Travaux Pratiques d’Optique Semestre 5
Annexe Les incertitudes de mesure . . . 1 TP 1 & 2 Mesures optiques visuelles . . . 15
(salle S1.7) TP 3 & 4 Contrôles interférométriques . . . 31
(salles S1.24, S1.2, S1.4, S1.10) TP 5 & 6 Interféromètre de Michelson . . . 69
(salles S1.11 à S1.31)
lense.institutoptique.fr / Première Année/ Optique Semestre 5
Cycle Ingénieur - 1
èreannée - Palaiseau Année 2019-2020
Version du 4 juillet 2019
Les incertitudes de mesure en travaux pratiques.
On mesure l’intelligence d’un individu à la quantité d’incertitudes qu’il est capable de supporter.
Emmanuel Kant L’humour : l’ivresse de la relativité des choses humaines ; le plaisir étrange issu de la certitude qu’il n’y a pas de certitude.
Milan Kundera
Sommaire
1 Introduction . . . . 1
2 Présenter un résultat de mesures . . . . 2
2.1 Des exemples . . . 2
2.2 Chiffres significatifs . . . 2
3 Évaluation des incertitudes . . . . 3
3.1 Vocabulaire et définitions . . . 3
3.2 Méthode A : à l’aide de mesures multiples . . . 5
3.3 Méthode B : analyse "théorique" . . . 8
4 Propagation des incertitudes . . . 11
1 Introduction
Mesurer des grandeurs identifiées est une activité fondamentale dans les laboratoires de recherche scientifique et dans l’industrie. C’est aussi fondamental dans de nombreuses activités quotidiennes comme le pesage dans les commerces, les analyses biologiques, la mesure de vitesse avec un radar, . . .
1
Il est nécessaire d’établir la confiance dans les résultats fournis lors de ces mesures.
Mesurer une grandeur (intensité d’un courant, tension, longueur,. . .), n’est donc pas simplement rechercher la valeur de cette grandeur mais aussi lui associer une incertitude afin de pouvoir qualifier la qualité de la mesure.
Déterminer une incertitude de mesure est une opération difficile et complexe, mais néanmoins indispensable (et pas seulement en TP, bien sûr).
Lorsque vous êtes verbalisé à 95 km/h pour une vitesse maximale autorisée de 90 km/h, vous êtes en droit de supposer que le radar a mesuré la vitesse de votre vé- hicule à95±3 km/h. Donc, si l’incertitude est donnée pour un intervalle de confiance de99,7% (+/- 3 écart-types), votre véhicule roulait entre92et98 km/h(avec une pro- babilité de99,7% ). Pas de chance !
Quoi qu’il en soit, en Travaux Pratiques, vous ne devrez jamais donner un résultat de mesure sans l’accompagner de son incertitude,. . .sous peine d’être "verbalisés".
2 Présenter un résultat de mesures
2.1 Des exemples
Vous mesurez l’angle d’un prisme. Le résultat doit être donné sous la forme :
A= 59 5804500±1500 Vous mesurez la focale d’un système optique :
f = 51,0 mm±1,5 mm
Ou encore une résistance :
R= 101⌦±5⌦
2.2 Chiffres significatifs
Donnez toujours les résultats avec un nombre raisonnable de chiffres significatifs et en accord avec l’incertitude. Surtout PAS de :
R= 101,6598⌦±5⌦
Attention, en particulier, avec les tableaux Excel dans lesquels vous de- vez choisir le nombre de chiffres affichés, sous peine là encore de donner l’impression d’avoir obtenu des précisions hors échelle !
Si vous mesurez la distance focale d’un système par la méthode simple y0/tan(✓)et que vous donnez le tableau suivant :
✓ ✓( ) y0(mm) f0 =y0/tan(✓)(mm) 2 5004500 2,845833333 9,8 197,143412
TABLE1 – Exemple A NE PAS suivre !
Vous prétendez alors mesurer la focale avec une précision nanomé- trique !
Préférez ce tableau :
✓ ✓( ) y0(mm) f0 =y0/tan(✓)(mm) 2 5004500 2,85 9,8 197
TABLE2 – Exemple à préférer !
Et dans tous les cas, le résultat final de la mesure effectuée donnera l’incertitude, par exemple :
f0= 197±5 mm
L’incertitude a au plus 2 chiffres significatifs et est toujours arrondie par valeur supérieure. Et pour la valeur mesurée, le dernier chiffre signi- ficatif a le même rang que celui de l’incertitude.
3 Évaluation des incertitudes
3.1 Vocabulaire et définitions
Mesurage (ou mesure). On appelle mesurage (ou mesure) l’ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement une ou plu- sieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur.
La valeur vraie. Lorsque l’on fait une mesure, c’est, bien sûr, que l’on ne connaît pas la valeur vraie. La valeur vraie est inconnaissable.
Dans un compte rendu, vous ne pouvez donc pas écrire que vous avez effectué une « bonne » mesure, car le résultat de mesure est « proche de la vraie valeur » ! Il est préférable de donner l’écart à la valeur tabulée (ou trouvée dans le Hand Book, ou donnée dans le polycopié,. . . , et qui elle aussi est, en principe, donnée avec son incertitude) est de tant, ou de tant de % en valeur relative. On peut ensuite comparer cet écart à votre évaluation de l’incertitude sur votre mesure.
Répétabilité : les résultats de mesures successives d’une même gran- deur sont obtenus par la même méthode, par le même opérateur, avec les mêmes instruments de mesure, dans le même laboratoire, et à des inter- valles de temps assez courts.
Reproductibilité : les résultats de mesures successives d’une même grandeur sont obtenus par méthodes différentes ou au moyen de différents instruments de mesure, par différents opérateurs dans différents labora- toires.
Erreur systématique : Par définition, l’erreur systématique est l’ecart moyen à la valeur vraie : M ValeurVraie. En toute rigueur, M est la moyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages de la même gran- deur, effectués dans les conditions de répétabilité et de reproductibilité. La vraie valeur étant inconnaissable, il en est de même pour l’erreur systé- matique. En revanche, si elle est détectée, une erreur systématique, doit évidemment être corrigée.
Ces définitions sont illustrées sur le graphique de la figure 1.
Grandeur inconnue à mesurer
Valeur vraie
Résultat des mesures successives
m1, m2, . . . mN
-M
Erreur systématique
Écart type : répétabilité ou reproductibilité -
- - -
m1
m2
m3
m4
Processus de mesure
Processus analogue à la " planche de Galton“
(voir figure 2)
Résultat affiché M = N1qPN
i=1mi
FIGURE1 – Illustration du processus de mesure.
3.2 Méthode A : à l’aide de mesures multiples
Lorsqu’on répète plusieurs fois la mesure d’une grandeur physique, on obtient généralement différentes valeurs plus ou moins dispersées :
m1, m2, . . . , mn
Dans la plupart des cas, ces résultats de mesure suivent une distribution normale (ou Gaussienne). Ceci provient du fait que plusieurs sources in- dépendantes contribuent généralement à cette erreur (Théorème Central Limite ,cf.cours 1A Maths et signal et illustration de la figure 2).
