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La lecture des ondes de coup de bélier sur le tracé de Bergeron,
Reading of water hammer waves on a Bergeron diagram
P A R A. SCHLAG
P R O F E S S E U R A L ' U N I V E R S I T É D E H È G E ,
D I R E C T E U R 1HJ L A B O R A T O I R E I ) ' H Y D I Ï A U M Q U E G E N E R A L E
Dans une conduite soumise au phénomène du coup de bélier, l'épure de Bergeron permet de déterminer les « états » pression-débit, en autant de sections de la conduite et en autant d'instants qu'on le désire. Elle permet aussi de connaître tes ondes d'Alliéui F et f exprimant tes variations conjointes de débit et de pression d e p u i s l ' o r i g i n e d u p h é n o m è n e .
En fait, le phénomène du coup de bélier con- siste en une succession d'ondes qui parcourent la conduite, en se croisant et se réfléchissant plus ou moins complètement aux points singuliers :
extrémités, changements de section, nœuds...
Plutôt qu'à des ondes se superposant à l ' é t a t i n i t i a l , on a affaire à des ondes, à front plus ou moins raide, qui modifient l'état existant i m m é d i a t e m e n t a v a n t l e u r p a s s a g e .
// est montré que ces ondes peuvent être lues sur l'épure de Bergeron. Leur considération conduit à l'établissement d'un tableau très re- présentatif du phénomène; elle permet aussi le calcul, souvent aisé, de tous les é t a t s succes- sifs dans les diverses sections de la conduite.
Jn a pipe subjected to the phenomenon of water hammer, the Bergeron diagram allows the détermination of the pressure-ftow con- ditions in as many sections of the pipe and at any instant desired. One can also détermine the Âllievi wave F and f, expressing the twin variations of flow and pressure f r o m t h e l i m e t h e p h e n o m e n o n h e g i n s .
In fact, the phenomenon of water hammer consists of a succession of waves which traverse the pipe, passing and reftecting each other more or less entirely, between given points i.e. the ends of the pipe, changes in section, branches, etc.
Rather than waves superimposing themselves f r o m t h e s t a r t , we have a System of waves, more or less sieep fronted, which modifu the state c x i s t i n g i m m e d i a t e l y a h e a c l .
It is shown that thèse waves may be plotted on a Bergeron diagram. Their considération leads to the establishment of a chari which truely represents the phenomenon and also makes the
subséquent calcula lion of ail the successive s h i t e s in the varions sections of the pipe easy.
L a s o l u t i o n d e s p r o b l è m e s d e c o u p d e b é l i e r d a n s les c o n d u i t e s e s t b a s é e s u r les é q u a t i o n s c l a s s i q u e s d'Allievi :
et :
— ( c0 — c) = F ( / - - ^L)—f(t+ JL) (2) D a n s ces é q u a t i o n s , F et f s o n t d e u x o n d e s de p r e s s i o n q u i p a r c o u r e n t la c o n d u i t e a v e c d e s v i t e s s e s é g a l e s à ± ci, et (g/a) F et (g/a) / , d e u x o n d e s d e v i t e s s e q u i a c c o m p a g n e n t ces o n d e s de p r e s s i o n .
D a n s s o n r e m a r q u a b l e o u v r a g e : Du coup de bélier en hydraulique au coup de foudre en
électricité, L o u i s B E R G E R O N é n o n c e c o m m e s u i t les lois e x p r i m é e s p a r les f o r m u l e s d'Allievi :
« 1° E n u n t e m p s et u n lieu q u e l c o n q u e s le l o n g d ' u n e c o n d u i t e , la v a r i a t i o n d e p r e s s i o n depuis Vorigine du phénomène e s t é g a l e à l a s o m m e d e d e u x o n d e s de p r e s s i o n F e t / q u i s'y c r o i s e n t à cet i n s t a n t ;
« 2° S i m u l t a n é m e n t , la différence F — f de ces d e u x o n d e s e s t é g a l e à a/g fois l a v a r i a t i o n d e la v i t e s s e à ce t e m p s e t e n ce l i e u depuis Vorigine du phénomène. »
(C'est n o u s q u i s o u l i g n o n s les m o t s « d e p u i s l ' o r i g i n e d u p h é n o m è n e ».)
*
L a r é s o l u t i o n d i r e c t e d e s é q u a t i o n s d'Allievi est a s s e z s o u v e n t l o n g u e et p a r f o i s difficile.
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957006
M a i s , L o u i s B E R G E R O N a d é v e l o p p e e t m i s a u p o i n t u n e m é t h o d e g r a p h i q u e d e r é s o l u t i o n a c - t u e l l e m e n t b i e n c o n n u e de t o u s les h y d r a u l i - c i e n s .
D a n s la p r é f a c e à l ' o u v r a g e d e B E R G E R O N , M. E . G. B A R I L L O N , m e m b r e d e l ' I n s t i t u t , é c r i t :
« D e t o u t ce q u i se lit s u r le b e r g e r o n , le l e c - t e u r d u p r é s e n t v o l u m e se r e n d r a c o m p t e ; il p e u t ê t r e a s s u r é q u e d a n s ces v o y a g e s à t r a v e r s les c o n d u i t e s h y d r a u l i q u e s ou les r é s e a u x élec- t r i q u e s , d a n s l e s q u e l s L o u i s B E R G E R O N le g u i d e p a s à p a s et l u i m o n t r e les m o i n d r e s p a r t i c u l a - r i t é s , i l a p p r e n d r a b e a u c o u p , e t q u e s'il e s t d é j à p r é p a r é p a r l a l e c t u r e d ' o u v r a g e s t r a i t a n t la q u e s t i o n p a r d e s m é t h o d e s p u r e m e n t m a t h é m a - t i q u e s , il a u r a le p l a i s i r d e r e c o n n a î t r e a u p a s - s a g e d e s p h é n o m è n e s q u i , j u s q u ' a l o r s , n e l u i é t a i e n t p a s a p p a r u s d a n s t o u t e l e u r c l a r t é . »
L e b u t d e l a p r é s e n t e n o t e est d e m o n t r e r u n d e c e s a s p e c t s q u i , à n o t r e c o n n a i s s a n c e t o u t a u m o i n s , n ' a p a s e n c o r e été s i g n a l é .
