Fonction exponentielle.

Lycée Paul Rey Denis Augier

DM exponentielle du 15 octobre 2018 :

Fonction exponentielle.

Ex 54 page 49

Étude de la fonctiongpxq “x`1´e^x.

1. Par lecture graphique on obtient le tableau de variation de la question 2 et on observe les positions rela- tives démontrées à la question 3.

De ce tableau, on peut remarqué que la fonctiong semble négative et s’annule une fois en 0 (c’est-à-dire quegp0q “0).

2. Pour déterminer le sens de variation de g, on détermine sa dérivée : g¹pxq “1´e^x

Puis l’on détermine le signe de la dérivée :

g¹pxq ě0ô1ěe^xô0ěx Enfin l’on peut compléter le tableau de variation deg :

x g¹pxq

gpxq

´8 0 `8

` 0 ´

´8

´8

0 0

´8

´8

Dans ce tableau l’on fait apparaître la valeur degp0q “0`1´e⁰ “0.

Maintenant à la lecture du tableau, nous pouvons affirmer que la fonction g ne prend que des valeurs négatives.

3. Pour déterminer par le calcul, la position relative des deux courbes, on étudie le signe de la différence gpxq ´x :

gpxq ´x“1´e^xě0ôxď0 Donc, on obtient les positions :

x Surs ´ 8; 0r Surs0;`8r

Signe degpxq ´x + -

Position relative ^Cg{^{d d}{^Cg

En notantC_g la courbe représentative deg et d celle de l’équation y“x.

Ex 55 page 49

• e^x´1ě0ôe^x ě1“e⁰ôxě0

• e^2x´?

eě0ôe^2x ě?

e“e¹² ô2xě 1

2 ôxě 1 4

• On déduit des deux questions précédentes le tableau : x

e^x ´ 1 e^2x ´ ? e pe^x´1qpe^2x´?

eq

´8 0 ¹₄ `8

´ 0 ` `

´ ´ 0 `

` 0 ´ 0 `

Doncpe^x´1qpe^2x´?

eq ě0ôxPs ´ 8; 0s Y r0;`8r

Mathématiques : tronc commun 2018-2019 1

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Ex 85 page 56 1. .

2. On notefpxq “ab^x.

(a) Puisque les pointsAp0; 55qetBp5; 112qdoivent appartenir à la représentationC_f, on obtientfp0q “55 etfp5q “112. Ce qui se traduit par les équations suraet b:

"

ab⁰ “a“55 ab⁵ “112 ô

"

a“55 b⁵“ ¹¹²₅₅ »2,036

(b) Du fait qu’une valeur approché de l’équationx⁵ “2,036 soit x“1,1528.... On peut choisir comme valeur approchéeb“1,15

3. Sur r0; 12s,fpxq “55ˆ1,15^x.

(a) Sur une période de un an le chiffre d’affaire de l’entreprise passe defpxq à fpx`1q. L’évolution en pourcentage est donc sur 1 an de :

fpx`1q ´fpxq

fpxq “ 55ˆ1,15^x`1´55ˆ1,15^x

55ˆ1,15^x “ 1,15^x`1´1,15^x

1,15^x “ 1,15^xp1,15´1

1,15^x “1,15´1“0,15 Soit donc une augmentation de 15 %.

(b) pour déterminer une estimation du chiffre d’affaire en juillet 2017 (c’est-à-dire pour x “ 6` 7 12 » 6,58) :

fp6,58q »138 On obtenons une estimation de 138 millese.

(c) pour déterminer une estimation du chiffre d’affaire en janvier 2011(c’est-à-dire pourx“10) : fp10q “55ˆ1,15¹⁰»222,51

On obtenons une estimation de 222510 e. 4. On obtient le tableau de valeurs :

x 12,1 12,2

fpxq 298,4 302,6

On en déduit donc que l’entreprise dépassera le chiffre d’affaire de 300 000eau mois de mars 2013.

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