É L E C T R I C I T É
C o m m e n t choisir un régulateur automatique
(SUITE)
P a r E . J U T L L A R D , Ingénieur E. P. Z.
Appliquons m a i n t e n a n t les principes g é n é r a u x q u i viennent d'èlrc rappelés à l'étude plus a p p r o f o n d i e d ' u n régulateur : n o u s examinerons l'appareil à pression d'huile t y p e « R e x », construit par les Ateliers H . C u é n o d , à G e n è v e (Suisse). Cette é t u d e c o m - prendra :
1° L a description d e l'appareil ;
2° L'établissement d e s o n é q u a t i o n p r o p r e ;
3° L'application a u cas d u réglage de tension d'une généra- trice, c'est-à-dire l'établissement d e s équations d e la génératrice et de la correction ;
4° L e contrôle expérimental.
diaire d'un frein à huile 2 7 , t r a n s m e t s o n m o u v e m e n t à u n e l a m e élastique 2 4 , à laquelle est attaché le ressort antagoniste 2 2 d e l'appareil d e m e s u r e 13. L e ressort supplémentaire 2 3 n'a d'autre b u t q u e d e p e r m e t t r e d ' a m e n e r , p a r le m o y e n d e la vis à poulets à laquelle il est attaché, le fléau d e l'appareil d e m e s u r e d a n s sa position n o r m a l e . T o u t ce dispositif a p o u r b u t d'amortir les oscil- lations d e l'appareil, c'est-à-dire d e stabiliser le réglage.
Différentes dispositions particulières sont prises p o u r a u g m e n t e r la sensibilité et la rapidité d'action d e cet appareil sans nuire à sa robustesse :
l ° T o u t le m é c a n i s m e , sauf l'appareil d e m e s u r e , est c o n t e n u d a n s l'huile ; le m o t e u r , placé verticalement, o c c u p e la place d e la boîte d'engrenages coniques, figurée d a n s le s c h é m a (fig. 7 ) ;
Fig. 13.. — Régulateur à pression d'huile, t y p e « R e x
DESCRIPTION D U R É G U L A T E U R A PRESSION D'HUILE T Y P E « R E X »
Cet appareil est représenté s c h é m a t i q u e m e n t p a r la fig. 7 (voir Nos 77-78 d e mai-juin 1 9 2 3 ) . U n e petite p o m p e centrifuge 2, entretenue e n m o u v e m e n t p e r m a n e n t p a r m o t e u r électrique, fournit d e l'huile sous pression à u n distributeur 3. P a r le jeu du tiroir d e ce distributeur l'huile est e n v o y é e d ' u n côté o u d e l'autre d'un piston rotatif 15, qu'elle entraîne d a n s le sens voulu.
E n régime staliminaire le piston, o u plus e x a c t e m e n t le volet 15, est immobile : les lumières sont f e r m é e s des d e u x côtés. M a i s lorsque p a r suite d'une variation d e l'intensité circulant d a n s l'appareil d e m e s u r e 13, le tiroir est déplacé verticalement, les lumières sont ouvertes d u côté d e l'admission d'une part, et d u côté de l'évacuation d'autre part, et le volet est entraîné.
Sur l'arbre 1 4 d u volet est fixé u n petit p i g n o n qui entraîne d a n s son m o u v e m e n t u n secteur d e n t é 2 5 . C e secteur, p a r riutermé-
2 ° L e tiroir circulaire d u distributeur est a n i m é d ' u n m o u v e - m e n t d e rotation a u t o u r d e s o n a x e , d a n s le b u t d'éliminer l'effet des frottements d a n s le sens vertical et d e le faire obéir a u x plus petits d é p l a c e m e n t s d e l'appareil d e m e s u r e ;
3 ° L e tiroir 1 0 d u distributeur n'est p a s relié r i g i d e m e n t à l'appareil d e m e s u r e , m a i s p a r l'intermédiaire d ' u n petit tiroir auxiliaire 1 1 , excessivement léger. C e tiroir 1 1 c o m m a n d e , d a n s le g r a n d tiroir 1 0 , des lumières qui, grâce à l'huile sous pression, asservissent i n s t a n t a n é m e n t lés d é p l a c e m e n t s d u g r a n d tiroir à c e u x d u petit. L'appareil d e m e s u r e n'a d o n c p a s d'organe lourd à entraîner et les d é p l a c e m e n t s d u g r a n d tiroir se font n é a n m o i n s a v e c toute la rapidité et la précision voulues, p u i s q u e l'énergie nécessaire est e m p r u n t é e à l'huile sous pression ;
4 ° E n f i n , p a r la rotation d u g r a n d tiroir, l'huile est e n v o y é e p é r i o d i q u e m e n t et c o n s t a m m e n t , m a i s e n petite quantité, d ' u n Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1923027
côté et d e l'autre d u volet 15. Celui-ci n'est d o n c j a m a i s i m m o b i l e m a i s oscille, e n r é g i m e stationnaire, a u t o u r d ' u n e position m o y e n n e . L ' a m p l i t u d e d e cette oscillation varie selon le b u t q u e l'appareil a à remplir et la n a t u r e d e s o r g a n e s entraînés. L a fréquence e n est assez élevée (10 à 2 0 périodes p a r seconde).