O n s a i t q u e , p o u r le t r a c é d u b e r g e r o n , on r e m p l a c e , d a n s l ' é q u a t i o n (2) les v i t e s s e s c p a r les d é b i t s Q. L e s é q u a t i o n s (1) et (2) d e v i e n n e n t a i n s i :
H Hn F t + f{t+ J L (4) et :
(Qo — Q)
a •f *
\
^ ( 5 )
a
S é t a n t l a s u r f a c e d e la s e c t i o n t r a n s v e r s a l e de l a c o n d u i t e .
L e t r a c é p e u t d o n n e r 1' « état » ( p r e s s i o n , d é b i t ) p o u r t o u t e s les s e c t i o n s et à l o u s les i n s - t a n t s q u e l ' o n d é s i r e (*).
C o m m e l'a m o n t r é B E R G E R O N (fig. 9 d e s o n o u - v r a g e ) , il p e r m e t a u s s i d e c o n n a î t r e la g r a n d e u r d e s d e u x o n d e s d e p r e s s i o n en u n h e u et en
(*) N o u s a d o p t o n s l e s n o t a t i o n s H e t Q p o u r l e s
« é t a t s » e t 7i et q p o u r l e s p r e s s i o n s e t d é b i t s t r a n s - p o r t é s p a r l e s o n d e s .
u n t e m p s q u e l c o n q u e s o ù le r é g i m e e s t c o n n u . Si A>t e s t le p o i n t r e p r é s e n t a t i f d e Y état d a n s la s e c t i o n A à l ' i n s t a n t t, les o n d e s d e p r e s s i o n , d a n s c e t t e s e c t i o n , et à cet i n s t a n t , s o n t r e p r é - s e n t é e s s u r le b e r g e r o n , p a r l a m o i t i é d e s l o n - g u e u r s m a r q u é e s 2 F et 2 / (fig. 1) (**).
R e m a r q u o n s q u ' i l s ' a g i t b i e n , c o m m e B E R G E - RON l ' i n d i q u e l u i - m ê m e , d ' o n d e s a y a n t p r o v o q u é u n e v a r i a t i o n de p r e s s i o n depuis l'origine du phénomène.
L e s o n d e s c o r r e s p o n d a n t e s d e d é b i t s o n t r e - p r é s e n t é e s p a r la m o i t i é d e s l o n g u e u r s :
2 . . F et 2 . S^-.f
a a B i e n e n t e n d u , il s ' a g i t e n c o r e d ' o n d e s a y a n t p r o v o q u é u n e v a r i a t i o n de d é b i t depuis l'origine du phénomène.
L ' i m a g e d u p h é n o m è n e , d é d u i t e d i r e c t e m e n t d e s é q u a t i o n s d ' A l l i e v i , le r e p r é s e n t e d o n c c o m m e d û à l a s u p e r p o s i t i o n à Vétat initial., d e s d e u x o n d e s F et / d e p r e s s i o n , a c c o m p a g n é e s d e s d e u x o n d e s d e d é b i t (gS/a) F et (gS/a) f.
N o u s p e n s o n s q u ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p l u s fi- dèle e t p l u s p a r l a n t e c o n s i s t e r a i t à c o n s i d é r e r q u e c h a q u e é t a t d a n s u n e s e c t i o n q u e l c o n q u e r é s u l t e de l'état immédiatement précédent d a n s la m ê m e s e c t i o n , m o d i f i é p a r le p a s s a g e , l ' a r r i - vée ou r é m i s s i o n d ' u n e ou p l u s i e u r s o n d e s c o n - j o i n t e s d e p r e s s i o n e t d e d é b i t , c i r c u l a n t d a n s c h a q u e t r o n ç o n à c a r a c t é r i s t i q u e u n i q u e .
A u x o n d e s [ F , (gS/a) F ] et [f,(gS/a)f], su- perposées à l'état initial,, n o u s p r o p o s o n s d e s u b s - t i t u e r , p o u r c h a q u e i n t e r v a l l e d e t e m p s , u n e ou p l u s i e u r s o n d e s se superposant à Vétat At p o u r d o n n e r l ' é t a t i m m é d i a t e m e n t s u i v a n t Àt'
L ' e x p o s é d e n o t r e c o n c e p t i o n e s t p l u s s i m p l e d a n s le c a s d ' u n e p e r t u r b a t i o n d e c a r a c t è r e i n s - t a n t a n é , e n t r a î n a n t d a n s les d i v e r s e s s e c t i o n s d e la c o n d u i t e d e s v a r i a t i o n s brusques d ' é t a t . N o u s n o u s p l a c e r o n s d ' a b o r d d a n s c e t t e h y p o t h è s e .
N o u s a u r o n s , p a r e x e m p l e , d a n s u n e s e c t i o n q u e l c o n q u e où la p r e s s i o n à l ' o r i g i n e é t a i t H0 la s u c c e s s i o n d e s p r e s s i o n s r e p r é s e n t é e f i g u r e 2,
F I G . 2
(**) B e r g e r o n é c r i t ( p . 15) q u e « ce n ' e s t l à q u ' u n e c u r i o s i t é s a n s i n t é r ê t p o u r l a r é s o l u t i o n d e s p r o b l è m e s q u i se p o s e n t .
298 L A H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL A/1957
S e l o n l a c o n c e p t i o n c l a s s i q u e , l a p r e s s i o n e s t é g a l e à l a p r e s s i o n à l ' o r i g i n e H0 a u g m e n t é e d e l a s o m m e a l g é b r i q u e ( F + f) d e s p r e s s i o n s d e s o n d e s d ' A l l i e v i .
