A448. La bande des huit
Trouver tous les entiers naturels strictement positifs, pas nécessairement distincts, a, b, c, et d d’une part et w, x, y et z d’autre part, tels que la somme des quatre premiers est égale au produit des quatre derniers et la somme des quatre derniers est égale au produit des quatre premiers.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va appeler trivial tout quadruplet du type (P,1,1,1); en fait ce qui est trivial est la formule S=3+P qui donne la somme S des quatre éléments en fonction de leur produit P. On remarquera que, en termes du deuxième quadruplet, la relation S=3+P devient P’=3+S’ et donc un au plus des deux quadruplets peut être trivial. On montrera que notre problème admet existe exactement trois solutions, dont deux avec un quadruplet trivial:
1. (11,1,1,1), (7,2,1,1) 2. (9,1,1,1), (4,3,1,1) 3. (4,2,1,1), (4,2,1,1)
- - - - Pour les quadruplets non triviaux on a seulement des bornes (au lieu qu’une formule) pour S en fonction de P; ici on est intéressé à la borne supérieure, qui vaut:
l’égalité correspondant uniquement aux quadruplets du type (P/2,2,1,1); il s’agit s’une propriété analogue à celle qui dit que pour un rectangle d’aire donnée, le périmètre est maximum lorsque le rectangle dégénère; ici la dégénérescence correspond à choisir les facteurs (tous sauf un) aussi petits que possible.
En particulier, lorsque aucun des deux quadruplets n’est trivial, on aura S<=4+P/2 et S’<=4+P’/2 qui, en termes de S et P devient P<=4+S/2; d’où S<=4+(4+S/2)/2=6+S/4 donc S<=8.
Pour S<8 on ne trouve pas de solutions, tandis que S=8 correspond à la troisième des solutions listées plus haut.
Pour ce qui concerne le cas d’un quadruplet trivial, des relations S=3+P, S=P’, P=S’ et de la borne écrite en termes de S’ et P’, on tire S=3+P=3+S’<=3+(4+P’/2)=7+S/2, donc S<=14.
Ici l'étude de toutes les possibilités est un peu plus longue mais on arrive aisément aux deux solutions listées ci-haut.