans une modélisation de hamp lointain , 'est pourquoi des tehniques
asymptotiques sont étudiées par A. Bourgeat (Université de Lyon). le but du stage était de
fournir unesolution de référeneprenant en ompte untraitement détaillé du site.
8
Nousavonsutilisé pour elalelogiiel Parssim,mis au pointà l'Université duTexas dans
l'équipe deM. Wheeler.Ce travaila ainsimisen évidenel'existene dedeuxomportements
diérentsselon quelasoure estativeou non :
Auxtemps ourts (la soure n'est pasative),haque olisestvisible individuellement;
Auxtempslongs(enfaitdèsl'arrêtdelasoure),onnevoitplusquelesmodules,equi
justielereoursaux tehniquesd'homogénéisation.
5.1.4 Problèmes hyperboliques non-linéaires
Lorsqu'onmodéliseleséoulementsdiphasiquesdansunmilieuàplusieurstypesderohes,
ennégligeantlaapillarité,onobtientuneéquationhyperboliquenon-linéaireaveunefontion
deuxdisontinueenespae.Cetteéquationavaitdéjàétéétudiéepourleasoù,àlafrontière
entre les deux types de rohe les fontions de ux ne se oupent pas. Ave Adimurthi et
Veerappa Gowda du Tata Institute à Bengalore, India, Jérme Jaré a étendu l'étude au
as où les fontions de ux se oupent, démontrant la onvergene d'une famille de shémas
numériquesde type volumesnis utilisantdes solveursde Riemann appropriés.
5.1.5 Paramétrisation Interative
La ollaboration ave Hend Benameur, de l'Université de Bizerte, s'est poursuivie sur e
sujetenvued'explorer leomportement de laméthode desindiateursderanement lorsque
seules desmesures partielles sont disponibles et que es mesures sont entahées de bruit. La
méthodeamontréunebonnerobustessedeesdeuxpointsdevue,etlesrésultatssontprésentés
dans un artile soumis à publiation, dont un preprint est disponible sous forme de rapport
Inria.
5.1.6 Identiabilité du oeient de diusion
Suite au travail eetué ave Karl Kunish, de l'Université de Graz, sur l'identiabilité
du oeient de diusion dans une équation elliptique bidimensionnelle, une première étude
d'uneméthode de régularisation adaptée a été eetuédans leadre de laollaboration ave
le LAMSIN de l'ENIT à Tunis (mémoire de DEA de Hadel Hamdi). On a ainsi pu prouver
queetterégularisationpermettaitd'assurerlastabilitéduoeient,etlespremiersrésultats
numériques onrment que ette régularisation rentre peu en onit ave les informations
apportéespar les données.
5.2 Inversion sismique
Partiipants: GuyChavent, François Clément, Jean-MarCognet, Claire Leleu,
Youssef Loukili.
Mots lés : estimation dela vitesse,estimation de lasoure,formulation entemps,
approximation paraxiale, lissage.
Lathèse de J.-M.Cognet,portant surl'inversiondedonnées sismiques2D,a étésoutenue
étendu l'opérateur de simulation Born+Raisà laprise en ompte des réexions multiples du
fond de l'eau, via l'introdution de deux nouveaux paramètres (bathymétrie etoeient de
réexion),destestsd'inversionont étéeetués surdonnéessynthétiques. Pour un oeient
de réexion supposé onnu, le shéma d'inversion onsiste à utiliser l'opérateur Born+Rais
pour identier dansunpremier temps labathymétrie, puis l'opérateur Born+Rais+Multiples
pour estimer le milieu devitesse puislasoure etlaréetivité. Lesrésultats obtenus ontété
présentés à la onférene SMAI 2001. J.-M. Cognet a ensuite prolongé son ontrat de trois
mois pour inverser des données réelles enregistrées par l'Ifremer à l'aide des nouveaux outils
numériques développés.
