N
OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESM ICHEL P ETROVITCH
Théorèmes de la moyenne sans restrictions
Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 13 (1913), p. 400-406
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[D3ca]
THÉORÈMES DE LA MOYENNE SANS RESTRICTIONS;
PAR M. MICHEL PETROVITGH.
1. Soient u et v deux fonctions, réelles on imagi- naires, de la variable. #. De l'identité
(i) u o s : i ( « + * ) (
( 4o* ) on tire
rb
(i) I uv dx = V — 8, Ja
où
b \ rb
u2 dx H- - / P2 <Y#,
i "rb
(4) 8 = - / ( a _ P ) « < f e .
Sous la seule restriction, relative au chemin d'inté- gration, que celui-ci soit réel et de longueur finie, on voit que :
i° Si M et ^ ont soit la partie réelle, soit la partie imaginaire commune, l'expression (u — e)2 est réelle et d'un signe invariable dans l'intervalle (a, 6 ) ; par suite, on aura
(3) avec
et c étant une valeur comprise entre a et 6;
2° Si u et v diffèrent à la fois par leurs parties réelles et imaginaires, l'expression (u — v)2 est imaginaire et Ton aura, d'après une proposition de M. Darboux,
(6) 8 = !LlllL%e<ùiyJc)*,
Ö et 03 étant deux quantités réelles, comprises : la pre- mière entre o et i, et la seconde entre o et 2 T .
/ / s'ensuit que
rb
(7) / uvdx = Y - X x ( c )2,
ou X est un facteur dont le module ne surpasse
Ann. de Mathémat., 4* série, t. XIII. (Septembre 1913.) 26
jamais ——— et qui se réduit à lorsque u et v ont soit la partie réelle, soit la partie imaginaire commune.
L'intérêt que peut présenter cette forme du théo- rème de la moyenne consiste en ce qu'elle conduit à décomposer l'intégrale
/ uv i
(8) I uvdxJ a
J a
en deux, dont l'une ne dépend que de u et l'autre de r, avec un terme correctif dont on connaît les limites supérieure et inférieure, et cela sans aucune restric- tion sur u et v autre que celle que les intégrales aient un sens.
Dans le cas de u et v réels, l'intégrale (8) est com- prise entre
et
où M et N sont la plus grande et la plus petite valeur absolue que prend la différence u — v lorsque x varie entre a et b. En prenant donc pour (8) la \aleur ( 9 .
on commet une erreur dont la valeur absolue n'excède pas
2. L'identité
(il) MCs-ftt + c)1 (U —
4 4
( 4o3 ) fournit
rb i rh (12) / uv dx = 7 / (w où
1 r *
( i 3 ) Ç = 7 / (u-
ƒ/ s'ensuit que
uvdx=j f (a-HP
OM y (^?), \ et c ont les significations du paragraphe précédent, et cela sans aucune restriction sur w et p
autre que celle que les intégrales aient un sens.
Dans le cas de u et v réels, en posant
( i 5 ) - / ( u -h p)2 dx — W,
AJCI
l'intégrale (ï'j) est comprise entre
4 4et
de sorte qu'en prenant pour (r2) la valeur (i6) W - ( 6 - a )M 2^N 2,
on commet une erreur dont la valeur absolue n'excède pas
( 1 7 ) (b-a)M» - N«
3. Les inégalités intuitives
- If
comprises dans les propositions précédentes, ne sont que des cas particuliers des inégalités plus générales
(21)
I UiU1...undx
I uxut...undx
«A,
L étant l'arc d'intégration et u^ u2, •••, un étant des fonctions de x quelconques, en nombre arbitraire.
Elles sont la conséquence directe de la relation d'iné- galité entre les moyennes arithmétique et géométrique d'un nombre quelconque de quantités réelles posi- tives.
Nous en ferons l'application suivante. Soient
les termes, réels ou imaginaires, d'une série, fonctions d'une variable £, la série étant supposée absolument et uniformément convergente pour les valeurs de t appar- tenant à un domaine déterminé (D) dans le plan de t.
Considérons la série
{'2^) f(Z) = #0"^ €L\Z
ayant pour coefficient général an l'expression
<23) an— I uxuî.. .undt,
l'arc d'intégration L étant de longueur finie et compris dans le domaine (D). De
( 4o5 )
où pi est la somme de la série convergente
(25)
on conclut, en vertu de (21), que
où s est la longueur de Tare d'intégration.
On en conclut d'abord que : la série (22) repré- sente une fonction entière de z, du genre zéro ou un, dont le module est, pour toute valeur de z, plus petit que
('27) | r t o | -
oà A(3) désigne la transcendante entière z z* zz
( 2 8 ) M , ) = ^ +
et r étant le module de z.
Or, la formule connue
r
. ("°*ï) =(7TTT1 / 1 \n n ' conduit à la formule(3o) Mz)
valable pour toute valeur réelle et imaginaire de 2, fai- sant voir que
ce qui montre que : le module def(z) est,pour toute
( 4o6 ) valeur de z, plus petit que
(32) laol-Wfie* •
II s'ensuit, par exemple, que l'intégrale de Jensen
r»27t
— j log|/(r^')|de,
rattachée à la fonction ƒ (s), a sa valeur plus petite que
d'où Ton peut tirer des conclusions à l'égard des zéros de f(z) compris à l'intérieur d'une circonférence quelconque décrite autour de z = o dans le plan de z.
