Activité d'approche n°1 : une évolution depopulation

(1)

Chap. n°4 : produit de matrices Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a ¹ Savoir multiplier deux matrices entre elles.

Activité d'approche n°1 : une évolution de population

Deux villes contiguës X et Y totalisent une population d'un million d'habitants.

La ville X est plus agréable, mais la ville Y offre de meilleurs salaires. À l'année 0, un quart de la totalité des habitants est dans la ville X.

1. A la fin de l'année 0, on constate que 20 % des habitants de Y sont partis habiter dans la ville X pour avoir un meilleur cadre de vie, et que 5 % des

habitants de X sont partis habiter Y pour augmenter leur niveau de vie. On note x0 et y0 le nombre d'habitants respectifs dans la ville X et dans la ville Y avant les changements.

a. Compléter le tableau suivant :

Nb d'habitants avant

changement Nb d'habitants après

changement

X

Qui demeurent

dans X :

… × x0

Qui viennent de

Y :

… × y0

x0 = ... … × … + … × … =

………..

Y

Qui viennent de

X : 0,05× x0

Qui demeurent

dans Y :

… × y0

y0 = ...…………. … × … + … × … =

………..

b. Notation matricielle : soit U0 la matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 0 (U0 =

(

^x^y⁰⁰

)

). La matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 1 est notée U1 et on a U1 = AU0. Écrire la matrice A.

...

2. A la fin de l'année 1, 30 % des habitants de Y partent habiter dans la ville X, et 8 % des habitants de X partent habiter la ville Y.

a. Déterminer la matrice B telle que U2 = BU1.

...

(2)

...

b. Quelle relation matricielle y a-t-il entre U2, B, A et U0 ?

...

3. On appelle C la matrice qui vérifie U2 = CU0. Le but de cette question est de déterminer C.

a. Que représente le coefficient c11 (ligne du haut, première colonne) de la matrice C ?

...

b. Calculer c11.

...

c. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont passés à X à l'année 1, et qui sont restés à X à l'année 2.

...

d. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont restés à Y à l'année 1, et qui sont passés à X à l'année 2.

...

e. Que représente la somme des quantités calculées en c et en d ? En déduire l'un des coefficients de C.

...

f. Calculer les autres coefficients de C.

...

4. Donner une technique permettant de calculer les coefficients de la matrice C connaissant les coefficients des matrices A et B.

...

Pour vous aider :

5. A-t-on BA=AB ?

(3)

...

Cours n°1

Chapitre n°4 : produit de matrices

I) Produit de matrices

Définition n°1

Soit A une matrice de dimension n×p

(

âââ

^...

ⁿ¹¹²¹¹ âââ

^...

ⁿ¹²²²²

^... ^... ^... ^...

âââ

^...

¹²^np^p^p

)

^{et B}

(

^b^b^b

^...

¹¹²¹^p¹ ^b^b^b

^...

¹²²²^p²

^... ^... ^... ^...

^b^b^b

^...

¹²^pq^q^q

)

une matrice de dimensions p×q. Le produit AB est une matrice de dimension n×q définie par :

( ...×...+...×...+ ...+ ...×... ...×...+...×...+ ...+...×... ... ...×...+ ...×...+...+...×...

...×...+...×...+ ...+ ...×... ...×...+...×...+ ...+...×... ... ...×...+ ...×...+...+...×...

. . ... .

...×...+...×...+ ...+ ...×... ...×...+...×...+ ...+...×... ... ...×...+ ...×...+...+...×... )

(4)

Exemple n°1

Soient A=(1 2 3) et B=

( ⁴ ⁵ ⁶ )

, alors AB = …... = …...

Définition n°2

Soit A une matrice de dimension n×p et B une matrice de dimensions p×q. Les coefficients c_ij de la matrice produit AB sont définis par :

...

Exemple n°2

Soient A=

( ^{1 2} ^{3 4} ^{5 6} )

^{et B=}

⁽ ^{1 2 3 4} ^{5 6 7 8} ⁾

^{, alors}

AB =

( ... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ... )

^.

et

sachant que B=

( ^{1 2 3 4} 5 6 7 8 )

^{et A=}

( ^{1 2} ^{3 4} ^{5 6} )

, BA...

Propriété n°1

Soient A, B, et C trois matrices. Si tous les produits possibles et sommes possibles sont calculables, on a :

1. (AB)C = …...

2. A(B + C)=... et (A + B)C=...

3. AB …... BA.

4. Si A est une matrice carrée d'ordre n, A × In …...

Exemple n°2

Soit la matrice A=

( ^{1 1} ^{1 0} )

et B la matrice

( ^{0 1} 1 0 )

. Calculer A², A(2A), 2A² , AB et BA.

...

(5)

...

Interrogation n°1 Objectifs :

C4.a_Niv1 :Savoir multiplier deux matrices entre elles.

Exercice n°1

Ex.22 p.95

Exercice n°2 (si exponentielle déjà vue)

Ex.24 p.95

Exercice n°3

Ex.27 p.95

Exercice n°4***

Soient (un) et (vn) deux suites définies par :

u1 = 0,5, v1 = 0,5, un+1 = 0,4 un +0,8 vn et vn+1 = 0,6 un + 0,2 vn. 1. Déterminer la matrice A telle que

/mat{u_{n+1};;v_{n+1}}=A/mat{u_{n};;v_{n}}

2. On donne P = /mat{1;4;;-1;3} et Q = /f{1;7} /mat{3;-4;;1;1}.Montrer que Q est l’inverse de P, autrement dit que PQ = I2.

