Devoir surveillé N2 prop.2

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Devoir surveillé N2 prop.2

1.BAC – S.M .F

1ere Semestre

Exercice 1 : 3 pts

On considère les ensembles  et  suivants :

^{ }

  

^{x y}^, ^^{IN /}² ^y^ ²⁵^^x



^et^{ }

^ ^

^{x y}^,

^

^^{IN /}² ^xy^{ }^x ²^y^⁶

^

Écrire en extension les ensembles et . Exercice 2 : 2pts

On considère les ensembles et F suivants :

2 4

/ ; /

2 5 4 5

k k

E _ _  _  k _ _ F _ _  _  k _ _

   

   

Montrer que :    F . Exercice 3 : 7 pts

On considère l’application f suivante :

 

2 2

: 1

2 ( 1) f

x x

  

 



1) a- Résoudre l’équation f x( )1 b- f est – elle surjective ? Justifier.

2) a- Montrer que : ⁽^{ }^x ^IR ^{ }

 

^{1 ) :} ^f⁽^{ }^x ²⁾^ ^{f x}^{( )}

b- f est – elle injective ? Justifier.

3) On considère l’application g suivante :

   

2 2

: 1, ,1

2 ( 1) g

x x

   

 



Exercice 4 : 5 pts

On considère la fonction f définie sur IR^ par :

f x ( )  x  x  x

1) Vérifier que :

  ^0,   ^: ^{( )} ¹

1 1 1

x f x

x

   

 

2) En déduire que la fonction f est bornée sur IR^.

3) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur IR^. 4) Montrer que : (IR ) 0,¹

f ^  2

   . Exercice 5 : 3 pts

Soient  , et C trois ensembles d’un ensemble non vide . 1) Montrer que : ^{   }



^C

 

      

 

^C



2)^{   }



^C

 

      

 

^C



3) Montrer que : ^{  }



^C

 

      

 

^C



.

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