L'arbre d e réglage 1 4 actionne les o r g a n e s d e réglage o u porte l u i - m ê m e les frotteurs des appareils à touches. D a n s le régulateur destiné spécialement a u réglage d'excitatrice, l'appareil à t o u c h e s est réalisé sous f o r m e d e collecteur a v e c balais e n c h a r b o n . L e t r e m b l o t e m e n t d o n t il est question ci-dessus subdivise e n quelque, sorte la valeur d e la résistance c o m p r i s e entre d e u x t o u c h e s consé- cutives et d o n n e à l'appareil u n e sensibilité très g r a n d e (de l'ordre d e g r a n d e u r d e 2 à 3 p o u r mille). L a f r é q u e n c e d e la vibra- tion n e se r e m a r q u e é v i d e m m e n t plus sur le c o u r a n t d'excitation ; elle a e n outre l'avantage d'être invariable.
L'EQUATION D U R É G U L A T E U R
S u p p o s o n s q u e l'équipage m o b i l e d e l'appareil d e m e s u r e (fig. 14) soit déplacé d'une valeur « y » m e s u r é e a u point d'attache A d u tiroir. C o m m e , d'une pari., les sections d e passage des lumières
Fig. 14.
sont proportionnelles à ce d é p l a c e m e n t et c o m m e , d'autre part, la p o m p e centrifuge fournit u n e pression invariable d a n s d e très larges limites, la quantité d'huile p a s s a n t p a r unité d e t e m p s d a n s le t a m b o u r sera proportionnelle a u d é p l a c e m e n t y. L a vitesse d u volet 15, m e s u r é e p a r le d é p l a c e m e n t d u point B d u secteur 2 5 , sera proportionnelle à y :
) dz
V désignant ce facteur d e proportionnalité qui d é p e n d unique- m e n t d e la pression d e la p o m p e et des d i m e n s i o n s des c a n a u x .
S u r l'équipage m o b i l e 1 2 agissent d e u x efforts : le couple élec- t r o m a g n é t i q u e produit p a r le c o u r a n t « i » circulant d a n s l'enrou- l e m e n t et l'effort antagoniste d u ressort 2 2 . Si, ce qui est g é n é - r a l e m e n t le cas, l'effort électromagnétique est i n d é p e n d a n t d e la position d e l'équipage m o b i l e , celui-ci n'effectuant j a m a i s d e d é p l a c e m e n t supérieur à 2 ° a u t o u r d e sa position m o y e n n e , n o u s
a u r o n s entre ces d e u x efforts la relatiou d'équilibre : ( A 0 étant égal à O E ) .
F0 + 3 (u +
y)
= M i2F0 est la tension initiale d u ressort 2 2 , (3 e n est le coefficient.
S u p p o s o n s le régulateur e n r é g i m e stationnaire et i m m o b i l e et soit in la valeur d u c o u r a n t c o r r e s p o n d a n t à ce r é g i m e ; in esl d o n c la valeur d e consigne. L ' é q u i p a g e m o b i l e doit alors occuper la position horizontale p o u r laquelle toutes les lumières d u dis- tributeur sont f e r m é e s : d o n c y =-- o. E n outre, la l a m e d'asser- v i s s e m e n t sera d é t e n d u e et o c c u p e r a é g a l e m e n t la position 1) E , n e produisant plus a u c u n effort sur le piston d u frein à huile 27 :
d o n c ainsi u = o et n o u s a u r o n s F0 = M i „2. p a r soustraction £ (u + y) = M (i2 — i'n 2).
Si n o u s p o s o n s i = in + A i et q u e n o u s n'envisagions q u e des différences assez petites, le b i n ô m e i2 — fu 2 p e u t se remplacer p a r 2 !n A et
ï, {u + y)=2 Min*^
ài
— n est autre chose q u e l'écart relatif d e la valeur m e s u r é e par
'n
l'appareil d e m e s u r e , c'est-à-dire la fonction d e r é g i m e . E n dési- g n a n t cet écart relatif s i m p l e m e n t p a r À , n o u s a u r o n s d o n c :
(5) (u +
y)
= 2 MiJA s s e r v i s s e m e n t ; L o r s q u e le volet 15, d o n t n o u s m e s u r o n s le d é p l a c e m e n t p a r celui d u point B , se dirige vers le h a u t , il entraîne a v e c lui le piston d u frein à huile et t e n d la l a m e 2 4 . L a vitesse relative d u piston 2 7 d a n s s o n cylindre est d o n c : | ^ — ^ et l'effort q u i fait r e m o n t e r le piston, proportionnel à cette vitesse, est équilibré p a r l'effort gau d é v e l o p p é p a r la flexion d e la l a m e d'asservissement. D ' o ù la troisième relation :
dz du~
o u
(6)
. Vdz dul
^ =
A[ d J - d l \ dz du u d l ~ ~ à t
+T
nA
L e r a p p o r t — = Ta a la d i m e n s i o n d'un t e m p s . Il représente PA
la
constante de temps
d e l'asservissement et d é p e n d d e s propriétés élastiques d e la l a m e 2 4 et d u freinage d u piston d e la p o m p e 27.E n éliminant d e ces 3 équations les .variables « u » et « y », n o u s obtiendrons la relation cherchée entre l'écart relatif A, le d é p l a c e m e n t d e l'arbre d e réglage et le t e m p s . Cette élimination n o u s d o n n e :
(4
)
dA +
A L _ * !w dt ^ T a 2 M i V V dt* ^ 2 M i \ . i
L
V T Jdt
L e s coefficients des variables et d e leurs dérivées o n t des signi- fications simples.