N o u s p r o p o s o n s d e c o n s i d é r e r q u e l a p r e s - s i o n H* r é s u l t e d e l a p r e s s i o n e x i s t a n t à l ' i n s - t a n t p r é c é d e n t Ht_l 5 a u g m e n t é e d e l ' o n d e (ou d e l a s o m m e d e d e u x o n d e s ) d e p r e s s i o n h.
E n n o u s r e p o r t a n t à l a l i g u r e 1, n o u s v o y o n s a i s é m e n t q u e l ' o n d e [ F , (gS/a) F ] p e u t ê t r e r e - p r é s e n t é e p a r le v e c t e u r A O . a e t l ' o n d e
[ A ( # S/ a ) f] p a r le v e c t e u r a. At.
C o n s i d é r o n s m a i n t e n a n t d e u x é t a t s c o n s é c u - t i f s d a n s u n e m ê m e s e c t i o n (fig. 3) Af e t A f .
F I G . 3
L e s o n d e s d'Allievi ( d e p u i s le d é b u t d u p h é n o - m è n e ) s o n t r e p r é s e n t é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r les t r a c é s v e c t o r i e l s A O . a . A f et A O . a ' . A f .
P o u r p a s s e r d e l ' é t a t Af à l ' é t a t i m m é d i a t e - m e n t s u i v a n t A f , o n v o i t q u ' o n p e u t s u i v r e le t r a c é v e c t o r i e l d e s s i n é e n t r a i t f o r t A f . f c . A f .
L e s v e c t e u r s At.b e t fc.Af r e p r é s e n t e n t p r é - c i s é m e n t r e s p e c t i v e m e n t les o n d e s i n c i d e n t e et réfléchie q u e n o u s p r o p o s o n s d e c o n s i d é r e r . Ces v e c t e u r s s o n t s o u v e n t d e s s i n é s à p r i o r i s u r le b e r g e r o n .
Ces o n d e s s e r o n t é v i d e m m e n t s o u m i s e s , e n ce q u i c o n c e r n e le coefficient a n g u l a i r e d e s v e c - t e u r s q u i l e s r e p r é s e n t e n t , à l a m ê m e r è g l e d e s i g n e q u e l e s o n d e s [ F , (g$/a)F] et [/, (gS/a)f] : coefficient a n g u l a i r e n é g a t i f p o u r l ' o n d e
[ F , (gS/a) F ] q u i r e m o n t e l a c o n d u i t e e t coeffi- c i e n t a n g u l a i r e positif p o u r f o n d e [/"> ( # S / a ) / ] q u i d e s c e n d la c o n d u i t e .
Ce coefficient a n g u l a i r e e s t =t gS/a. P o s o n s , p o u r la f a c i l i t é d e l ' é c r i t u r e , gS/a — a.
N o u s é c r i r o n s d o n c :
pour une onde remontant la conduite : h — — a q pour une onde descendant la conduite :
h = -f- a g
Si l e s p o i n t s At e t At' s ' a l i g n a i e n t s u r u n e d i - r e c t i o n 4 ~ o u — a, c e l a s i g n i f i e r a i t q u ' u n e s e u l e o n d e s e r a i t à e n v i s a g e r .
*
P o u r m i e u x i l l u s t r e r n o t r e c o n c e p t i o n , n o u s a v o n s t r a i t é le d é b u t d u p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r d a n s le c a s s i m p l e s u i v a n t :
C o n d u i t e c o n s t i t u é e d e d e u x t r o n ç o n s A B e t BC, l o n g s r e s p e c t i v e m e n t d e 100 e t 180 m , d e s e c t i o n s 0,1 e t 0,2 m2 e t p o s s é d a n t d e s c é l é r i t é s r e s p e c t i v e s d e 1.000 e t 900 m / s . Si le t r o n ç o n A B e s t a i n s i p a r c o u r u p a r l ' o n d e e n u n t e m p s h/ùx
20,00 -354,24
F I G . 4
q u e n o u s p r e n o n s c o m m e u n i t é d e t e m p s , le t r o n ç o n B C s e r a p a r c o u r u e n u n t e m p s é g a l à 2 u n i t é s .
C o n d i t i o n s i n i t i a l e s : p r e s s i o n H0 = 200 m ; d é b i t Q0 = 200 1/s.
C o u p d e b é l i e r c r é é p a r l a f e r m e t u r e c o m - p l è t e et i n s t a n t a n é e d e l ' e x t r é m i t é C. O n n e t i e n t p a s c o m p t e d u f r o t t e m e n t .
L e s d i v e r s états o n t été r e l e v é s s u r le b e r g e - r o n et r e p o r t é s à l a figure 4 s o u s la f o r m e c o n - v e n t i o n n e l l e H / Q (*). O n c o n s t a t e r a q u e , a i n s i q u e c e l a e s t c o n n u , e n u n p o i n t q u e l c o n q u e , ces é t a t s v a r i e n t d ' u n e f a ç o n d i s c o n t i n u e .
L e s d i v e r s é t a t s s o n t s é p a r é s p a r d e s d r o i t e s o b l i q u e s q u i r e p r é s e n t e n t les o n d e s q u e n o u s p r o p o s o n s d ' e n v i s a g e r e t q u i c i r c u l e n t à chaque instant d a n s l a c o n d u i t e ; n o u s a v o n s i n d i q u é l e u r s v a l e u r s . Il n e s ' a g i t d o n c p a s d e s o n d e s [ F , (gS/a) F ] et [fAgS/a)f]) e x p r i m é e s depuis l ' o r i g i n e d u p h é n o m è n e . Si n o u s d é s i g n o n s p a r H ' / Q ' e t H " / Q " d e u x é t a t s consécutifs d a n s u n e m ê m e s e c t i o n , ce s o n t ces o n d e s q u i f o n t p a s s e r H ' à H " et Q ' à Q".