C.Leleuaterminésestravauxdethèsevisantautraitementdedonnéesdesismiquemarine
TrèsHauteRésolutionTriDimensionnelle(THR3-D) sousladiretiondeG.Chavent,F.Clé-
ment et Y.-H. De Roek. Ce projet est lié à la détermination des paramètres géotehniques
(positions dessouresetdesréepteurs) danslesdonnées. Laonnaissane de esparamètres
est non négligeable dans l'imagerie THR 3-D ar la préision requise liée à l'imagerie est de
l'ordredudéimètre. Laprise en omptedesvariations depositionsdesparamètres géoaous-
tiques, soumis à la houle, s'avère don non négligeable an de pouvoir mieux déterminer la
bathymétrie du domaine étudié. Comme première étape du traitement des données marines
THR 3-D, nousavons élaboré un simulateur, intégrant un masque de réetivité. Ce dernier
permet, non seulement de limiter la durée des temps de alul mais aussi de ne onsidérer
que les zones de réetivité ontribuant eetivement au aluldes solutions pour le modèle
de terrain donné (prise en ompte d'un angle de pendage maximal). Les solutions obtenues
ont été validées par omparaison ave les solutions analytiques 3-D dans le as d'un milieu
bi-ouhe homogène. Cette étape de validation a renforé la néessité de aratériser auto-
matiquement la disrétisation idéale à hoisir. La deuxième étape dite d'inversion vise à
estimer lesparamètres de réetivité etles oordonnéesartésiennes dessouresetréepteurs
(X) à partir des données. La minimisation de la fontion oût assoiée au problème se for-
mule au travers d'une étape de migration en profondeur et a été réalisée via un algorithme
d'optimisationitératifdegradientonjuguémoindresarrésCGLS(ConjugateGradientLeast
Squares). La reherhe du paramètre X, dit paramètres inématiques, est opérée au moyen
delaformulation MBTT(MigrationbasedTravel Time).Danslesouid'éonomiser letemps
de alul, nous avons mis en plae une paramétrisation de X :on onsidère les variations du
dispositif enfontion d'unensemble d'anglesde déplaement () liésàladiretion destirset
à la fore du ourant marin. C'est e nouvel ensemble de paramètres , moins volumineux,
qui est reherhé par minimisation de la fontion oût assoiée. Pour lever en partie la non
linéaritédu modèle par rapport auparamètre , un hangement de paramètre de réetivité
est réalisé dans le domaine en temps via l'approhe MBTT (Migration-Based TravelTime).
Cette approhe permet alors de reouvrer les paramètres inématiques lorsque la ouverture
dudomaine à imagerestsusante. Lareherhedesparamètres inématiques estréalisée par
une méthode de minimisation loale sous ontraintes (développée à l'Inria (m2qn1)). Des ré-
sultats signiatifs surdesdonnées synthétiquesont étéobtenus qui permettent de reouvrer
lapositiondudispositifd'aquisitionàréetivité onnueou lapositiondudispositifd'aqui-
sitionetlaréetivitéparminimisationsalternées.LeodeprinipalaétéréaliséenFortran90
etestportable(plateformes Alpha/Linux/SunOS).
H.DeRoek,estdepoursuivreledéveloppement desodesdeJ.-M.Cognetet C. Leleu,ainsi
que leur valorisation par des tests numériques sur des données réelles fournies par l'Ifremer.
Il a ommené par l'ériture d'une interfae adaptée à la leture et l'ériture de données au
formatSEG-Y, ouramment utilisé dansle domaine pétrolier.
5.3 Méthodes numériques pour la simulation aoustique
Partiipant : Mihel Kern.
Mots lés : élément ni, alulparallèle.
M. Kern a poursuivi un travail de validation du ode parallèle développé par P. Havé.
L'exempleutilisé est une modiation d'unmodèle del'IFP,etles aluls ont été réaliséssur
lagrappe de PC ICluster de l'INRIA Rhne-Alpes. Le maillage (qui omporte 3 millions de
tétraèdres),etlavisualisationdesrésultatsontétésréalisésave leslogiielsGHS3DetMedit,
duprojetGamma.
Fig. 1 À gauhe :solution àt=0:5 s,Àdroite :solutionà t=0:7 s
5.4 Méthodes numériques pour l'optimisation
5.4.1 Étude de heminsentraux en optimisation onvexe
Partiipants: J.Charles Gilbert, ClovisGonzaga,ElizabethKaras.