S u p p o s o n s l'asservissement s u p p r i m é , ce q u i revient à supposer n u l le f r o t t e m e n t o p p o s é a u piston d e la p o m p e .
D a n s ce cas T a = O et notre é q u a t i o n se réduit à :
S
dz
2 M i V V d <
Si d a n s cette h y p o t h è s e o n m a i n t i e n t u n écart à invariable, la vitesse d e l'arbre d e réglage sera constante et égale à : v = jf"
9 M /5n '2 V
— A, c'est-à-dire e n particulier proportionnelle à l'écart B
à corriger À.
Si S est le p a r c o u r s total d e l'arbre d e réglage, le t e m p s qu'il faudra à l'arbre p o u r effectuer toute sa course d a n s ces condi- tions, sera :
S v
t C 0
d'où l'on tire
t.à
2 M i V V à C 0
2 M i *n. V
L e produit /.A d u t e m p s nécessaire a u régulateur p o u r a c c o m * plir toute sa course sous l'effet d'un écart constant, p a r la valeur relative d e cet écart, abstraction faite d e l'asservissement, est ce q u e n o u s a v o n s désigné p a r d u r é e spécifique d e parcours.
Cette durée n e d é p e n d q u e d e s caractéristiques d e l'appareil.
Et nous p o u v o n s r e m p l a c e r la valeur
2 M i V V S
dont la signification est plus i m m é d i a t e . L ' é q u a t i o n devient : z , z dà à.
Tt + F I
v
~dP + TS V + 1
dt
>b est le parcours relatif, la course, totale étant égale à 1.
dt dP
1 dà dt
dà. _ _
dt ~ _ 4 - V T '
dP dt qui, intégrée, d o n n e :
A = Ts —- - ) - V Tdà S à + constante.
E x a m i n o n s m a i n t e n a n t l'équilibre, c'est-à-dire les valeurs d e dé
& pour lesquelles la vitesse d e m a n œ u v r e = O . Si tel doit être le cas, n o u s aurions A = V T S à -f constante, ce q u i signifie q u e l'immobilité d u régulateur n'est réalisée e n c h a q u e position (pour chaque valeur d e à) q u e p a r u n e valeur bien d é t e r m i n é e d e l'écart, différente d e point e n point. Si Ax et A2 sont les valeurs de l'écart rela tives a u x d e u x extrémités d e la course, n o u s aurions :
P o u r
à = 0 A,| = constante à ~ 1 A 2 = V TS + constante d'où
S (3 A , S = TSV
2 M in 2
S est le décrément de l'asservissement, c'est-à-dire l'altération du point d e réglage o u altération d e la consigne q u i résulterait si la poinpe d'asservissement était r e m p l a c é e p a r u n e tige rigide.
C est, si l'on v e u t , l'altération m o m e n t a n é e o u passagère d e la valeur d e la consigne, altération d o n t le rôle est précisément de stabiliser l'opération d e réglage.
L'évaluation d e S est d e s plus simples. S |3 est la variation d effort développée p a r le ressort d e l'appareil d e m e s u r e , lorsqu'il
est t e n d u d'une valeur égale à la course totale S, et Minz est l'effort fourni p a r l'appareil d e m e s u r e lorsqu'il est p a r c o u r u p a r la valeur n o r m a l e d e consigne.
L'équation générale d u régulateur s'écrit d o n c :
S u p p o s o n s enfin q u e l'asservissement soit rigide, ce qui revient à supposer la p o m p e à huile r e m p l a c é e p a r u n e tige rigide, o u r e m - plie d'huile infiniment visqueuse. Ta d e v i e n t alors égal à = « , et
(5)
dà A
+
dt ' Ta i S dP
3 + (s+
T *T ) dt diet contient 3 g r a n d e u r s caractéristiques :
1° L a constante d e t e m p s d'asservissement T ; 2 ° L e d é c r é m e n t d'asservissement S ;
3 ° L a d u r é e spécifique d e p a r c o u r s Ts.
L'équation ci-dessus traduit aussi le f o n c t i o n n e m e n t d'autres t y p e s d e régulateurs. Elle est valable e n particulier é g a l e m e n t p o u r :
L e régulateur à déclic s y s t è m e T h u r y ;
L e régulateur à action directe s y s t è m e B . B . C. B a d e n ; L e régulateur Thyrill, etc..
es cjjFuiiJits a y a n t é v i d e m m e n t d a n s c h a q u e cas d e s valeurs différentes.
L e degré d'insensibilité n e se traduit p a s p a r cette équation.
C o m m e il est e n général d û à des frottements o u à des j e u x d'or- g a n e s , il se m e s u r e directement ; il n'a d u reste p a s d'influence appréciable sur la f o r m e d e la correction.
APPLICATION A U CAS D'UN R É G L A G E SIMPLE
A v a n t d'entreprendre l'étude d u réglage d e la tension d'une génératrice, e x a m i n o n s le cas très simple d u réglage d e la tension d'une batterie d'accumulateurs. Cela n o u s p e r m e t t r a d e fixer la suite d u r a i s o n n e m e n t .