P a r e x e m p l e , l ' é t a t d e l a s e c t i o n b, a u m i l i e u de BC, a v a n t le t e m p s 4, e s t :
1 2 6 , 5 9 / — 7 5 , 8 9 ; au t e m p s 4, il y a r r i v e d e u x o n d e s :
— 4 8 , 0 5 / 1 0 4 , 6 7 et — 1 2 6 , 5 9 / — 275,89.
P a r c o n s é q u e n t , l ' é t a t d u p o i n t b a p r è s 4 d e - v i e n t :
H = 126,59 — 48,05 — 126,59 = — 48,05 Q = — 75,89 + 104,67 — 275,89 = — 247,11
De c e t t e c o n c e p t i o n p h y s i q u e d u p h é n o m è n e du c o u p de b é l i e r , o n p e u t d é d u i r e u n e m é t h o d e de c a l c u l e x t r ê m e m e n t s i m p l e et d o n t le m é - c a n i s m e e s t , p e n s o n s - n o u s , t r è s i n t u i t i f .
C a s g é n é r a l
S u p p o s o n s q u ' à u n e e x t r é m i t é d ' u n t r o n ç o n à c a r a c t é r i s t i q u e s u n i q u e , e x i s t e o b l i g a t o i r e m e n t u n e loi 9 (Q, H, f) = 0 r e l i a n t le d é b i t et la p r e s - sion et q u ' i l y a r r i v e u n e o n d e i n c i d e n t e h%/qit Cette o n d e s e r é f l é c h i t t o t a l e m e n t ou p a r t i e l l e - m e n t e n u n e o n d e réfléchie hr/qr.
P o u r l ' o n d e i n c i d e n t e :
h; = ± a q; (1)
(*) H e x p r i m é e n m è t r e s e t Q e n 1 / s .
et p o u r l ' o n d e r é f l é c h i e :
hr = zp oc qr (2)
p u i s q u e ces d e u x o n d e s c i r c u l e n t e n s e n s i n - v e r s e s .
L ' é t a t , q u i é t a i t Qt/B.t a v a n t l ' a r r i v é e d e l ' o n d e z et s a réflexion, d e v i e n t a p r è s ;
Q t + i / H f+ 1.
L ' é t a t (t -f- 1) d o i t s a t i s f a i r e a u x é q u a t i o n s s u i v a n t e s :
< p ( H ,+ 1, H ,+ 1, t + 1) = 0 (3)
H ,+ 1 = H , + + hr = H , ± a (q, — qr) (4)
Q t + i = Q* + ?« + ?r (5)
Si H;, Qh ht e t qi s o n t c o n n u s , les é q u a t i o n s (3), (4) e t (5) p e r m e t t e n t d e d é t e r m i n e r qr, Qt+i et (2) d o n n e e n s u i t e hr.
E x a m e n d e q u e l q u e s c a s p a r t i c u l i e r s
A) Le débit Q est constant à Vextrémité envisagée : Q = Q0.
S u p p o s o n s q u ' i l a r r i v e u n e o n d e i n c i d e n t e hi/qi et q u e n a i s s e u n e o n d e réfléchie : hr/qr :
hi = d= a qt Hr = a qr L e s é q u a t i o n s (3), (4) e t (5) d e v i e n n e n t :
Q t + i === Qo (3)
Ht + 1 = H* ± a ^ — qr) (4)
0 = qt + qr (5)
L a r é s o l u t i o n d o n n e : qr = — qi ht = hr
H *+i = H* + 2 ht
B) La pression est constante à Vextrémité envisagée : H — H0.
L e s é q u a t i o n s (3), (4) e t (5) s ' é c r i v e n t :
H ^ x - H o ( 3)
0 = « ( ç4— qr) (4)
Q * + i = Q* + g* + ?r (5)
L a r é s o l u t i o n d o n n e :
? ; = 9V d ' o ù :
ht = — hr et :
Q w = Q t + 2 q t
3 0 0 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL A/1957
C) Q passe brusquement de Qt à Q t + i *
L e p r o b l è m e se p o s e u n p e u d i f f é r e m m e n t . O n c o n n a î t H^, et Q *+i . Il n ' y a p a s d ' o n d e i n c i - d e n t e , m a i s il y a é m i s s i o n d ' u n e o n d e , q u e n o u s c o n t i n u e r o n s c o n v e n t i o n n e l f e m e n t à a p p e l e r
« r é f l é c h i e » hr/Qr a v e c hr = DT a gr. N o u s p o u r r o n s é c r i r e :
Q * + l = Q* + <Ir
et :
H, Ht + hr = H ( ± a qr
N o u s e n d é d u i s o n s :
<Zr = Q t + l — Q /
hr = ±*qr
H t + 1 = Hf + 7ïr
D,) Vextrémité du tronçon envisagée est l'origine d'un autre tronçon»
E n B, a r r i v e u n e o n d e i n c i d e n t e : hjq% a v e c hi = ±zaqi
E l l e e s t p a r t i e l l e m e n t r é f l é c h i e d a n s ce t r o n - ç o n , e n u n e o n d e hr/qr a v e c hr = + a gr, et u n e o n d e hfT/qfT e s t é m i s e d a n s le d e u x i è m e t r o n ç o n d a n s la m ê m e d i r e c t i o n q u e l ' o n d e hi/qi :
K= ±z a ' q'r
A v a n t l ' a r r i v é e d e l ' o n d e , il y a v a i t m ê m e s p r e s s i o n s H t et m ê m e s d é b i t s d e p a r t e t d ' a u - t r e d e l a s e c t i o n B . A p r è s c e t t e a r r i v é e , il y a e n c o r e é g a l i t é d e s p r e s s i o n s H *+ 1 et é g a l i t é d e s d é b i t s Qt + 1.