Danslesméthodesdepointsintérieurs(PI),lehemin entralestletraéquisertdeguide
auxitérésetlesonduit versunesolutionduproblème d'optimisation.Cehemin onverge en
eet,danslesbonsas,verslasolutionduproblèmeouunesolutionpartiulière(entreanaly-
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0
0.5 1 1.5
Fig. 2 Chemins entraux en forme
d'antenneou en zigzag
en optimisation linéaire, quadratique onvexe et en
programmation semi-dénie, permettant d'obtenir de
bons résultats de omplexité et de vitesse de onver-
gene. Nous avons montré [5 ℄, qu'en optimisation
onvexe,lasituation pouvaitêtre beauoupplus om-
plexe. Pour un ritère onvexe de lasse C 1
et une
ontrainte linéaire, le hemin entral peut être une
ourbe très irrégulière, présentant par exemple un
nombreinnidelaetsvenants'aumulersurunsous-
ensemble de solutions (le hemin entral ne onverge
don pasdanseas);voirlagure2.Dansessitua-
tions, il n'est ertainement pas intéressant de suivre
e hemin pour trouver un minimiseur ! La onvexité
n'est don pas une propriété susamment forte pour
pouvoirétendrelesbonsrésultatsde onvergene desalgorithmesdePIobtenuspourd'autres
lasses deproblèmes.
5.4.2 Méthodes de quasi-Newtonet de points intérieurs
Partiipant : J.Charles Gilbert.
Lesalgorithmesdepointsintérieursenoptimisationpeuventsevoirommedesméthodesde
pénalisation, dans lesquellesles problèmes pénalisés sont résolus par destehniques primales-
duales. Dans leur appliation à la résolution des problèmes non linéaires, on ne onnaît pas
de bonnesrègles dedéroissane du paramètrede pénalisation>0;les odesopérationnels
seontentent de le faire tendreverssavaleur limitenulle en ledivisant régulièrement par un
fateuronstant.Onappelle itérationexternel'ensembledesitérationsminimisantlafontion
pénalisée pourun termede pénalisation onstant (es dernières sont qualiéesd'internes).
Réemmentdiversesétudesontproposédesrèglesdedéroissanedequisonttellesqu'il
sut de faire une seule itération interne par itération externe. De plus les itérés onvergent
rapidement vers lasolution duproblème. La règle proposéedans
[GOST00℄
permetd'obtenir la
onvergene sous-quadratique. Nousavons montré quel'utilisation de ette tehnique dans la
version quasi-newtonienne des algorithmes de points intérieurs, dans le adre des problèmes
onvexes,permettaitd'obtenir laonvergene linéaire desitérés(rapporten préparation).
5.4.3 Préonditionnement quasi-newtonien en optimisation non-linéaire
Partiipants : J.Charles Gilbert, XavierJonsson.
Considérons leproblèmed'optimisation sansontrainte
minff(x):x2R n
g;
[GOST00℄ N. Gould, D. Orban, A. Sartenaer, P. Toint, Superlinear onvergene of primal-dual
interiorpointalgorithmsfornonlinearprogramming,MathematialProgramming87,2000,p.215
où f : R n
! R est une fontion numérique deux fois diérentiable. Dans les algorithmes de
Newton tronqué, les itérés sont alulés en résolvant une suite de problèmes quadratiques.
L'idéede seservir desinformationsreueilliesauoursdelarésolution desproblèmesquadra-
tiquespréédents pour onstruireun préonditionneurduproblèmequadratiqueourantn'est
pasnouvelle.Cettetehniqueestutilelorsquel'utilisateurnepeutpasfournirdepréondition-
neurnaturel. Nous l'utilisons aussi dansles odesd'optimisation généralistes que nous déve-
loppons(voirsetion5.5),enpartiulierdanslesméthodesdepointsintérieurs danslesquelles
leshessiensdesproblèmesquadratiquessontformésdequantitésprovenantdel'approhealgo-
rithmique('estlehessienréduitdulagrangienpénalisé),quin'ontpasdesigniationévidente
pour l'utilisateur.
