1 Département d’informatique et de recherche opérationnelle Automne 2005 Professeur : Brigitte Jaumard
IFT 1575 – Modèles de recherche opérationnelle Devoir 2
Rapport écrit à remettre au cours du mercredi 12 octobre Aucun retard ne sera accepté
Travail individuel
---
1. (25 points)
Un programme utilise une collection de tableaux T1, T2, …, Tn de même dimension.
Pour chaque tableau Ti, on connaît l’étape di des calculs où il commence à être utilisé et l’étape fi des calculs où il cesse d’être utilisé. On définit la relation Ti < Tj
si fi < dj (c’est-à-dire que Tj pourrait être stocké dans la place précédemment occupée par Ti qui serait alors détruit).
Comment trouver la place minimum à réserver pour les tableaux en mémoire ? Donner un algorithme et résoudre le problème avec les données du tableau ci- dessous. Donner le détail du déroulement de l’algorithme. Les réponses non justifiées ne seront pas considérées.
Ti 1 2 3 4 5 6 7 8
di 1 2 3 6 8 10 8 12
fi 4 5 7 9 13 15 14 15
2. (25 points) Capacité d’un réseau routier
Avant d’établir un projet de construction d’autoroute, on désire étudier la capacité d’un réseau routier, représenté sur la figure ci-dessous, reliant la ville E à la ville S.
Pour cela, on a évalué le nombre maximal de véhicules que chaque route peut écouler par heure, compte tenu des ralentissements aux traversées des villes et villages, des arrêts aux feux de circulation, etc. Ces évaluations sont indiquées en centaines de véhicules par heure sur les arcs du graphe. Les temps de parcours entre villes sont tels que les automobilistes n’emprunteront que les chemins représentés par le graphe.
2 a) Quel est le débit horaire total maximal de véhicules susceptibles de s’écouler
entre les villes E et S ? Identifier le problème classique de recherche opérationnelle auquel cette question se rapporte. Déroulez le détail de l’algorithme utilisé (ne pas inventer votre propre algorithme, vous devez utiliser un des algorithmes vus en cours). Il pourra être utile de reproduire le graphe ci-dessus en plusieurs copies et de dérouler une itération de l’algorithme sur chaque copie du graphe.
b) Quels sont les arcs constituant des goulots d’étranglements, c’est-à-dire limitant le plus le flot horaire de véhicules ?
3. (25 points) Optimisation d’un réseau de renseignements
N personnes doivent prendre connaissance de messages confidentiels. On considère le graphe G connexe non orienté dont les sommets correspondent aux N individus et où il existe une arête entre i et j si et seulement si des messages peuvent être transmis directement de i à j ou de j à i.
Pour chaque arête (i,j) on connaît la probabilité pij pour qu’un message, transmis entre i et j, soit intercepté.
Comment doit circuler chaque message entre les personnes de façon à minimiser la probabilité totale d’interception ? (On suppose que les interceptions de message sur des arcs différents constituent des événements indépendants du point de vue probabiliste.)
Montrer que ce problème se ramène à la détermination d’un arbre de poids minimum dans G, les arêtes étant munies de pondération que l’on précisera.
3 Résoudre l’optimisation d’un réseau de renseignements avec les données du graphe ci-dessous. Déroulez le détail de l’algorithme utilisé (ne pas inventer votre propre algorithme, vous devez utiliser un des algorithmes vus en cours).
4. (25 points) Hillier and Lieberman 9.6-5 p. 433
La compagne Audifile fabrique des boîtes de boom. La direction a décidé de sous traiter la production des hauts parleurs nécessaires aux boîtes de boom. Trois vendeurs sont prêts à fournir des hauts parleurs. Le prix de chaque envoi de 1000 hauts parleurs est décrit ci-dessous.
Vendeur Prix
1 22 500 $ 2 22 700 $ 3 22 300 $
De plus, chaque vendeur applique un coût d’envoi. Chaque envoi doit aller à l’un des 2 entrepôts de la compagnie. Chaque vendeur a sa propre formule pour calculer le coût d’envoi, avec une formule qui dépend de la distance à l’entrepôt. Les formules et les distances impliqués sont fournies dans les deux tables ci-dessous.
Vendeur Coût par envoi
1 300 $ + 40 ¢ / mile
2 200 $ + 50 ¢ / mile
3 500 $ + 20 ¢ / mile
Vendeur Entrepôt 1 Entrepôt 2
1 1 600 miles 400 miles
2 500 miles 600 miles
3 2 000 miles 1 000 miles
4 Lorsque l’une des 2 unités de production de l’entreprise a besoin de hauts parleurs pour les assembler et produire des boîtes de boom, la compagnie loue un camion pour apporter les hauts parleurs nécessaires. Le coût de transport est indiqué dans la table ci-dessous, en même temps que le nombre d’envois nécessaires par mois pour chaque unité de production.
Coût d’envoi unitaire
Unité de production 1 Unité de production 2
Entrepôt 1 200 $ 700 $
Entrepôt 2 400 $ 500 $
Demande
mensuelle 10 6
Chaque vendeur peut fournir jusqu’à 10 envois par mois. Cependant, en raison de contraintes sur les envois, chaque vendeur peut envoyer un maximum de seulement 6 envois par mois à chaque entrepôt. De même, chaque entrepôt peut envoyer un maximum de 6 envois par mois à chaque unité de production.
La direction veut développer un plan mensuel pour déterminer le nombre d’envois (si des envois sont nécessaires) à demander à chaque vendeur, combine de ces envois doivent aller à quel entrepôt, et ensuite combien d’envois chaque entrepôt fait à chaque unité de production. L’objectif est de minimiser la somme des coûts d’achat (en incluant le coût d’envoi) et les coûts d’envois des entrepôts aux unités de production.
a) Dessiner un réseau qui décrit la chaîne d’approvisionnement de la compagnie.
Identifier les nœuds d’approvisionnement, les nœuds de transit, les nœuds de demandes dans le réseau.
b) Formuler le problème comme un problème de flot à coût minimum en insérant toutes les données nécessaires dans le réseau. Inclure également un nœud artificiel de demande qui reçoit (à coût nul) tous les éléments d’approvisionnement non utilisés par les vendeurs.
c) Résoudre le problème à l’aide d’Excel.