D a n s le t r o n ç o n p a r o ù a r r i v e l ' o n d e hjqi :
H
f +Î = H, + A, + h
rQt+, = Q t ° + qt + qT
D a n s l ' a u t r e t r o n ç o n : H j + i = Ht + h 'r Q. + l = Q. + q'r
L a r é s o l u t i o n d e c e s é q u a t i o n s d o n n e : a — a'
a + a '
2 a a + a' 7
(*) C e s f o r m u l e s s o n t a n a l o g u e s à c e l l e s q u e T o n r e n - c o n t r e d a n s l a t h é o r i e d u p a s s a g e d ' u n e o n d e l u m i n e u s e p l a n e d ' u n m i l i e u d ' i n d i c e U d a n s u n a u t r e d ' i n d i c e U, l o r s q u e l e p l a n d ' o n d e e s t p a r a l l è l e a u p l a n d e s é p a r a - t i o n d e s d e u x m i l i e u x . E n t r e l e s a m p l i t u d e s d e c e s o n d e s , o n a l e s r e l a t i o n s :
2 a , a — a '
« 2 = ' ; Oi (Vr ~ ai
a - F a a -|~ a'
a v e c a ~ c/v : a ' = c / y ' c . ' v i t e s s e d e l a l u m i è r e d a n s l e v i d e ,
i/ : v i t e s s e s d a n s l e s m i l i e u x c o n s i d é r é s .
E) Cas d'une bifurcation simple.
D a n s u n d e s t r o n ç o n s d e la b i f u r c a t i o n a r r i v e u n e o n d e hjq^ U n e o n d e hr/qr e s t r é f l é c h i e d a n s ce t r o n ç o n e t d e s o n d e s h'r/q'r e t h"r/q"T s o n t é m i s e s d a n s les d e u x a u t r e s t r o n ç o n s .
C o m p t e t e n u d u s e n s d e c i r c u l a t i o n d e s o n - d e s d a n s les d i v e r s t r o n ç o n s , o n a :
ht = DR a qi K = Q = a QRR
Iïr — zïz a ' q'r h"r = D = a" q"r
A u n œ u d , à c h a q u e i n s t a n t H e s t le m ê m e q u e l q u e soit le t r o n ç o n q u e l ' o n c o n s i d è r e ; d e p l u s , Q = Q ' + Q"-
N o u s a u r o n s d o n c à l ' i n s t a n t t + 1 : H ,+ 1 = H, + Ih + h,. = Ut + h'r = H , + h"r et :
Qt + Qi + qr = + Q ' h -I Q t + 1
ou
7 i + ? r :
a C i — *qr = *'q'r
*'q'r = *"q"r
s o i e n t t r o i s é q u a t i o n s q u i p e r m e t t e n t d e t r o u - ver les t r o i s i n c o n n u e s :
q\
q r =
aa -f- a a - ] - a a 2 a a '
aa -f- a a - j - a a 9*
aa •— a a -f- a a aa' + a a - j - a a
+ 1 et O n e n d é d u i t f a c i l e m e n t h 'r,
Q h - I -
Si les t e m p s d e p a r c o u r s d e s o n d e s d a n s les d i v e r s t r o n ç o n s a v a i e n t u n e c o m m u n e m e s u r e , d e u x o u t r o i s o n d e s p o u r r a i e n t a r r i v e r e n m ê m e t e m p s a u n œ u d ; il s u f f i r a i t a l o r s d e c o n s i d é r e r s é p a r é m e n t c h a c u n e d e s o n d e s i n c i d e n t e s e t d e f a i r e la s o m m e , p o u r c h a q u e t r o n ç o n , d e t o u t e s les o n d e s r é f l é c h i e s ou é m i s e s .
F) Cas d'une manœuvre progressive.
N o u s a v o n s j u s q u ' i c i , d a n s les e x e m p l e s q u e n o u s a v o n s t r a i t é s , s u p p o s é q u e l a m a n œ u v r e
g é n é r a t r i c e d u c o u p de b é l i e r é t a i l i n s t a n t a n é e . Si elle é t a i t p r o g r e s s i v e , il f a u d r a i t la c o n s i - d é r e r c o m m e c o n s t i t u é e d ' u n e s u c c e s s i o n d e p e - tites m a n o e u v r e s i n s t a n t a n é e s . Il y a u r a i t à c h a - q u e i n s t a n t é m i s s i o n , c i r c u l a t i o n , réflexion, e t c . d e p e t i t e s o n d e s , r e m p l a ç a n t les m o d i f i c a t i o n s c o n t i n u e s r é e l l e s d e p r e s s i o n et de d é b i t .
C o n c l u s i o n
L a c o n c e p t i o n d u p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r q u e n o u s a v o n s e x p o s é e ici r é s u l t e directement du t r a c é d e B E R G E R O N . N O U S p e n s o n s q u e t o u t e n n ' e n é t a n t p a s d i f f é r e n t e e n p r i n c i p e , elle c o r - r e s p o n d d e p l u s p r è s à la r é a l i t é p h y s i q u e q u e celle o ù l ' o n f a i t i n t e r v e n i r d e s o n d e s a y a n t p r o - v o q u é d e s v a r i a t i o n s d e p r e s s i o n et d e d é b i t
« d e p u i s l ' o r i g i n e d u p h é n o m è n e ».
N o u s e n a v o n s d é d u i t :
— U n t a b l e a u d e r e p r é s e n t a t i o n t r è s i n t u i t i f d u p h é n o m è n e (fig, 4 ) ;
— U n e m é t h o d e d e c a l c u l , s o u v e n t s i m p l e et a u s s i e x a c t e q u ' o n le d é s i r e , d e s « é t a t s »
s u c c e s s i f s d ' a u t a n t d e s e c t i o n s q u e l ' o n v e u t , a i n s i q u e d e s « o n d e s » q u i c i r c u l e n t d a n s la c o n d u i t e ou le r é s e a u .
N o u s n e p r é t e n d r o n s p a s q u e c e t t e m é t h o d e soit s u p é r i e u r e à celle i m a g i n é e p a r B E R G E R O N . Celle-ci p o s s è d e d e s a v a n t a g e s b i e n c o n n u s : s i m p l i c i t é e t a u t o m a t i s m e d ' a p p l i c a t i o n q u i p e r - m e t t e n t d ' e n confier l ' e x é c u t i o n à u n d e s s i n a - t e u r s o i g n e u x , f a c i l i t é é g a l e m e n t d e r e p é r e r u n e e r r e u r é v e n t u e l l e , e t c .
