TDCOndes´electromagn´etiques TDCOndesEM

TDC Ondes ´electromagn´etiques

I Propagation d’une onde EM dans le vide

1. Le champ ´ electrique doit v´ erifier les ´ equations de Maxwell, en particulier div Ý Ñ E 0

ce qui s’´ ecrit B E _y

B y

B E _z B z

π a E 0 sin

πy

a exppipωt kzqq ikαE 0 sin πy

a exppipωt kzqq 0 En simplifiant, on obtient

π

a ikα 0 donc α π

ika i π ka

2. On cherche ` a coupler les ´ equations entre elles. On commence par prendre la d´ eriv´ ee par rapport au temps de l’´ equation (4) du cours ce qui donne

B

B t pÝÑ rot Ý Ñ B q ε ₀ µ ₀ B B t

BÝ Ñ E B t

En inversant ` a gauche d´ eriv´ ee temporelle et d´ eriv´ ee spatiales, on obtient ÝÑ rot

BÝ Ñ B B t

ε ₀ µ ₀ B ² Ý Ñ E B t ² Or

BÝ Ñ B

Bt ÝÑ rot Ý Ñ E donc

ÝÑ rot pÝÑ rot Ý Ñ E q ε ₀ µ ₀ B ² Ý Ñ B B t ²

On utilise alors le fait que ÝÑ rot pÝÑ rot Ý Ñ E q ÝÝÑ grad p div Ý Ñ E q ∆ Ý Ñ E et div Ý Ñ E 0 pour ´ ecrire

∆ Ý Ñ E ε ₀ µ ₀ B ² Ý Ñ E B t ²

soit en regroupant les termes, l’´ equation de propagation du champ magn´ etique

∆ Ý Ñ E 0 µ 0 B ² Ý Ñ E B t ² 0 qui est l’´ equation de propagation avec c ²

¹ _µ

.

En injectant la solution propos´ ee dans l’´ equation de propagation

∆E y B ² E y

B x ²

B ² E y

B y ²

B ² E y

B z ² E 0

π ²

a ² k ²

cos πy

a exppipωt kzqq

π ² a ² k ²

E y

et

∆E z B ² E z

B x ²

B ² E z

B y ²

B ² E z

B z ² αE 0

π ²

a ² k ²

sin πy

a exppipωt kzqq

π ² a ² k ²

E z

Par ailleurs,

B ² Ý Ñ E

B t ² ω ² Ý Ñ E

donc

π ² a ² k ²

ω ² c ² 0 ce qui donne finalement

ω ² c ²

π ² a ² k ²

3. Le champ magn´ etique doit ˆ etre d´ etermin´ e par l’´ equation de Maxwell-Faraday puisque l’onde n’est pas plane. Il faut donc calculer ÝÑ rot Ý Ñ E .

ÝÑ rot Ý Ñ E

B B x B B y B B z

^ E _x

E y

E _z

B E

B y ^B _B ^E _z

BE

B z ^BE _{B x}

B E

B x ^B _B ^E _y

B E

B y ^B _B ^E _z

0 0

ce qui donne

ÝÑ rot Ý Ñ E E ₀ exp p i p ωt kz qq α π

a cos πy

a ik cos πy

a ~ e _x et donc

ÝÑ rot Ý Ñ E E ₀ exp p i p ωt kz qq cos πy

a

α π a ik

~ e _x Or

α i π

ka donc α π

a ik i π ka

π

a ik i k

π ² a ² k ²

i

k ω ²

c ² donc ÝÑ rot Ý Ñ E E 0 exppipωt kzqq cos

πy a

i k

ω ² c ² ~ e x

Par ailleurs, l’onde ´ etant monochromatique

BÝ Ñ B

B t iω Ý Ñ B

donc Ý Ñ B ω

kc ² E 0 exp p i p ωt kz qq cos πy

a ~ e x

4. Il faut repasser en notation r´ eelle pour calculer Ý

Ñ Π Ý Ñ E ^ Ý Ñ B

µ 0

donc

0

E ₀ cos ^πy _a

cos p ωt kz q αE ₀ sin ^πy _a

sin p ωt kz q

^

_kc ^ω

E 0 cospωt kzq cos ^πy _a 0

0

0

α _kc ^ω

E ₀ ² cos p ωt kz q sin p ωt kz q cos ^πy _a

sin ^πy _a

ω

kc

E ₀ ² cos ^{2 πy} _a

cos ² p ωt kz q

En moyenne, le terme sur ~ e _y est nul, le terme sur ~ e _z vaut ω

2µ ₀ kc ² E ² ₀ cos ² πy

a L’´ energie se propage selon ~ e z .

