Leçon 24 : Inéquation du premier degré

Leçon 24 : Inéquation du premier degré

,,.

à une inconnue

1. Activités Activité I

Sur une droite graduée, les nombres sifués à la gauches sont plus

petits

que ceux situés à la droite.

-50 5t

Exemple

: -10

^<

-5

<0 <5 < 10

-

Compléter les pointillés par les signes ⁽⁽

(, ) ou =

⁾⁾

-10

a.

-18....-20

c.3....5

".(3-24)....(4 -36) g.

18....16

i.

4x....3x,

avec x

> 0

b. 24s....(=r)

(-s)

d . 0,32333 4....0,3 43434 -f

.-3s....-r0-2s n.ls- (-6)1....-

e

j. 4x....34

avec

x <

0

Activité

2

Examiner la résolution de chacune des

a. x+3>8

x+3+(-:) r s*(-i) x>5

Les solutions de l'inéquation sont les nombres supérieurs à 5.

L'ensemble des solutions de

I'inéquation

est représenté par la partie non hachurée de

la

droite.

inéquations suivantes :

crochet n'est pas tou

partie hachurée pour indiquer ^que 5

n'est pas solution de I'inéquation.

99

b.2x-5<3

2x-5+5<3+5

'l _I

!x2x<1x8 22

x<4

c. Sur le modèle ci-dessus, résoudre les inéquations suivantes ^et représenter leur ensemble de solutions sur une droite graduée.

.r+5<10 o-2x+3<x+6

2. Essentiel

2x

+ I

^{> 3}

3-2x2x

1.

Défînition

Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un

nombre

inconnu, désigne le plus souvent par une

lettre x

^:

- Quels que soient les nombres

a,b et c

avec a

* 0, x

inconnue.

ax+b>c; ax*b<c: ax+blc ^{ou ax*b<c}

2.

Résolution d'une inéquation

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs possibles

du

nombre incoruru telles ^que l'inégalité soit

vraie.

^'

Les valeurs trouvées sont appelées les solutions de I'inéquation.

Exemples ^:

1.

Résolution ^de

I'inéquation

-r + 3 > 8

Solution

r+3>8

x+3+(-3) t g*(-l) .-

on ajoute C3) ^à chaque membre de

f

inéquation.

x>5

Les solutions de l'inéquation sont les nombres strictement supérieurs ^{à 5.}

On écrit

aussi

S = ]S;+oo[

Le

crochet est

tourné

du côté de la partie hachurée

pour

indiquer que 4 est solution de

I'inéquation.

Représentation graphique ^des solutions.

2.

Résolution de

l'inéquation '35 1r*

_z

_<?x+l

Solution

-r+ 35 1)

²

^<:x+3

5xx 15x2 3x2x

l5x3

5x3 l5x1 3x5 l5xl

5x 30 6x

45

..._I_/_I_

15 15 t5

¹⁵

5x + 30 < 6x +

45 {-

On laisse le dénominateur.

5x + 30 +

(-sx)

+

(-+s)

< 6x + 45 +

(_5x)

+ (_+s)

-15<x

Les solutions de l'inéquation sont leEnombres strictement supérieurs à -15.

Onécrit S:]_15;+æ[

-1.4 -73 -L2

3-

Résolution de

I'inéquation -2x ⁺³

^<

^x

⁺⁶

Solution

-2x

^{+3 <}

x+6

-3x ^<3

x

^>

-l

Les solutions de l'inéquation sont les nombres supéri".rrc ou égales à -1.

Onécrit S=[_t;+æ[

Représentation graphique _des

solutions.

¹

Remarque:

-

certaines inéquations ne possèdent pas de solutions réelles.

-

Certaines inéquations possèdent une

infinité

de solutions réelles.

Exemples :

1.

Résolution de I'inéquation x

+3< x-5

Solution

x*3<x-5 r+J<r-) ou 0x<-8 u-r<-ù

0 <

-8

^c'est impossibl e car 0 est supérieur à tous les nombres négatifs.