N o u s p e n s o n s c e p e n d a n t q u e n o t r e m é t h o d e n ' e s t p a s d é p o u r v u e d ' i n t é r ê t . E l l e p o u r r a i t m ê m e p a r f o i s r é c l a m e r à s o n t o u r , e n s a f a v e u r , c e r t a i n s a v a n t a g e s , p a r e x e m p l e , si l ' o n d é s i r a i t c o n s i d é r e r u n a m o r t i s s e m e n t de l ' o n d e a u c o u r s d e s o n t r a j e t . Il s u f f i r a i t a l o r s d a n s le c a l c u l d e t e n i r c o m p t e q u e l ' o n d e é m i s e à u n e e x t r é - m i t é d ' u n t r o n ç o n d e c o n d u i t e , a r r i v e à l ' a u t r e e x t r é m i t é , affectée d u coefficient d ' a m o r t i s s e - m e n t c o n v e n a b l e . I l n e s ' a g i t p a s , b i e n e n t e n d u , d ' u n e p e r t e d e p r e s s i o n p a r f r o t t e m e n t h y d r a u - l i q u e , m a i s d ' u n v é r i t a b l e a m o r t i s s e m e n t t e l q u e c e l u i q u e s u b i s s e n t les o n d e s d e c h o c se t r a n s - m e t t a n t d a n s les c o r p s s o l i d e s .
D I S C U S S I O N Président : M . R E M E N I E R A S
M. l e P r é s i d e n t r e m e r c i e M. S C H L A O e t s o u l i g n e l ' i n t é - r ê t d i d a c t i q u e d e s a n o u v e l l e i n t e r p r é t a t i o n d e l a c é l è b r e m é t h o d e g r a p h i q u e ; i l s o u h a i t e q u e l e s i n g é n i e u r s d e s h u r e a u x d ' é t u d e s u t i l i s e n t d a n s d i v e r s c a s t y p e s l a m é t h o d e d e M. B E R G E R O N s u i v a n t l e p r o c é d é d e M. S C H L A G e t n o u s f a s s e n t c o n n a î t r e , à l a l u m i è r e d e l e u r e x p é r i e n c e l e s a v a n t a g e s e t i n c o n v é n i e n t s q u ' e l l e p r é s e n t e e n p r a t i q u e p a r r a p p o r t a u x m o d e s d ' e m p l o i u s u e l s .
M. l e P r é s i d e n t s a i t t o u t p a x * t i c u l i è r e m e n t g r é à M. S C H L A G d ' a v o i r a d o p t é u n e s u g g e s t i o n f a i t e e n s o n t e m p s p a r M. l e P r é s i d e n t B A R R I L L O N e t s u i v a n t l a - q u e l l e , e n h o m m a g e à s o n é m i n e n t i n v e n t e u r , o n d e v r a i t a p p e l e r l ' é p u r e q u i v o u s o c c u p e u n « berge- ron », t o u t c o m m e e n s t a t i q u e g r a p h i q u e l ' o n d i t u n
« c r e m o n a » e t n o n u n e é p u r e d e C r e m o n a . D e v a n t l e s r e m a r q u e s f o r t i n t é r e s s a n t e s d e M. S C H L A G
q u i l ' o n t c o n d u i t à u n m o d e d e c a l c u l i n é d i t , M. P a u l
B E R G E R O N v o u d r a i t e s s a y e r d e m o n t r e r s o m m a i r e m e n t l e s d i f f é r e n c e s q u i , à s o n a v i s , e x i s t e n t e n t r e l e s m o j ' e n s p r o p o s é s p a r M M . A L L I E V I , S C H L A G e t L . B E R - G E R O N p o u r l a s o l u t i o n d u m ê m e p r o b l è m e .
C o n s i d é r o n s l e c a s s i m p l e d ' u n e f e r m e t u r e p r o g r e s - s i v e d e l o i q u e l c o n q u e s u r u n e c o n d u i t e g r a v i t a i r e . R a i s o n n o n s s u r l ' é p u r e t r a c é e p a r l a m é U i o d e g r a - p h i q u e q u i p e r m e t d e m e t t r e e n é v i d e n c e c h a c u n e d e s t r o i s i n t e r p r é t a t i o n s :
1 ° E n c o n s i d é r a n t l e s o n d e s d e p u i s l ' o r i g i n e ( i n t e r - p r é t a t i o n A l l i e v i ) , l ' é t a t a u p o i n t At,* r é s u l t e d e la s u p e r p o s i t i o n à l ' é t a t o r i g i n e A » (lu, qo) d e d e u x o n d e s q u i s e c r o i s e n t , s o i t F t , - q u i r e m o n t e le c o u r a n t , et fi+2 q u i l e d e s c e n d . C h a c u n e d e c e s o n d e s d e p r e s s i o n e s t l i é e à u n e v a r i a t i o n d e d é b i t t e l l e q u e l ' o n d e / <+ 2
p e u t ê t r e r e p r é s e n t é e p a r l e v e c t e u r A« M e t l ' o n d e Fus p a r l e v e c t e u r M A u s .
2 ° M . S C H L A G d é f i n i t l ' é t a t e n A tt 2 c o m m e r é s u l t a n t d e l a s u p e r p o s i t i o n à l ' é t a t e x i s t a n t n o n p l u s e n A0, m a i s e n A<, d e d e u x o n d e s i n t e r m é d i a i r e s , T u n e r e p r é - s e n t é e p a r l e v e c t e u r A< B i u a p p e l é e p a r l u i o n d e i n c i - d e n t e , e t l ' a u t r e r e p r é s e n t é e p a r l e v e c t e u r B i -|- I A *+ 2 a p p e l é e o n d e r é f l é c h i e .