II R´ eflexion sur un m´ etal parfait : approche ´ energ´ etique. Sources de l’onde r´ efl´ echie

1. Par d´ efinition, le vecteur de Poynting vaut Ý

Ñ Π Ý Ñ E ^ Ý Ñ B µ ₀

Ici, compte tenu des formes des ondes stationnaires, la seule composante non nulle du vecteur de Poynting est sur Ox

Ý Ñ Π 1

µ ₀ 2E _0i sin p ωt q sin p kx q 2 E 0i

c cos p ωt q cos p kx q ~ e _z et en r´ eorganisant

Ý

Ñ Π 4E _0i ²

µ 0 c sin p ωt q cos p ωt q cos p kx q sin p kx q ~ e _z

2. En valeur moyenne, les termes sin p ωt q et cos p ωt q donnent 0. La valeur moyenne du vecteur de Poyting dans le cas d’une onde stationnaire est donc nulle.

3. La densit´ e volumique d’´ energie a pour expression ε ε ₀ E ²

2

B ² 2µ 0

ce qui donne

ε ε ₀

2 4E _0i ² sin ² p ωt q sin ² p kx q 1 2µ 0

4 E _0i ²

c ² cos ² p ωt q cos ² p kx q donc

ε 2ε ₀ E _0i ² sin ² p ωt q sin ² p kx q 2

µ ₀ c ² E _0i cos ² p ωt q cos ² p kx q 2ε ₀ E _0i ² sin ² p ωt q sin ² p kx q 2ε ₀ E _0i cos ² p ωt q cos ² p kx q En moyenne, les termes sin ² p ωt q et cos ² p ωt q ont pour valeur 1 { 2, donc

x ε y ε ₀ E _0i ² sin ² p kx q ε ₀ E _0i cos ² p kx q ε ₀ E _0i ²

En moyenne, la densit´ e d’´ energie ´ electromagn´ etique est donc constante et uniforme.

4. Ý Ñ E ₂ Ý Ñ E ₁ σ 0

~ n _{1 Ñ 2} et Ý Ñ B 2 Ý Ñ B 1 µ 0 ~j _s ^ ~ n 1 Ñ 2

5. On consid` ere le passage du milieu 1 x   0 au milieu 2 x ¡ 0. On a alors les champs dans le conducteur qui sont nuls Ý Ñ E ₂ Ý Ñ 0 et Ý Ñ B ₂ Ý Ñ 0 . Dans ces conditions

Ý

Ñ 0 Ý Ñ E ₁ σ 0

~ n _{1 Ñ 2}

et Ý Ñ 0 Ý Ñ B ₁ µ ₀ ~j _s ^ ~ n _{1 Ñ 2}

Le champ Ý Ñ E ₁ est nul en x 0, donc σ 0. Il n’y a pas de charge surfacique sur le conducteur.

Le champ Ý Ñ B 1 a pour valeur en x 0 Ý

Ñ B ₁ Ý Ñ B _t p x 0, t q 2 E _0i

c cos p ωt q ~ e _z et on a donc

~j _s ^ ~ e _x 2 E _0i

µ 0 c cos p ωt q ~ e _z donc

~j _s 2 E 0i

µ ₀ c cos p ωt q ~ e _y Il existe donc des courants surfaciques ` a la surface du conducteur.

6. La pr´ esence de courants surfaciques variables dans le temps est le ph´ enom` ene qui donne naissance aux ondes EM. Le m´ ecanisme de production de l’onde r´ efl´ echie est donc le suivant : le champ incident cr´ ee des courants qui en retour cr´ eent une onde r´ efl´ echie qui permet d’assurer que les conditions de passage sont bien respect´ ees sur la surface s´ eparant le conducteur et le vide (on pourra penser ` a la r´ eflexion d’une onde sonore sur une surface immobile comme analogie).

