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MVA101 Devoir n
◦. . .
Votre nom et pr´ enom : . . . Votre n
◦de carte CNAM : . . . (6 chiffres ) Votre groupe d’ED : . . . (jour, heure, salle) Nom de l’enseignant : . . .
MVA101 - Devoir n
◦2
`
a rendre pour le mardi 18 novembre 2008
Exercice 1 Soit la suite de fonctions (f
n) , (n
>1) d´ efinies pour x
>0 par :
◦
f
n(x) = n
2x pour 0
6x
61 n ,
◦
f
n(x) =
−n2x + 2n pour 1
n
6x
62 n ,
◦
f
n(x) = 0 pour x
>2 n .
1
◦) ´ Etudier les variations et dessiner les graphes des fonctions f
1, f
2et f
3. 2
◦) D´ eterminer la fonction limite f(x) = lim
n→+∞
f
n(x) (convergence simple).
3
◦) Calculer l’int´ egrale I
n=
Z 10
f
n(x) dx, puis A = lim
n→+∞
I
n. 4
◦) Comparer A et B =
Z 1 0
f (x) dx.
La suite (f
n) converge-t-elle uniform´ ement vers f sur [0; 1] ?
5
◦) [facultatif ] Montrer que la suite f
nconverge uniform´ ement vers f sur tout intervalle de la forme [a; +∞[ avec a > 0.
Exercice 2 On consid` ere 4 s´ eries enti` eres (d´ efinies par leurs termes g´ en´ eraux) : (S
1) : u
n= x
nsin 1
n , (S
2) : u
n= x
nln n, (S
3) : u
n= n!
n
nx
n, (S
4) : u
n=
1 + 1 n
n
x
n.
On note R
ile rayon de convergence de la s´ erie S
i: 1
◦) D´ eterminer les rayons de convergence R
i.
2
◦) ´ Etudier la convergence de la s´ erie S
ipour x =
±Ri.
MVA 101 - 2019/2020 Devoir n° 1
A rendre avant le jeudi 5 décembre 2019
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Exercice 3 Soit l’´ equation diff´ erentielle :
(E) : x
2y
00(x) + 4xy
0(x) + (2 + x
2)y(x) = 2
On cherche ` a d´ eterminer la solution de (E) d´ eveloppables en s´ erie enti` ere : y(x) = a
0+ a
1x + a
2x
2+
· · ·+ a
nx
n+
· · ·1
◦) ´ Ecrire les relations que doivent v´ erifier les coefficients a
npour que y(x) soit solution de (E).
2
◦) Que vaut a
1? Plus g´ en´ eralement, que valent les a
npour n impair ? 3
◦) D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie obtenue.
4
◦) Expliciter les coefficients a
npour n = 2k (k
>0).
Ecrire la s´ ´ erie x
2y(x), et en d´ eduire une expression de la solution y(x) trouv´ ee.
5
◦) [facultatif ] D´ eterminer la solution g´ en´ erale de l’´ equation (E) en utilisant le changement de fonction inconnue y(x) = u(x)
x
2.
En d´ eduire que la solution trouv´ ee ci-dessus est la seule solution de (E) qui soit d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de x = 0.
O O O O O O
