IHREM FUNKTIONENTHEORETISCHEN CHARAKTER. TATSEIGENSCHAFTEN DIRICHLETSCHER REIHEN UND UBER DEN ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEN SUMMABILI-

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UBER DEN ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEN SUMMABILI- TATSEIGENSCHAFTEN DIRICHLETSCHER REIHEN UND

IHREM FUNKTIONENTHEORETISCHEN CHARAKTER.

VON WALTER 8CttNEE

in BRESLAU.

Einleitung.

In einer ganzen Anzahl neuerer Arbeiten, die sich mit den Eigenschaften der Dirichletschen Reihen

a n

1 (8) = ~

. - - 1

und den damit aufs engste zusammenh~ingenden Problemen der ana]ytischen Zahlentheorie beschiiftigen, hat sich immer mehr die grundlegende B e d e u t u n g der Beziehungen herausgestellt, die zwisehen dem asymptotischen Verhalten der F u n k t i o n ](8) auf vertikalen Geraden (d. h. bei konstanter Abscisse 9 { ( s ) = a und ins Unendliche wachsender Ordinate t) einerseits und den Summabilitiitseigen- schaften der Zahlenfolge an andererseits bestehen. Der am niichsten ]iegende Satz dieser Art ist zwar seit langem bekannt und durch das bekannte Hilfsmittel der partiellen Summation leieht beweisbar:

Ist die Reihe /(8) in der Halbebene 9{(s)> it 0 konvergent und in der Halb- ebene 9r ( s ) > l, wo l > ~o ist, absolut konvergent, d a n n liisst sieh nach Annahme einer beliebig kleinen Zahl r > o eine K o n s t a n t e A so angeben, dass fiir jedes o des Intervalls )~o + e ~ a < 1 + e nebst beliebigem I t ] ~ z 1 die Beziehung

An Stelle yon 1 kOnnte natilrlich auch jede andere positive Konstante stehen.

358 Walter S c h n e e .

l § 8 - - a

II(8) I = II( +ti) I <

A

I tl

g i l t . s

A u f d e r G e r a d e n a ~ it o + ~ h a t also die F u n k t i o n 1 ( 8 ) i n B e z u g a u f die O r d i n a t e hiiehstens dis G r S s s e n o r d n u n g z, d a ja d a n n l + ~ - - a l - - ; t 0 = z ist, u n d a u f d e r G e r a d e n ~ ~ 1 + e h a t sie die G r 6 s s e n o r d n u n g 0, w~ihrend fiir die zwischen diesen b e i d e n W e r t e n gelegenen Abscissen d e r r e c h t s a u f t r e t e n d e E x p o n e n t linear y o n I b i s o a b n i m m t , t t i e r a u s folgt, dass bei beliebig kleinem e > o fiir alle a > ~t o + e gleichm~ssig

lim / ( a + t i ) - - - - ~ - O t - • 1 7 4 t

ist; fiir a > l + e ist niimlieh s o g a r (bei beliebigem t)

11(8)1< ,la,,I < la.l_

Jmd ~ a ~ x - ~ l + ~ - -

A

"

n--I n--1

Die u m g e k e h r t e F r a g o g e h S r t n u n a b e r zu d e n t i e f s t e n u n d s c h w i e r i g s t e n P r o b l e m e n aus d e r T h e o r i e d e r D i r i e h l e t s c h e n R e i h e n ; g e r a d e h i e r a u f a b e r k o m m t es bei d e n A n w e n d u n g e n in d e r a n a l y t i s o h e n Z a h l e n t h e o r i e an, d a es sich d o r t moistens d a r u m h a n d e l t , aus b e k a n n t e n f u n k t i o n e n t h e o r e t i s c h e n E i g e n s e h a f t e n y o n [ (8) F o l g e r u n g e n fiber die K o n v e r g e n z e i g e n s c h a f t e n d e r R e i h e [ (8), d. h. die G r e n z e i g e n s e h a f t e n d e r Gr6ssenfolge a,, zu ziehen. N a e h d e m H e r r LANDAU s zu- e r s t einon S a t z dieser A r t e n t d e e k t h a t t e , habo ieh, h i e r d u r o h a n g e r e g t , d e n f o l g e n d e n S a t z 4 b e w i e s o n :

I . E8 sei [iir lodes ~) > o yon einer gewissen Stelle a n

l a n l < n a,

Ein ausffihrlicher Beweis dieses Satzes findet sich z. B. in der Habilitationsschrift von Herrn BOH•: ~Bidrag til de Dirichletske Rmkkers Theori* (Kopenhagen 1910), S. 20.

8 ~Beitr~tge zur analytischen Zahlentheorieh Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. 26, 2. Semester 1908 (S, 169--302), S. 252--255.

t ~Zum Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen~, Mathematische Annalen, Bd. 66, 1909, S. 337--34:9, Ich behandle dort gleich den allgemeiner~n Reihentypus

f(s) ~ Z an e

wo die ,In eine beliebige Folge positiver, monoton ins Unendliche wachsender Zahlen sind, die gewissen Einschrankungen geniigen. Um die Beweise nicht durch formale Schwierigkeiten zu verdunkeln, gehe ich in dieser Arbeit nicht auf die allgemeineren Reihen ein.

Summabilit~tseigenschaften Dirichletscher Reihen. 359 ao dass die Reihe ](a) ]iir 9t (8) > z absolut konvergiert. E8 sei /erner die durch die Reihe ](s) in der Halbebene ~R (e) > i dargestellte Funktion noch /iir 9~ (s) >= ~ reguldr, wo ~ < x ist, und es existiere eine Zahl o < k < x, so dass /iir a > V, ] t ] >= x die Beziehung

I / ( s ) l < A l t [ ~"

gilt, in der A irgend eine Konstante bedezttet. D a n n ist die Reihe ] (s) mindestens fiir 9~ts~ > ~ + k , , ~----~-~ konvergent.

Diese Zahl f-+-~ gehSrt bei jedem o =< k < I dem Intervall von V bis V +e x an und n/ihert sich fiir k = o dora Werte ~, fiir k----i dem Werte ~ + I , der den 2 Mittelpunkt des Intervalls y o n ~ bis i darste]lt. Den an der zitierten Stelle gegebenen Beweis h a t d a n n weiter H e r r LANDAU 5 dureh die A n w e n d u n g eines unterdessen yon den H e r r e n PHR,tOM~.~ u n d LI~D]~L6F 6 entdeckten Satzes allge- mein funktionentheoretischer N a t u r , den ich in der Folge vollst~ndig angeben werde, wesentlieh vereinfacht u n d gezeigt, dass der Satz, I unver~ndert auch ffir den Fall k > i gilt, den ich n i c h t u n t e r s u e h t h a t t e ; doch blieb auch bei dieser Beweisfiihrung genau die Sehranke f u bestehen. Herr BOHR 7 h a t ferner durch ein passend konstruiertes Beispie] die M6glichkeit widerlegt, dass eine bestimmte Zahl o < ko < ~, etwa /r --- ~, existiert mit der Eigensehaft, dass aus der obigen Voraus- setzung fiber a , und der Annahme, dass [ (s) f/ir ~R ( s ) ~ regul/ir u n d h6chstens yon der Gr6ssenordnung ko ist, die Konvergenz der Reihe ffir 9~(s)> ~ folgt. Nur dann, wenn die F u n k t i o n [(s) fiir alle a > ~ absolut genommen u n t e r h a l b einer festen Schranke liegt oder wenn wenigstens naeh Annahme einer beliebig kleinen Zahl 8 > o sich stets eine K o n s t a n t e A finden l~sst, so dass ffir a > ~, [ t [ > i die Beziehung

It(s)l<AItP

9 Ober das Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen,, Rendiconti del Oircolo Mate- matico di Palermo, Bd. 28, 1909, S. 113--151. Vergl. auch die ausftihrliche Darstellung in Herrn LAI~DAU'S ~Handbuch der Lehre yon der Verteilung der Primzahlen~, Bd. II, S. 838--861.

e Vergl. besonders die Arbeit yon I-Ierrn LI~DP, LOF: ~Quelques remarques sur la croissance de la fonetion ~(s)* (Bulletin des Sciences math~matiques, Ser. 2, Bd. 32, Teil 1, 1908; S. 341--356) sowie die ausftihrliche Darstellung in dem soeben zitierten *Handbuch~, Bd. II, S. 849--853.

~Ober die Summabilit~t Dirichletscher Reihen~, Iqachrichten der K6niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G0ttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1909, 8. 247--262.

Vergl. auch die zitierte Habilitationsschrift, 8. ~9036.

360 Waiter Schnee.

gilt, ergibt sich unter der obigen Voraussetzung fiber an die Konvergenz unserer Reihe ffir 9~(s)>~; diese unmittelbare Folgerung aus Satz I hatte ich fibrigens schon in der zitierten Arbeit besonders betont.