L e s o n d e s e t l e s é t a t s q u i o n t p r é c é d é c e l u i e x i s t a n t e n A t n e s o n t p l u s à c o n s i d é r e r .
3° L a m é t h o d e g r a p h i q u e , d a n s s a r é a l i s a t i o n p r a t i q u e , n e f a i t p l u s a p p e l à l a n o t i o n d e s o n d e s q u i s e c r o i s e n t e t p e u t o u b l i e r t o u t l e p a s s é q u i a p r é c é d é , d a n s l ' e x e m - p l e c h o i s i , l ' e x i s t e n c e d e l ' é t a t e n R m ,
C e t é t a t e n Bi+t s o i t hi - f I qui c o n s t i t u e u n e o n d e q u i s e p r o p a g e à l a c é l é r i t é « a » e n r e s t a n t i d e n t i q u e à e l l e - m ê m e ; m a i s s i l e s c o n d i t i o n s r e n c o n t r é e s s u r l e p a r c o u r s i m p o s e n t u n e m o d i f i c a t i o n d e l ' é t a t 7.j + ï g4, ï , l ' a p p l i c a t i o n d u t h é o r è m e d e s q u a n t i t é s d e m o u v e m e n t m o n t r e q u e À h = ± a/gs A q, c ' e s t - à - d i r e q u e l e n o u v e l é t a t d o i t ê t r e o b l i g a t o i r e m e n t s u r l a d r o i t e q u i p a s s e p a r B u i e t d e c o e f f i c i e n t a n g u l a i r e ±a/gs. D a n s c e s c o n d i - t i o n s , à l ' a r r i v é e a u p o i n t A , l ' é t a t A* sa s e r a s i t u é s u r c e t t e d r o i t e , e t d e v a n t s a t i s f a i r e d ' a u t r e p a r t à î a l o i / (q ht) = 0 e x i s t a n t e n At+s a u t e m p s î - f 2 , s e r a à l ' i n t e r s e c t i o n d e l a d r o i t e e t d e l a c o u r b e d o n n a n t h~f(q) a u t e m p s Ï - 1 - 2 .
F a u s s é e p e u t - ê t r e p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e , c e t t e c o n c e p t i o n , b a s é e s u r l a s i m p l e c o n s i d é r a t i o n d e T o n d e é m i s e p a r l ' é t a t e x i s t a n t e n u n p o i n t e l e n u n t e m p s d o n n é s , d o n t l e s c o n d i t i o n s d e v a r i a t i o n s ' a p p u i e n t s u r l ' a p p l i c a t i o n é l é m e n t a i r e d u t h é o r è m e d e s q u a n t i t é s d e
302 LA H O U I L L E B L A N C H E N° SPÉCIAL A/1957
m o u v e m e n t , a p p a r a î t b e a u c o u p p l u s « i n t u i t i v e » q u e l e s d e u x i n t e r p r é t a t i o n s p r é c é d e n t e s .
C e q u i p r o u v e q u e l a n o t i o n « d ' i n t u i t i o n » e s t t o u t à f a i t r e l a t i v e .
A n o t e r q u e , c o m m e p o u r l ' i n t e r p r é t a t i o n d e M . S C H L A G , l a m é t h o d e g r a p h i q u e d é t e r m i n e p o i n t a p r è s p o i n t l e s v a r i a t i o n s À h e t A q e t n o n h — ho et q — go.
L ' i n t e r p r é t a t i o n d e M . S C H L A G p e r m e t d e s u i v r e l e p h é - n o m è n e p a r l e c a l c u l d ' u n e m a n i è r e b e a u c o u p p l u s s i m p l e e t p e u t - ê t r e p l u s p a r l a n t e q u e p a r l a d é t e r m i n a t i o n s u c - c e s s i v e d e s o n d e s F i e t fu II s e m b l e m ê m e q u ' e l l e s o i t s e u l e j u s q u ' i c i à r e n d r e u t i l i s a b l e l e c a l c u l à l a m a i n s a n s q u ' o n s o i t r e b u t é à l ' a v a n c e .
P e u t - ê t r e p o u r r a i t - e l l e a u s s i f a c i l i t e r l ' e x é c u t i o n d e s c a l c u l s p a r l e s m a c h i n e s à c a l c u l e r , b i e n q u e s u r ce p o i n t n o u s n ' a y o n s p a s d ' o p i n i o n e t q u ' i l s e r a i t i n t é r e s s a n t d e p r e n d r e l ' a v i s , p a r e x e m p l e d e M M . D U B I N e t G U É N E A U q u i o n t d é j à u t i l i s é l e s m a c h i n e s p o u r l a r é s o l u t i o n d e s p r o - b l è m e s r e l a t i f s à l ' a r r ê t d e s p o m p e s s u r r é s e r v o i r s à a i r . P a r c o n t r e , c o m m e l e f a i t d ' a i l l e u r s r e m a r q u e r M . S C H L A G ,
e l l e p r é s e n t e l e s i n c o n v é n i e n t s i n h é r e n t s à t o u t e s l e s m é - t h o d e s a l g é b r i q u e s :
I m p o s s i b i l i t é d e p o u r s u i v r e l e s c a l c u l s l o r s q u e l e s l o i s f (q h t) = 0 a u x e x t r é m i t é s d e s t r o n ç o n s n e p e u v e n t p l u s ê t r e e x p r i m é e s p a r u n e é q u a t i o n ( c a s r e l a t i v e - m e n t f r é q u e n t e n h y d r a u l i q u e ) ;
P o s s i b i l i t é d ' e r r e u r s t o u j o u r s a c c r u e s ;
e t n o u s a j o u t e r o n s d a n s l e c a s a c t u e l , q u e l a m é t h o d e a l g é b r i q u e n e p e r m e t p a s l ' a v a n t a g e o b t e n u p a r l a m é - t h o d e g r a p h i q u e d e p o u v o i r , a v e c d e l ' e x p é r i e n c e é v i - d e m m e n t , s u i v r e l ' e n s e m b l e d u p h é n o m è n e p a r l a s i m p l e o b s e r v a t i o n d e l ' é p u r e a c h e v é e .
