2008-2009 TS 1/ 1 Sujet DM suites adjacentes
Devoir maison n
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La partie B peut être traitée en admettant les résultats de la partie A.
On suppose connu le théorème de convergence monotone : Théorème :théorème de convergence monotone
Lorsqu’une suite (un)n∈N est croissante et majorée parM, alors elle converge ; et sa limiteℓ est inférieure au majorantM; on a pour toutn∈N: un≤ℓ≤M.
Lorsqu’une suite(un)n∈Nest décroissante et minorée parm, alors elle converge ; et sa limiteℓest supérieure au minorantm; on a pour toutn∈N:m≤ℓ≤un.
Partie A
Définition :Suites adjacentes
Deux suites (un)et (vn) sont dites adjacentes ssi l’une d’entre elles est croissante, l’autre décroissante et elles vérifient lim
n→+∞
vn−un= 0.
On veut démontrer le théorème suivant :
Théorème :Si deux suites sont adjacentes alors elles sont convergentes ; et elles convergent vers la même limite ℓ. On a de plus pour toutn,un≤ℓ≤vn.
On considère donc deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N adjacentes : (un)n∈N est supposée croissante et (vn)n∈N décroissante, et on suppose que lim
n→+∞
vn−un= 0.
1. Démontrer par l’absurde que pour tout entiern∈Non a un ≤vn.
2. En déduire que(un)n∈Nest majorée et préciser un majorant. De même, en déduire que(vn)n∈Nest minorée et préciser un minorant.
Que peut-on en déduire sur les suites (un)n∈N et(vn)n∈N?
3. On veut montrer que ces suites ont la même limite. On noteℓ1etℓ2les deux réels tels que lim
n→+∞
un=ℓ1 et lim
n→+∞
un =ℓ2. Sachant que lim
n→+∞
vn−un= 0, justifier que ℓ1=ℓ2.
4. On appelleℓ leur limite commune. Justifier que l’on a de plus pour toutn,un≤ℓ≤vn. On a donc la situation suivante :
| | | | | | | |
(un)n∈Ncroissante (vn)n∈Ndécroissante
u0 u1 u2 un |vn v2 v1 v0 ℓ
vn−un
Partie B
Exercice 1 :
Soient les suites(un)et(vn)définies parun= 1−n1 et vn= 1 + n12. Montrer que ces suites sont adjacentes.
Exercice 2 :
On étudie les suites(un)et (vn)définies par (u0= 2
v0= 3 et
(un+1=3un+2v5 n
vn+1= 2un+3v5 n
1. Démontrer par récurrence surnquevn−un >0
2. Montrer que la suite (wn)définie parwn=vn−un est une suite géométrique.
3. Démontrer que les suites (un)et(vn)sont adjacentes.
4. a. Calculerun+1+vn+1 en fonction deun+vn
b. Que peut-on en déduire sur la suite(xn)définie parxn =un+vn? 5. En déduire la limite commune des suites(un)et(vn).
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