A* •—• PAS 1
A o Fig. 15.
S u p p o s o n s u n e batterie à très g r a n d n o m b r e d'éléments et r e m p l a ç o n s , p a r la pensée, les forces électromotrices d e s é l é m e n t s réels p a r u n e suite d e forces électromotrices infiniment petites, d o n t la s o m m e reste égale à la force électromotrice d e la batterie.
Cela revient à s u p p o s e r q u e la tension entre A et B varie d'une m a n i è r e continue a v e c le d é p l a c e m e n t x d u curseur, proportionnel a u n o m b r e d'éléments insérés.
x est le p a r a m è t r e d e réglage.
Equation du système. — L a tension A B p e u t alors s'écrire :
( 6 ) Pab = pn + M x
L'origine des d é p l a c e m e n t s est placée à l'endroit o ù la tension a la valeur n o r m a l e pn.
Si n o u s faisons u s a g e d ' u n régulateur a u t o m a t i q u e , n o u s c o m - m a n d e r o n s le d é p l a c e m e n t d u curseur B p a r l'arbre d e réglage.
L e d é p l a c e m e n t d u curseur étant établi d e f a ç o n à rester propor- tionnel à la course d u régulateur, n o u s p o u v o n s d o n c aussi poser :
(7) P N + m — %)
U n écart A p = — pn d'avec la n o r m a l e sera d o n c repré- senté p a r A p = m (4 •— t}»0). E t l'écart relatif
(8)
PN P N <H>) = — T (+ •
h)
Y est le coefficient d e répartition sur le c a d r a n . L'écart est n u l d a n s la position y0.
E n déplaçant le curseur d'une extrémité = 0 ) à l'autre (6 = 1) d e sa course, o n produit d o n c u n e variation totale d e la tension égale à :
A total = — Y
Le coefficient de répartition est donc l'écart relatif total obtenu en déplaçant le curseur d'une extrémité à l'autre de sa course.
Régulateur. — N o u s ferons u s a g e d ' u n régulateur sans asser- vissement. O n p e u t s'attendre à ce q u e le réglage soit n é a n m o i n s stable d a n s ce cas, parce q u e l'équation d e la batterie n e contient p a s le t e m p s explicitement. E n faisant d o n c T., = O d a n s l'équa- tion d u régulateur, o n obtient ici :
A = T . dà
dt équation d u régulateur,
q u e n o u s d e v o n s d o n c c o m b i n e r a v e c l'équation d e la batterie - + o )
A = - Y (<
L a résolution d e ces d e u x équations p a r r a p p o r t à à et à A n o u s d o n n e r a les équations d e la correction, c'est-à-dire les déplace- m e n t s e n fonction d u t e m p s ; et l'allure d e l'écart p e n d a n t la
correction.
L a solution se t r o u v e a i s é m e n t : (9)
(10)
y0 = constante . e T*
A = — Y . constante . e Ts
L a constante d'intégration s'évalue p a r la condition limite a u départ. N o u s s u p p o s o n s q u ' a u m o m e n t o ù le régulateur a eu à intervenir, l'écart avait u n e valeur initiale A.. L e curseur se t r o u v a n t alors e n u n point lié à Aj p a r l'équation d u s y s t è m e s )
( H )
te: —
C e t écart initial p e u t provenir p a r e x e m p l e d'une variation d e l'intensité débitée p a r la batterie. J u s q u ' a u m o m e n t t = 0, la batterie débitait u n certain c o u r a n t et la tension a u x b o r n e s avait la valeur n o r m a l e pn. A u m o m e n t t — 0, l'intensité est m o - difiée p a r le f o n c t i o n n e m e n t d'un interrupteur et la tension s'élève s u b i t e m e n t d e Aj. C'est à ce m o m e n t - l à qu'intervient le régula- teur, p o u r r a m e n e r la tension à sa valeur d e consigne.
E n t e n a n t c o m p t e d e la condition'11, les d e u x équations d e - v i e n n e n t :
(*— •<>) = Oh — ^
A ;
e
Ts(8) ( 9 )
L'écart initial At est d o n c r a m e n é à zéro suivant u n e loi e x p o - nentielle. L e signe d e y, c'est-à-dire le sens des connexions d e la batterie a u c a d r a n est défini p a r le signe d e l'exposant. L a traduc- tion g r a p h i q u e d e cette équation est représentée p a r la fig. 1 0 .
L a correction d u r e , o n le voit, e n principe u n t e m p s infiniment long. E n pratique, le réglage est t e r m i n é d è s q u e l'écart A est
d e v e n u égal à l'insensibilité d u régulateur.
L'opération d e réglage est d o n c stable ; des oscillations n e sont p a s à craindre. T o u t e s choses égales d'ailleurs, le réglage est t e r m i n é d'autant plus r a p i d e m e n t q u e la d u r é e spécifique d e par- cours d u régulateur Ts est plus petite, o u q u e la répartition des é l é m e n t s sur le c a d r a n est. plus concentrée (y g r a n d ) .
Réglage de la tension d'une génératrice actionnée à vitesse constante.