FIGURE 2 – Illustration de l’importance du modèle Gaussien des phéno- mènes aléatoires par l’expérience de la planche de Galton. La planche est inclinée. Les billes tombent et heurtent au hasard les clous (grand nombre de processus aléatoires) et se répartissent selon. . . . une loi Gaussienne.
Crédit Wikipédia
A partir de ces résultats de mesures, on va pouvoir donner, la meilleure estimation du résultat de la mesure par la moyenne arithmétique :
M = 1 N
XN
n=1
mnpourN mesures
Et l’écart type expérimental :
= vu ut 1
N 1
XN
n=1
(mn M)2
L’écart type expérimental pour une infinité de mesures de distribution gaussienne permet de calculer l’incertitude correspondant un intervalle de confiance. On affichera une incertitude de :
— m= 2 pour un intervalle de confiance à 95%
— m= 3 pour un intervalle de confiance à 99,7 %.
Ces "confiances à XX%" sont des probabilités, illustrées par les courbes de la figure 3 :
x p(x) = p2⇡1 e x
2 2 2
68, 3 %
x p(x)
2
95 %
FIGURE3 – Distribution Gaussienne et intervalles de confiance Un nombre limité de mesures ne permet que d’estimer cet écart-type expérimental mais la loi de Student (tableau ci-dessous) permet le calcul de l’incertitude.
Niveau de
confiance 5 mesures 10 mesures 20 mesures > 100 me- sures
50 % 0,73· 0,70· 0,69· 0,67·
68 %
70 % 1,16· 1,09· 1,06· 1,04·
87 % 1,5·
90 % 2,02· 1,81· 1,73· 1,65·
95 % 2,57· 2,23· 2,09· 1,96·
99 % 4,03· 3,17· 2,85· 2,56·
99,7 % 3·
99,9 % 6,87· 4,59· 3,85· 3,28·
99,999 999
8 % 6·
TABLE3 – Loi de Student : écart type et niveau de confiance En travaux pratiques, on prendra simplement :
m= 2 ou3
Ce qui, à partir de 10 mesures, correspond à un intervalle de confiance supérieur à 90%.
3.3 Méthode B : analyse "théorique"
Si vous ne faites qu’une seule mesure (ou seulement quelques mesures), l’approche statistique n’a pas de sens. Seule une analyse rigoureuse des sources d’incertitude est possible. C’est ce qui est désigné par une évalua- tion de type B de l’incertitude.
On doit essayer dans ce cas d’identifier toutes les sources d’incertitude dans le processus de mesure et d’évaluer leur importance. C’est en général la partie de loin la plus délicate du problème.
Exemple des pointés longitudinaux
Par exemple lorsqu’on effectue le pointé longitudinal du foyer image d’un système optique sur un banc à l’aide d’un viseur à frontale fixe, on identifie au moins trois sources d’incertitude : L’incertitude des pointés longitudinaux est due en principe à 3 facteurs :
— la diffraction,
— la profondeur d’accomodation,
— et l’incertitude de lecture.
La diffraction Le diamètre de la tache de diffraction est = n1.22sin(↵0), où désigne la longueur d’onde, ce qui entraîne une incertitude sur le pointé de :
zdiff⇡ 2 tan(↵0) ⇡ 2 (↵0)2 (voir schéma de la figure 4).
2 zDiff
FIGURE4 – Évaluation de l’incertitude de pointé due à la diffraction
Profondeur d’accomodation Cette incertitude correspond à l’erreur faite si l’œil accomode à la distance minimale (c’est à dire 250 mm pour
un·e jeune étudiant·e) par rapport au fonctionnement normal de l’oculaire c’est à dire sans accomodation, image à l’infini.
A0 Foc|
Objectif viseur Oculaire viseur
A
FIGURE5 – Évaluation de l’incertitude de pointé due à l’accomodation. Au lieu de viser l’infini, l’œil viseA0. L’image de la mire est placée enAau lieu d’être placée au foyer objet de l’oculaire.
Le viseur est donc mal placé, le décalage est zacc = AF(gyoc)2 car le gran- dissement longitudinal de l’objectif du viseur est(gy)2. Or par la formule de Newton :
Foc0 A0·FocA= foc2
OrFoc0 A0 = 250 mm( si l’ œil est placé au niveau du plan focal image), on peut donc écrire :
zacc= foc2 (gy)2·250
(Et la focale de l’oculaire estfoc = 25 mmsi le grossissement commercial est de10.)
L’incertitude de lecture :
zlect= 0.02 mm sur les règles numériques en TP.
La variance d’une somme d’incertitudes se calcule aisément quand celles- ci sont décorrélées (fig.5). Dans la pratique, heureusement, les sources d’incertitudes sont le plus souvent indépendantes, donc décorrélées. Après avoir identifié les sources d’incertitude et leur valeur, il faut vérifier si ces sources sont corrélées ou non corrélées. Dans l’exemple précédent (comme
dans la plupart des cas), elles sont indépendantes, on obtient alors l’incer- titude globale en effectuant la somme quadratique des termes évalués (cf.
Cours Maths et Signal 1A).
zpointé longitudinal=q
zdiff2 + zacc2 + z2lect
Il est très important de noter que si une source d’incertitude est plus faible que les autres (par exemple 3 fois plus faible), son influence sera négligeable (9 fois plus faible que les autres sources dans ce cas) sur l’in- certitude globale.
Dans l’exemple précédent des pointés longitudinaux, dans le cas où : zdiff = 0.03 mm
zacc = 0.06 mm zlect = 0.02 mm L’incertitude totale est alors :q
z2diff+ zacc2 + zlect2
zpointé longitudinal = 0.07 mm
L’incertitude de lecture est négligeable et il est inutile de la prendre en compte.
Il est donc toujours très important d’essayer d’identifier les sources d’in- certitudes les plus grandes. On néglige ensuite le plus souvent les sources dont l’influence est négligeable.
Sur les incertitudes de lecture
Appareil à affichage numérique : L’incertitude d’une mesure réalisée à l’aide d’un appareil à affichage numérique N’EST PAS donnée par le der- nier chiffre affiché. Il est nécessaire de connaître les caractéristiques de l’appareil de mesure pour pouvoir l’évaluer. La documentation de l’appa- reil stipule généralement deux grandeurs sous la rubrique « précision ».
La première valeur est une incertitude en pourcentage de la valeur lue, la deuxième est un nombre de digits qui correspond à l’incertitude sur le dernier chiffre affiché (attention : cette dernière correspond donc à une incertitude en pourcentage de la pleine échelle !).
Exemple : quelle est l’incertitude sur la valeur de 400.00 mA affichée par un ampère-mètre ? La documentation de l’ampère-mètre indique une précision de :
±0,05%±4d
Alors le résultat de la mesure du courant est :400.00±0.24 mA, que l’on peut réécrire avec une légère surestimation de l’incertitude :400.0±0.3 mA.
Mais, si la valeur affichée est 001.12 mA, le résultat de la mesure du courant sera :001.12±0.04 mAsoit une incertitude relative très médiocre de 3,6 % (il faut bien évidemment changer de le calibre si c’est possible ! ).