7. Dans le premier cas, la direction de la grille permet effectivement l’´ etablissement d’un courant selon

~ e _x et donc la pr´ esence d’une onde r´ efl´ echie. PAr contre, si les barreaux sont parall` eles ` a ~ e _z , il n’y a pas de courant possible susceptible de cr´ eer l’onde r´ efl´ echie qui produit ensuite l’onde stationnaire.

8. Toute onde peut se d´ ecomposer en deux ondes polaris´ ees rectilignement. Dans notre cas, l’onde polaris´ ee selon ~ e y produit une onde r´ efl´ echie. Par contre, l’onde polaris´ ee selon ~ e z peut traverser sans cr´ eer d’onde r´ efl´ echie. On a donc cr´ e´ e un polariseur qui cr´ ee une onde polaris´ ee rectilignement selon ~ e _z .

III Superposition de 2 OPPM polaris´ ees rectilignement

Dans le vide, on consid` ere deux OPPM de mˆ eme pulsation, polaris´ ees rectilignement Ý

Ñ E ₁ p M, t q E ₀ cos p ωt ~ k ₁ ~ r q ~ e _z et Ý Ñ E ₂ p M, t q E ₀ cos p ωt ~ k ₂ ~ r q ~ e _z

o` u ~ k 1 et ~ k 2 sont contenus dans le plan p ~ e x , ~ e y q

1. L’onde r´ esultante vaut Ý

Ñ E t p M, t q E 0 cos p ωt ~ k 1 ~ r q ~ e z E 0 cos p ωt ~ k 2 ~ r q ~ e z

soit en notation complexe Ý

Ñ E _t p M, t q E ₀ ~ e _z

exp p i p ωt ~ k ₁ ~ r qq exp p i p ωt ~ k ₂ ~ r qq On fait classiquement apparaitre les 1 { 2 valeurs :

exp p i p ωt ~ k ₁ ~ r q exp p i p ωt ~ k ₁ ~ r

2 ~ k ₁ ~ r

2 ~ k ₂ ~ r 2

~ k ₂ ~ r 2 qq et

exp p i p ωt ~ k ₂ ~ r q exp p i p ωt ~ k ₂ ~ r

2 ~ k ₂ ~ r

2 ~ k ₁ ~ r 2

~ k ₁ ~ r 2 qq ce qui permet de mettre en facteur

exp p i p ωt ~ k ₁ ~ r q exp p i p ωt ~ k ₁ ~ r

2 ~ k ₂ ~ r

2 qq exp p i p ~ k ₁ ~ r 2

~ k ₂ ~ r 2 qq et

exp p i p ωt ~ k 2 ~ r q exp p i p ωt ~ k 2 ~ r

2 ~ k 1 ~ r

2 qq exp p i p ~ k 2 ~ r 2

~ k 1 ~ r 2 qq On peut alors regrouper les termes

Ý

Ñ E _t p M, t q E ₀ ~ e _z exp p i p ωt ~ k ₂ ~ r

2 ~ k ₁ ~ r 2 qq

exp p i p ~ k ₁ ~ r 2

~ k ₂ ~ r

2 qq exp p i p ~ k ₂ ~ r 2

~ k ₁ ~ r 2 qq

ce qui se r´ e´ ecrit Ý

Ñ E _t p M, t q E ₀ ~ e _z exp p i p ωt ~ k 2 ~ r

2 ~ k 1 ~ r 2 qq

exp p i p p ~ k 2 ~ k 1 q ~ r

2 qq exp p i p p ~ k 1 ~ k 2 q ~ r

2 qq

et

Ý

Ñ E _t pM, tq 2E 0 ~ e z exppipωt ~ k 2 ~ r

2 ~ k 1 ~ r 2 qq cos

p ~ k 2 ~ k 1 q ~ r 2

En notation r´ eelle Ý

Ñ E _t p M, t q 2E ₀ ~ e _z cos

ωt p ~ k ₁ ~ k ₂ q ~ r 2

cos

p ~ k ₂ ~ k ₁ q ~ r 2

On aurait pu aussi utiliser la formule trigonom´ etrique sur la partie r´ eelle cos p a q cos p b q 2 cos p a b

2 q cos p a b

2 q

pour obtenir directement le r´ esultat.

