Exercices d’algèbre poussés

Exercices d’algèbre poussés

1 Soit a, b, c trois réels deux à deux distincts.

Déterminer une expression simplifiée de





 



 





2 Soit a, b, c trois réels non nuls tels que 1 1 1 a  b c 0.

Démontrer que l’on a alors





3 Soit a, b, c trois réels non nuls vérifiant l’égalité ab bc  ca 0. Calculer b c c a a b

a b c

     .

4 Soit a, b, c trois réels vérifiant abc1. Démontrer que l’on a :

2 2 2

1 1 1 1 1 1

4

a b c a b c

a b c a b c

                

         

         .

5 Soit a un réel quelconque.

Calculer

2 2 2

2 2

2 1

1 1

a a

a a

  

   

   

    .

Corrigé

1 Soit a, b, c trois réels deux à deux distincts.

Déterminer une expression simplifiée de





 



 





On pose

 

  

  



S a b a c  b c b a  c a c b

      ^.

Il faut choisir un « bon » dénominateur.

On choisit comme dénominateur commun









 

  

  



S a b a c  b c b a  c a c b

     





 



 





S  

     

     

   

a c b b c a c b a

c b a

S b c a

    

   

   

ac ab bc ab cb ac

b a

S c b c a

    

   

0 S

Variante :

 

  

  



S a b a c  b c a b  a c b c

     

 

      

     

    

a b c b a c a b

b c a c a b

S c

a b a c b c a b a c b c

  

     

  

  

2 Soit a, b, c trois réels non nuls tels que 1 1 1 a  b c 0.

Démontrer que l’on a alors :





L’égalité 1 1 1

a  b c 0 donne bc ac ab 0 abc

   d’où bc ac ab0.

Or







 





On peut écrire









Or bc ac ab0.

Par conséquent,





3 Soit a, b, c trois réels non nuls vérifiant l’égalité ab bc ca  0. Calculer b c c a a b

a b c

     .

b c c a a b

S a b c

  

  

     

bc b c ac c a a b ab S   abc  

2 2 2 2 2 2

b c c b c a a c a b b a

S abc

    



     

b bc ba c bc ca a ac ab S ab

c

    



     

b ca c ab a

S a c bc

b

    

 (car ab bc  ca, bc  ca ab, acab bc)

abc abc abc S  abc 

3 S 

4 Soit a, b, c trois réels vérifiant abc1. Démontrer que l’on a :

2 2 2

1 1 1 1 1 1

4

a b c a b c

a b c a b c

                

         

         .

Méthode : on développe séparément le premier membre et le second membre On pose

2 2 2

1 1 1

A a b c

a b c

     

         et 1 1 1

B 4 a b c

a b c

   

       .

1^er membre :

2 2 2

1 1 1

A a b c

a b c

     

        

2 2 2

2 2 2

1 1 1

6 A a b c

a b c

       Or aabc1 donc 1

a bc d’où _a^{12   }_{ }¹_a ^{2 }

 

Idem pour 1₂ b et 1₂

c .

On a donc A   a² b² c² b c^{2 2}a c^{2 2}a b^{2 2}6. 2^e membre :

1 1 1

B 4 a b c

a b c

   

       

B 1 1

4 a b

ab c

b a ab c

  

       

B 1

4 ac bc c ab a b

abc b a ab c bc ac abc

        

B 1

4 1 1

ac bc c ab a b b a ab c bc ac

         6

B ac bc c ab a b b a ab c bc ac

      

   

 

B 6 ac  bc  c ab  a b (on utilise la relation abc1 donc 1

bac, 1

abc, 1 c ab, ab 1

 c, 1

bca, 1 acb) On constate que AB. On a donc établi l’égalité.

5 Soit a un réel quelconque.

Calculer

2 2 2

2 2

2 1

1 1

a a

a a

  

   

   

    .

On pose

2 2 2

2 2

2 1

A 1 1

a a

a a

  

 

       .

     

 

2 2 2

2 2

2 2

2 1 A

1 1

a a

a a

  

 

   

 

2 2 2

2 2

2 1

1

A a a

a

  



 

2 2 4

2 2

4 1 2

1

A a a a

a

  

 

 

4 2

2 2

A 2 1

1

a a

a

 

 

   

2 2 2 2

A 1

1 a

a

 

 A1