Lecture de graduations Sur un vernier ou un réticule, comme sur la figure 6, l’incertitude est donnée par l’écart entre 2 graduations, Grad.
Réticule
Mire à mesurer
FIGURE6 – Vernier de vis micrométrique et réticule d’oculaire Le vernier des vis micrométriques est gradué au 2/100 de mm. Il est prudent de faire confiance au constructeur et prendre une incertitude de lecture de±0,02 mm.
Autre exemple, un réticule d’oculaire vous permet de mesurer la dimen- sion de l’image d’une mire graduée. L’espacement entre deux graduations est de0.1 mm. On lit :
y0(9 graduations de la mire)= 2,3 mm±0.1 mm
soit une précision relative de 4,3%. Utiliser un maximum de graduations du réticule permet de diminuer cette incertitude de lecture. Si on utilise les 100 graduations disponibles du réticule de10 mm, l’incertitude de lecture relative sera à sa valeur minimale de l’ordre de 1%.
4 Propagation des incertitudes
Cette partie est parfois curieusement dénommée calcul d’incertitude.
C’est de loin la partie la plus simple de toute cette annexe. Par exemple, vous cherchez à évaluer l’incertitude sur une grandeuryqui dépend d’une autre grandeurx, (y=f(x)) et vous avez évalué l’incertitude surx. L’outil mathématique différentiel (ou dérivée) vous donne immédiatement le ré- sultat. Ce que vous cherchez est l’influence d’une faible variation dexsur la grandeury(voir figure 7). Et si vous avez peur de vous tromper dans le
calcul formel de la dérivée, un calcul numérique à l’aide d’un tableau Excel (ou n’importe quel autre outil de calcul numérique, calculette, Matlab,. . . ) vous permet tellement simplement de vous passer du calcul formel de cette dérivée. L’incertitude suryest :
y= df
dx(xmesuré) · x
x y=f(x)
•
Xm
Ym
x y
df dx y= dxdf(Xm) · x
FIGURE 7 – Influence de l’écart-type d’une variablexsur la variabley = f(x).
Siydépend de plusieurs autres grandeurs selon : y=f(x1, x2, x3, . . .)
et que vous connaissez l’incertitude de chacune de ces grandeurs, c’est l’ou- til différentiel qui permet d’obtenir l’incertitude résultante sur la grandeur y. Les étapes du raisonnement :
Le calcul de la différentielle totale exacte permet tout d’abord de quantifier l’influence d’une faible variation de chacun des paramètres x1, x2, x3, . . . sur la valeur de la grandeury:
dy= @f
@x1
(x1m)dx1+ @f
@x2
(x2m)dx2+ @f
@x3
(x3m)dx3+. . . (1)
Dans le cas d’une fonctionf s’exprime sous forme de produits et de quotients, il est plus utile de déterminer la dérivée logarithmique.
Par exemple dans le casy= x21xx32 on obtient directement :
dy
y = 2dx1
x1
+dx2
x2
dx3
x3
La prise en compte de la somme des effets des incertitudes de cha- cune des variables est réalisé facilement si les grandeursx1, x2, x3, . . . sont toutes décorrélées les unes des autres. Dans ce cas, c’est une somme quadratique qui permet d’obtenir l’incertitude résultante :
y=
s✓@f(x1m)
@x1
x1
◆2 +
✓@f(x2m)
@x2
x2
◆2 +
✓@f(x3m)
@x3
x3
◆2 +. . . Dans le cas d’une fonctionf sous forme de produits ou de quotients,(2) on exprime des incertitudes relatives plutôt qu’absolues directement à partir de la dérivée logarithmique, pour l’exemple précédent :
y y =
s 4
✓ x1
x1
◆2
+
✓ x2
x2
◆2
+
✓ x3
x3
◆2
Pourquoi une somme quadratique ? L’équation (1) décrit une varia- tiondy comme une somme pondérée des variationsdx1, dx2, . . .. Chacune de ces variations est modélisée par une variable aléatoire. La variable aléa- toire dy s’écrit donc comme la somme de plusieurs variables aléatoires.
L’incertitude est proportionnelle à l’écart-type de cette variable aléatoire, c’est à dire à l"amplitude moyennée" des variations. Dans le cas de variables aléatoiresdx1, dx2, . . . décorrélées, on sait que "la variance de la somme est égale à la somme des variances", d’où la somme quadratique des écart-types et donc des incertitudes de l’équation (2). La figure 8 donne l’allure de la densité de probabilité d’une somme de variables aléatoires gaussiennes decorrélées.
x pA1(x),pA2(x)
1 2
| MA1
| MA2
x pA1+A2(x)
| MA1+MA2
=p 2
1+ 22
FIGURE 8 – Somme de deux variables aléatoires décorrélées A1 et A2. Écart-type résultant
Si la dérivée est laborieuse à calculer, un calcul numérique avec Ex- cel ou tout autre outil peut être utilisé. Par exemple, la mesure de l’indice npar le minimum de déviation d’un prisme est obtenue par la formule :
n= sin A+D2 m sin A2
Dm est l’angle minimum de déviation et A ... L’incertitude sur l’indicen dépend des incertitudes surAetDm( Aet Dm). Avec un outil informa- tique de calcul, il est facile de calculer les deux grandeurs suivantes :
n+ nDm =sin A+Dm2+ Dm
sin A2 et n+ nA=sin A+ A+D2 m sin A+2 A L’incertitude sur l’indicensera donnée par par la somme quadratique des 2 termes, en supposant les incertitudes surAetDmnon corrélées (elles le sont si elles sont statiquement indépendantes) :
n=q
n2Dm+ n2A
Mesures optiques visuelles.
Pointés longitudinaux et transversaux.
Focales et frontales de systèmes optiques.
Rayons de courbure.
Le TP se déroule sur deux séances. Le compte rendu global est à rendre une semaine après la deuxième séance.
Les questions P1 et P2 doivent être préparées avant la séance.
Sommaire
Introduction . . . 16
Conseils pratiques . . . 16
Rappels d’optique paraxiale . . . 17
1 Mesures rapides de focale . . . 17
1.1 Dispositif de mesure . . . 18
1.2 Première étude : Doublet . . . 19
1.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille di- vergente . . . 21
1.4 Pointés longitudinaux. Précautions et inscertitudes 22 1.5 Alignement du banc . . . 22
1.6 Analyse de la précision des pointés longitudinaux. 24 1.7 Mesures et incertitudes . . . 26
2 Mesures de rayons de courbure . . . 26
2.1 Principe de la mesure par autocollimation . . . 26
2.2 Précision de pointé . . . 27
2.3 Miroir concave. Mesures et incertitudes . . . 27
2.4 Lentilles plan-convexe . . . 27 15
Introduction
Ces deux séances de Travaux Pratiques sont une première occasion de mettre en œuvre des principes de l’optique instrumentale et de mesures optiques étudiés en cours en première année, d’apprendre à faire des me- sures précises et rigoureuses et d’évaluer soigneusement la précision de ces mesures. Ces mesures permettront de déterminer la distance focale et les frontales avant et arrière de systèmes optiques, ainsi que des rayons de courbure de miroirs ou de dioptres. Le TP se déroule sur deux séances. Au cours des deux séances vous allez mesurer :
— la focale et la position des éléments cardinaux d’un objectif vidéo,
— la focale d’un doublet convergent et d’une lentille divergente,
— le rayon de courbure d’un miroir non aluminé,
— les rayons de courbures des deux dioptres d’un condenseur.