2. L’onde r´ esultante est plane si dans un plan perpendiculaire ` a la propagation, l’amplitude est constante, soit, comme condition

cos

p ~ k 2 ~ k 1 q ~ r 2

K

soit ~ k ₂ ~ k ₁ , c’est ` a dire si les ondes sont identiques. D’une mani` ere g´ en´ erale, la somme de deux ondes planes n’est pas une onde plane !

3. L’onde est progressive dans la direction donn´ ee par le terme de propagation cos

ωt p ~ k 1 ~ k 2 q ~ r 2

soit une propagation suivant ~ k 1 ~ k 2

4. L’onde r´ esultante est stationnaire si elle s’´ ecrit comme le produit de deux fonctions d´ ependant soit de l’espace soit du temps. C’est ici possible si

cos

ωt p ~ k 1 ~ k 2 q ~ r 2

ne d´ epend pas de ~ r, soit en assurant ~ k 1 ~ k 2 . L’onde s’´ ecrit alors Ý

Ñ E _t p M, t q 2E ₀ ~ e _z cos p ωt q cos ~ k ₁ ~ r

On retrouve le fait que la somme de deux ondes progressives de mˆ eme direction mais de sens oppos´ es donnent une onde stationnaire.

IV Guide d’onde rectangulaire

Ý

Ñ E E x ~ e x E y ~ e y E z ~ e z Ý Ñ B B x ~ e x B y ~ e y

L’onde ´ etant monochromatique, on cherche E _z sous la forme

E _z p x, y, z, t q E 0z p x, y q exp p i p k g z ωt qq 1. L’´ equation de propagation est l’´ equation de propagation dans le vide

∆ Ý Ñ E 1 c ²

BÝ Ñ E B t ² 0 La projection sur Oz de cette ´ equation donne

∆E _z 1 c ²

B E _z Bt ² 0 donc

k _g ² E _z B ² E _z B x ²

B ² E _z B y ²

ω ²

c ² E _z 0

et B ² E _z B x ²

B ² E _z B y ²

ω ² c ² k ² _g

E _z 0 et donc

k _c ² ω ² c ² k ² _g

2. On injecte la forme choisie dans l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles B ²

Bx ² p f p x q g p y q exp p i p k _g z ωt qqq B ² p f p x q g p y q exp p i p k _g z ωt qqq By ²

k ² _c f p x q g p y q exp p i p k _g z ωt qq 0 En simplifiant

B ²

B x ² p f p x q g p y qq B ² p f p x q g p y qq

B y ² k ² _c p f p x q g p y qq 0 On effectue les d´ erivations

f ” p x q g p y q f p x q g” p y q k _c ² f p x q g p y q 0 On divise l’ensemble par f p x q g p y q

f ” f

g”

g k ² _c 0 On s´ epare ce qui d´ epend de x et de y

f ” f

g”

g k _c ² Chaque membre de l’´ equation est donc ´ egal ` a une constante

f ” f

g”

g k _c ² p ² ce qui permet de trouver la premi` ere ´ equation demand´ ee par l’´ enonc´ e

f ” p ² f Pour l’autre membre

g”

g k ² _c p ² ñ g”

g p ² k _c ² ñ g” q ² g avec q ² k ² _c p ²

On choisit une constante n´ egative pour que les solutions des ´ equations diff´ erentielles soient en exponen- tielles complexes et non en exponentielles r´ eelles qui ne permettrait pas de satisfaire aux conditions aux limites (annulation de la solution en 2 points).

3. La solution de la premi` ere ´ equation diff´ erentielle est

f p x q A cos p px q B sin p px q et la solution de la 2` eme ´ equation est

g p y q α cos p qy q β sin p qy q

donnant pour E 0z p x, y q

E 0z px, yq pA cosppxq B sinppxqqpα cospqyq β sinpqyqq

Les conditions aux limites pour f p x q et g(y) sont donn´ ees par les conditions de passage qui imposent la nullit´ e du champ ´ electrique sur les surfaces conductrices

f p 0 q A cos p 0 q B sin p 0 q 0 ñ A 0 g p 0 q α cos p 0 q β sin p 0 q 0 ñ α 0 et

f paq B sinppaq 0 ñ pa nπ ñ p nπ a g p b q β sin p qb q 0 ñ qb mπ ñ q mπ

b ce qui donne finalement comme solution

E _z E 0 sin nπx

a sin mπy

b exp p i p k g z ωt qq avec E ₀ Bβ soit en notation r´ eelle

E _z E ₀ sin nπx

a sin mπy

b cos p k _g z ωt q 4. k ² _c p ² q ² donc

k ² _c nπ a

2 mπ

b

2

5.