P R E M I E R CAS : EXCITATION A TENSION C O N S T A N T E
Etablissement de l'équation de la machine. -- D a n s u n e généra- trice à c o u r a n t continu o u alternatif, à excitation séparée, la tension a u x b o r n e s p e u t s'exprimer p a r : P = E — I X .
E étant la force électromolrice, I l'intensité débitée.
X u n e i m p é d a n c e intérieure traduisant la c h u t e d e tension due a u débit d e la m a o h i n e .
Fig. 16.
Cette é q u a t i o n étant linéaire, les variatii n s d e c o u r a n t I pro- duisent des variations proportionnelles d e la tension a u x bornes P, et ces variations d e v r o n t être corrigées p a r d e s variations égales d e la force électromotrice, c'est-à-dire d u flux inducteur. N o u s s u p p o s o n s d o n c toujours, pendant la durée de la correction, l'in- tensité (la c h a r g e ) invariable, et n o u s a v o n s d o n c à e x a m i n e r com- m e n t la tension a u x b o r n e s o u , ce qui revie it a u m ê m e , c o m m e n t la force électromotrice variera p e n d a n t l'opération d e réglage, P e n d a n t le t e m p s q u i précédait la perturb ition, la tension avait sa valeur n o r m a l e d e consigne, et n o u s avi >ns :
E , I,X
A u n certain m o m e n t , q u i constitue p o u r n o u s l'origine des t e m p s , l'intensité p r e n d b r u s q u e m e n t u n e valeur différente et n o u s a v o n s :
L^écart d e tension P2 — Pn doit d o n c êt 'e corrigé p a r u n e modi- fication d e la force électromotrice qui prei tdra la valeur finale E2. telle q u ' o n ait d e n o u v e a u :
L a différence \\ P „ o u s o n égale E 2 — E , = A E est l'écart
initial cle tension, et le quotient ~ = A. est notre écart initial
* n relatif.
A c h a q u e instant d e l'opération d e réglage, n o u s a v o n s : p __ p] — i2X , et l'écart P — P „ o u s o n égal, pris relativement A F
z.- := A doit d o n c être r a m e n é à zéro p a r le jeu d u régulateur.
P«
Mais p o u r modifier la force électromotrice n o u s agissons sur le courant d'excitation. N o u s a v o n s d o n c à rechercher la relation qui lie l'écart d e force électromotrice A E à la valeur d e la résis- tance d'excitation, p a r l'intermédiaire d u c o u r a n t d'excitation.
()r, lorsqu'on m o d i f i e la position, c'est-à-dire la valeur d e la résistance d'excitation, le c o u r a n t d'excitation varie suivant la loi.
L di
dt ir
—
peou L --- coefficient d e selfinduction d u circuit inducteur, /• .-.= résistance totale d u circuit d'excitation,
pc tension d'excitation.
équation qui s'écrit aussi :
L
L di . _ p_e
r dt+ 1 r
Or, -"7 —- T est la constante d e t e m p s d u circuit d'excitation Cette valeur n'est e n réalité p a s constante d'abord p u i s q u e /• varie puis, parce q u e le coefficient d e selfinduction d e s inducteurs varie avec la perméabilité, c'est-à-dire a v e c le c o u r a n t d'excita- lion l u i - m ê m e . M a i s o n p e u t considérer le quotient c o m m e cons- tant et calculer a v e c u n e m o y e n n e , a u m o i n s d a n s u n e certaine étendue. L a variation d e L , d u e à la perméabilité, se faisant d a n s le m ê m e sens q u e la variation d e r, il se produit, p o u r le quotient, une certaine c o m p e n s a t i o n . E n outre, l'introduction d'une fonc- tion variable p o u r cette constante d e t e m p s rendrait le calcul si compliqué qu'il devient impossible d e d o m i n e r les formules et d'en tirer des résultats pratiques.
N o u s écrivons d o n c :
(14) T -
df
Pc
L e quotient î's représente la valeur stationnaire q u e prend le courant d'excitation lorsque la résistance d u circuit est égale à r. Cette valeur stationnaire définit d o n c sans a m b i g u ï t é la résistance d u circuit d'excitation et la position d u curseur.
Reste à établir la relation entre le c o u r a n t d'excitation et la force électrom otrice d e la m a c h i n e . D a n s la région d a n s laquelle travaille u n e génératrice à tension constante, la caractéristique peut, avec u n e a p p r o x i m a t i o n bien suffisante, être r e m p l a c é e par une d é p e n d a n c e linéaire d u c o u r a n t d'excitation.
F m . 17.
E n choisissant d o n c c o m m e référence le c o u r a n t d'excitation i0
auquel n o u s d e v o n s arriver p o u r rétablir la force électromotrice,
et p a r c o n s é q u e n t la tension a u x bornes, à sa valeur d e consigne, n o u s aurions :
( 1 5 ) A = ^ = ^ ? = ,n. ( i _ f0) et, p a r c o n s é q u e n t , e n introduisant d a n s 1 4 )
(16) + A = AS
o ù As est l'écart relatif o b t e n u e n r é g i m e stationnaire qui corres- p o n d à la position d u rhéostat d'excitation. Ag se m e s u r e p a r l'écart d'avec la tension n o r m a l e , rapporté à cette dernière e n % . q u ' o n lirait a u voltmètre si o n laissait a u r é g i m e le t e m p s d e rede- venir stationnaire. As caractérise d o n c sans a m b i g u ï t é la position d u curseur d u rhéostat d'excitation, c'est-à-dire le p a r a m è t r e d e réglage.