A l’issue de ces deux séances vous serez capables de :
— concevoir le protocole de mesure des grandeurs géométriques d’un système optique,
— choisir les instruments et mettre en œuvre de telles mesures,
— évaluer les incertitudes.
Conseils pratiques
Compte-rendu Un seul compte-rendu rassemblera l’ensemble de vos résultats et de vos remarques. Ce compte-rendu doit avoir l’esprit d’un rapport scientifique fait par un·e ingénieur·e et répondant aux probléma- tiques qui lui sont posées (avec introduction, conclusion, etc...). Répon- dez bien à toutes les questions du sujet sans pour autant présenter votre compte-rendu comme une simple succession de réponses : vous prendrez soin d’analyser et d’interpréter le plus clairement possible vos observa- tions, en faisant part des difficultés rencontrées le cas échéant. Il est éga- lement demandé de ne pas recopier ou paraphraser des paragraphes en- tiers du sujet (notamment les procédures de réglage) : si besoin, donnez-en simplement les grandes lignes en faisant référence au texte.
Mesures Utiliser correctement les réticules afin d’obtenir les mesures les plus précises possibles, c’est à dire le plus grand nombre de gradua- tions. Toujours noter les conditions de mesures (objectif de viseur utilisé, nombre de graduations,. . .) On donnera systématiquement toutes lesme- sures brutes(nombre de graduations,. . .), puis l’analyse de ces mesures, de façon à permettre de revenir rapidement sur des incohérences et iden- tifier s’il s’agit d’erreurs de calcul ou de mesure.
Incertitudes Il vous est demandé d’évaluer les incertitudes de mesures avec soin, l’annexeLes incertitudes de mesure en Travaux Pratiquesdonne des éléments pour vous y aider.
Rappels d’optique paraxiale
Dans le cadre de l’approximation paraxiale, tout système optique (à l’exception des systèmes afocaux) peut être modélisé par ses plans prin- cipaux (objet et image) et ses foyers (objet et image). La distance focale image estf0 = H0F0. Si les milieux de part et d’autre du système ont le même indice, la distance focale objetHF estf = f0 (fn = fn00 sinon ).
La focalef0détermine la dimension de l’image d’un objet situé à l’infini, c’est à direy0 = ftan(✓) =f0tan(✓0), où✓est la dimension angulaire d’un objet situé à l’infini ety0 la dimension de son image par le système optique étudié comme représenté sur la figure 9.
H H0
F0
F |
|
✓
✓0
y0
FIGURE9 – Schéma de la configuration1- Foyer d’un système optique. La tailley0de l’image d’un objet de dimension angulaire✓esty0=f0tan(✓0)
P1 Dans quel cas a-t-on✓=✓0?
1 Mesures rapides de focale par la mesure de la taille de l’image (pointés transversaux).
Les méthodes de mesures de la focale que nous allons étudier sont très importantes pour un ingénieur-opticien. Il apparaît souvent que la focale réelle d’un système optique acheté dans le commerce diffère de 2 à 5% de la valeur donnée en catalogue ou gravée sur la monture mécanique. Cette dif- férence peut compromettre le bon fonctionnement d’un instrument conçu sans avoir vérifié les valeurs données en catalogue.
La méthode la plus directe pour mesurer une distance focale est donc de mesurer la dimension de l’image d’un objet situé à l’infini et dont on connaît la dimension angulaire. Cette approche est parfois appelée : "mé- thodey0/tan(✓)".
1.1 Dispositif de mesure
En pratique, une mire graduée,Mc, placée au foyer du collimateur joue le rôle d’objet à l’infini dont la dimension angulaire est connue. La mesure de la dimension angulaire de la mireMc a été effectuée soigneusement à l’aide d’un goniomètre. Elle est inscrite sur le collimateur en degrés, mi- nutes (1/60 ) et secondes d’arc (1/3600 ).
La mesure de la dimension transversale,y0, de l’image de la mire gra- duéeMc, par le système optique à étudier permet donc d’obtenir simple- ment la focale d’un système optique. Cette mesure sera réalisée avec pré- cision à l’aide d’un viseur à frontale fixe (c’est-à-dire un microscope).
Objectif étudié
H H0
F0
F |
|
Foyerimagedel’objectifétudié
Foc
| Foyerobjetdel’oculaire Réticule
Objectif viseur Oculaire viseur
Collimateur
Mc y0 y00
FIGURE10 – Schéma complet du montage
Deux protocoles sont possibles pour mesurer cette dimensiony0 : 1. la mesure de la dimensiony00, image dey0par l’objectif de viseur sur
le réticule de l’oculaire,
2. la mesure directe de la dimension y0 par déplacement transversal du viseur.
P2 Faire un schéma clair du montage sur le document fourni en annexe (et disponible sur le site du LEnsE). Tracer le cheminement d’un faisceau de rayons (au moins 2 rayons donc !) pour un point objet de la mire graduée du collimateur hors d’axe.
1.2 Première étude : Doublet
Alignement du banc et réglage du viseur
La hauteur de l’axe optique est ici fixée par la hauteur du mandrin auto centreur (puisque celui-ci n’et pas réglable). De même, la même position latérale de l’axe est imposée par le collimateur si celui ci n’est pas réglable.
Placer tous les éléments nécessaires sur le banc en vérifiant attenti- vement que tous les éléments sont bien centrés, à la hauteur du mandrin et bien alignés.
Prendre soin de placer le doublet convergent dans le bon sens d’utili- sation.
Régler l’oculaire à votre vue. Pour cela, dévisser le verre d’œil puis le revisser progressivement jusqu’à voir le réticule net, tout en gardant le deuxième œil ouvert afin d’éviter d’accommoder.
Monter l’objectif de grandissement x2.5 sur le viseur.
Protocole 1. Mesure dey00
On souhaite donc mesurer l’image agrandie de la mire,y00, par l’objectif du viseur à l’aide du réticule de l’oculaire (pointé transversal). Le réticule des oculaires de longueur 10 mm est gradué en 1/10ème de millimètre (100 graduations). Dans ce cas, il est nécessaire de déterminer avec précision le grandissement de l’objectif du viseur à l’aide d’une mire objet, graduée elle aussi au 1/10ème de millimètre.1
Étalonnage de l’objectif du viseur
Placer la mire objet, éclairée par la lampe de bureau et observer avec le viseur l’image de cette mire.
1. On ne peut se fier aux valeurs de grandissement données par le constructeur car les longueurs de tubes utilisés pour nos viseurs ne correspondent pas assez précisément aux valeurs standards des tubes de microscopes commerciaux (cf. cours et TP sur le microscope)
Mesurer à l’aide du réticule de l’oculaire la taille de cette image. Pour cela il peut être nécessaire de déplacer le viseur transversalement afin d’aligner une graduation de l’image de la mire étalon avec une graduation du réticule de l’oculaire. Prendre le plus grand nombre de graduations pour diminuer les incertitudes de mesures.