C o n t r a i r e m e n t à l ' a v i s é m i s p a r M . A L L T E V I d a n s s a c o r r e s p o n d a n c e a v e c M . L . B E R G E R O N , l ' é p u r e t e r m i n é e c o n s t i t u e u n v é r i t a b l e « b a s r e l i e f » o ù t o u t e s l e s fluc- t u a t i o n s d e s é t a t s a v e c l e u r s c a u s e s e t l e u r s c o n s é - q u e n c e s s e p r é s e n t e n t s i m u l t a n é m e n t a u r e g a r d .
M . S C H L A G e s t e n p r i n c i p e d ' a c c o r d a v e c l e s o b s e r v a - t i o n s p r é s e n t é e s p a r M . B E R G E R O N e t n o t a m m e n t , a v e c l a f a ç o n d o n t i l c a r a c t é r i s e l e s m é t h o d e s d e r é s o l u t i o n d ' A L L i E v i , d e L . B E R G E R O N e t l a s i e n n e .
I l c r o i t c e p e n d a n t n é c e s s a i r e d e s o u l i g n e r q u e , d a n s
s a m é t h o d e , i l n ' e s t p a s q u e s t i o n d ' o b s e r v a t e u r s c i r c u - l a n t d a n s l a c o n d u i t e a v e c l a v i t e s s e a. I l n ' y a a l o r s p a s l i e u d e m a r q u e r B l e p o i n t d e r e n c o n t r e d e s v e c - t e u r s r e p r é s e n t a t i f s d e s o n d e s i n c i d e n t e e t r é f l é c h i e , c a r , e n p r i n c i p e , c e p o i n t n ' a r i e n à v o i r a v e c c e q u i s e p a s s e d a n s u n e a u t r e s e c t i o n q u e A . A l ' i n s t a n t i + 2 , a r r i v e e n A u n e o n d e i n c i d e n t e connue ( c ' e s t l ' o n d e r é f l é c h i e d ' u n e a u t r e s e c t i o n s i t u é e e n a m o n t , e t à u n i n s t a n t a n t é r i e u r — e t p a r l à l a s i t u a t i o n à l ' i n s t a n t i + 2 e s t r e l i é e a u p a s s é ) . I l p e u t d o n c d e s s i n e r s o n v e c t e u r r e p r é s e n t a t i f , q u i e s t , s u r l a f i g u r e d e M . P . B E R - G E R O N , m a r q u é A i Bui, m a i s q u ' i l p r é f é r e r a i t m a r q u e r p a r e x e m p l e : AiX. D e x, i l m è n e u n e d r o i t e c a r a c t é - r i s t i q u e d e c o e f f i c i e n t a n g u l a i r e n é g a t i f , q u i l u i d o n n e A i+2 à s o n i n t e r s e c t i o n a v e c l a c o u r b e d ' e x t r é m i t é à l ' i n s t a n t z + 2. C e t t e c o n s t r u c t i o n n ' e s t q u e l a r é s o l u - t i o n g r a p h i q u e d u s y s t è m e d ' é q u a t i o n s q u ' i l a é c r i t e s a u p a r a g r a p h e « C a s g é n é r a l » e t o ù n ' i n t e r v i e n n e n t c o m m e d o n n é e s , q u e l ' é t a t Ai e t l ' o n d e a r r i v a n t e n A a u t e m p s i + 2 e t , c o m m e i n c o n n u e s , l ' é t a t Ai+a e t l ' o n d e r é f l é c h i e e n A a u t e m p s i + 2 — d o n c r i e n q u e d e s é l é m e n t s r e l a t i f s à l a s e c t i o n A.
L e p o i n t q u ' i l m a r q u e x n ' e s t d o n c e n r i e n r e p r é - s e n t a t i f d e l ' é t a t d a n s u n e s e c t i o n q u e l c o n q u e à u n i n s t a n t q u e l c o n q u e ; c ' e s t u n i q u e m e n t u n p o i n t d e c o n s - t r u c t i o n , m a i s e n f a i t , i l c o ï n c i d e s o u v e n t a v e c l e p o i n t f i g u r a t i f d ' u n é t a t t e l q u e Bi+i.
D ' a u t r e p a r t , l a c o n s t r u c t i o n q u ' i l a e s q u i s s é e p l u s h a u t , m o n t r e q u ' a u b e s o i n , s a m é t h o d e p o u r r a i t a u s s i s ' a p p l i q u e r a u c a s o ù l a l o i d ' e x t r é m i t é e s t d o n n é e p a r u n e c o u r b e e t n o n p a r u n e é q u a t i o n ; b i e n e n t e n d u , l a m é t h o d e d e v i e n t a l o r s g r a p h i q u e e t s a n s d o u t e , p e u t - o n p e n s e r q u ' e l l e p e r d u n e p a r t i e d e s o n i n t é r ê t .
M . S C H L A G t i e n t e n c o r e à p r é c i s e r q u e s o n , i n t e n t i o n , e n f a i s a n t s a c o m m u n i c a t i o n , n ' é t a i t p a s t e l l e m e n t d e p r é s e n t e r u n e n o u v e l l e m é t h o d e de, c a l c u l , m a i s p l u t ô t d e m o n t r e r l e p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r s o u s u n a n g l e s o u s l e q u e l o n n e l e c o n s i d è r e p a s s o u v e n t . C ' e s l e n é t u d i a n t l e b e r g e r o n q u ' i l e s t a r r i v é à c e t t e c o n c e p - t i o n e t i l c r o i t q u e c ' e s t l à u n e p r e u v e s u p p l é m e n t a i r e d e l a g r a n d e r i c h e s s e d u m o d e d e r e p r é s e n t a t i o n i m a - g i n é p a r L . B E R G E R O N .