N u n l~sst sieh vermuten, dass ebenso wie z. B. das formal gebildete P r o d u k t zweier ffir 9~ (s) > ~0 konvergenten Dirichletschen Reihen d o r t zwar nicht notwendig konvergiert, aber doch stets summabel yon der ersten Ordnung ist, aueh u n t e r den Voraussetzungen yon Satz I und unter der Annahme b < i die Reihe stets in der ganzen H a l b e b e n e 9~ ( s ) > ~ wenigstens summabel yon der ersten Ordnung \ ist; einen solchen Satz hat H e r r M. RI~.sz s ohne Beweis in einer kurzen Note in den Comptes rendus ausgesproehen, auf die ich noch zuriickkommen werde.

Im Folgenden soll dieser Satz in einer im Vergleich zu 8atz I etwas al]gemeineren Fassung bewiesen werden:

I I . E s 8el die dutch die Reihe ](8) in ihrem Konvergenzgebiet dargesteUte F u n k t i o n ]iir a > ~ reguldr, u n d es existiere eine Konstante ,4, so dass [i~r a > ~, I t [ > x die Beziehung

< a Itl

gilt. D a n n ist die Reihe ](s) /i~r a > ~ wenigstens summabel yon der ersten Ordnu~g.

Der aufgestellte 8atz l~sst sich nun aber noch wesentlich verallgemeinern.

Ebenso wie man eine Reihe ~, an summabel yon gensu der ersten Ordnung mit der 8 u m m e S nennt, wenn bei ganzem z zwar nicht die Definition der Konvergenz

8

lira ~ a ~ = l i m s ~ S erffillt ist, aber doch der Grenzwert

z I

lira ~ 2 s n ~ lira xS~'

n - - I

existiert, so kann man die 8ummenbildung fortsetzen:

s n = S ~ )~=at + a2 + . . - + an, S ' , = s l + s2 + - " + sn, S"n---- S~1 + Sr~ + ' " + Sfn, " ,

,Q{r--I )

S~ r~ = S~r-l~ + S~-]~ + . . . + ~n ,

und eine Reihe summabel yon genau der r. Ordnung nennen, wenn zwar nicht die Grenzwerte

8 ~Sur les s~ries d e Dirichlet~, C o m p t e s r e n d u s de l ' A c a d ~ m i e des Sciences, P a r i s , 21. J u n i 1909, Bd. 148, 8. 1658--1660.

Summabilit~ttseigensehaften Dirichletscher Reihen.

~ r 9 ,~x'q(r--l}

lira 8,,, lira - - . . , lira ( r - - I)~

361

wohl a b e r d e r G r e n z w e r t

! ,~(r)

lira r . ~___~

a ~ co X r ~ S

e x i s t i e r t ; d a r a u s folgt d a n n , wie l e i e h t zu beweisen ist, dass die R e i h e a u c h y o n dvr O r d n u n g r + I , r + 2 . . . . mi~ d e r s e l b e n S u m m e S s u m m a b e l ist. Summabilit~tt 0. O r d n u n g ist g l e i c h b e d e u t e n d m i t K o n v e r g e n z . Dass dieser z u e r s t v o n CES.~RO e i n g e f i i h r t e Begriff, 9 d e r sieh in d e r m o d e r n e n Analysis als s e h r f r u c h t b r i n g e n d erwivsen h a t , a u c h f f r die T h e o r i e d e r D i r i c h l e t s v h e n R e i h e n y o n grosser B e d e u - t u n g ist, h a t n a m e n t l i v h H e r r BOHR gezeigt, i n d e m er vine u m f a s s e n d v S u m m a b i - lit~itstheoriv d e r D i r i e h l e t s c h e n R e i h e n a u f g e s t e l l t u n d in d e r s c h o n z i t i e r t e n H a b i l i t a t i o n s s c h r i f b im Z u s a m m e n h a n g d a r g e l e g t hat. E b e n s o wie das K o n v e r g e n z - g e b i e t einvr D i r i e h l e t s c h e n R e i h e s t e t s vine H a l b e b e n e ist, in d e m Sinne, dass fiir a > )~o K o n v e r g e n z , fiir a < ~0 D i v e r g e n z s t a t t f i n d v t , ~o so g i b t es a u c h allgemein

a n

fiir jedes r vine K o n s t a n t e 2~, so dass, w e n n ~ = ~ g e s e t z t wird, die R e i h e fiir a > ~ wenigstens s u m m a b e l y o n der r. O r d n u n g , d a g e g e n in j e d e n P u n k t d e r H a l b - e b e n e a < Zr n u r y o n h S h e r e r O r d n u n g s u m m a b e l o d e r i i b e r h a u p t n i c h t s u m m a b e l ist. H e r r BOHR h a t f e r n e r bewiesen, dass die B r e i t e des S t r e i f e n s dvr Summabilit~it y o n g e n a u d e r r. O r d n u n g h S c h s t e n s i ist, ~ d. h. dass fiir ]edes r = i , 2 , . . . s t e t s I > Z r - l - - 2 ~ ist, u n d h a t w e l t e r gezeigt, dass fiir jedes r = i , 2 , . . . die D i f f e r e n z ~ r - 1 ~ 2 ~ > 2 r - - 2 ~ + 1 ist, d. h. dass die B r e i t e d e r S u m m a b i l i t ~ t s s t r e i f e n , w e n n m a n y o n r e v h t s navh links geht, niemals z u n i m m t . Die L~ sind also vine

Herr HOLWR hat einen ~thnlichen Begriff dutch fortgesetzte Mittelwertbildung:

, 81 + 8~ + "" 9 + 8 n ,, 8rl + 8t2 + "" 9 + 8 ' n {r) 8 ~ r - - l ) + 8 ( f - - l } + - . . + 8(n r - l )

~ 8~ ~

8 n n n ~ ' " " ~ 8 n n

eingeftihrt; in einer Arbeit in den Mathematischen Annalen (,,Die Identitat des Ces~roschen und H01derschen Grenzwertes,, Bd. 67, 1909, S. 110--125) habe ich gezeigt, dass diese Begriffe identisch sind, d. h. dass ftir jede beliebige Gr0ssenfolge an und for jedes r die Grenzwerte lira s{z r} und lira rI S(ff ) entweder zugleich existieren und denselben Wert haben oder beide

a~uoo x ~ o o 05 r

nicht existieren.

lo 2~attlrlich kann die Dirichletsche Reihe auch tiberall konvergieren oder nirgends kon- vergieren; dann ist eben 2o---~ bezw. 2~ ~ + ~ .

n Die erste Publikation geschieht in der Arbeit: ~,Sur la s6rie de Dirichlet~,, Cemptes rendus de l'Aead6mie des Sciences, Paris, 11. 3anuar 1909, Bd. 148, S. 75--80.

A c t a m a t h e m a t i c a . 35. Imprim6 le 12 m a r s 1912. 46

362 Walter Schnee.

Folge y o n Zahlen, die bei w a c h s e n d e m r niemals zunehmen, u n d fiir die die Un- gleichungen b e s t e h e n :

z > t0 - - 1 , > ) , , - - ),~ > t~ - -

)~.

> . . . > o .

I s t also einmal n i c h t it-1 > 1~, s o n d e r n )~-1 ~ 2,, so h a b e n a u e h alle folgenden Z a h l e n i t + l , ~ + 9 . , . . . denselben W e f t . Natiirlieh kSnnen sogar s~mtliehe Zahlen

~r y o n r ~ o a n z u s a m m e n f a l l e n ; dies ist z. B. stets d a n n d e r Fall, w e n n die R e i h e in der g a n z e n E b e n e konvergiert, so dass 2o ---- 21 . . . ~ ist, oder w e n n a u f d e r im E n d l i e h e n gelegenen K o n v e r g e n z g e r a d c n a ~- )~0 oder in beliebiger N~he derselben ein singulhrer P u n k t d e r d u t c h die Reihe dargestellten a n a l y t i s e b e n F u n k t i o n ]iegt. Wird der stets v o r h a n d e n e lim ~ ~ t / gesetzt, wo die Zahl .4, w e n n die R e i h e i i b e r h a u p t ein K o n v e r g e n z g e b i e t besitzt, e n t w e d e r endlich oder - - c o ist, so wird im Falle eines endliehen .4 < it o die in der K o n v e r g e n z h a l b e - bene a > it 0 d u r e h die R e i h e dargestellte a n a l y t i s c h e F u n k t i o n d u t c h die S u m m a - bilit~tswerte bis zur G e r a d e n a ~ l / fortgesetzt, d. h. die F u n k t i o n ist in d e r ganzen H a l b e b e n e a > .4 regular. I m Falle `4 ~ - r162 ergibt sich, dass die d u r e h die R eihe in der K o n v e r g e n z h a l b e b e n e dargestellte F u n k t i o n eine ganze transzen- d e n t e F u n k t i o n ist; dies ist z. B. fiir die F u n k t i o n

( - - z ) - + ~ ( z - - ~ - ' ) ~ ( 8 ) - - n"

d e r Fall, o b w o h l die Reihe reehts n u r fiir a > o konvergiert.

