TES3 Devoir Surveillé no5 le 7 février 2012
Nom : . . . Prénom : . . . .
Le soin et la rédaction prendront une part importante dans la notation des copies. Le sujet est à rendre obligatoirement avec la copie. Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 (6 points).
Lors d’une enquête sur les logements réalisée auprès des familles d’une région, on apprend que 55 % des familles interrogées sont propriétaires de leur logement, 40 % en sont locataires et 5 % occupent leur logement à titre gratuit1. De plus toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle, soit un appartement ; toute habitation ne contient qu’une seule famille. 60 % des propriétaires habitent une maison individuelle, 80 % des locataires habitent un appartement et enfin 10 % des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle.
On interroge au hasard une famille de cette région. On note : – A l’événement « la famille habite un appartement » ; – Gl’événement « la famille est occupant à titre gratuit » ; – Ll’événement « la famille est locataire » ;
– P l’événement « la famille est propriétaire ».
1. a. Recopier dans la copie la proposition précise de l’énoncé permettant d’indiquer la valeur de chacune des probabilités suivantes :
pP(A), pL(A); pG(A)
b. Construire un arbre pondéré résumant la situation.
2. Calculer la probabilité de l’événement « la famille est propriétaire et habite un apparte- ment ».
3. Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0,585.
4. On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilité qu’elle en soit propriétaire. Arrondir à 10−3.
Exercice 2 (7 points).
Soit f la fonction définie sur R∗+ par f(x) = 5 ln(x)x2 .
1. Déterminer la limite def(x) en 0 et en +∞. Quelles conséquences graphiques peut-on en tirer ?
2. Montrer que la dérivée f0 def est donnée par f0(x) = 5(1−2 ln(x)) x3 .
3. Montrer que l’équationf0(x) = 0 admet une unique solution proche de 1,65.
4. Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction f.
5. Montrer que l’équationf(x) = 0,5 admet une unique solution sur l’intervalle [2 ; 10]. On notera α cette solution.
6. Déterminer une valeur approchée par défaut à 10−2 deα.
7. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative def en 1.
1. C’est à dire qu’ils ne sont ni propriétaires, ni locataires mais ont tout de même un logement.
Page 1 a
TES3 Devoir Surveillé no5 le 7 février 2012
Exercice 3 (Bac ES - 2006 – 7 points).
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [4 ; 20] parf(x) = (x−4)e−0,25x+5.
La courbe (C) tracée ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.
1 5 10 15 20
5 25 50 75 100
C
Partie A :
1. Montrer que, pour toutx de l’intervalle [4 ; 20], f0(x) = (−0,25x+ 2)e−0,25x+5.
2. En déduire le sens de variation def et dresser le tableau de variations def sur l’intervalle [4 ; 20].
3. Montrer que la fonction F définie par F(x) = −4xe−0,25x+5 est une primitive de f sur l’intervalle [4 ; 20].
Partie B :
Une entreprise commercialise des centrales d’aspiration.
Le prix de revient d’une centrale est de 400 e.
On suppose que le nombre d’acheteurs d’une centrale est donné parN = e−0,25x+5 , oùx est le prix de vente d’une centrale exprimé en centaines d’euros.
1. Montrer que la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l’entreprise, en centaines d’euros.
2. À quel prix l’entreprise doit-elle vendre une centrale pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l’euro près ? Donner une interprétation graphique de ces résultats.
3. Calculer le bénéfice réalisé pour x= 15. On donnera le résultat à l’euro près.
Page 2 a
TES3 Devoir Surveillé no5 le 7 février 2012
Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1.
1. a. En relisant l’énoncé :
– « 60 % des propriétaires habitent une maison individuelle » donc pP(A) = 0,6 ; – « 80 % des locataires habitent un appartement » donc pL(A) = 0,8 ;
– « et enfin 10 % des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle » donc pG(A) = 0,1.
b. L’arbre avec uniquement les probabilités données dans l’énoncé :
Ω
P
A 0,60
A pP(A)
0,55
L
A pL(A)
0,8 A 0,40
G
A 0,10
pG(A) A
0,05
2. On cherche p(P ∩A) = pP(A)×p(P) = (1−0,6)×0,55 = 0,22.
3. On calculep(A) =p(A∩P) +p(A∩L) +p(A∩G) car les événementsV,B etR forment une partition de l’univers. Et en calculant les probas comme dans la question précédentes on obtientp(A) = 0,22 + 0,40×0,8 + 0,05×0,9 = 0,585.
4. On calcule pA(P) = p(A∩Pp(A)) = 0,5850,22 ≈0,376.
Corrigé de l’exercice 2.
1. limx→05 ln(x) = −∞ et limx→0+x2 = 0+ donc par quotient limx→0+f(x) = −∞, donc l’axe des ordonnées est asymptote verticale à Cf.
limx→+∞ 5
x = 0 et limx→+∞ln(x)
x = 0 donc par produit limx→+∞f(x) = 0, donc l’axe des abscisses est asymptote horizontale à Cf en +∞.
2. Pour x >0 on a f0(x) = 5(1x×x2−ln(x)×2x)
(x2)2 = 5x(1−2 ln(x))
x4 = 5(1−2 ln(x)) x3 .
3. Pourx >0 l’équationf0(x) = 0 équivaut à 1−2 ln(x) = 0 soit ln(x) = 12 d’où x= e1/2 ≈ 1,65.
Page 3 a
TES3 Devoir Surveillé no5 le 7 février 2012
4.
x 0 e1/2 +∞
f0(x) + 0 −
f −∞%
5
2e & 0
5. Sur [2; 10] la fonction f est continue (car dérivable), strictement décroissante et f(2) ≈ 0,87>0,5> f(10)≈0,12 donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire l’équation f(x) = 0,5 admet une unique solution α ∈[2; 10].
6. À la calculatrice on obtient α≈3,57.
7. On a f(1) = 0 et f0(1) = 5 donc T1 :y=f0(1)(x−1) +f(1) donc T1 :y= 5x−5.
Corrigé de l’exercice 3.
Cet exercice est extrait du sujet du bac ES pour les candidats du Liban en mai 2006.
Partie A :
1. Pour x ∈ [4; 20] on a f0(x) = 1× e−0,25x+5 + (x−4)×(−0,25e−0,25x+5) = (−0,25x+ 2)e−0,25x+5.
2. Le signe de f0(x) est donc celui de 0,25x+ 2. On a donc :
x 4 8 20
f0(x) + 0 −
f 0%
4e3
&16 3. Pour x∈[4; 20] on a :
F0(x) =−(4×e−0,25x+5+ 4x×(−0,25e−0,25x+5)) = (x−4)e−0,25x+5 =f(x). DoncF est une primitive de f sur [4; 20].
Partie B :
1. Le bénéfice est N ×(x−4) = (x−4)e−0,25x+5 =f(x).
2. Le bénéfice est maximal lorquefatteint son maximum c’est-à-dire lorsquex= 8 centaines d’euros soit pour un prix de vente de 800e. Le bénéfice maximal est alors de 4e3 centaines d’euros soit 8 034 e. Graphiquement il s’agit des coordonnées du sommet de la courbe représentative de f.
3. Pour x= 15 on a f(15)≈38,39. Ainsi pour un prix de vente de 1 500 e, le bénéfice est d’environ 3 839 e.
Page 4 a