Donc

l'inéquation r

+3

<x- 5 n'a

aucune solution.

Onécrit S:û

l0l

Représentation graphique _{des solutions.}

-L0 r 2

³

l.

2.

Résolution ^de

l'inéquation

^{x + 5 >}

x+2

Solution

x+5

^>

x+2 0x>-3

0 >

-3

^vraie Pour tous les

réels r

^.

Donc

I'inéquation x+5

^>

x+2 auneinfinité

de solutions.

On

écrit ^S:

^{R .}

Exercices

Résoudre les inéquations suivantes et représenter

leur

ensemble de solutions

a. _{-3 <3x} d. x-5 >-5 g. -2x+ll ^<-4

j.

3x+10

<25

m. l4-4x>-38

p. ^5x-8>12

2. Résoudre les inéquations suivantes.

a. 3(6-5r). ^r2x-36

c.9(m+2)re(--t)

e. -6(2x-lo)

^{< 180}

sur une droite ^graduée.

g

2. x-t. _-

rO

d.t)4*x

1l

b. _-6<x-7

G

e. _-3x*7 ^<x+2 h. -3('+t)>tz k.

^8x

^+l

^{5 >73}

n.3x-12<15

t.

¹⁴

_-2x

^<24

-

^6x

c. x-8>6 f. _-x>9 i. ^3x-6>27 l. -18-52>52

g. ^2-fx>

⁷⁽⁸

-?x)+12' ^h.

^?x

^{- 2> r}

⁺

^{2(x +} si

?

i. ^3lo, -(zy -7)] . ^{z(ty -} s) j. ^6l;. -(t* -r))> ^+(zx -t) k.-s(az+t)<zt l. r2<2(3n+1)+22

m. 2(t4)+7 <2r ^{n- a(x-2\-6}

^{> 18}

p.

^r7

+2(x+t)>tz t.

¹²

_- ^z(zx -r)à

^{6 + z (+}

- ^zx)

3.

Résoudre les inéquations suivantes et représenter

leur

ensemble de solutions sur une droite ^graduée-

b.

²⁽⁷

-8x)>r4x-46

d. ^{6x-r3 <6(x-2)}

f. -7(3x-7)>280

h x--2.- 72 89

^c.

7x 2 ^3-x

ê

272

x x x-l x+l g. x--+-<lx-l--+-

23 2

³

. x 2-x ^3-x

i. -+ 5612 --<l

; f ; \

. zx J(J-X'

k_

__ . ^,<0 510

3-2x -r+5

II1.

_+l<_

88

4. ^Trouver

^{les valeurs}

de x

^dans chacun des cas suivants.

a.

^3ax+2b

<2ax-8b.

a

<0 b. 7ex-2c>5ex+6c. e>0 c. -5bx+l2c <l3c+5bx,

_b

<0 d. ax-3b2b-3ax, a>O

5. Trouver

le nombre

positif

n pour que

l'inéquation -5n+1

^{I >}

-9

^soit

^vérifiée.

6. Trouver

les valeurs

de x

^{pour que} chacune des expressions suivantes

soit positive.

a. x -7

d. x-5 x 3-x

s -+-

o'2

₄

7. Trouver

les valeurs

de x

^pour que chacune des expressions suivantes

soit

négative.

a. -x-4

^b.

a. -(x+l)

^e.

s' ro x*5

^h'

8. Trouver

lcs valeurs cle

pBsitive, soit négative.

a.3x-4

C.

-+ Ax -;

J

o

+('-s;+](: -")

9.

^{Sur la figure} ci-dessous, déterminer

r ^pour

^{que le périmètre} du rectangle soit

inférieur

au périmètre du triangle équilatéral.

b. -x+8 ^{c. x*2}

e. -x+3 ^f.2x-4

2x+3 4- x

h' 5 -lo

x+7

2x +10 2x

+3

c. x*3 f.4x-2

5

x

^{pour que} chactine des expressioris suivantes

soit

2-x

b.

1:

*

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