Cette é q u a t i o n 1 6 est l'équation d e la m a c h i n e e n r é g i m e perturbé. E n m o d i f i a n t la position d u rhéostat d'excitation c'est-à-dire la valeur d e As, o n produit u n e modification d e la tension, et p a r suite, d e l'écart A actuel d'avec la tension d e c o n - signe. L a modification d e As se fait p a r le j e u d u régulateur a u t o m a t i q u e s o u m i s à l'information d e l'écart m o m e n t a n é .
E Q U A T I O N D E L A CORRRECTION
L e régulateur a u t o m a t i q u e s o u m i s à l'information d e l'écart p r o v o q u e d o n c u n d é p l a c e m e n t d e s o n arbre d e réglage suivant la loi (éq. 5 ) .
(17) dA , à _ = T dH
dt + Ta s dtQ- + ^ Tjdt
D'autre part, le d é p l a c e m e n t d u curseur d u rhéostat caractérisé p a r la variation d e l'écart stationnaire produit u n e modification d e l'écart m o m e n t a n é selon la loi (éq. 1 6 ) .
d A A dT + T
*1 T
C o m m e le curseur d u rhéostat est c o m m a n d é p a r l'arbre d u régulateur a u t o m a t i q u e , n o u s a v o n s d o n c entre le d ê p l a c m e e n t 6 d u régulateur et la valeur As d u p a r a m è t r e d e réglage, c'est-à-dire d u rhéostat d'excitation, u n e relation qui d é p e n d d u m o d e d'en- traînement, o u si l'on v e u t , d e la répartition des résistances sur l'appareil à touches. Cette répartition, n o u s l'admettons linéaire ;
c'est la seule qui d o n n e les m ê m e s conditions d e correction s ur toute l'étendue d'utilisation d e la m a c h i n e . N o u s poserons d o n c .
(18) A , =
O n voit q u e Ag = O p o u r è = %. à0 est d o n c la position d u curseur d u régulateur p o u r laquelle l'écart stationnaire est n u l : c'est d o n c l'endroit o ù d e v r a stationner le curseur d u régulateur u n e fois q u e la correction sera terminée.
Y est ici d e n o u v e a u le coefficient d e répartition. S o n signe d é p e n d é v i d e m m e n t d u sens des c o n n e x i o n s d u rhéostat et est parfaitement d é t e r m i n é p a r le f o n c t i o n n e m e n t d u régulateur.
Il représente l'écart total d e tension entre les d e u x extrémités'de la course d u régulateur.
L'équation d e la correction résulte d o n c d u s y s t è m e des d e u x équations existant s i m u l t a n é m e n t :
(19)
(20)
d A
dt
d A
~dt
T . d ^ dP
II Tn
Idt
E n éliminant à, n o u s obtiendrons l'équation d e l'écart A d e la tension, et e n éliminant A, n o u s a u r o n s le parcours 6 d u régulateur.
ASSERVISSEMENT C O N C O R D A N T
R e m a r q u o n s q u e les m e m b r e s d e g a u c h e des d e u x équations n e diffèrent q u e p a r les constantes d e t e m p s T d e la m a c h i n e e t Ta u régulateur. Jusqu'ici n o u s n ' a v o n s disposé d ' a u c u n coeffi- cient d i i égulateur. R i e n n e s'oppose à ce q u e n o u s d o n n i o n s à Ta u n e valeur particulière. N o u s choisirons d o n c arbitrairement :
( 2 1 ) T a = T
c'est-à-dire : constante de temps asservissement = constonte de temps inducteurs et établirons le résultat d a n s cette h y p o t h è s e . N o u s m o n t r e r o n s ensuite c o m m e n t ce résultat se modifie si T., diffère d e T , ce qui se produit e n particulier p a r c e que. T n'est p a s a b s o l u m e n t invariable, et n o u s verrons q u e cette condition d'éga- lité correspond à la loi d e correction la plus favorable.
L'élimination d e A et d e ses dérivées, d a n s cette h y p o t h è s e , n o u s d o n n e , p o u r le d é p l a c e m e n t d e l'organe d e réglage, l'équation :
R e m a r q u o n s enfin q u e 'i0 étant p a r définition la position q u e p r e n d r a l'organe d e réglage u n e fois l'état stationnaire atteint, (-i — ri0) est d o n c l'écart entre la position actuelle et cette position finale. E n rapportant le m o u v e m e n t à cette position finale c o m m e origine, n o u s p o u v o n s d o n c considérer l'écart m o m e n t a n é x — (ii — ']>„) c o m m e variable et écrire notre é q u a t i o n sous la f o r m e :
INTÉGRATION D E S E Q U A T I O N S P O U R L E CAS D'UN R É G U L A T E U R DIT « R A P I D E »
L'intégration d e cette é q u a t i o n n e présente p a s d e difficulté ; c'est, c o m m e o n le sait, l'équation d'une oscillation amortie, t o u s les coefficients étant positifs. Toutefois n o u s n o u s limiterons a u cas des régulateurs dits rapides, c'est-à-dire d e c e u x d a n s les- quels la d u r é e spécifique d e parcours Ts est très petite c o m p a r a - t i v e m e n t à la constante d e t e m p s T des inducteurs. A titre d'orien- tation n o u s r e m a r q u e r o n s q u e Ts a p o u r le régulateur à huile des Ateliers C u é n o d , la valeur Ts = 0 , 0 2 " et S est e n général c o m p r i s entre 0,5 et 1,5, alors q u e la constante d e t e m p s d ' u n e petite m a - chine d e 2 0 k w atteint déjà T = 0 , 5 " et p e u t arriver à 4 " p o u r u n alternateur d e 1 0 . 0 0 0 k V A .