⌃ Déduire de cette mesure le grandissement du viseur.
⌃ Quelle est l’incertitude de cette mesure si on suppose que la principale source d’incertitude est l’erreur de lecture d’une graduation sur le réticule de l’oculaire ?
Mesure de focale et incertitudes
Mesurer la focale du doublet (Clairaut). Répéter plusieurs fois la me- sure (une dizaine de mesures). Indiquer l’incertitude de mesure expéri- mentale. Se référer à l’annexe sur "les incertitudes de mesures en TP".
⌃ Quelle est l’incertitude attendue ? Est-elle cohérente avec celle mesu- rée par répétabilité ?
Protocole 2 : utilisation de la vis de déplacement transversal Une autre méthode consiste à mesurery0directement, par déplacement transversal du viseur (pointé transversal). Une graduation du réticule de l’oculaire sert de repère pour cette mesure. Le déplacement est lu à l’aide du vernier de la vis micrométrique fixé sur le support viseur. Ce vernier est gradué en 2/100 de millimètre (25 graduations pour 1 tour = 0.5 mm).
Mesurer la focale du doublet (Clairaut) par cette deuxième méthode.
⌃ Évaluer les incertitudes sur cette mesure. Comparer les résultats ob- tenus par les deux méthodes.
Mesure de frontale
Mesurer la frontale arrière du Clairaut (S0F0: distance dioptre de sor- tie du système- foyer image). Pour cela :
— déposer délicatement quelques poussières de talc sur le sommet de la lentille à l’aide de la pointe d’un crayon,
— placer le viseur dans la position où il image le foyer image du dou- blet, mettre à zéro le vernier numérique longitudinal,
— déplacer le viseur jusqu’à ce que l’image du talc soit nette,
— la valeur de la frontale se lit ainsi directement sur le vernier.
⌃ Comparer à sa focale.
Focale et frontale avant
Utiliser l’objectif à étudier dans l’autre sens et mesurer à nouveau la focale (par les 2 méthodes) et la frontale du système optique.
⌃ Commenter et faire un schéma du système.
Remplacer l’objectif du viseur par l’objectif de grandissement x6.3.
Mesurer à nouveau la focale du doublet par le premier protocole.
⌃ Commenter. Comment choisir l’objectif du viseur ?
1.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille di- vergente
Placer maintenant l’objectif vidéo, dans le sens habituel d’utilisation, dans le mandrin autocentreur.
⌃ Expliquer votre choix pour l’objectif du viseur.
Effectuer une mesure précise de la focale de l’objectif vidéo par les deux protocoles.
Mesurer sa frontale arrière.
⌃ Comparer à la focale. Où se trouve le plan principal image ?
Utiliser l’objectif dans l’autre sens et mesurer à nouveau la focale (1er protocole) et la frontale du système optique.
⌃ Tracer avec soin, à l’échelle, le schéma paraxial de l’objectif étudié (plans principaux, foyers et faces d’entrée et de sortie de l’objectif).
Mesurer enfin par la méthode de votre choix la focale d’une lentille divergente.
⌃ Expliquer le choix de l’objectif du viseur, et donner l’incertitude de votre mesure.
1.4 Pointés longitudinaux. Précautions et inscertitudes
Les mesures de frontale déjà réalisées ou les mesures de rayons de courbure à venir utilisent différents pointés longitudinaux le long du banc.
Pour obtenir des mesures précises, le collimateur, le système optique étu- dié et le viseur doivent avoir leur axe optique parallèle à l’axe de coulissage du banc de mesure.
1.5 Alignement du banc
Régler précisément un banc d’optique, c’est amener les axes optiques des divers systèmes à être confondus entre eux (ce qui définit l’axe optique du montage) et parallèles à l’axe de coulissage du banc. Vous allez réali- ser ce réglage par un alignement laser. Le faisceau d’une petite diode laser rouge va permettre de matérialiser l’axe de coulissage du banc et d’effec- tuer les positionnements des éléments par autocollimation.
Les étapes de ce réglage rapide sont décrites dans les paragraphes sui- vants.
Alignement du laser sur l’axe du banc
On dispose d’une diode laser suivi d’un dispositif à deux miroirs plans très astucieux, dit "tabouret optique". Ce dispositif utilise la propriété se- lon laquelle 2 miroirs sont nécessaires et suffisants pour aligner un fais- ceau laser sur une droite quelconque. Ce système permet un réglage in- dépendant de la translation et de la rotation du faisceau dans les deux directions, horizontale et verticale, comme indiqué sur les figures 11 et 12. Les translations du faisceau sont utilisées pour les réglages du trou à faible distance, les rotations pour les réglages à grande distance.
Diode Laser
Rotation du miroir M2 )réglage de rotation du faisceau
Rotation du support
)réglage de la translation du faisceau
FIGURE11 – Schéma de principe du "tabouret optique"
FIGURE12 – Tabouret optique
Aligner le faisceau laser avec l’axe du banc. Pour cela :
— Fixer un trou dans le mandrin auto-centreur (vérifiez que le man- drin est centré sur le banc pour que le trou le soit aussi !) et le dé- placer au bout du banc,
— Règler la rotation du faisceau à l’aide du "tabouret optique" afin que le faisceau laser traverse ce trou,
— Repérer la position de ce trou à l’aide d’un écran percé d’un trou,
— Déplacer ce carton perforé à l’autre extrémité du banc (très proche du "tabouret optique"),
— Translater le faisceau laser à l’aide du "tabouret optique" afin que le faisceau laser traverse ce trou,
— Enfin, corriger la rotation du faisceau afin qu’il traverse les deux trous, aux deux extrémités du banc.
Le faisceau laser est alors parfaitement parallèle à l’axe de coulissage du banc et matérialise l’axe optique du montage. Le trou métallique peut être ôté du mandrin.
Réglage des autres éléments
L’écran percé d’un trou permet de visualiser les taches qui résultent des réflexions sur les différents dioptres.
Centrer rapidement le collimateur sur l’axe optique, pour cela s’assu- rer que l’on a une seule tache. Puis le basculer pour que le dioptre soit perpendiculaire à l’axe optique (obtention d’une tache centrée).
Orienter très précisément l’objectif à étudier dans le mandrin autocen- treur. Attention à ne pas toucher au déplacement transversal du mandrin qui a servi à définir l’axe optique !
Régler rapidement l’orientation du tube du viseur.
1.6 Analyse de la précision des pointés longitudinaux.
— L’axe de l’objectif doit être placé le plus précisément parallèle à l’axe de coulissage (alignement laser).
— La qualité du pointé longitudinal est améliorée en utilisant le phé- nomène de la parallaxe entre le réticule de l’oculaire et l’image ob- servée.
— Et enfin, la précision des pointés longitudinaux augmente avec l’ou- verture effective du montage.
Ce dernier point est dépendant de l’objectif du viseur.