Dans notre étude [2, 17℄, de nature théorique, nous nous sommes intéressés au as où le
préonditionneurestonstruit pardesmisesà jourquasi-newtoniennesde BFGSauoursdes
itérationsdegradient onjuguérésolvant lesproblèmes quadratiques etoùl'algorithmeutilise
desrégionsdeonane. Leshémadel'algorithmeestlassique,sien'est qu'unematrie de
préonditionnement variable, notée P
k
,intervient dansladénition delarégion de onane,
quiestl'ellipsoïde de R n
R
k
=fd2R n
: (d
>
P
k d)
1
2
k g:
Évidemment la forme de R
k
varie au ours des itérations, du fait de la mise à jour de P
k
etdu rayon de onane
k
.On onstruit ainsi une suite de normes sur R n
, assoiées à P
k ,
qui s'adaptent à la ourbure ourante de f et permet d'aélérer la onvergene de l'algo-
rithme. L'étude théorique de ette méthode demande de prendre en ompte lanature quasi-
newtoniennedupréonditionnement.Eneet,onnepeutpasarmerquelesnormesassoiées
auxmatriesP
k
soientuniformémentéquivalentesàlanormeeulidienne.Lapreuvedeonver-
genenepeutalorsêtredéduiteduaslassiqueoùl'équivalenedesnormesestsupposée.Nous
avons ainsi montré que l'algorithme qui vient d'être brièvement dérit assurela onvergene
verszérod'une sous-suitedesgradients(onvergene partielle).
Denombreux testsnumériquesont étéréaliséssur desproblèmes industrielstels queeux
del'optimisation desverresophtalmiquesprogressifs,ainsiquesuruneolletiondeproblèmes
de nature plus aadémique [2℄. Ils ont montré l'intérêt manifeste de l'utilisation de es pré-
onditionneurs BFGS. Il est en eet ourant de voir le nombre total d'itérations de gradient
onjuguédiminué de moitié, e qui est un gain de temps appréiable lors de la résolution de
grandsproblèmes.
5.4.4 Courbure, géodésiques et moindresarrés
Partiipants: GuyChavent, J.Charles Gilbert,PaulArmand.
De nombreux algorithmes de moindres arrés pour la minimisation de f(x) = kF(x)k 2
passent d'un itéré x au suivant en eetuant une reherhe unidimensionnelle dans une di-
retion y proposée par l'algorithme. Nous proposons deux nouveaux onepts pour tenter
d'amélioreretteétapealgorithmique,baséstousdeuxsurlapriseenomptedesinformations
surlagéométrie du hemin etdelavariétéimage quel'onpeutextrairede laonnaissane de
00
pas de ourbure : la onnaissane de la ourbure maximum sur le hemin t ! F(x+ty)
permetdedéterminersimplementunpast
ourbure
quigarantissequel'onn'apasdépassé
lepremier point stationnaire, etdonne une déroissanegarantie duritère.
déplaement géodésique : lorsquelejaobiendeF estdisponible,leremplaementdelare-
herhelinéaireparunereherhelelongd'unegéodésiqueapprohéepermetd'améliorer
ladéroissanegarantie par lepast
ourbure .
Les premiers résultatsnumériques (stage de Yves Laroque, Université Paris-Dauphine) mon-
trent que le remplaement, dans une méthode de Gauss-Newton, d'une reherhe linéaire de
typeArmijoparundéplaement géodésiqueassoiéàunpasdeourburedonneunalgorithme
trèsrobusteenprésenedefortesnon-linéarités.Cestravauxserontprésentésauongrès4iipe
àRioen Maiprohain.
5.5 Développement de odes d'optimisation
5.5.1 OPINeL : un ode d'optimisation de problèmes non linéaires par points
intérieurs et reherhe linéaire
Partiipants : AntonioFuduli,J.Charles Gilbert.