D a n s cette h y p o t h è s e , la solution générale d e l'équation est : ( 2 4 ) x = Cie 2 T _j_ c2 e \^ + 2t)
CONDITIONS A U X LIMITES
L e s constantes d'intégration se d é t e r m i n e n t p a r les considéra- tions suivantes :
A u d é b u t d u réglage, c'est-à-dire p o u r t = 0, le curseur o c c u p e la position initiale ri, o u xt. — D o n c p o u r t = 0, x = xv
D'autre part, la perturbation étant s u p p o s é e succéder à u n état stationnaire, le régulateur était i m m o b i l e et la l a m e d'asser- v i s s e m e n t e n particulier, occupait sa position d e détente c o m -
plète : u — o. II e n résulte, p a r les équations 4 ) et 5 )
dt y ~~ p ~~ Ts
e n tenant c o m p t e d e la signification d e Ts.
A , est l'écart d e tension initial, créé p a r la perturbation de c h a r g e et q u i constitue le d é b u t d e l'opération d e réglage. A. est d u reste lié à .r, p a r l'équation 18, c'est-à-dire :
A , = —- y Xi
ce q u i d o n n e p o u r la d e u x i è m e condition limite :
E n introduisant ces d e u x conditions d a n s l'équation n o u s en d é t e r m i n o n s les constantes et l'équation devient, après simplifi- cation :
(25) x = ^ j ! & ' - (1— 1 ) e ~~ â ï
DISCUSSION D E C E T T E E Q U A T I O N
E n p r e n a n t le t e m p s / c o m m e abscisse d ' u n système, rectangu- laire et c o m m e o r d o n n é e le d é p l a c e m e n t x d u curseur, l'origine étant la position q u e le curseur o c c u p e r a u n e fois l'opération de réglage terminée, l'équation ci-dessus se traduit p a r la courbe représentée p a r fig. 18. O n voit q u ' a u m o m e n t o ù la perturbation
Fig. 18.
se produit, le curseur se. précipite e n q u e l q u e sorte vers la posi- tion O qu'il d e v r a occuper, la d é p a s s e jusqu'à u n certain mini- m u m B , p o u r r e m o n t e r ensuite b e a u c o u p plus l e n t e m e n t vers l'axe d e s abscisses, c'est-à-dire vers sa position finale. C e dépassement O B force e n q u e l q u e sorte le c o u r a n t d'excitation à se développer plus r a p i d e m e n t . Il correspond d o n c a u surréglage q u e tout élec- tricien opère d'instinct à la m a i n . O n voit e n particulier quelle est l'importance d'un rhéostat d e c h a m p s u f f i s a m m e n t é t e n d u , c'est- à-dire e n général, d'une m a r g e d'action s u f f i s a m m e n t vaste pour le p a r a m è t r e d e réglage.
L a partie ascensionnelle B C , q u i s'opère b e a u c o u p plus lente- i_
m e n t , provient essentiellement d u t e r m e e n e 2 T) c'est-à-dire d e la constante d e t e m p s T d e s inducteurs.
Si A représente p a r e x e m p l e la position d e pleine charge de la m a c h i n e et O la position d e m a r c h e à vide, o n p e u t se rendre compte d e c o m b i e n le rhéostat doit être prolongé d e c h a q u e côté p o u r que le réglage s'opère d a n s les meilleures conditions.
L e m i n i m u m B d é p e n d essentiellement des valeurs d u décrément d'asservissement 8. L a fig. 1 8 d o n n e les différentes courbes du d é p l a c e m e n t d u curseur p o u r u n e m ê m e m a c h i n e et u n MÊME rhéostat a v e c différentes valeurs d e 5,
ALLURE D E L A T E N S I O N P E N D A N T L'OPÉRATION D E R É G L A G E Connaissant la valeur d e x, il est aisé d e calculer l'allure d e l'écart A d e la tension p a r l'équation 20.
L a constante d'intégration se d é t e r m i n e p a r la condition limite de l'écart initial. A l'instant qui suit i m m é d i a t e m e n t la pertur- bation, l'écart d e tension est As et constitue le d é b u t d e l'opéra- tion de réglage. A u reste, A. est lié à la position initiale d u cur- seur par l'équation 18, c'est-à-dire :
(26) A , = — yxi
Intégrée a v e c les m ê m e s simplifications q u e p r é c é d e m m e n t , relatives à TS
- 2 T '
le g r a p h i q u e suivant : la tension est constante jusqu'au m o m e n o ù survient u n e variation d e c h a r g e : soit A l'une d'elles (fig. 20).