W a s n u n das den G e g e n s t a n d dieser Arbeit bildende P r o b l e m a n b e t r i f f t , so h a t H e r r BOHR ohne grSssere Sehwierigkeiten in der zitierten H a b i l i t a t i o n s s c h r i f t d e n folgenden Satz beweisen k S n n e n :

Es sei die Reihe

/(s)

fiir a > t~ s u m m a b e l y o n der r. O r d n u n g u n d fiir a > l a b s o l u t k o n v e r g e n t , wo 1 > L~ ist. D a n n l~isst sich n a c h A n n a h m e einer beliebig kleinen Zahl e > o eine K o n s t a n t e A so angeben, dass fiir jedes a des I n t e r v a l l s tr + ~ <__ a < 1 + e n e b s t jedem ] t I ----> z die B e z i e h u n g

(1) gilt.

9 l - - a + e

I 1(~) I < A I t l ~r+'~ ~-~---;

Der E x p o n e n t a u f der r e e h t e n Seite n i m m t also im I n t e r v a l / ~ r + 9 ~ a__< l + y o n r + i bis o ab. W a s n u n die U m k e h r u n g des Problems a n b e t r i f f t , so werde ieh f i i r r > z die folgenden beiden S~itze beweisen, y o n d e n e n d e r erste eine Verall- g e m e i n e r u n g y o n Satz I I , d e r zweite eine Verallgemeinerung y o n Satz I d a r s t e l l t :

Summabilittttseigenschaften Dirichletscher Reihen. 363 111. E s sei die durch die Reihe [ (s) in ihrem Konvergenz.qebiete dargestellte Funktion [iir r ~ ~ reguldir, we ~ < 2r-1 ist, und e~ exi~tiere eine Kon~tante A, so dass ]i~r a > ~? , Itl___> z

(2) II(s)l < A I l"

ist. Dann ist die Reihe /(s) ]iir alle a > 7, welche zugleich > ~,-1 ^-- I sind, summabel yon der r. Ordnunq.

I V . Wenn die Funktion ](s) ]iir a>~ 7 reguldir ist, we ~ < 2 r - x ist, und wenn ]i~r alle a >~, ] t l > z

II(s) l < A I 1,+ k

ist, we k irgend eine Konstante => o bedeutet, so ist die Reihe [(s) /iir alle a > ~ +z q_ k:k2"-l, welche zugleich > Z , - 1 - z sind, summabel yon der r. Ordnung.

D e r S a t z I I I ist als Spezialfall k = o in I V e n t h a l t e n ; fiir k ~ - i n i m m t die in I V a u f t r e $ e n d e K o n s t a n t e ~ + k2,_1 d e n Wer$ ~ + 2,-1 an, welcher d e n Mittel-

I + k 2

p u n k ~ des I n t e r v a l l s y o n ~ bis 2,_1 darstelit, u n d ffir k = ~ n i h e r t sie sich zu- n e h m e n d d e r G r e n z e ~,_~. Die E i n s c h r / i n k u n g a > 2,-x - - x in b e i d e n S~tzen ist a n sich ganz selbstverst/indlich, d a ja die B r e i t e eines j e d e n S u m m a b i l i t ~ t s - streifens h 6 c h s t e n s i betr/igt, also die R e i h e /(s) gewiss fiir kein s, dessert reeller Tell < ~ _ 1 - - I is~, s u m m a b e l y o n der r. O r d n u n g sein k a n n . U n t e r d e n V o r a u s - s e t z u n g e n y o n Satz I I I z. B. ist also e n t w e d e r die R e i h e / ( s ) i n d e r g a n z e n H a l b e b e n e a > ~ s u m m a b e l y o n der r. O r d n u n g , d. h. ~ < ~, was im FaUe ~2 > ~ - ~ - r e i n t r i t t , o d e r es ist ~, = 2 ~ _ ~ - z, was in d e m d u t c h m e i n e B e w e i s f i i h r u n g n i e h t ausgeschlossenen :Fall ~ ~ < ~_~ - - r e i n t r i t t . I m l e t z t e r e n F a l l e miissten alle Sum-

1~ In d e r schon z i t i e r t e n A b h a n d l u n g hat H e r r M. RIEsz o h n e B e w e i s e i n e n Satz ausge- sprochen, d e r m e i n e m Satze I I I ungefithr e n t s p r i c h t und d e n f o l g e n d e n W o r t l a u t h a t :

Lorsque la fonction ddfinio dans une portion du plan par la sdrie c o n v e r g e n t e f(s) = ~.~ an n - =

est rdguli~re aux p o i n t s du demi-plan 9~(s)>e et y satisfait ~ la condition lira f(s)

(3) I , I - = i ~ = o,

u n i f o r m d m o a t a v e c Is i, la sdrie Zan n--s est s o m m a b l o p a r los m o y e n n e s a r i t h m d t i q u e s d'ordro k' (k' d6signant un n o m b r e q u e l c o n q u e > k) en tout p o i n t de la droite ~(s) = c et du demi-plan

~(s) > c. La sommabilit6 est u n i f o r m e en toute bande du domailae ~ ( s ) > c qui est parallble

364 Walter Schnee.

mabi]it~itsstreifen yon ~o'" .~t~ ab bis zu ~-1"-.;t~ ihre Maximalbreite i haben. Nur im Satze II, d. h. fiir den speziellen Wert r = i , ist die entsprechende Einschr~n- kung nicht notwendig, da dann im Beweise gewisse Glieder gar nieht erst auf- treten, zu deren Behandlung ich im allgemeinen Falle (Satz III und IV) die Annahme nieht entbehren kann, dass der reelle Punkt 7; in welehem die Sum- mabilit~t r. Ordnung nachgewiesen werden soll, yon der Summabilit~itsabseisse ( r - 1). Ordnung einen geringeren Abstand als 1 hat. is Ieh ffige noch hinzu, dass beide S~itze natiirlich auch dann richtig bleiben, wenn ~.r-1 nicht die genaue Grenzabseisse der Summabilit~it ( r - - I ) . Ordnung, sondern nur irgend eine Zahl bedeutet, welehe die Eigensehaft hat, dass die Reihe fiir jede grSssere Abscisse summabel yon mindestens der ( r - - i ) . Ordnung ist.

Was nun den Satz IV anbetrifft, so hat sich zuerst Herr BOHR ~ damit be- sch~ftigt, meinen Satz I auf die Summabilit~tstheorie der Dirichletsehen Reihen zu iibertragen. Da er sich aber nur das Ziel steekt, nach gewissen Reihenum- formungen den Satz I anzuwenden, so erh~lt er den Satz IV nur mit einer sehr wesentliehen Einschr~inkung, die z. B. nicht gestattet, den Satz III daraus abzu- leiten; in der Tat kann, da Herr BOHR auf neue funktionentheoretische Ent-

l ' a x e r4el.

Da die A n n a h m e (3) ftir k > o v o n d e r B e d i n g u n g

lira f ( s ) _ ~, (gleichmttssig ffir alle a ~_~ c)

(4) itt-|

i - ~ -

^v

n u r formal v e r s c h i e d e n ist, so ist in d i e s e m Satze genau m e i n Sa~z I I I e n t h a l t e n . Aus (2)folgt nttmlich nach d e m oben z i t i e r t e n PnRAGM~-LINDEZ,0F'schen Satze, dass, w e n n , e i n e beliebig k l e i n e Zahl > o ist, die Bedingung (4) gleichm~ssig ffir alle a ~ + ~ = e gilt, w e n n n u r d e r E x p o n e n t k < r d e r Zahl r h i n r e i c h e n d n a h e liegt. Die R e i h e f ( s ) ist daher, w e n n (2) voraus- g e s e t z t wird, nach d e m RIEsz'schen Satze in d e r H a l b e b e n e a_>_ T +4 und also auch in der Halb- e b e n e o > ~ s u m m a b e l yon d e r r . Ordnung, und d e r RlzSZ'sche Satz besagt sogar etwas m e h r als m e i n Satz I I I , da eben durch s e i n e n W o r t l a u t die M0glichkeit, dass ~ < ~lr-1 - - I sein kann, yon v o n h e r e i n ausgeschlossen wird. H e r r Rzzsz h a t m i r mitgeteilt, wie ich m i t s e i n e r Zustim- m u n g h i e r erw~hne, dass er demn~tchst in zwei auf e i n a n d e r f o l g e n d e n Noten zuerst e i n e n a l l g e m e i n e n G r e n z w e r t s a t z und sodann, darauf gest~'itzt, s e i n e n oben m i t g e t e i l t e n Satz b e w e i s e n werde. Aus d i e s e m Brief e r s e h e ich, dass die Beweisf~ihrung yon H e r r n RIESZ, fiber die er an d e r z i t i e r t e n Stelle n a r e i n e kurzo und s e h r a l l g e m e i n o A n d e u t u n g macht, yon den in d e r vor- l i e g e n d e n A b h a n d l u n g g e g e b e n e n E n t w i c k l u n g e n v e r s c h i e d e n ist, da ein a n d e r e r Integrations- faktor b e n u t z t wird; fiberhaupt s c h e i n t das im Satze I b e h a n d e l t e Problem, das d a n n in d e m a l l g e m e i n e n Satze IV, der I I und I I I als Spezialf~tlle enth~lt, w e i t e r v e r f o l g t w i r d und d e n A u s g a n g s p u n k t d e r v o r l i e g e n d e n A b h a n d l u n g bildet, n i c h t in d e r R i c h t u n g der RIEsz'schen G e d a n k e n a n o r d n u n g zu liegen. U b r i g e n s soll in den v e r s p r o c h e n e n A b h a n d l u n g e n das Ent- s p r e c h e n d e auch ffir d e n auf n i c h t ganzzahliges r v e r a l l g e m e i n e r t e n Summabilit~ttsbegriff be- w i e s e n werden, yon d e m ja schon in d e m oben z i t i e r t e n RzEsz'schen Satze die Rede ist.

is Vergl. indessen d e n S c h l u s s p a r a g r a p h e n 5.