Choix de l’objectif du viseur
L’ouverture numérique objet du viseur utilisé, ONv = n·sin(↵v), doit donc être choisie supérieure à l’ouverture numérique image du système optique étudié. Autrement dit, la pupille du montage doit être, si cela est possible, la pupille du système étudié.
P E
Objectif étudié
H H0
↵0
↵v
F0
|
Foc
|
Objectif viseur Oculaire viseur
FIGURE13 – L’ouverture numériquesin(↵v)de l’objectif du viseur doit être supérieure à celle du système à mesurer.
Pour les objectifs de microscope, l’ouverture numérique objet,ON = n·sin(↵), est gravée sur la monture.
Pour les autres objectifs, photo, vidéo , de projection ou d’agrandis- seur, c’est à dire pour tous les systèmes qui sont habituellement utilisés en conjugaison infini-foyer, c’est le nombre d’ouverture, défini parN = fP E0 , du système optique qui est indiqué sur la monture. En vertu de la relation d’Abbe (ou Relation Fondamentale des Systèmes Optiques d’Imagerie) :
sin(↵0) = P E 2f0 = 1
2N
⌃ Quel objectif de viseur choisissez-vous pour la mesure de la frontale du doublet ? Le critère sur l’ouverture numérique est-il le seul à prendre en compte ici ?
Analyse en répétabilité
Avec l’objectif de viseur choisi, chaque manipulateur fera un test de pré- cision de pointé sur le foyerF0. Ce test est destiné à comparer la précision estimée et la précision réelle de pointé (qui est propre à chaque expérimen- tateur).
Effectuer 10 pointés successifs chacun du plan focale image, F0, en défocalisant largement entre chaque pointé. Présenter les résultats avec l’écart type.
Effectuer la même expérience avec un objectif de viseur beaucoup plus fermé et comparer les précisions de pointé.
Analyse théorique
L’incertitude des pointés longitudinaux est due en principe à 3 facteurs :
— la diffraction,
— la profondeur d’accomodation,
— et l’incertitude de lecture.
⌃ Calculer la valeur de ces incertitudes et comparer à votre analyse en répétabilité.
1.7 Mesures et incertitudes
Mesurer avec la meilleure précision possible les les frontales du sys- tème optique.
⌃ Déterminer la précision de mesure de ces valeurs.
2 Mesures de rayons de courbure
2.1 Principe de la mesure par autocollimation
Cette méthode s’applique à la mesure des rayons de courbure de sur- faces optiquement polies. Il existe pour un miroir sphèrique, deux posi- tions pour lesquelles l’image obtenue par réflexion et l’objet sont confon- dus : lorsque l’objet est au centre de courbure et lorsque l’objet coïncide avec la surface. La distance entre ces deux positions est égale au rayon de courbure. Pour pointer le sommet et le centre du miroir, on utilise un microscope autocollimateur (ou viseur autocollimateur). Le schéma de ce viseur à réticule éclairé est donné sur la figure 15, page 29.
Méthode de réglage :
— On règle rapidement le miroir à étudier sur l’axe du banc en utili- sant le faisceau de la diode laser d’alignement,
— puis pointer un sommet, ce qui est facile puisque l’on connaît ap- proximativement le plan de visée du viseur autocollimateur (on connaît la distance frontale de l’objectif),
— retirer l’oculaire et translater le viseur en direction du centre en ob- servant attentivement la tache lumineuse que forme, dans la pupille de l’objectif, le faisceau réfléchi.
— En général, plus on s’éloigne du sommet plus la tache s’éloigne du centre de la pupille. On agit alors sur l’orientation du miroir pour maintenir cette tache au centre de la pupille.
— Quand on se trouve au voisinage du centre de courbure, la pupille doit à nouveau être complètement éclairée. On replace l’oculaire et en oscillant autour de cette position, on doit trouver le centre de courbure. On lit l’abscisse du centre.
— Translater le viseur pour viser le sommet correspondant à la direc- tion de l’axe. On lit l’abscisse du sommet.
Remarque Pour vérifier que l’on a bien pointé le sommet et le centre de courbure de la "bonne" face, on peut par exemple souffler de la buée sur l’autre face ; l’image ne doit pas disparaître.
2.2 Précision de pointé
Il s’agit là encore de pointés longitudinaux. La précision des pointés longitudinaux augmente avec l’ouverture effective du montage. L’ouver- ture numérique objet du viseur utilisé doit donc être choisie supérieure à l’ouverture numérique du miroir étudié. Autrement dit, dans la mesure du possible, la pupille du montage doit être le miroir.
⌃ Expliquer comment choisir l’objectif de microscope du viseur autocol- limateur pour obtenir la meilleure précision de pointé longitudinal.
2.3 Miroir concave. Mesures et incertitudes
Mesurer le rayon de courbure du miroir concave placé dans une mon- ture beige et évaluer la précision de cette mesure. Faire une étude de ré- pétabilité.
⌃ Comparer à l’erreur de pointé estimée.
2.4 Lentilles plan-convexe
Vous disposez de deux lentilles plan-convexe.
On note B le sommet de la face convexe,Ale sommet de la face plane selon le schéma de la figure 14.
⌃ Pourquoi dans ce cas particulier, la distanceBF0c’est à dire la frontale arrière est-elle égale à la focale ?
F0 B
A |
FIGURE14 – Lentille plan-convexe
Mesurer la focale de chacune des deux lentilles ainsi que les rayons de courbure de leur face convexe. Pour ces mesures, on placera les lentilles côté face convexe vers le viseur.
⌃ Justifier le choix des objectifs de microscope pour ces différentes me- sures.
⌃ Déduire de vos résultats de mesure la valeur de l’indice du verre en précisant les incertitudes.
En plaçant cette fois les lentilles côté face plane vers le viseur, mesurer la distanceAB0 oùB0 est l’image deBpar le dioptre plan.
⌃ Justifier le choix de l’objectif de microscope.
⌃ Déduire de vos mesures l’épaisseur de chaque lentille en précisant les incertitudes. On pourra comparer les résultats obtenus avec une mesure directe au palmer.
⌃ Comparer et analyser les mesures sur les deux lentilles.
FIGURE15 – Schéma de principe du viseur autocollimateur
Annexe. Schéma.
• B • A
ViseuràfrontalefixeCollimateur Miregraduée Foyerducollimateur Objectif étudié
|
F0obj.étudié | Foc Objectif viseurOculaire viseur
31 Version 2019-2020
Analyses de franges d'égale épaisseur
TP 1 : Interféromètre de Fizeau
Analyse visuelle
Analyse par démodulation d’une porteuse spatiale
TP 2 : Interféromètre de ZYGO
Analyse par décalage de phase (phase-shift)
Préparation du TP :
- Lire l’introduction qui présente des rappels d’optique physique sur les interférences et les 3 méthodes de mesures de contrôles interférométriques utilisées au cours de ces deux séances.
- Il est impératif répondre aux questions de préparation P1 et P2
avant la séance. Les réponses seront vérifiées par l’enseignant·e
responsable de la séance.
