LE PLAN DES PHASES

(1)

LE PLAN DES PHASES

Exemple n°1: Le pendule Simple

m

θ

l

θ = − θ

sin dt mg

ml d

₂

2

 



 



−

=

= θ θ

=

2 1 1 2

2 1

y l sin g dt

dy dt y dy

dt y d

;

y

(2)

SCRIPT MATLAB

clear;

global g l l=10;g = 9.81

figure('NumberTitle','off','Name','Cours du 29.11.2002') for i=1:100

options = odeset('RelTol',1e-5);

[t,y] = ode45('Linear_Damping_Pendulum',[0:0.05:10],[i/5 0],options);

comet(y(:,1),y(:,2));

plot(y(:,1),y(:,2));

zoom on

axis([-6 20 -6 6]) hold on;

end

script_avec_subplot_simultane.m

function dy = Linear_Damping_Pendulum(t,y) global g l k L

dy = zeros(2,1);

dy(1) = y(2);

dy(2)=-g/l*sin(y(1));

(3)

RESULTATS

Circulation

Simple

Libration

(4)

LE PLAN DES PHASES

L’amortissement est modélisé en supposant que les forces dissipatives créent un couple proportionnel à la vitesse angulaire

Exemple n°2: Le pendule Simple avec amortissement

m

θ

l

dt K d sin

dt mg ml d

₂

2

θ = − θ − θ

 



 



−

=

= θ θ

=

2 1

2

2 1

ky y

l sin g dt

dy dt y dy

dt y d

;

y

(5)

SCRIPT MATLAB

clear;

global g l k

k=0.2;l=10;g = 9.81;

figure('NumberTitle','off','Name','Cours du 29.11.2002') for i=1:20

[t,y] = ode45('Linear_Damping_Pendulum2',[0:0.05:30],[0 i/5],options);

comet(y(:,1),y(:,2));

plot(y(:,1),y(:,2));

zoom on

axis([-3 10 -6 6]) hold on;

end

for i=16:30

[t,y] = ode45('Linear_Damping_Pendulum',[0:0.05:30],[i/5 0],options);

comet(y(:,1),y(:,2));

plot(y(:,1),y(:,2));

axis([-3 10 -6 6]) hold on

end

title(['Plan des Phases - Pendule avec amortissement']);

ylabel(['d \theta',' /dt']);

xlabel(['\theta']);

script_avec_subplot_simultane2.m

function dy = Linear_Damping_Pendulum2(t,y) global g l k

dy = zeros(2,1);

dy(1) = y(2);

dy(2)=-k*y(2)-g/l*sin(y(1));

(6)

RESULTATS

k=0.5 (amortissement fort)

Libration

Circulation se

transforme en libration

Amortissement

(7)

RESULTATS

k=0.1 (amortissement faible)

Amortissement

Circulation se

transforme en libration (mais il faur plusieurs rotations)

Libration

(8)

LE PLAN DES PHASES

Exemple n°3: Le pendule Simple avec Charge Constante

m

θ

l

L dt sin

k d dt

d

20

2

θ + θ + ω θ =

L= Couple Constant

Positions d’équilibre se rapprochent avec L qui croît (L suffisamment petit):

Vérifier le script Matlab avec L=0 ou avec

ω

²⁰

= L L

sin

20

θ =

ω

(9)

SCRIPT MATLAB

clear;

global g l k L

k=0.2;l=9.81;g = 9.81; L=-0.5;

figure(1) for i=-30:30 pause;

clear y

[t,y] = ode45('Linear_Damping_Pendulum3',[0 30],[i/4 0],options);

comet(y(:,1),y(:,2));

plot(y(:,1),y(:,2));

hold on;

axis([-7.5 7.5 -4 4]);drawnow;

end

title(['Plan des Phases - Pendule avec charge constante']);

ylabel(['d \theta',' /dt']);

xlabel(['\theta']);

script_avec_subplot_simultane3.m

Charge

function dy = Linear_Damping_Pendulum3(t,y) global g l k L

dy = zeros(2,1);

dy(1) = y(2);

dy(2)=-k*y(2)-g/l*sin(y(1))+L;

(10)

RESULTATS

k=0 et L=- 0.5

Inversion de la circulation sous l’effet du couple

Charge

Librations et positions d’équilibre shiftées

(11)

RESULTATS

k=0.2 et L=- 0.5

Inversion de la circulation qui se transforme en libration sous l’effet de

l’amortissement

Charge

(12)

RESULTATS

k=0.2 et L=- 1

Disparition

progressive des positions

d’équilibre

Charge

(13)

RESULTATS

k=0.2 et L=- 1.2

Disparition des positions

d’équilibre

Charge

(14)

Les Cycles Limites dans le plan des phases

dx/dt − )

x 1 (

d²x/dt² = a − ² x

On demande de vérifier

-que le point d'équilibre est un point d'équilibre instable pour 0 < a -que le point d'équilibre est un point d'équilibre stable pour a < 0 Que se passe-t-il pour a=0 ?