~' Vergl. die in A n m e r k u n g 7 zitierte A r b e i t sowie die in A n m e r k u n g 2 zitierte H a b i l i t a : tionsschrift.

Summabilitlttseigenschaften Dirichletscher Reihen. 365 wieklungen verziehtet, sein R e s u l t a t in funktionentheoretisehem Sinne nieht tiefer liegen als der Satz I. Indessen hat auch das yon H e r r n BOHR erzielte R e s u l t a t ihm gestattet, eine sehr wiehtige spezielle Folgerung daraus abzuleiten, die den innigen Zusammenhang zwischen den SummabilitKtseigensehaften der Reihe ](s) und dem analytisehen Verhalten der F u n k t i o n /(s) ins hellste Lieht stellt. Indem ich diese Folgerung nunmehr a n s t a t t an IV lieber an den einfaeheren Satz I I I ankniipfe, definiere ich mit tIerrn BOHR neben der K o n s t a n t e n _ / / = ]im 2r, der

$ ' ~ c o

Abseisse der Summabilitiitsgrenzgeraden, in ~ihnlicher Weise mittelst eines Dv.D~- XIND'sehen Sehnittes eine K o n s t a n t e M folgendermassen: Ist e eine beliebig kleine Zahl > o, so sell die F u n k t i o n ](s) in der H a l b e b e n e a > M + e regul~tr sein, und es sollen sich stets zwei K o n s t a n t e n K und A angeben lassen, so dass ffir

M Itl>_

(5) 11(8) 1 < A Itl

jeder H a l b e b e n e ~ _ M - - e die F u n k t i o n entweder nieht mehr ist, wiihrend in

regular bleibt oder doch nieht mehr dieser Bedingung geniigt. N u n fiihrt die Annahme _4 < M zu einem Widerspruch. Denn wenn z / < N < M bei endlichem N ist, so wgre naeh dem Satz mit der Formel (I) fiir al]e a > N , ] t ] > I bei hin- reiehend grossem K die Ungleiehung (5) erfiillt, weil wegen N > / / d i e R e i h e / ( s ) sogar noeh in einem gewissen Intervall links yon N summabel ist; dies steht aber im Gegensatz zum zweiten Teil der Definition yon M , da ja N < M ist. Anderer- seits fiihrt aueh die Annahme _//>iT/ zu einem Widersprueh; denn wenn / [ / < N < -// bei endliehem N ist, so wiire wegen N > M nach dem ersten Teil der Definition yon M die Beziehung (5) fiir alle a > N , I t l > i erfiillbar; nimmt man in dieser K---r ganzzah]ig an und w~hlt r so gross, dass ;~r_l--_//< i ist, was wegen lim Zr~_// mSglieh ist, so wfirde naeh dem Satze I I I folgen, dass die Reihe /(8) entweder fiir a > N oder fiir a > L r - 1 - i summabel v o n d e r r.

Ordnung ist. Da a b e t diese beiden Zahlen < ~/ sind, so wiire die Reihe ](s) im Widersprueh zu der Definition von 1/ noeh in einem gewissen lntervall links yon J / summierbar. Es bleibt daher n u t _/1 = M i~brig, d. h. in nicht ganz pr~tziser Ausdrueksweise: die Reihe )~(s) ist stets so welt und nur so welt summierbar, als die dureh sie dargestellte F u n k t i o n regular bleibt und in Bezug auf die Ordinate hSchstens von endlicher GrSssenordnung unendlieh wird. Damit ist derjenige Satz fiir die Summabilitiitsgrenzgerade festgestellt, dessen Analogon sich fiir die Konvergenzgerade als unriehtig erwies. Ieh erw~hne noch, dass H e r r BOHR an BeisPielen gezeigt hat, dass alle denkbaren F~lle vorkommen k~innen: Besitzt die Reihe /(s) iiberhaupt ein Konvergenzgebiet, so ist sie entweder in der ganzen

366 Waiter Schnee.

Ebene summabel, und es ist die dargestellte ganze transzendente F u n k t i o n in der ganzen Ebene nur yon endlieher GrSssenordnung in Bezug auf die Ordinate, oder es existiert eine im Endlichen gelegene vertikale Gerade, welehe einerseits die Summabilit~tsgrenzgerade ist und andererseits funktionentheoretiseh die folgenden Eigenschaften besitzt: E n t w e d e r enthMt sie selbst einen singul~iren P u n k t der Funk- tion oder singul~ire P u n k t e in beliebiger N~he, oder ~lie F u n k t i o n ist noch in einer Halbebene fiber diese Grenzgerade hinaus regular, h6rt aber auf der Grenzgeraden auf, in dem bei der Definition yon /V/ angegebenen Sinne in Bezug auf die Ordi- n a t e yon endlicher GrSssenordnung zu sein.

Ffir diesen letzten Fall hat ferner H e r r BonB, ~ an bekannte funktionentheo- retische Untersuchungen anknfipfend, nachgewiesen, dass die F u n k t i o n

/(s)in

dem beliebig schmalen vertikalen Streifen /V/-- e < a < _71//+ e (e > o) jeden reellen oder komplexen W e r t annimmt, mit Ausnahme yon hSehstens einem einzigen Werte.

Zu den S~tzen I I I und IV zurfickkehrend, definiere ieh nunmehr neben dcr Folge der Summabilit~tsabscissen )~ eine weitere Folge yon GrSssen ~ (r ~ o, I, 2 . . . . ) folgendermassen: Es soll die Funktion

](s)

in der Halbebene a > t~

regular sein, und es soil sich, wenn ~ und e irgend zwei beliebig kleine Zahlen

> o sind, stets eine K o n s t a n t e A----A(~;~) so bestimmen lassen, dass fiir alle

(6) I/(s) l < A It I

ist; dagegen soll in jeder Halbebene a > ~ - - ~ die F u n k t i o n entweder nicht mehr fiberall regular sein, oder es soll doeh im Gebiet a > ,~r - - e, I t I ~ I nieht mehr ffir beliebig kleines $ > 0 die obige Ungleichung erffillbar sein. ~r ist also als die kleinste Zahl der angegebenen Eigenschaften definiert. Der Beweis, dass eine solche K o n s t a n t e in~mer existiert, sobald die Reihe iiberhaupt ein Konvergenzgebiet besitzt, l~sst sieh leicht mit Hilfe der bekannten Gedankenanordnung des DED~.- KI~D'sehen Sehnittes ffihren, indem man zur zweiten Klasse alle reellen Zahlen a~

mit der Eigenschaft rechnet, dass die F u n k t i o n

/(s)

ffir a ~ g ~ regular ist und dass nach Annahme einer beliebig kleinen Zahl $ > o sich immer eine K o n s t a n t e A ~ A (a I ; ~) bestimmen l~sst, fiir welcbe im Gebiet a ~ a~, I t I ~ z

I1( )1

< A

Itl

~6 ~(~ber die Summabilitatsgrenzgerade der Dirichle~schen Reihem~, Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathem, naturw.-Klasse, Bd. 119, Abteil. II a, 1910, S. 1391--1397.

Summabilitittseigenschaften Dirichletscher Reihen. 367 wird, w~hrend die erste Klasse alle reellen Zahlen a~ umfassen soll, die nieht diese Eigensehaft besitzen 1~. Aus der angegebenen Definition folgt, dass im Falle r ---- z, 2 . . . . bei beliebig kleinem e > o im Gebiet a > ~t~ + ~, [ t ] > z sogar

( 7 )

II(s)l<A

I t l "

wird; setzt man ngmlich die Ungleichung (6) z. B. fiir das Gebiet a >~t, + ~ , I tl >

an, so liefert der schon mehrfaeh zitierte P H R ~ G ~ - L I ~ D ~ L 6 r ' s e h e Satz fiir das Gebiet a > ~ t , . + e , [ t [ > ~ die Beziehung (7), wenn nur die in (6) vorkommende GrSsse ~ hinreichend klein angenommen wird. Ich bemerke jedoch ausdriicklich, dass dies nieht mehr fiir r = o gilt. Aus der Definition fo]gt ferner unmittelbar, class d i e ~r ebenso w i e die ),, m i t w a c h s e n d e m r n i e m a l s z u n e h m e n , und es folgt aus dem PHRAG~c-L~cD~56~'sehen Satze, wie ich in ~ x leicht werde naehweisen Minnen, dass /iir r ~ z , 2 . . . . a u c h die D i / # r e n z e n Hr-1 ~ ~ , n i e m a l s z u n e h m e n , so dass also

- - > - -

_->

- -

> . . .