32
Travail demandé :
Une boîte d’échantillons numérotée est confiée à chaque binôme ou trinôme. Elle comprend un miroir plan et 2 lames à face parallèle présentant des défauts. Le numéro des échantillons sera reporté clairement dans compte rendu.
Les défauts de chaque échantillon (planéité pour le miroir, défaut d’épaisseur et planéité des faces pour les lames) seront mesurés le plus précisément possible pendant les 2 séances de TP sur les deux interféromètres à l’aide de toutes les méthodes de mesures disponibles.
Dans un premier temps, on se référera toujours à l’observation et l’analyse visuelle de l’interférogramme.
Toutes les mesures effectuées aux cours des deux séances seront comparées entre elles et commentées.
Il est donc indispensable d’orienter les lames de la même manière lors des mesures sur les deux interféromètres (Fizeau ou Zygo) afin de comparer clairement les résultats.
Certains binômes feront d’abord le TP 2 avant le TP 1. Quoi qu’il en soit, on prendra bien soin de noter l’orientation des échantillons mesurés et les conclusions de l’analyse à chaque séance de TP.
On enregistrera les interférogrammes commentés au fur et à mesure des 2 séances de TP, et on les emportera sur une clé USB.
33
Compte rendu
:Le compte rendu est à rendre une semaine après la 2ème séance.
Il devra présenter une synthèse des mesures, précises et comparées, des défauts des échantillons obtenues pendant les 2 séances (illustrées par quelques interférogrammes bien choisis). On analysera dans tous les cas l’incertitude de mesure sur les défauts et la cohérence de ces mesures.
Le CR ne devra pas excéder 8 pages.
Attention : Sur les images d’interférogrammes que vous obtiendrez et présenterez dans le rapport, l’écart entre deux franges peut correspondre à une variation d’épaisseur ou de hauteur de
l
/2,l
/2n,l
/2(n-1),…Expliquez et justifiez à chaque fois très clairement la valeur de cet écart (c’est-à-dire, le choix du « wedge factor »).34
Ces deux séances de travaux pratiques ont pour but de présenter quelques méthodes d’interférométrie couramment utilisées pour caractériser la qualité de composants optiques usuels (lames à faces parallèles, miroirs plans, miroirs de télescope, systèmes optiques…). Ces techniques permettent de quantifier la qualité des composants optiques finis ou au cours de la fabrication.
1. La qualité d'un miroir plan, sphérique ou asphérique est caractérisée par l'écart entre sa surface réelle et la surface souhaitée.
2. La qualité d'une lame à faces parallèles est déterminée d’une part par l'écart à la planéité “parfaite” de ses deux faces et d’autre part par son défaut d’épaisseur de (l’épaisseur étant donnée localement par e0+de).
3. La qualité d’un système optique (objectif, lunette afocale,…) est caractérisée par l'écart entre sa surface d’onde réelle dans la pupille de sortie du système et la surface d’onde souhaitée.
a) Ces écarts sont souvent exprimés en longueur d’onde (en général, la longueur d’onde de référence est celle de He-Ne, c’est-à-dire 632.8 nm).
Ils peuvent aussi être exprimés en microns ou nanomètres.
b) Les valeurs de ces écarts sont données, soit par leur valeur crête à crête (Peak-to-Valley, PV), soit par leur écart type (Root Mean Square ou RMS ou écart type).
c)
Remarque très importante :
si la distribution des défauts est proche d’une distribution « normale » (ou distribution Gaussienne),35 donc très important de bien préciser si la valeur mesurée est une valeur PV ou RMS. Une optique dont le PV est de 1 l est de bonne qualité alors qu’une optique de 1 l RMS est très mauvaise.
Site à consulter pour ces méthodes interférométrique :
Cours de Pascal Picard dans le site Optique pour l’Ingénieur, abondamment utilisé pour ce texte de TP
http://www.optique-
ingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M02_C06/co/Contenu_10.html
Article de référence pour les méthodes de Phase-Shift :
Chapitre « Phase Shifting interferometry » de J.E. Greivenkam and J.H.
Bruning (page 501) du livre Optical Shop Testing, édité par Daniel Malacara (1992 John Wiley & Sons, Inc.)
1. Rappels généraux sur l’interférométrie optique
Un grand nombre de techniques de mesures optiques reposent sur le phénomène d'interférence à deux ondes.
Par exemple, une onde plane réfléchie par les deux faces d’une lame à faces quasi-parallèles donne deux fronts d’onde quasi-parallèles (fig. 1.a). Le déphasage, j (x,y), entre ces deux ondes varie localement en fonction de la variation d’épaisseur de la lame. On observe une figure de franges d’interférence (appelée couramment interférogramme) qui permet de mesurer le défaut d’épaisseur de la lame.
36
une surface optique à contrôler (fig.1.b). L’interférogramme permettra dans ce cas de mesurer les défauts de planéité de la surface à étudier.
En effet, si localement les deux ondes sont en phase, c’est-à-dire j (x, y) = 0 (mod 2p ), on obtiendra une frange brillante. Au contraire, si elles sont en opposition de phase, c’est-à-dire j (x, y) = p (mod 2p), on obtiendra une frange sombre.
Fig.1 : Principe de mesure des défauts d’épaisseur (a) et de surface à l’aide d’un plan étalon (b).
Ces franges sont appelées « franges d’égale épaisseur » (comme les franges du coin d’air étudiées pendant le TP Michelson).
De manière générale, pour un éclairage parfaitement cohérent (ce qui sera toujours le cas lors de ces deux séances de TP), l’éclairement dans le plan des franges est donné par :
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) cos( ( , ))
E x y = E x y + E x y + E x y E x y j x y
37 qui peut s’écrire :
où C est le taux de modulation (ou « contraste ») des franges :
C se déduit facilement des amplitudes relatives des 2 ondes qui interfèrent et la phase, j (x,y), est directement reliée à la différence de marche entre les 2 ondes :
P1 : Donnez l’expression de la différence de marche, D, entre les rayons réfléchis par chacune des faces en fonction de n, l’indice du verre, e, l’épaisseur, de, le défaut d’épaisseur et de r, l’angle de réfraction par le dioptre air-verre (Fig. 1.a).
Donnez le sens de variation de D en fonction de l’angle d’incidence, i.
En incidence normale, à quelle variation d’épaisseur, de, correspond l’écart entre deux franges brillantes ou sombres consécutives?
P2 : On rappelle que le facteur de réflexion de la lumière sur un dioptre air-verre (ou verre-air) en incidence normale vaut 4 %. Calculez le taux de modulation pour des franges d’interférence entre les deux ondes réfléchies par une lame de verre.
E( x, y) = ( E
1(x, y) + E
2(x, y))(1+ 2 E
1(x, y) E
2(x, y)
E
1(x, y) + E
2(x, y) cos( ϕ (x, y)) ( , )
0( , )(1 ( , )cos( ( , ))
E x y = E x y + C x y j x y
max min
max min
E E
C E E
= -
+
2 ( , )
( , ) x y
x y p
j l
= D
38
1. Analyse visuelle des interférogrammes :
Les franges que l’on observe sont toujours des franges d’égale épaisseur.