3. Montrer que la matrice D définie par D = QAP est une matrice diagonale, c’est à dire que D=/mat{a;0;;0;b} où a et b sont des nombres que l’on déterminera.

4. En déduire que A=PDQ.

5. Montrer que Aⁿ=PDⁿQ.

6. Montrer que Dⁿ=/mat{aⁿ;0;;0;bⁿ} où a et b sont les nombres trouvés à la question 3.

7. Montrer que /mat{u_{n+1};;v_{n+1}}=Aⁿ /mat{u_{1};;v_{1}}.

8. En déduire l’expression de un et de vn en fonction de n,u1 et v1.

Exercice n°5

Ex.46 p.96

Exercice n°6*

Ex.49 p.97

Exercice n°7*

Ex.52 p.97

Exercice n°8**

Ex.54 p.97

Exercice n°9***

Ex.56 p.97

Exercice n°10***

Sujet A p.105

(6)

Exercice n°11***

Ex.107 p.109

Exercice n°12***

Ex.108 p.109

(7)

Résultats et indices

Ex.1 (Ex22 p.95) : AB=

(

−48,7

^19,9

−18,5

^7,5 )

^{et BA=}

(

^{−0,6 1,7}

1 2 )

Ex.2 (Ex24 p.95) : AB=

(

êê⁴ ê

^1+e

³^+e⁴⁷

)

^{et BA=}

(

ê^+eê⁵ ³ ê³ê⁺⁷ê⁵

)

Ex.3 (Ex27 p.95) : Aⁿ=O2 pour n2.

Ex.4 : 1. A=/mat{0,4;0,8;;0,6;0,2} 2. Réponse donnée 3. D=/mat{-0,4;0;;0;1} 4.

Réponse donnée 5. Par récurrence 6. Par récurrence 7. Par récurrence Ex.5 (Ex46 p.96) : AB ≠ BA

Ex.6 (Ex49 p.97) : B=

( ^{0 4} 0 1 )

^{et B'=}

( 1 0 ^{4 0} )

Ex.7 (Ex52 p.97) : Aⁿ=O3 si n3

Ex.8 (Ex54 p.97) : 1. A=

(

^a

0

a

¹ )

^{2. et 3. A}ⁿ⁼

(

^a

⁰

ⁿ ^na^aⁿ⁻¹ⁿ

)

^4.

(

^u^vⁿⁿ

)

⁼

( ²

^aⁿ^+naaⁿ ⁿ⁻¹

)

Ex.9 (Ex56 p.97) : 1. Jⁿ=2^n-1J 2. A=I+2J,A²=I+12J,A³=I+62J. 3. Par récurrence. 4.a.

4.b.

(

^u^vⁿⁿ

)

⁼

(

⁻¹⁺

^1+3×5 ^3×5

ⁿⁿ

)

Ex.10 (A p.105): 1. u1=3+2

√ ²

^{, u}²⁼¹⁷⁺¹²

√ ²

^{, u}³⁼⁹⁹⁺⁷⁰

√ ²

^{2. u}ⁿ⁺¹^=(3aⁿ^+4bⁿ⁾⁺

√ ²

(2an+3bn) 3. c prend la valeur 3a+4b, b prend la valeur 2a+3b, a prend la vaur c.... 4.

A=

( ^{3 4} 2 3 )

5.a. PQ est la matrice unité. 5.b. QAP =

( ³⁺ ² ⁰ ^√ ² ³⁻² ⁰ √ ² )

6. Aⁿ=

( ^√ ⁴ ² ¹ ²

⁽³⁺⁽³⁺²

² ^√ ^√ ²⁾ ²⁾

ⁿⁿ⁻⁺

¹ ² ^√ ⁴ ²

⁽³⁻²⁽³⁻²

^√ ²⁾ ^√ ²⁾

ⁿ ⁿ

^√ ² ² ¹ ²

⁽³⁺⁽³⁺

² ² ^√ ^√ ²⁾ ²⁾

ⁿⁿ⁻⁺

¹ ² ^√ ² ²

⁽³⁻²⁽³⁻²

^√ ^√ ²⁾ ²⁾

ⁿ ⁿ

)

^7.

⁽

^a^bⁿⁿ

⁾

^=Aⁿ

( ¹ 0 )

Ex.11 (Ex107 p.109) : 1.a. 0,36 1.b. 0,48 2. R0=

( 0 0 1 0 0 )

a. R1=

(

0 0,6 0 0,4 0

)

^{, R}2=

(

0,36 0 0,48 0 0,16

)

b. M=

( ^0,6 ¹ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,6 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ^0,6 ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,4 ⁰ ⁰ ⁰ ¹ )

c. R2=R0M². d.Rn=r0Mⁿ. 3.a.impossible de se retrouver au point 3. 3.b. impossible

(8)

d'atteindre les points 2 et 4. 4.a.pn est la probabilité d'atteindre le point 1 en n pas. 4.b. R2n+1=R2nM et question 3.b.

Ex.12 (Ex108 p.109) : 1. 0,25⁴. 2.a.B=

( ^{0,75 0,25} ^0,5 ^0,5 ^0,5 ⁰ ^{0,25 0,25} ^0,25 ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ^0,25 ⁰ ⁰ ⁰ ¹ )

3.a.0,25⁴+0,25³. 3.b. Calcul de

( 0 1 0 0 0 )

^B⁴

(9)

(10)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

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…...

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