> o

ist. Die ^{u ,} geniigen also genau denselben Ungleiehheitsbedingungen wie die Gr6ssenfolge ~r, nur dass fiir die ~r noch die eine Ungleiehung z__>~o--~ hinzu- tritt. ~7 Ferner folgt unmittelbar aus der Definition der ~t~, dass lira/~,--~ M ist,

r i

wo M die oben definierte Konstan~e bedeutet, also auch ~ / ist: die beiden Gr6ssen/olgen ~r u n d ~t, haben /iir r ~ ~ stets denselben Grenzwert. W e l t e r ist /iir r ~ o , z . . . . die Grdsse ~r~/~r+l; w~ire n~mlieh einmal ~ , < tit+l, so wiirde wegen

~r +/~r+l > ~r naeh der Formel (z) fiir alle a__> Le + ~+1, [ t [ __> ~ die Beziehung

2 2

II( )l <

A

ItJ

^{T M}

16 Es b l e i b t n a t f i r l i c h m ~ g l i c h , dass Z a h l e n d e r e r s t e n K l a s s e n i c h t e x i s t i e r e n , d. h. dass s c h o n ffir ein e n d l i c h e s r die K o n s t a n t e /~r ---~ wird. Dies i s t a b e r , w i e m a n l e i c h t s i e h t n u r d a n n d e r Fall, w e n n die R e i h e i n d e r g a n z e n E b e n e k o n v e r g i e r t u n d also a u c h i n d e r g a n z e n E b e n e a b s o l u t k o n v e r g i e r t ; d a n n h a b e n alle Z a h l e n ,it w i e /~r y o n r----o a n d e n W e f t

~ , so dass die g a n z e S u m m a b i l i t i i t s t h e o r i e g e g e n s t a n d s l o s wird. E s e r g i b t s i c h n a m l i c h aus d e r T a t s a c h e , dass d i e # r m i t w a c h s e n d e m r n i e m a l s z u n e h m e n u n d a u s d e n i n d e r F o l g e zu e n t w i c k e l n d e n U n g l e i c h u n g e n go --/~1 > #1 - - g~ > ll2 - - #3 > . . . > p r - - 1 - - / ~ r , d a s s i m F a l l e p r = - - o r a u c h p r - 1 ~ - r u n d s c h l i e s s l i c h /~ ~ - - o r w i r d ; h i e r a u s a b e r folgt w e g e n ,tl <~_~/~1 w e i t e r , dass a u c h ).l ---- - - ~ wird, u n d w e g e n o < ~o-- 21 ~ I, dass s c h o n "~o ---- - - zr ist, w o m i t die K o n v e r g e n z d e r R e i h e f(s) i n d e r g a n z e n E b e n e n a c h g e w i e s e n ist.

I c h b e m e r k e f e r n e r , dass die B e d i n g u n g ( 6 ) a u f der Geraden a ~ gr selbst n i c h t e i n m a l fiir alle h i n r e i c h e n d g r o s s e n I l l erftillt zu s e i n b r a u c h t , d a ja z. B. a u f d i e s e r u n e n d l i c h v i e l e singul~tre P u n k t e d e r F u n k t i o n f ( s ) l i e g e n k t i n n e n , die s i c h i m U n e n d l i c h e n hi~ufen.

17 Es ist f e i n e r , w e n n I die G r e n z a b s c i s s e d e r a b s o l u t e n K o n v e r g e n z b e z e i c h n e t , a u c h I ~>-/--~o, wie m a n m i t w e n i g e n Z e i i e n b e w e i s e n k a n n , a b e r n i c h t e t w a s t e t s 1--~o~__> , l o - - ~ l .

368 Walter Schnee.

bestehen, die wegen ~-i-/~r+l<?lr+l dem zweiten Teil der Definition von fir+ 1

2

widerspricht. Umgekehrt ergibt aich, dabs /i~r r = 1, 2 . . . . die Gr58,e ~r h6chaens gleich der grSsseren der beiden Zahlen ~ und ~ - 1 - i ist; setzt man n~mlich

~ / ~ r + *, so folgt aus der Beziehung (7) naeh dem Satz III, dass die R e i h e / ( 8 ) fiir alle a > f t r + E, welche zugleich > itr_l - - i sind, summabel yon der r. Ordnung ist. Da nun , > o beliebig klein angenommen werden darf, so ergibt sich

~ M a x . (pr; i t ~ _ l - - I ) . Fiir r = 1 und r = 0 liefern die S~itze I I bezw. I sogar

~ , < f ~ , )~0<~t0. Setzt man endlich, um Satz IV anzuwenden, fiir irgend eine positive ganze Zahl /c die dort auftretende K o n s t a n t e ~ = t ~ + k + e, so gilt nach der Definition von ftr+k fiir a > ~, ] t I > I die Beziehung (7),, in d e r n u r r + k s t a t t r zu sehreiben ist, und der Satz IV ergibt, dass die Reihe /(s) fiir alle a > (.u~+k + ~) + k ~ - i welehe zugleich > ~-1 - - i sind, yon der r. Ordnung sum-

I + k

mabel ist. Also ist /iir r ~ i, 2 , . . . die Abscisse ~r =< Max. ~/t~+k!+ + k)~_lk - ; ~ - 1 - - I ) , we k irgend eine positive game Zahl bedeutet; hierin ist natiirlich fiir k = o die aus dem Sa~ze I I I sieh ergebende Formel enthalten. ^TM

Damit ist eine Menge paralleler Eigensehaften und gegenseitiger Beziehungen zwisehen den Z a h l e n g~ und V~ bewiesen, we die )~ die charakteristisehen Ab- seissen fiir die Summabilitiitseigensehaften der Reihe, die ~t~ die charakteristischen Abscissen fiir die GrSssenordnung der F u n k t i o n in Bezug auf die Ordinate sind.

Alle diese R e s u l t a t e beruhen nur auf der einen selbstverst~ndlichen Voraussetzung, dass die betraehtete Reihe iiberhaupt ein Konvergenzgebiet besitzt. Zum Vergleich ziehe ieh sehliesslich noeh diejenigen speziellen Diriehletsehen Reihen heran, die in der analytisehen Zahlentheorie im Mittelpunkt des Interesses stehen, ngmlieh die Reihe

(~

- - 2 ~ - ' ) ;(8) =

(--

. r ) n + l n s n - - I

und allgomein die Reihen

L(8) = ~ X (n) n ~ ,

n - - 1

we g(n) irgend einen vom H a u p t e h a r a k t e r versehiedenen Charakter modulo k bedeutet; diese letzteren Reihen bilden bekanntlich z. B. die Grundlage des klas- sischen DImCHL]:T'schen Beweises fiir den Satz, dass in jeder arithmetisehen

18 Vergl. i n d e s s e n a u c h zu d i e s e n R e s u l t a t e n d e n w 5.

Summabilitt~tseigenschaften Dirichletscher Reihen. 369 Progression

ky

+ l (y = I, 2 . . . . ), we k und l teilerfremd sind, unendlich viele Primzahlen vorkommen. Ffir diese Reihen ist

l ~ I , g o = O , g t ~ - - I . . . . , g r = - - r . . . . ;

Ffir die Reihe

i 3

i < u 0 < I , / - t 1 = / t 2 ~ - - - , ' " , / ~ r = - - r + I

2 ~ - ~ ~ 2 ~ 2 2 ' ' " "

i I (8) - -

selbst fallen natfirlieh alle diese Zahlen in den einen W e r t z zusammen.

w 1. M e t h o d i s c h e B e m e r k u n g e n u n d Hilfss~ttze.

Den zweiten Teil dieser Arbeit, in welehem ieh im wesentliehen nur die S~tze II bis IV zu beweisen haben werde, beginne ieh mit einer ~3bersieht fiber die hierbei anzuwendende Methode. Herr LAI~DAU hatte in der in Anmerkung 3 zitierten Arbeit, in der zum ersten Mal ein Satz yon der Art des oben angegebenen Satzes I bewiesen wird, das Hilfsmittel der Verwendung gewisser Integrale, die in einem ganzen Intervall des Parameters versehwinden, in der folgenden Weise benutzt. Sind die beiden Zahlen c nnd O positiv und ist v eine ganze Zahl > 2, so ist bei Integration fiber die ganze vertikale Gerade a---v

(8)

c+Fi0" /o ffir o < O =< i ,

J ds=~ 2zi - v-1

o_o, ((v---Ti: log o 0=>I.