Ces franges sont donc analogues à des lignes de niveaux sur une carte topographique (carte IGN).
Fig 2 : Interférogramme et lignes de niveau
39 toujours égale à l. L'analyse visuelle permet facilement d’obtenir la valeur PV du défaut du front d’onde (il suffit de compter les lignes de niveau !). Par contre, elle ne donne pas le signe de ce défaut. Par exemple, sur la figure 2, on voit un défaut de front très localisé de PV environ 3 l. Mais on ne peut pas savoir s’il s’agit d’une bosse ou d’un creux.
L’analyse visuelle est une première démarche expérimentale indispensable qui permet de donner la valeur approchée et la forme du défaut, mais elle devra, si c’est possible, être complétée par une méthode de démodulation de phase spatiale ou temporelle.
2. Démodulation de phase spatiale ou temporelle.
On cherche à mesurer dans l’expression de l’éclairement.
Le principe général est d’ajouter une porteuse (un signal modulé) à cette phase que l’on souhaite mesurer. Cette porteuse peut être soit temporelle dans le cas des méthodes de décalage de phase, soit spatiale. Pour ajouter une porteuse spatiale, il suffit d’introduire un angle (on dit souvent un « tilt ») entre la surface mesurée et la surface de référence. On obtient alors des franges à peu près parallèles.
2 ( , )
( , ) x y
x y p
j l
= D
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) cos( ( , )) E x y = E x y + E x y + E x y E x y j x y
( , ) x y
j
40
spatiale :
En effet, si l’on introduit un tilt entre la surface mesurée et la surface de référence, il apparait des franges parallèles (comme pour les franges du coin d’air dans le TP Michelson).
L’éclairement dans l’interférogramme est dans ce cas :
où u0 et v0 sont les fréquences de la modulation (ou porteuse) spatiale selon les directions x et y.
Ou, en introduisant la notation complexe et en posant :
Si maintenant on calcule la Transformée de Fourier à deux dimensions de l’éclairement, on obtient :
Il apparait donc dans le plan de Fourier deux lobes latéraux bien séparés (fig.3) aux fréquences spatiales et qui contiennent l’information de phase recherchée.
1 2 1 2 0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) cos( ( , ) 2 2 ) E x y = E x y + E x y + E x y E x y j x y + p u x + p v x
0 0
( , ) ( , ) ( , )cos( ( , ) 2 2 ) E x y = a x y + b x y j x y + p u x + p v x
( , )
( , ) ( , )
i x yc x y = b x y e
j0 0 0 0
2 ( ) 2 ( )
( , ) ( , )
1 1
( , ) ( , ) 2 ( , )
i x y i u x v y2 ( , )
i x y i u x v yE x y = a x y + b x y e
je
p ++ b x y e
-je
- p +0 0 0 0
2 ( ) 2 ( )
( , ) ( , ) ( , )
i u x v y( , )
i u x v yE x y = a x y + c x y e
p ++ c x y e
- p +E(u, ! v) = A(u, ! v) + C(u ! − u
0, v − v
0) + C ! (u − u
0, v − v
0)
0 0
( , ) u v ( - - u
0, v
0)
41 Fig 3 : Interférogramme avec porteuse spatiale et sa TF
L’un des lobes peut être filtré dans l’espace des fréquences puis ramené à la fréquence zéro.
On effectue, successivement, la suppression de l’ordre zéro et la recherche de la position d’un des deux lobes latéraux. Puis, ce pic est filtré et ramené à la fréquence zéro (fig. 4).
Fig 4 : Filtrage d’un des lobes latéraux
On ne conserve ainsi que la composante spectrale : , dont on prend la transformée de Fourier inverse.
Soit : modulo 2p
C ! (u,v)
( , )
( , ) 1 2 ( , )
i x yc x y
f= b x y e
j( ( , ) ( , ) arctan( )
( ( , ) c x y
x y c x y
j = Â
Á
42
Fig 5 : Déroulement de la phase et suppression du tilt
Cette méthode de démodulation de la phase sera utilisée sur les interféromètres de Fizeau décrits dans la suite du TP.
4. Analyse d’interférogrammes par décalage de phase :
Les interféromètres à décalage de phase, comme le Zygo que vous utiliserez pendant ce TP, sont équipés d’un dispositif qui permet de translater le plan de référence de quelques fractions de longueur d’onde de manière contrôlée et très précise. Dans le cas, d’un interféromètre à 2 ondes, au cours de cette translation, l’éclairement, en tout point de l’interférogramme, varie sinusoïdalement (fig. 6).
43
Fig. 6 Décalage de phase : interférogrammes et suivis de l’éclairement en un point
z
l
h(x,y)
onde plane incidente
O
ondes réfléchies d déplacement du plan de réf.
44
différence de marche entre le plan étalon et la surface étudiée. Des quantités d’algorithmes différents permettent, à partir de 3 images ou plus, de retrouver cette phase.
On donne ici l’exemple d’un algorithme de décalage de phase à 4 images (interférogrammes de la figure 2 et 7). On a décalé la phase du front d’onde de référence de 0, p/2, p, 3p/2.
Fig7 : les 4 Interférogrammes obtenus par décalage de phase
Pour le même pixel de coordonnées (x,y) de l’interférogramme, les éclairements numérisés par la carte d’acquisition pour les 4 images sont :
1 0
2 0
3 0
4 0
( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ))
( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) / 2) ( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) ) ( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) 3 / 2) E x y E x y C x y x y
E x y E x y C x y x y E x y E x y C x y x y E x y E x y C x y x y
j
j p
j p
j p
= +
= + +
= + +
= + +
45 2p) par l’expression suivante :
L’algorithme à 5 images (Hariharan):
C’est l’algorithme utilisé dans les programmes Matlab, Zygo_GUI, dédiés au Zygo 1992 et au Zygotto (phase shift technology rénové et développé au Lense lors de stages et projets étudiants). Cet algorithme à 5 images permet aussi de mesurer la phase entre chaque image. Le défaut de la surface est donné pour un
« phase-shift » entre chaque image de p/2 par :
L’angle de phase-shift peut être calculé par :
Cette formule permet de vérifier ou de calibrer le déplacement du plan de référence.
5. Déroulement de la phase
Tous les algorithmes de traitement des interférogrammes déterminent la phase entre - π et + π. Ensuite, une opération de déroulement de la phase (unwrapping) est nécessaire pour supprimer les sauts de phase de 2π. Tous les algorithmes de déroulement de la phase cherchent à rendre la phase continue. Ils
tan( ϕ (x, y)) = E
4(x, y) − E
2(x, y) E
3(x, y) − E
1( x, y) et ϕ (x, y) = atan( E
4( x, y) − E
2( x, y)
E
3(x, y) − E
1(x, y) ) + 2k π
2 )
) (
tan( 2 )
, (
1 5 3
4 2
I I I
I a I
y
x - -
= - j
1 5 1
4 2
cos ( 1 )
2
I I
I I
a =
--
-
46
figure 5 et 6 présente le déroulement d’une phase obtenue expérimentalement.
Fig 8 : Déroulement de la phase à une dimension
47
