Bonjour à tous !
J’espère que vous allez tous bien...
Pour poursuivre notre mise au point en algèbre, je vous propose cette semaine des exercices sur les fractions. Il s’agit encore de points de matière dont vous aurez tous besoin pendant les années à venir. Je vous propose de me renvoyer (par mail [email protected]) vos réponses pour ce dimanche 31/5.
Bon travail et bonne semaine à tous !
Mise au point sur les fractions
Rappels :
• Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leurs facteurs communs.
Exemples : 4 6
=
2.22.3
=
290 3
12
=
2.3.3.52.2.3
=
3.52
=
152
Remarque : On ne peut simplifier une fraction que si son numérateur et son dénominateur s’écrivent sous la forme de produits !
➔ 4+3
4 ne se simplifie pas car 4 + 3 = 7 et 4 n’ont pas de facteurs communs ! Mais on peut tout de même l’écrire sous la forme 4
4
+
34
= 1 +
34.
• Pour simplifier une fraction algébrique, il suffit :
o de factoriser le numérateur et le dénominateur,
o de diviser le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs.
Exemples : 𝑥−1
𝑥2−1
=
𝑥−1(𝑥−1)(𝑥+1)
=
1𝑥+1 9𝑥−3
9𝑥2−6𝑥+1
=
3(3𝑥−1)(3𝑥−1)2
=
3(3𝑥−1)(3𝑥−1)(3𝑥−1) 3 3𝑥−1
• Pour multiplier des fractions, il suffit :
o de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, o de simplifier, si possible, la fraction obtenue.
Exemples : 3 𝑥
.
𝑥−24
=
3.(𝑥−2)4𝑥
=
3𝑥−64𝑥 15𝑥
𝑥+1
.
2𝑥+23𝑥²
=
15𝑥.(2𝑥+2)(𝑥+1).3𝑥²
=
5.(2𝑥+2)(𝑥+1).𝑥
=
5.2.(𝑥+1)(𝑥+1).𝑥
=
10𝑥
• Pour diviser une fraction par une fraction, il suffit de multiplier la 1ère fraction par l’inverse de la seconde.
Exemples :
3 2𝑥 4𝑥² 7
=
32𝑥
.
74𝑥²
=
218𝑥³
𝑥+4 2𝑥 𝑥2−16
8𝑥
=
𝑥+42𝑥
.
8𝑥𝑥2−16
=
(𝑥+4).4(𝑥−4)(𝑥+4)
=
4𝑥−4
• Pour mettre des fractions au même dénominateur, il suffit : o de simplifier, si possible, chaque fraction,
o de déterminer le dénominateur commun (le PPCM) en multipliant tous les facteurs communs ou non, chacun affecté de son plus grand exposant,
o de multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par les facteurs qui permettent d’obtenir le dénominateur commun.
Exemples : Pour 2 9𝑥 et
5
7𝑥−1, le dénominateur commun sera 9𝑥. (7𝑥 − 1) (c’est le produit des 2 dénominateurs car ils n’ont rien en commun). Ces fractions s’écriront donc
2
9𝑥
=
2.(7𝑥−1)9𝑥.(7𝑥−1) et 5
7𝑥−1
=
5.9𝑥9𝑥.(7𝑥−1)
=
45𝑥9𝑥.(7𝑥−1). Pour 𝑥+1
𝑥3−4𝑥2+4𝑥 et 5
𝑥4.(𝑥−2), le dénominateur commun sera 𝑥4. (𝑥 − 2)2 (car 𝑥3− 4𝑥2+ 4𝑥 = 𝑥. (𝑥2− 4𝑥 + 4) = 𝑥. (𝑥 − 2)2 ; ces 2 dénominateurs ont 𝑥. (𝑥 − 2) en commun et il n’est donc pas nécessaire de les multiplier « complètement » pour obtenir le dénominateur commun). Ces fractions s’
écriront donc 𝑥+1
𝑥3−4𝑥2+4𝑥
=
𝑥+1𝑥.(𝑥−2)2
=
(𝑥+1).𝑥³𝑥.(𝑥−2)2.𝑥³
=
𝑥4+𝑥³𝑥4.(𝑥−2)2 et 5
𝑥4.(𝑥−2)
=
5.(𝑥−2)𝑥4.(𝑥−2).(𝑥−2)
=
5𝑥−10𝑥4.(𝑥−2)2.
• Pour additionner (ou soustraire) des fractions, il suffit : o de les simplifier si possible,
o de les réduire au même dénominateur,
o d’additionner les nouveaux numérateurs en conservant le dénominateur commun, o de simplifier si possible la fraction obtenue.
Exemples : 𝑥−1
𝑥+2
+
𝑥+1𝑥−2
=
(𝑥−1).(𝑥−2)(𝑥+2).(𝑥−2)
+
(𝑥+1).(𝑥+2)(𝑥−2).(𝑥+2)
=
(𝑥−1).(𝑥−2)+(𝑥+1).(𝑥+2)(𝑥+2).(𝑥−2)
=
2𝑥2+4𝑥2−4
2𝑥+3
𝑥.(𝑥−1)
−
1𝑥2−1
=
(2𝑥+3).(𝑥+1)𝑥.(𝑥−1).(𝑥+1)
−
1.𝑥(𝑥2−1).𝑥
=
(2𝑥+3).(𝑥+1)−1.𝑥(𝑥2−1).𝑥
=
2𝑥2+4𝑥+3𝑥3−𝑥
Exercice :
Effectue (en considérant que les CE nécessaires ont été posées) et donne la réponse sous la forme la plus simple possible :
1) 𝑥+1
2𝑥−3 + 4𝑥−5 𝑥+6 = 2) 𝑥+1
2𝑥−3 − 4𝑥−5 𝑥+6 = 3) 2
𝑥−2 + −4 2−𝑥 =
4) 5
𝑥2+6𝑥+9 − 𝑥² 𝑥+3 = 5) 2𝑥−1
𝑥2.(𝑥+1) + 3
7𝑥5 − 5−𝑥 𝑥3.(𝑥+1) =
6) 𝑥+1
2𝑥−3 . 4𝑥²−9 𝑥+6 = 7)
𝑥 2 4 = 8) 𝑥 2
4
=
9)
2𝑥³ 3
9𝑥 4
=
10)
2𝑥³ 3
8𝑥7 3
=
11) 6𝑥−24 (4−𝑥).(𝑥+2) = 12)4𝑥−8
2 = 13) 3𝑥+7
14𝑥−6= 14) √𝑥
𝑥 = 15) √𝑥²
√𝑥 = 16) 𝑥
√𝑥³ =
17)3𝑥(𝑥−2)−5(𝑥−2)2 (𝑥−2)4 = 18) 1 + 1
1+1
𝑥
=