But: Etudier un système plan autonome mais non linéaire par opposition aux systèmes plans autonomes et linéaires. Non linéarité →les cycles limites.

Rappel: qu'est-ce qu'un terme non linéaire ?

La non linéarité est la superposition de facteurs ou d'effets; elle se traduit donc par des termes comme:

x², a xy, b yz

Où x, y et z sont des variables et m et b des paramètres.

La non linéarité est une condition nécessaire mais non suffisante au chaos (voir plus loin).

(15)

L’équation de VanderPol

L’équation de l’oscillateur amorti est ‘non physique’: si K<0, l’énergie du système croit indéfiniment et on a invariance par dilation de la solution, qui est incompatible avec l’existence de solutions d’amplitude déterminée.

On ne peut partir de l’équation de l’oscillateur amorti pour écrire l’éq. de l’oscillateur entretenu.

Van der Pol fait dépendre l’amortissement de l’amplitude des oscillations:

croissance desd amplitudes aux faibles oscillations et décroissance aux grandes. Les trajectoires doivent diverger de la position d’équiliber mais converger à grande distance de l’origine: CYCLE LIMITE. C’est un

attracteur.

(16)

Solution

Vérifier que le point d'équilibre est un point d'équilibre instable pour 0<a

global a a=-0.25;

for i=1:10

[t,y] = ode45('Van_der_pol_eq',[0:0.05:25],[i/5 0], options);

comet(y(:,1),y(:,2));

plot(y(:,1),y(:,2));

hold on end

xlabel('x') ylabel('dx/dt')

title('Plan des phases - Equation de Van der Pol (a=1)')

avec le module Van_der_pol_eq.m donné par:

function z = Van_der_pol_eq(t,y) global a

z=zeros(2,1);

z(1) = y(2);

z(2) = a*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

(17)

Graphe

Vd Pol

cycle limite stable.

(18)

Graphe

Vd Pol

cycle limite stable.

(19)

Justification physique de l'existence des cycles dans l'espace des phases à deux dimensions

Cycles limites, des cols, foyers et centres d'un mouvement (appelons-les les points singuliers d'un système) →caractérisation complète et qualitative d ’un mouvement.

Cas d ’un point singulier stable (stabilité asymptotique): les trajectoires proches d ’un point singulier convergent vers ce point, soit de façon directe si c'est un noeud, soit en spirale si c'est un foyer (état stationnaire). Ce sont les régimes

stationnaires.

Cas d ’un point singulier instable: toutes les trajectoires proches de ce point s'écartent de celui-ci. Où aboutissent-elles?

• Elles peuvent par exemple tendre vers un autre point singulier (situation qualitativement non différente).

• Elles peuvent s ’éloigner vers l'infini, notamment parce que le système ne possède pas d'autre point singulier. (ex: systèmes explosifs)

• Elles atteignent des cycles limites , seule troisième voie topologiquement acceptable - les courbes ne peuvent avoir d ’intersection)

Vd Pol

Un cycle limite: solution temporellement périodique qui est

indépendante des conditions initiales et qui possède une fréquence intrinsèque au système indépendant des conditions initiales

(20)

Graphe

Vd Pol

cycle limite instable.

(21)

Graphe

Vd Pol

Point initial à l'extérieur du cycle limite ?

le cycle limite instable repousse la trajectoire

(22)

Graphe

Vd Pol

Disparition du cycle limite.

(23)

Equations avec plusieurs cycles limites

dt x a dx

dtx

d²₂ =− sin( )−

MATLAB M-file

Mettre en évidence:

- Les cycles limites - Etudier leur stabilité

- Etudier la transition linéaire vers non linéaire a=-10;

for i=50:-1:1

[t,y] = ode45('Lienard_eq',[0 15],[i -i],options);

comet(y(:,1),y(:,2)) plot(y(:,1),y(:,2)) hold on

end

% cosmétique du graphe title(['a=+10']);

xlabel('x') ylabel('dx/dt') hold off;

function z = Lienard_eq(t,y) global a

z = zeros(2,1);

z(1) = y(2);

z(2) = -a*sin(y(2))-y(1);

(24)

Graphe

Vd Pol

cycle limite stable/instable

(25)

Graphe

Vd Pol

cycle limite stable/instable

(26)

Graphe

Vd Pol

cycle limite stable/instable

(27)

Duffing

) t 2 sin(

. 13 ) 1 x .(

x . dt 40 dx 2 3 dt

x

d ₂

2

2 − − − = π

Système mécanique dont le comportement est modélisé par une telle équation ? Résoudre avec CI: d'abord x(0)=0 et dx(0)/dt=0 et ensuite x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

idem en supprimant la non linéarité de l'équation de Duffing

Tracer la solution de Duffing et de Duffing linéarisé dans le plan des phases.