Hieraus folgt, wenn rein formal die unendliehe Integration mit der unendliehen Summation vertauseht und unter x eine positive ganze Zahl verstanden wird:

x'~/s(~s~-)ds H~a~ d s = i a " a;lx) *ds

( v - - 1)!

c--r c - - ~ i n ~ l n--1 e - - c z i ' n--1

so dass also der W e r t des Integrals bei positivem c yon c unabh~ngig ist; bei negativem c unterscheidet er sich yon dem ausgereehneten W e r t e nur um eine yon r und x unabh~ngige Konstante, wie man unter geeigneten Voraussetzungen fiber die RegularitKt yon /(a) und fiber das Unendliehwerden yon

[(s)

auf verti-

Acta mathemailca. 35. Imprim~ le 18 avril 1912. 47

370 Walter Schnee.

kalen Geraden mittelst des (3AUCHY'schen Integralsatzes leicht beweisen kann.

K a n n m a n nun u n t e r Benutzung der eben erwghnten funktionentheoretischen Voraussetzungen fiber /(6) bei passender Wahl yon c naehweisen, dass das Integral links ffir x ~ co konvergiert, so folgt, dass aueh die endliche Summe rechts fiir x----~ konvergiert, woraus sieh d a n n elementar die Konvergenz der Reihe ~-/

ftir gewisse W e r t e y o n 8 ableiten l~sst. Der K e r n des Beweises besteht also erstens in dem Naehweis, dass das Integral links ftir x = ~ konvergiert, und zweitens in dora Naehweis, dass jene Vertausehung von Summation und Integra- tion erlaubt ist; dies letztere ist um so wiehtiger, als man gerade in der Theorie der Diriehletschen Reihen dureh Vernaehlgssigung dieses Naehweises zu naehge- wiesenermassen falsehen Resultaten gelangt war. Die zu beiden Zweeken n~Stigen Absehi~tzungen aber beruhen ihrem Wesen naeh auf der ffir v > 2 gesieherten

ab,oluten

Konvergenz des Integrales (8), d. h. auf der Tatsache, dass der Aus- druek ~ ffir v > 2 yon mindestens der zweiten Ordnung versehwindet, wenn , i unendlieh gross wird. Dies ist der Grund, weshalb bei vielen Entwieklungen der analytisehen Zahlentheorie und aueh an der zitierten Stelle die Integrale (8)ver- wendet werden und nieht vielmehr das sehon bei R I ~ M A ~ vorkommende Integral

(9)

*Tiim_~r~ ~ d s [o ffir o < 0 < i , 9 "0_" ~ ~ i fiir 0 : i ,

[2 ~ i ffir 0 > I,

welches formal die viol einfaehere Gleichung

r T i e + T i

I lim

x'/(')da= I

~ a n . l i m / I

" d s = ~ a , , + i

2 ~ i r - ~ d ~ 2 ~ i 8 2 a*

liefert, aber eben nicht absolut konvergiert. Hier steht rechts abgesehen yon dora nicht stSrenden Summanden I am gerade der Ausdruck, dessen Verhalten fiir

2

x--- o0 untersucht werden soll. Meine in Anmerkung 4 zitierte Arbeit, in welcher der Satz I bewiesen wird, b e r u h t n a n auf dem Gedanken, die geschilderten Schwierigkeiten, welehe alle darin begriindet sind, dass in ( 9 ) d e r Ausdruek i fiir

8

a ~ oo n u r yon der ersten Ordnung verschwindet, dadurch zu vermeiden, dass

Summabflitlttseigenschaften Diriehletscher Reihen. 371 ich das in dieser formalen Gleichung v o r k o m m e n d e T von vornherein als eine wohlbestimmte F u n k t i o n yon x definiere, die zugleich mit x unendlich wird, und also die beiden sueeessiven Grenziibergs T = oD, x = o~ dureh einen simultanen Grenziibergang x = Qo, also aueh T----oo ersetzo; dadureh gelingt es, mit dem In- tegrale

c + T i

x" /(s) ds

8 c - - T i

aueh dann zum Ziel zu kommen, wenn zugelassen werden muss, dass die Integra- tionsgerade ~ = c auf der linken Seite der Konvergenzgeraden ~ = ~,0 ]iegt.

Die neuen Resultate der vorliegenden Arbeit beruhen nun darauf, dass ieh Integrale heranziehe, welehe die Vorziige der Integrale (8) und (9) in sieh verei- nigen; ich benutze ns a n s t a t t dieser Integrale

c + Ti

/ !

/0"

^{R(s) da,}

( I O )

r c-- T i

I I

we R 0 ) , das an die Stelle v o n ~ ; b e z w . - tritt, eine rationale F u n k t i o n yon 8 ist, 8

die im P u n k t e s = o einen Pol yon genau der ersten Ordnung besitzt, aber den- noeh im Unendliehen von mindestens der zweiten Ordnung verschwindet; R(a) muss dann ausserdem noch andero Pole besitzen, die ieh ebenfalls v o n d e r ersten Ordnung ansetze und der Eigenar~ des zu beweisenden Satzes entsprechend verteile. Dureh eine geeignete Festlegung der Po]e ls sich z. B. erreiehen, dass bei dem Beweise des sehr komplizierten Satzes IV keinerlei formale Sehwierig- keiten auftreten.

Die eigentliohen Beweisentwieklungen beginne ieh mit einer Diskussion der Integrale (zo), indem ieh zuns zeige, dass sieh die zum Beweise yon (9) die- nenden und f i i r c > o, T > o geltenden Absch~tzungen

c + T i

~- ri T d s - - 2~vi ~ ~ i log O ~ fiir 0 > z,

c + T i

oI-J - I = T l iog 0 1 1 o < 0 < i ,

c + T4

1_$2i s - -

I I

i = ~- (fiir 0 ---- z)

372 Walter Schnee.

in ~hnlicher Weise 19 zun~chst fiir die F u n k t i o n

R(8) =

8 (8 + I ) . . . (8 + r)'

we r eine ganze Zahl > I ist, aufstellen lassen. Dureh dieselbe klassische Methode der Anwendung des CAvc~Y'sehen Integralsatzes erhalte ieh ns unter den Voraussetzungen c > o, T > o die folgenden Hilfsformeln:

e + T i

(12)

O'R(s)da--~. I O!

I = T T M Ilog01 f i i r 0 > z ,

C - -

c+ Ti

O" R(a) d8 II~ ~'1'~1

fiir o < 0 < I, (z3)

( I 4 )

c + T i

c

Hieraus folgt natiirlieh u n m i t t e l b a r durch den Grenziibergang T =

e + T i

~i2~ f o" R(8)

e - - T i

d s ~

7V., ( ~ - ~ j ,ur ~_> ~, o fiir o < 0 / I .

Beweis:

Um zuns die Formel (12) zu beweisen, wende ich den 0AvcI~Y'- schen Integralsatz auf den Integranden

O'R(s)

u n d auf das Reehteck mit den Eeken e 4-

Ti, -- A 4- Ti

an, we A eino beliebig grosse positive Zahl > r sein sell.

D a n n ergibt sich

(15)

c + T i - - A - - T i - - A + T i c + T i

f O, R(s)ds= f O, R(s)d, + ;O'R(s)ds +/O'R(a)da + 2ziS,

c - - T i c - - T i - - A "~-- T i - - A + T i

we S die Summe der Residuen der F u n k t i o n 0 *

R(8)

in dem betrachteten Reehteck sein sell. Nun konvergiert das zweite Integral rechts fiir A = ~ gegen o, da der

19 E i n a u s f t i h r l i c h e r B e w e i s dieser F o r m e l n f i n d e r sich z. B. in H e r r n LAI~DAU'S *Handbuch~

(vergl. A n m e r k u n g 5), Bd. I, S. 342--346.

Summabflitatseigenschaften Dirichletscher Reihen. 373 I n t e g r a n d wegen 0 > I gleiehm~ssig auf dem vertikalen endliehen Integrationswege - - A ~ T i . . . - - A + T i gegen o konvergiert; es ist n~mlieh fiir alle 8 dieses In- tegrationsweges

I O ' R ( s ) ] = 8 ( 8 7 } - i ) : - . . ( s + r ) < ( A - - r ) "+x"

Die beiden anderen Integrale auf der reehten Seite yon ( I 5 ) k o n v e r g i e r e n ffir A = ~ sogar absolut; es ist n~mlieh z. B. fiir das erste Integral

--A--Ti ,e

O ' R ( s ) d s < T r + l f l d a = T r + 1 log 0 (0r <

r - - A

I 0 r

T r +

1 ]og O'

w~hrend das dritte Integral genau derselben Abseh~itzung geniigt. Was nun sehliesslieh den in (I5) v o r k o m m e n d e n Ausdruek S anbetrifft, so ist, da der In- tegrand innerhalb des Integrationsgebietes die r + I Pole erster Ordnung s ~ o,

8 = - - 1 . . . 8 ~ - - r besitzt:

0--1 0--2

S = r ~ ( - - I ) ( + I ) . . . ( r - - I ) -I ( - - 2 ) ( - - I ) ( + I ) . . . ( r - - 2 )

=r~(i-- (:)~-1+ (:) 0-2 . . . . +(--i)r(;)O -r) r! I

9 . 4

- - r ( - - r + I ) . . . ( - - I )

Tr~gt man alle erhaltenen R e s u l t a t e in die Formel (I5) ein, so ergibt sieh die B e h a u p t u n g (i2).

