Enoncé D270 (Diophante, casse-tête de janvier 2012) Le polygone minimal
On pose 28 allumettes de longueur unité sur un quadrillage à mailles car- rées d’un repère x0Ox, y0Oy (voir ci-dessous).
Il s’agit de tracer un polygone qui a les caractéristiques suivantes prises dans cet ordre :
1) ses côtés traversent les 28 allumettes sans jamais passer par l’une quel- conque de leurs extrémités,
2) ses sommets ont tous des coordonnées entières (positives, négatives ou nulles),
3) le nombre de côtés est le plus petit possible, 4) le périmètre est de longueur minimale.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Quatre côtés suffisent pour satisfaire les deux premières conditions. Selon qu’on s’autorise, ou non, que des côtés du quadrilatère se croisent, les configurations à périmètre minimum diffèrent.
Le quadrilatère croiséEF GH a pour coordonnées des sommets E(2,3) ; F(−5,−3) ;G(3,2) ;D(−3,−5).
Son périmètre est√
340 +√
356 = 37,307051178. . .
Le quadrilatère non croiséABCD a pour coordonnées des sommets A(11,11) ;B(−6,−8) ;C(3,3) ;D(−8,−6).
Son périmètre est√
808 +√
2600 = 79,415535943. . .