(27)
is, l'équation devient :
( /'2 v v '
2
C e résultat est r e m a r q u a b l e p a r la circonstance qu'il n e contient plus a u c u n t e r m e e n TS ; l'écart d e tension est d o n c c o m !ètt- m e n l i n d é p e n d a n t d e la d u r é e spécifique d u parcours TS. L e s d e u x exponentielles, fonction u n i q u e m e n t , d e la constante d e t e m p s des inducteurs, disparaîtront d o n c d a n s u n t e m p s d'autant plus long que la constante d e t e m p s sera plus élevée. A u c u n e amélioration dans la durée d e la correction n e p e u t être a p p o r t é e p a r u n e aug- mentation d e la vitesse d u régulateur. O n p e u t d o n c énoncer le résultat sous la f o r m e suivante : la durée de la correction delà tension, pour autant que cette correction est effectuée par un régula- teur rapide ( TS petit à côté de T ) ne dépend plus du régulateur, mais uniquement de la machine réglée. Cette conclusion s'applique à tous les régulateurs dont le fonctionnement est traduit par l'équa- tion 5), pratiquement à tous les régulateurs rapides existant actuelle- ment.
Ici se pose d o n c , p o u r le constructeur d e m a c h i n e , u n e nouvelle exigence, relative à la constante d e t e m p s . C e n'est qu'en réduisant cette valeur qu'il p o u r r a a v e c succès faire u s a g e des m a c h i n e à forte chute d e tension c o m b i n é e s a v e c régulateur a u t o m a t i q u e .
E n portant e n abscisse le t e m p s et en o r d o n n é e l'écart, la c o u r b e de correction a l'allure représen- tée par fig. 19. L e s différentes cour- bes diffèrent les unes des autres par la valeur d u décrément S. O n remarque e n par- ticulier qu'en a u g - m e n t a n t le décré-
Fig. 20.
A u m o m e n t o ù la variation d'intensité se produit, la tension s'élève (ou s'abaisse) d'une valeur initiale Apj. Puis, sans perdre u n instant, le régulateur intervient et r a m è n e la tension à sa valeur n o r m a l e , dans un temps qui ne dépend essentiellement que de la machine elle-même. Cette variation de tension initiale se produit inexorablement à chaque variation d'intensité. Il est d o n c a b s u r d e d e prétendre q u ' u n régulateur a u t o m a t i q u e puisse maintenir con- tinuellement la tension d a n s les limites d e s o n insensibilité. Il l'y r a m è n e , d a n s u n t e m p s plus o u m o i n s long, m a i s il est i m p u i s s a n t contre l'écart initial. Il est juste c e p e n d a n t d e constater q u e sou- v e n t les voltmètres enregistreurs n e suivent p a s toujours l'écart, d u m o i n s d a n s toute son élongation, ce qui fait croire à tort à la rapidité d'action d u réglage.
L e s enregistreurs déroulant e n général leur papier très lente- m e n t , toute la correction se c o n f o n d e n u n e seule o r d o n n é e et le d i a g r a m m e apparaît sous f o r m e d'un trait plus o u m o i n s épais, selon.que le r é g i m e d e la m a c h i n e est plus o u m o i n s t o u r m e n t é .
ASSERVISSEMENT D I S C O R D A N T N o u s a v o n s posé p r é c é d e m m e n t : TA = T.
Il est facile d e se rendre c o m p t e d e l'influence d'une différence e n - tre la constante d e t e m p s del'asservissement et celle desinducteurs.
1° S u p p o s o n s TA > T. L a détente d e la l a m e d'asservissement reste e n arrière sur le d é v e l o p p e m e n t d u c o u r a n t d'excitation et la correction se ralentit. C o m m e cas limite, envisageons Ta = O O ce qui revient à r e m p l a c e r le frein à huile p a r u n e tige rigide. L o r s q u e le réglage sera terminé, la tension n'aura plus sa valeur d e c o n - signe, m a i s restera e n p e r m a n e n c e o u plus petite o u plus g r a n d e , selon le sens d e la variation. Si TA sans être = » , est très g r a n d , la tension reprendra sa valeur n o r m a l e , m a i s e x c e s s i v e m e n t lente- m e n t . L a durée d e la correction se t r o u v e d o n c a u g m e n t é e .
2° S u p p o s o n s TA < C T , et p o u s s o n s à l'extrême : TA = O , ce qui revient à s u p p r i m e r l'asservissement. O n se r e n d a i s é m e n t c o m p t e , e n résolvant les équations d a n s cette h y p o t h è s e q u e la tension devient oscillatoire, d'amplitude décroissante. Elle passe d o n c plusieurs fois p a r sa valeur d e consigne a v a n t d e se sta- biliser, ce qui é v i d e m m e n t est u n inconvénient.
T3< T
tempe
Fig. 21.
me n t , o n retarde le m o m e n t o ù la tension a repris u n e valeur c o m - prise entre d e u x limites d o n n é e s ± e. P a r contre, o n limite égale- ment la pointe d e sens inverse B ; la valeur o p t i m u m d e 8 est ici d environ 0,3.
L e régime général d e notre génératrice se représente d o n c p a r
L e s trois cas sont d o n c représentés p a r la figure 21.
Il y a d o n c tout intérêt à réaliser TA = T, c'est-à-dire l'égalité d e la constante d e t e m p s d e l'asservissement et d e la constante d e t e m p s m o y e n n e des inducteurs.
(A suivre).