Nousavonsontinuerdepeaunerleode d'optimisationopinel [15 ,14℄, odegénéraliste
pouvant prendre en ompte ontraintes d'égalité et d'inégalité, fondé sur une approhe par
points intérieurs.Une versionopérationnelle devraitêtre disponible au début 2002.
Cette année nousavons introduit une tehnique permettant de traiter les problèmes ave
ontraintes d'égalité quasi-singulières (dont la jaobienne a des valeurs singulières presque
nulles). Leprinipe,dérivé desméthodesàrégionsdeonane, estd'imposerquelareherhe
linéairerebrousseheminenpassantparlepointdeCauhyassoiéauxontraintes. Cettemo-
diationa apporté uneamélioration notable desperformanesdu odedansles asdiiles.
L'extensionde ette approheaux inégalitésest àl'étude.
5.5.2 M4IP2 : un ode d'optimisation de problèmes non linéaires par points
intérieurs et régions de onane
Partiipants : J.Charles Gilbert, XavierJonsson.
Le ode M4IP2 implémente un algorithme de points intérieurs utilisant une tehnique de
Programmation Quadratique Suessive omme outil interne, globalisée par l'utilisation des
régions de onane. L'approhe algorithmique étend elle de Byrd et Omojokun au as où
le problème présente aussi des ontraintes d'inégalité. On utilise une approhe par points
intérieurs. La onvergene globale est étudiée dans
[BGN00 ℄
, et l'implémentation de e ode
est étudiée dans [2 ℄. M4IP2 onsiste en une programmation mixte MatlabFortran, an
d'obtenirunesolutionintermédiaireetexploratoireenvued'uneimplémentationfuture(prévue
ourant2002)dansunlangagedehautniveautelqueFortran90.Ceodedevraitêtreintégré
àla librairieModulopt del'INRIA.
[BGN00℄ R.Byrd, J.Gilbert,J. Noedal, Atrustregionmethodbasedoninteriorpointtehniques
Ce ode a été développé et testé autour d'une grande olletion de problèmes, de nature
àlafoisindustrielle etaadémique. La grandevariétédesproblèmes abordés apermisl'étude
et le développement de méthodes d'algèbre linéaire (à la fois dense et reuse) utilisées dans
la résolution de sous-problèmes propres aux méthodes à région de onane. Des méthodes
spéiques ombinant des approhes diretes (telsque des fatorisations LU partiulières) et
des approhes itératives ont été développées dans le but de traiter des problèmes de grande
tailletels queeuxdelaommandeoptimale etde l'optimisation deforme.Le odeM4IP2se
distingueaussiparl'utilisationd'ungradientonjuguépréonditionnédynamiquementparune
méthode de quasi-newton. Cette approhe est utilisée pour aborder des problèmes pratiques
oùlemauvaisonditionnement duproblème estfréquent.
6 Contrats industriels (nationaux,européens et internationaux)
6.1 Problèmes inverses en optométrie
Partiipants: GuyChavent, François Clément, Philippe Alkhoury.
Leontratave lasoiétéAuxitrol,spéialiséeen métrologieavioniqueetspatiale,portant
surl'estimationdesprolsdetempératureetdesonentrationsauseind'unjetdegazàpartir
de mesures spetrales du rayonnement, s'est ahevée en Mai par une inversion de données
réelles, qui a été validée par des mesures expérimentales de température. Ces travaux, en
ollaboration ave P.Hervé(UniversitédeNanterre àVilled'Avray)rentrent dansleadrede
lathèsede P. Alkhoury.
Unenouvelleétudeaommené etteannéeavel'établissement deGramat delaDGA.Il
s'agitiid'inverserdesdonnéesoptométriquesreueillieslorsdeladétonationdunitrométhane,
an de mieux omprendre le phénomène. La ontribution de l'Inria porte sur la réériture
mathématique des équations d'état, en partiulier une paramétrisation des températures par
une équation hyperbolique du premier ordre non linéaire, qui permettra de limiter fortement
le nombre de paramètres inonnus du modèle. Ces travaux viennent en appui de la thèse de
physique de V.Bouyer, préparée sous ladiretionde P.Hervé.