Déterminer la section de Poincaré de Duffing et de Duffing linéarisé

(28)

Résoudre avec CI:

x(0)=0 et dx(0)/dt=0 x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0 .

[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:0.05:50],[0 0], options);

plot(t,y(:,1)) hold on

[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:0.05:50],[0.1 0], options);

plot(t,y(:,1),'r-') xlabel('t')

ylabel('x')

title('Equation de Duffing')

function z = duffing_eq(t,y) z=zeros(2,1);

z(1) = y(2);

z(2) = 13*sin(2*pi*t)-40*y(1)*(y(1)^2-1)-3/2*y(2);

(29)

Résoudre avec CI:

x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0 .

Duffing

(30)

Résoudre avec CI:

x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

Résoudre avec CI:

x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0 .

Duffing linéaire

(31)

Solution dans le plan des phases

Auto-intersections car système non autonomes

Eviter auto-intersections: travailler à 3D avec t comme nouvelle variable dépendante

Duffing

(32)

Plan des Phases à 3D

3D: ∃ autres points singuliers qui n'ont pas leur équivalent à deux dimensions. ex: cas des orbites homoclines dans l'espace des phases:

ces dernières se caractérisent par leur

éloignement progressif du point singulier pour ensuite y revenir brusquement, ce qui serait

impossible à deux dimensions puisqu'on

observerait alors une auto-intersection.

(33)

Déterminer la Section de Poincaré

But: Ramener à deux dimensions l'étude du mouvement dans l'espace des phases

Methode: (x;dx/dt) non pas en continu mais à intervalle de temps régulier (période du terme forçant)

Que nous apporte cette méthode ?

Mouvement périodique:

point unique (rapport entier)

ou nombre fini de points (rapport rationnel)

ou infinité non dénombrable (rapport irrationnel) - relier ces points par une courbe continue.

Mouvement chaotique:

Points formant une courbe fractale

(34)

Code Matlab pour Tracer une section de Poincaré

[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:1:480],[0 0], options);

plot(y(10:481,1),y(10:481,2),'.','MarkerSize',6) xlabel('x')

ylabel('dx/dt')

title('Section de Poincaré - Equation Linéaire \Delta t=1')

(35)

Section Poincaré

Duffing Linéaire

(36)

Section Poincaré

Duffing

(37)

Projet 2002-2003

Un câble électrique fixe CD transporte un courant d’intensité i1 et attire un câble électrique AB parallèle transportant un courant i2. Le câble AB de masse m est attaché à l’extrémité d’un ressort de constante k ;

l’autre extrémité du ressort est fixe, ainsi que montré sur la figure ci- après. Chaque câble a une longueur l.

A

B C

D k i

²

i

¹

kx x l

D i i dt x

m . d

²₂

= 2 . −

¹ ²

−

On demande d’étudier les positions d’équilibre éventuelles et les oscillations possibles de AB à l’aide du plan des phases, en fonction de i2 (selon les

circonstances à déterminer, il y en a deux, un ou zéro). On demande de choisir les valeurs appropriées des autres paramètres l, D, k, i1

(38)

Projet 2002-2003

kx x l

D i i dt x

m . d

²₂

= 2 . −

¹ ²

−

A

B C

D

k i

²

i

¹ Positions d’équilibre données par:

. 0

2 −

¹²

l − kx = x

D i i

Si i l

D i k

. 1

2 2 8.

= . alors le système admet une position d’équilibre Si i l

D i k

. 1

2 2 8.

< . alors le système admet deux positions d’équilibre

Si i l

D i k

. 1

2 2 8.

> . alors le système n’admet pas de position d’équilibre

(39)

Solutions

attracting_wires.m

l i D i k

. 1

2

8 .

. . 8 ,

= 0

il y a une position d’équilibre stable et une position d’équilibre instable dont s’écarte toute trajectoire du plan

des phases s’en approchant foyer sont confondus

(40)

Solutions

l i D i k

. 1

2 2

8 .

= .

On voit clairement que le centre et le point d’équilibre instable sont confondus.

(41)

Solutions

l i D i k

. 1

2

8 .

. . 1 ,

= 1

Il n’y a plus de position d’équilibre.