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(1)Exercise given at the end of Leure

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Academic year: 2022

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(1)

Exercise given at the end of Leure.

Letµbe a critical and aperiodic offspring diribution onZ+, with finite and positive variance σ. Recall that:

Wn=X+· · ·+Xnis the random walk such thatP(X=i) =µ(i+) fori ≥ −.

T=andTk = inf{i > Tk;WiWTk}fork≥are the weak record times ofW.

Hn=|{≤kn−;Wk= minkjnWj}|forn≥is the associated height process.

(i) CalculateE hWTi

.

(ii) SetIn= mininWi. Show that

Hn WnIn

(P)

−→

n→∞

σ, where (P) means that the convergence holds in probability.

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