6.2 Transport de radionuléides autour d'un site de stokage profond
Partiipants: JérmeJaré,Jean Roberts 9
,Vinent Martin.
La thèse de Vinent Martin, dirigée par Jean Roberts, est soutenue par l'Andra (Agene
Nationale pour la gestion des Déhets RAdioatifs). Son sujet porte sur l'utilisation de mé-
thodesdedéompositiondedomainesenespaeetentempspourlasimulationdel'éoulement
etdu transportde ontaminants à grandeéhelle ave unesoure de petite dimension.
9
6.3 Coneption de verres ophtalmiques progressifs
Partiipants : J.Charles Gilbert, XavierJonsson.
Notre travail portesurledéveloppement etl'amélioration destehniques numériquespour
laoneptiondeverres ophtalmiques progressifs.Nousnousintéressonsaussibienàlamodéli-
sationdesproblèmesd'optiqueophtalmiqueexpriméssousformedeproblèmes d'optimisation,
qu'auxalgorithmesd'optimisationnumériquerésolvantesproblèmes.Cetravailaétéproposé
par Essilor(Saint-Maur-des-Fossés).
Fig. 3 Carted'asphérité loaled'unverre progressif
Les aratéristiquesoptiques et géométriquesdesverres progressifsen font un asrare en
optiquedepréision,oùlesdioptressontengénéraldessurfaesderévolution.Ceinéessitede
modéliserlesverresprogressifsaumoyendereprésentationspolynomialesadaptées néessitant
ungrandnombredeparamètres.Lealuldeesparamètressefaitpardesoutilsd'optimisation
adéquats. L'introdution deontraintes dansladénitiondu problème del'optimisation d'un
verreprogressifpermetunontrlerigoureuxdespropriétésduverredèslaphasedeoneption.
Dans e adre, les ontraintes sont naturellement onçues omme des toléranes de nature
optique ou physiologique. On demande par exemple que les variations de ertaines ourbures
nedépassentpasunseuilxé.Lagure3aratérisel'asphérité (diéreneentreles ourbures
loales max etmin) d'unesurfae obtenue aprèsune optimisation sous ontraintes. La partie
frontale relativement plate de ette nappe 3D orrespond à la zone de vision de loin de la
surfae progressive. Dans ette zone la surfae doit être sphérique. Les deux montiules
l'asphérité de la surfae dans es zones latérales, ar elles sont en général moins visitées par
l'÷ilqueles zonesentrales.
L'introdutionde ontraintes rendaussipossibleunpartage detoléranes entrelaonep-
tion amont et la fabriation avale des verres. Ces exigenes(fréquentes dansun adreindus-
triel)nepeuventqu'êtrediilementaessiblesavedesoutilsd'optimisationsansontrainte,
omme la méthode des moindres arrés non linéaires amortis lassiquement utilisée dans le
domaine de la oneption des systèmes optiques. La nature variée et diile des problèmes
d'optique ophtalmique demande don le développement d'outils généralistes, eaes et ro-
bustes.
6.4 Traitement numérique des prols d'indie dans les bres optiques
Partiipant : J. CharlesGilbert.
Les propriétés d'une bre optique ylindrique dépendent de l'indie de réfration des dif-
férentes ouhes de matériaux onstituant son ÷ur. La détermination du prol d'indie en
fontiondurayon,peutsefairedemanière optimaleen fontiondespropriétés reherhées de
labre. Nous intervenons de manière pontuelle dans e travail entrepris par Alatel Fibres
Optiques : ation de onseil et mise à disposition de odes numériques (ollaboration ave
P.Sillard etF.Beaumont).
6.5 Mise au point de moteurs thermiques de voiture
Partiipants: PaulArmand, J.Charles Gilbert.
L'injetion életroniquepermetderéglernement unmoteur thermiqueenl'adaptant aux
onditionsdefontionnement(hargeetrégimedumoteur).Ils'agitleplussouventdeminimi-
sersaonsommationtoutenrespetantdiversesontraintesde pollution. Ceréglagedemande
une onnaissane du moteur qui ne peutêtre pour l'instant que statistique :le moteur passe
auband'essaietsaréponseàdiversessolliitationsestenregistrée. Cetteopération demande
denombreux joursd'expérimentation, oûteux en mobilisationhumaine et matérielle.