k _c ² ω ²

c ² k ² _g nπ a

2 mπ

b

2

donc

k _g ² ω ²

c ² nπ a

2 mπ

b

2

Il faut donc

ω ² ¡ c ² nπ

a

2

c ² mπ

b

2

et donc

ω ¡ c c nπ

a

2 mπ

b

2

pour que k _g soit r´ eel. C’est indispensable pour ´ eviter que le terme exp p ik _g z q soit un terme de propagation (exponentielle complexe) et non un terme d’att´ enuation (exponentielle r´ eelle).

6. En supposant la mˆ eme d´ ependance en z et en ω pour ces composantes, on peut ´ ecrire les ´ equation de maxwell

div Ý Ñ E 0 p Maxwell Gauss q div Ý Ñ B 0 pMaxwell Thomsonq

ÝÑ rot Ý Ñ E BÝ Ñ B

B t p Maxwell Faraday q ÝÑ rot Ý Ñ B 0 µ 0 BÝ Ñ E

B t p Maxwell Amp` ere q

qui donnent

B E _x Bx

B E _y

By 0 B B _x

B x

B B _y

B y 0 B E _z

B y B E _y B z

~ e _x

B E _x

B z B E _z B x

~ e _y

B E _y

B x B E _x B y

~

e _z iω p B _x ~ e _x B _y ~ e _y q B B _z

B y B B _y B z

~ e x

B B _x

B z B B _z B x

~ e y

B B _y

B x B B _x B y

~

e z iω 0 µ 0 pE x ~ e x E y ~ e y E z ~ e z q En projetant les deux derni` eres ´ equations sur chacun des axes

B E z

B y B E y

B z iωB x

B E _x

B z B E _z

B x iωB y

B E _y

B x B E _x

B y 0 B B z

B y B B y

B z iω 0 µ 0 E x

BB x

B z BB z

B x iω 0 µ 0 E y

B B _y

B x B B _x

B y iω ₀ µ ₀ E _z

On peut ´ eliminer les termes en B z , calculer les d´ eriv´ ees de E z et les d´ eriv´ ees par rapport ` a z donc mπ