Ganz analog verl~uft der Beweis ffir den Fall 0 < I . Wendet man den CAUCHY'sehen Satz auf das Reehteck mit den Eeken c 4 - T i , A 4- T i an, in welchem der I n t e g r a n d durchweg regulgr ist, so ergibt sich

e + T i A - - T i A + T I c + T i

/O,R(s)ds=/O,R(8)ds + ;O,R(s)dr + (O,R(s)ds.

v -- T i e - - T i A '~ T i A ~ - T i

Auch hier ist fiir alle 8 auf dem Integrationswege des mittleren Integrals

I I

[o"R(8)[= 8(8+~)._.(8+r)

< A r + l '

374 Walter Sehnee.

w a s wegen o < O < I ffir A = oo gegen o konvergiert, u n d es ist fiir das erste

Integral rechts

A-- Ti A

O" R ( s ) d s < O a d a = T ~ + x - log O(O~-O'a)< T~+~llogOl'

C ~ C

wiihrend fiir das dritte Integral reehts genau dieselbe AbschKtzung gilt. Damit ist auch die Formel (I3) bewiesen.

Um schliesslich (I4) nachzuweisen, wende ich den CAvcHY'schen Satz auf den l n t e g r a n d e n R(s) und auf das Gebiet an, welches einerseits yon tier geraden Linie c - T i . . . e + T i , andererseits yon dem fiber dieser Strecke als Durchmesser naeh rechts beschriebenen Halbkreis K begrenzt wird, dessen Bggenli~nge ~ T ist.

Da der I n t e g r a n d in diosem Gebiet durchweg reguli~r ist, so ergibt sich, wenn der Halbkreis y o n c - T i bis c + T i durehlaufen wird:

r

R(s) ds = R(s) ds = s ( s + i i . _ . ( s + r ) < z T . ~ ; ~ i - - T , ,

r

womit aueh (14) bewiesen ist.

Die entsprechenden Formeln fiir die F u n k t i o n

R ( s ) I i = --i

s s - - i s ( s - - i )

brauche ich nioht mehr besonders zu beweisen, um nicht die soeben entwickelten Rechnungen ffir den Spezialfall r = i mit geringen Abiinderungen zu wiederholen.

Es ergibt sich unter den Voraussetzungen c > o, T > 2:

(/6)

c + T i

O " R ( s ) d s - - 2 ~ r i ( i - - O q < Ilog OI

c ~ T i c + T i

O" R (s) d s < [ log O [ fiir o < 0 < ~,

e - - T i r T i

~ (s) ds <= - ~ - f a r (o = ~).

c - - "

ffir ,9 > I ,

Schliesslich brauche ioh noch eine Transformation der Formeln (II). F f i h r t man a n s t a t t der Variablen s die Variable s - r e i n , so ergibt sich

Summabiliti~tseigenschaften Dirichletscher Reihen. 375

e + Y i e + r + Y l

d s = O - d s .

c - - T i c+r-- T i ,

Aus (11) ergibt sich daher fiir c > - - r , also umsomehr fiir c > o die folgende Absch~tzung, in der natiirlieh T > o angenommen werden muss:

(17)

c + T i

c + T i

c

2 0 r

d a ~ 2 ~ i O - ~ ---< T [ l o g O ~ ffir O > I,

2 0 c

d s --<---T]logO] fiir o < 0 < I .

Die entsprechende Formel ffir O ~ I wird nieht angewendet werden.

Um den Gang der Entwieklungen in den eigentlichen Beweisen der S/itze I I bis IV nieht unterbrechen zu miissen, fiihre ich bier noeh den in der Einleitung oft zitierten PHRAGM~.z~-LII~DEL61:schen Satz in der f/Jr unsere Anwendungen ge- eignetsten Form an:

Es sei eine beliebige analytisehe F u n k t i o n F ( s ) in dem Streifen a~ < a _ < a~

regul~ir, und es sei fiir a---a~, It I_>_i

IF(8)I <A, Itl k

sowie fiir a = a 2 nebst beliebigem I

sehliesslieh sei im Gebiet al < a < as, ] t I > i

IF(8)l<a3 Itl K.

Hierbei sind b, K sowie A1, A~, A~ beliebige positive Konstanten. Dann existiert eine K o n s t a n t e A~, so dass im Gebiet a I <__ a ~ a~, I t ] ~ 1

ist.

Der Exponent auf der rechten Seite der erhaltenen Abseh~tzung nimmt also im Intervall a ~ a ~ a 2 linear yon k bis o ab. Ein ausfiihrlioher Beweis dieses Satzes in genau der angegebenen Form finder sieh an der in Anmerkung 6 zitierten Stelle yon H e r r n LANDAU'S: ~>Handbueh der Lehre yon der Verteilung der Primzahlem>.

376 Walter Schnee.

Als e r s t e A n w e n d u n g hole ieh d e n in d e r E i n l e i t u n g i i b e r g a n g e n e n Beweis n a e h , dass fiir die d o r t d e f i n i e r t e n K o n s t a n t e n pr, die n a c h D e f i n i t i o n m i t w a e h - s e n d e m r niemals z u n e h m e n , die B e z i e h u n g # 0 - - ~h > ~ ~ tq > P 2 - - ~t~ > . . . gilt, d. h. dass allgemein p ~ - t - - t i ~ > p r - - ~ + 1 (r ~ I , 2 . . . . ) ist. H i e r b e i d a r f ange- n o m m e n werden, dass p r + l < p ~ < p r - 1 ist; in d e n b e i d e n F~illen ~ + 1 = ~ r < p r - I u n d ~ + 1 ~ # ~ ~ r - ~ ist n~mlich die B e h a u p t u n g trivial. Ich setze n u n

/(,)

F ( s ) = ( s _ _ a ) , , _ ! +,~, a t = #,-+1 + e, a2 = ~ , / r - 1 -'{- 8 ,

we /(8) die zu d e n K o n s t a n t e n p~ gehSrige D i r i e h l e t s c h e R e i h e b e d e u t e t , $ u n d beliebig kleine p o s i t i v e Z a h l e n sind u n d endlich a irgend eine reelle Zahl ist, die e n t w e d e r < pr + e o d e r > t ~ - i + e ist. D a n n folgt aus d e r D e f i n i t i o n s b e z i e h u n g (6), a n g e w a n d t a u f die Abscissen p r + l u n d p ~ - t , dass ffir a ~ > p ~ + l + e , [ t l ~ I

u n d fiir a > p , _ ~ + r , [ t [ > i

I1(*)1 < c I t l , + , + ,

I1(~)1

<

c, Itl ,-1+~

ist. H i e r a u s a b e r e r g i b t sich, dass fiir u n s e r e F u n k t i o n F(~) in d e m a n g e g e b e n e n I n t e r v a l l e at <~ a <__ a 2 alle V o r a u s s e t z u n g e n des a n g e f i i h r t e n Satzes m i t k = 2, K = 2 erfiillt sind. F e r n e r ist infolge d e r A n n a h m e ~ r + l < ~r fiir h i n r e i e h e n d kleines e die Zahl .u~+l + r < f t r - - ~, SO dass p ~ - - ~ im I n n e r n u n s e r e s I n t e r v a l l s liegt. M a n d a r f d a h e r in (i8) d e n speziellen W e r t a ~ / ~ r - r e i n s e t z e n u n d e r h ~ l t im G e b i e t

2 ( " - 1 + ~) -- ( , , - ~) I F ( s ) l < V~ ltl " , , - ~ - , - , , , + ,

l + ( # , _ l - - . r ) - - (l~r--.r.. I. 1)+ 4e

W~re n u n p , - 1 - - , u r < , u r - - t ~ r + l , so k 6 n n t e m a n e w e l t e r so klein a n n e h m e n , dass d e r B r u o h im E x p o n e n t e n y o n ]t~ v e r s e h w i n d e t o d e r n e g a t i v ist; m a n e r h i e l t e d a n n im G e b i e t ~ r - - e < a s + e, ] t ] > i

IF(s)l

< o~

Itl,

I 1(~) I < c', I t l . I ~ - a l ~ - ' + ' < c, Itl ,+~,

also im G e b i e t e a > pr - - e, I t I ~ i

II(8) I

^<

(c,

⁺

c,)Itl ~§

Summabilit~ttseigenschaften Dirichletscher Reihen. 377 und zwar ffir jede beliebig kleine Zahl ~ > o. Dies widerspricht aber der Definition yon ~ , womit bewiesen ist, dass fiir r = z, 2 , . . . stets ~ - 1 - - ~ > ~ - - ~ + 1 ist.

w 2. B e w e i s y o n S a t z I I .