Une approhe ombinant optimisation et modélisation, permettant de réduire le temps
de mise au point du moteur, est en ours d'étude hez Renault (Y. Tourbier). Nous interve-
nons dans ette étude par des ations de onseil en optimisation et des essais de méthodes
d'optimisation(enpartiulier leodeopinel, voir setion5.5.1).
6.6 Tomographie sismique
Partiipant : J. CharlesGilbert.
Latomographiesismiqueestunetehniqued'inversionsismiquequipermetderetrouverla
struturedusous-sol(positiondesréeteursetvitessesdepropagationdesondes),lorsqu'ilest
raisonnablede supposer queles ondessedéplaent lelongde rayons, éventuellement inurvés
(approximationhautefrequene del'équation desondes).La reonstitution sefaità partir de
Cette année, nous avons ommené une ollaboration ave F. Delbos (en thèse à l'IFP),
R.Masson(IFP),D.Sinoquet(IFP)etR.Glowinski(UniversitédeHouston)danslebutd'amé-
liorerles méthodes d'optimisationen tomographie sismique.Onherhe àpouvoirprendre en
ompte des ontraintes d'inégalité exprimant des informations sur la struture du sous-sol
provenant d'autres soures de onnaissane. Jusqu'à présent l'eort à surtout été porté sur
l'optimisation sansontrainte :introdutionde régionsdeonane(demanièreà rendrel'al-
gorithme gauss-newtonien plus robuste), amélioration du préonditionnement et ontrle de
leursingularitééventuelle(danslesasréelstrèsmalposés).Celaapermisdepouvoirrésoudre
automatiquement desproblèmes quiétaient auparavant insolublessansintervention manuelle.
6.7 Aéroaoustique
Partiipants : Patrik Joly(projetOndes), MihelKern.
Notre travail est une ontribution à l'étude de la rédution de bruit de jeten aéroaous-
tique,dansleadred'uneonventiondereherhe ave DassaultAviation.L'approximationde
Lighthill permet de seramener au asd'une simulation aoustiquedansun hamp de vitesse
aluléaupréalableparunodedeméaniquedesuides.Nousavonsutilisé pour elaleode
parallèle éritpar P.Havé sous ladiretionde M. Kern.
7 Ations régionales, nationales et internationales
7.1 Ations nationales
LeprojetEstimepartiipeauPNRH/INSU(ProgrammeNationaldeReherhe enHydro-
géologie de l'Institut National desSienes de l'Univers) intitulé Transports Complexes en
Milieux Poreux etRessouresen Eau.
En partiulier une ollaboration suivie existe ave Ph. Akerer et R. Mosé de l'Institut de
MéaniquedesFluides de l'UniversitéLouis Pasteur à Strasbourg.
7.2 Relations bilatérales internationales
J.Ch. Gilbert a poursuivi saollaboration ave A.Fuduli de l'université de Lee(Italie),
surle développement du ode d'optimisation opinel (voir la setion 5.5.1). Dans e adre, il
a fait deux séjours à l'université de Calabre à Cosenza (Italie), sur invitations du Prof. M.
Gaudioso.
J. Jaré est o-responsable, ave M. Jaoua, professeur à l'Eole Nationale d'Ingénieurs
de Tunisie et direteur du laboratoire LAMSIN, de deux projets de oopération : le projet
CMCU Identiation,optimisation etproblèmesinverses:appliationsindustriellesetenvi-
ronnementales etle projet STIC Inria-Université Tunis 2 Appuià la formation dotorale
en mathématiques appliquées. Ces relations étroites seonrétisent par la réation en 2001
d'uneéquipe assoiée entre leprojet EstimeetleLamsin.
J. Jaré est o-responsable ave Yuri Vassilievski, de l'Institut de Mathématiques Numé-
riques de l'Aadémie des Sienesde Russie, du projet de l'InstitutLiapunovintitulé Simu-