b E 0 sin nπx

a cos mπy

b exp p i p k g z ωt qq ik g E y iωB x (1) ik g E x nπ

a E 0 cos nπx

a sin mπy

b exp p i p k g z ωt qq iωB y (2) B E _y

Bx B E _x By

ik _g B _y iω ₀ µ ₀ E _x (3) ik g B x iω 0 µ 0 E y (4) B B y

B x B B x

B y iω 0 µ 0 E z

Les ´ equations p2q et p3q donnent ik _g E _x nπ

a E ₀ cos nπx

a sin mπy

b exp p i p k _g z ωt qq iω ω k g

₀ µ ₀ E _x

donc

ik g E x i ω ²

k _g c ² E x nπ a E 0 cos

nπx a sin

mπy

b exp p i p k g z ωt qq et donc

E x

k g ω ² k g c ²

E x

k ² _c

k g i nπ a E 0 cos

nπx a sin

mπy

b exppipk g z ωtqq

Finalement

E x

nπk g

ak _c ² E 0 cos nπx

a sin mπy

b exp p i p k g z ωt π { 2 qq donc en notation r´ eelle

E _x nπk _g ak ² _c E ₀ cos

nπx a sin

mπy

b sin p ωt k _g z q On trouve alors facilement

B _y ω c ² k g

E _x nπω ac ² k ² _c E ₀ cos

nπx a sin

mπy

b sin p ωt k _g z q De la mˆ eme mani` ere, en combinant p1q et p4q

mπ b E ₀ sin

nπx a cos

mπy

b exp p i p k _g z ωt qq ik _g E _y iω pq ω k g c ² donc

ik g E y i ω ²

k _g c ² mπ b E 0 sin

nπx a cos

mπy

b exp p i p k g z ωt qq et donc

E y

k g ω ² k g c ²

E y

k ² _c k g

i mπ b E 0 sin

nπx a cos

mπy

b exp p i p k g z ωt qq Finalement

E _y mπk _g bk _c ² E ₀ sin

nπx a cos

mπy

b exp p i p k _g z ωt π { 2 qq et en notation r´ eelle

E _y mπk g

bk ² _c E ₀ sin nπx

a cos mπy

b sin p ωt k _g z q et

B x

ω c ² k _g E y

mπω bc ² k ² _c E 0 sin

nπx a cos

mπy

b sin p ωt k g z q 7. Les composantes du vecteur de Poynting sont

Π Ý Ñ E ^ Ý Ñ B µ 0 1

µ 0

E _x

E _y E z

^ B _x

B _y 0

E _z B _y E _z B _x E x B y E y B x

Les termes en E z B x et E z B y vont donner un terme temporel en cos p ωt k g z q sin p ωt k g z q qui est nul en moyenne. Par contre les termes E _x B _y et E _y B _x vont donner des termes de propagation en sin ² p ωt k _g z q dont la moyenne vaut 1{2. Seule la composante sur ~ e z participe ` a la propagation de l’´ energie ce qui est coh´ erent avec la propagation de l’onde.

V Pouvoir rotatoire

1. Une onde polaris´ ee rectilignement selon ~ e _x et se propageant vers les z croissants s’´ ecrit Ý

Ñ E E 0 exp p i p ωt kz qq ~ e x

Ecrivons l’expression g´ ´ en´ erale d’une onde polaris´ ee circulaire

"

E x p t q E 0 cos p ωt kz q E _y p t q E ₀ sin p ωt kz q

Si on superpose 2 ondes, chacune polaris´ ee circulairement dans un sens, de mˆ eme amplitude, on obtient

"

E _x p t q E ₀ cos p ωt kz q E ₀ cos p ωt kz q 2E ₀ cos p ωt kz q E y ptq E 0 sinpωt kzq E 0 sinpωt kzq 0

qui est bien l’expression d’une onde polaris´ ee rectilignement selon ~ e x et se propageant vers les z croissants.

2. On d´ ecompose notre onde en 2 ondes polaris´ ees circulaires

"

E _x p t q E ₀ cos p ωt kz q E _y p t q E ₀ sin p ωt kz q

L’onde "

E _x p t q E ₀ cos p ωt k _g z q E _y p t q E ₀ sin p ωt k _g z q est polaris´ ee gauche et "

E x p t q E 0 cos p ωt k _d z q E _y p t q E ₀ sin p ωt k _d z q

est polaris´ ee droite, avec k g _c ^ω

^ω _c n g . Au bout d’une longueur L de milieu l’onde polaris´ ee gauche a

pour valeur "

E _x p t q E ₀ cos p ωt k _g L q E _y p t q E ₀ sin p ωt k _g L q

et l’onde droite "

E x ptq E 0 cospωt k d Lq E y p t q E 0 sin p ωt k _d L q et la somme des deux vaut alors

"

E _x p t q E ₀ cos p ωt k _g L q E ₀ cos p ωt k _d L q E _y p t q E ₀ sin p ωt k _g L q E ₀ sin p ωt k _d L q

ce qui donne en utilisant les formules trigonom´ etriques suivantes cos p a q cos p b q 2 cos p ^{a b} ₂ q cos p ^a ₂ ^b q et sin p a q sin p b q 2 cos p ^{a b} ₂ q sin p ^a ₂ ^b q .

$ ' ' ' ' &

' ' ' '

%

E x ptq 2E 0 cos

ωt k g L ωt k d L 2

cos

ωt k g L ωt k d L 2

E _y p t q 2E ₀ cos

ωt k _g L ωt k _d L 2

sin

ωt k _g L ωt k _d L 2

donc $

' ' ' '

&

' ' ' '

%

E x p t q 2E 0 cos

ωt L p k g k _d q 2

cos

L p k _d k g q 2

E y ptq 2E 0 cos

ωt L p k _g k _d q 2

sin

L p k _d k _g q 2

Le terme en cos est un terme de propagation en onde plane harmonique. On peut ´ ecrire alors l’onde sous la forme

Ý

Ñ E 2E 0 cos

ωt L p k _g k _d q 2

pcospαq~ e x sinpαq~ e y q avec

α L p k _d k _g q 2

qui est l’expression d’une onde plane monochromatique polaris´ ee rectiligne faisant un angle α avec l’axe

Ox.