Wir gehen n u n m e h r zum Beweise des folgenden Satzes fiber:

I I . Es sei die durch die Reihe /(s) in ihrem Konvergenzgebiet dargestellte Funktion /iir a > ~ reguldr, und es existiere eine Konstante A, 80 dass /i~r a >=~,

t ~ >

z

die Beziehung

I/(s)l < A Itl

gilt. Dann ist die Reihe /(a) ]i~r o > ~ wenigstens aummabel yon der ersten Ordnung.

Beweis: Wir brauehen n u r zu zeigen, dass die Reihe ffir jeden reellen P u n k t

~, = ~, + d, wo d > o ist, y o n der ersten Ordnung summabel ist. Dazu wenden wir fiir irgend eine positive ganze Zahl x den CAUcHV'sehen Satz auf den Inte- granden

~ ( 8 ) / ( s + 7 ) = x , ( ~ _{8 - - i}

z ) ₁₍₈₊₇₎

u n d auf das Rechteck mit den Ecken - - - + T i , d l - - ~ + T i an, wo l > ~ die Grenz-

2

abscisse der absoluten Konvergenz bezeichnet ~~ u n d T > 2 sein soll. D a n n h a t der I n t e g r a n d im Integrationsgebiet n u r die beiden sicher darin gelegenen ev. Pole erster 0rdnuDg s = o u n d s = i u n d i s t sonst fibera]l im Integrationsgebiet regulKr.

Es ergibt sich daher, wenn der I n t e g r a n d al~ selbstverstiindlich weggelassen wird:

4 . d .

l--~+Ti --~+T~ --~--Ti l--~--Ti

Wir wenden ferner auf die F u n k t i o n J(s) und die beiden Abscissen a, = 7, a 2 = l + d den PHRAGM]b~-LZZ~DEL6F'schen Satz an, dessen Voraussetzungen wegen (zg) und der absoluten Konvergenz der Reihe ](s) auf der Geraden a = l + d offenbar erfiillt sind, u n d zwar ist k = i , K = z. Es folgt die Existenz einer K o n s t a n t e n ,9 < z, ffir welche im Gebiet a > ~ + ~ [ t [ > z

I1( )1 < C l t l

so I m F a l l e l < ~ i s t n ~ m l i c h d e r b e h a u p t e t e S a t z t r i v i a l .

Ac4a ma~hematiea. 35. Imprim6 le 18 avril 1912. 48

378 Walter Schnee.

wird; dies ergibt, auf das Gebiet a > 7 - - 7 + . . . . d

2

d , I t I ----) I iibertragen,

2

1t(8 + 7)1< C ltl ~.

F e r n e r ist bei beliebigem a fiir It I > 2

J i I =

IR(=)l= - 8(8--0 s

Man erhiilt daher ffir das dritte Integral auf dor linken Seite yon (20) die Ab- sohiitzung

d d

- - ~ . - T i - - ~ + 2 4 T

i-/ IIj

⁼

"x'R(=)l(s+

^{7) ds +}

I ;

x 2.~i Ct'~dt

It, l= x'~(=)l(8

+ 7 ) d s < 2 .

-- --Ti 2 - - - 2 i 2 2

< x - ~ C~ + 4 C ~ 0 2 x - 2 , 2

in der C~ eine wegen 0 < I endliche, yon T und x unabhiingige Konstante be- zeiohnet. 3Lhnlich ergibt sich fiir das vierte Integral auf der linken Seite yon (2o)

I - - 7 - - T i l - - 7 l - - 7

+ 7 ) d s < ~ . C T ~. x ~ d a ~ x ~

-~- - g

genau derselben Abschgtzung geniigt das Integral I~.

In dem ersten Integral auf der linken Seite yon (20) schliesslieh daft man fiir ]( s + 7) die Reihendarstellung einfiihren, die ja wegen 9~ ( s + 7} = ( l - - 7 ) + 7 = l + d auf der ganzen Geraden 9~ (s) = l u 7, also auch auf dem e n d l i c h e n Integrations- wege yon l - - 7 - T i bis l - - 7 + T i absolut und gleichm~issig konvergiert. Infol- gedessen ist es gestattet, die Integration unter dem Summenzeichen auszufiihren:

l--7+ Ti

l : 7 + T i ~ ) ' X S ~

I , / x ' R ( s ) ] ( s + 7) d s (s) - V ~ d s = n ~ n R ( s ) d s .

n~l ~ l--7-- Ti

Die Anwendung der Formeln (i6) fiir 0----~ ergibt daher X

Summabilit~ttseigenschaften Dirichletscher Reihen. 379

I

I 1 - 2 ~ i 2 a,.

" (

nr "T - ~ ' F -

:i

+ T xr

.--1 n--1 log

_ 3 = z - "

r la.I

.-1 - - + lag T x r '

we der Strich a m Summenzeiehen a u s d r i i c k e n sell, dass das Glied n = x y o n d e r S u m m a t i o n ausgesehlossen ist. Die unendliche Reihe reahts k o n v e r g i e r t natfirlieh, d a d e r h i n z u t r e t e n d e F a k t o r i fiir n = oo sogar gegen o k o n v e r g i e r t .

W i r gehen n u n m e h r bei festem x zur Grenze T = co fiber9 D a n n v e r s e h w i n d e t die reehta Seite der soeben e n t w i e k e l t e n Absah~itzung fiber 11, so dass also d e r Grenzwert v o n 11 gleieh d e r in dieser Abseh~itzung a u f d e r linken Seite auftre- t e n d e n endliehan S u m m e ist, u n d as v e r s e h w i n d e n n a e h d e r e r h a l t e n e n Abseh~t- zungsformel die I n t e g r a l e I4 u n d I v Das I n t e g r a l I3 konvergiert, wie wir gesehen haben, fiir T ~ ~ sogar absolut, u n d zwar bleibt sein G r e n z w e r t -fs a b s o l u t ge-

d

n o m m e n u n t e r h a l b der S e h r a n k e C 2 x ' - L N i m m t m a n also in d e r d u r e h d e n Grenziibergang T = ~ aus (2o) sieh e r g e b e n d e n Gleiehung

" ( )

2 ~ i ~ an

~ ~--~ +i8=

x i ^{2~ci (1(~,)} - - # / ( 7 + i)) d e n n e u e n Grenziibergang x "=-- ~o vet,. so bleibt n u r iibrig

9 a n I - -

,,~ - - oo [ n _ l "fb

N u n ist identisoh, w e n n

gesetzt wird,

a n _ a n I I I a~,

n - ~ - nr n" s,, (n + + x"

~ - - 1 x - - 1

n ~ l n ~ l

+ ~

:8~

380 Walter Schnee.

also

~-, (~ i )

- = -

~ (s.--l(r)) ~

^{(n u} + t(r) +

n--1

( " ) .-, (

- ~ I " - ' ~ - 8 a c ~ X i I

~*$1l n - - 1

s.-l(r)

I

(n ~:

@)

- - 2'1(7) - ( s ~ - - 1(7)),

. ( . , ) .1 (

i - - - ~ t ( 7 + i ) = - - x ~ ( s . - - l ( 7 ) ) ni

~ - - 1 n i l

-- - - ( n + i ) ~

i)

+ x i ( / ( 7 + i ) - - [ ( 7 ) ) 9

Da nach (2I) die linke Sei*e fiir x = ~ gegen o konvergiort, so konvergiert auch die reohte Seite gegen o, auch dann, wenn sie mit x - i multipliziert wird. Es ergibt sich dahor die Konvergenz der Reihe

(22) (s,,--l(v)) ff~ ( n + ~ ~-l(r + i)--l(v).

Setzt m a n ferner

I

8 n - - / ( y ) = a . , ni so folgt

(23)

i 2

(n + i ) i - - a . ,

a,u,=A,,,

I ( 7 + i ) - - / ( 7 ) = A ,

2

^{fin =}

2

On an . . . .

I 2

An

(;. i ) ~ .

+ - -

f i n Or" + 1 Otx. + 1

n-- I $~11 n--1

= ( A . - - A ) I z + - - + - - - -

n ~ l CG?+I ~ l a x + l

Nun ist einerseits, wie mit (22) bewiesen, lira ( A . - - A) = o, andererseits ist ffir n > 2

n l r

. i I/ ( "-" ' t "),

~ I~+~/' ~ - ~ + n t / = ~ ~§ ~1

I I

~r~ 6 f n + l

i (n 1 + i _ _ (n + i) 1 + ~) + O~(n) - - O, (n + I) = O~ (n),

wo die Funktionen O(n) bis O~(n) fiir alle n absolut genommen unterhalb einer festen Schranke Iiegen. Folglich ergibt sich