2018-2019 A.OLLIVIER CoursdeterminaleSLoisnormales

(1)

Cours de terminale S Lois normales

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2018-2019

(2)

Une variable aléatoire continueX suit la loi normale cen- trée réduite si sa densité de probabilitéf est définie surR par

. . . . Définition

(3)

f(x) = 1

√2πe⁻^x

2 2

Définition

(4)

f(x) = 1

√2πe⁻^x

2 2

Définition

On écrit :X suit la loi normaleN(0;1).

A. OLLIVIER Cours de terminale S Lois normales

(5)

f(x) = 1

√2πe⁻^x

2 2

Définition

On écrit :X suit la loi normaleN(0;1).

En calculant la dérivée,f^′(x) = −x

√2πe⁻^x

2

2 , on constate que cette dérivée s’annule enx =0, qu’elle est du signe de−x, et quef admet un maximum, enx =0, égal à 1

√2π .

(6)

De plusf(−x) =f(x), la fonctionf est . . . .

(7)

De plusf(−x) =f(x), la fonctionf estpaire

(8)

De plusf(−x) =f(x), la fonctionf est paire, et sa courbe représentative est . . . .

(9)

De plusf(−x) =f(x), la fonctionf est paire, et sa courbe représentative estsymétrique

(10)

De plusf(−x) =f(x), la fonctionf est paire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

C’est une courbe en forme de "cloche" dont l’aire sous la courbe est égale à 1.

(11)

FIGURE–Densité de la loi normale centrée réduite

(12)

Remarque: le nom "loi normale" a été donné par Henri Poincaré (fin du XIXème siècle) ; l’adjectif "normale" s’explique par le fait que cette loi décrit et modélise des situations

aléatoires concrètes et naturelles. Prenons par exemple une population de 1000 personnes dont la taille moyenne est 170 cm. En traçant l’histogramme des tailles, on obtient une courbe en cloche et la population se concentre essentiellement autour de la moyenne.

(13)

En utilisant la symétrie de la courbe de densité, on obtient : . . . .

(14)

En utilisant la symétrie de la courbe de densité, on obtient : P(X ≤0) =P(X ≥0) =0,5

(15)

et . . . .

(16)

etP(X ≤ −a) =P(X ≥a) =1−P(X ≤a).

(17)

etP(X ≤ −a) =P(X ≥a) =1−P(X ≤a).

P(X ∈[a;b])est représenté sur la figure.

FIGURE–P(a≤X ≤b)est l’aire de la partie colorée

(18)

Cette probabilité est donnée avec une calculatrice Casio par

"NormCD(a,b)" (Touche OPTN, choisir STAT, puis DIST, puis NORM et Ncd) et sur Texas par "normalFRép(a,b)", ( Menu distrib, choisir normalFRép).

Attention: les calculatrices ne nous donnent pas les probabilitésP(X ≤a).

(19)

Méthodes de calcul :

(20)

Méthodes de calcul : sia>0, on écrit :

P(X ≤a) =. . . .

(21)

P(X ≤a) =P(X ≤0) +P(0≤X ≤a) =0,5+P(0≤X ≤a)

(22)

P(X ≤a) =P(X ≤0) +P(0≤X ≤a) =0,5+P(0≤X ≤a) P(X ≥a) =. . . .

. . . .

(23)

P(X ≤a) =P(X ≤0) +P(0≤X ≤a) =0,5+P(0≤X ≤a) P(X ≥a) =1−P(X ≤a) =1−(0,5+P(0≤X ≤a))

=0,5−P(0≤X ≤a)

(24)

=0,5−P(0≤X ≤a) sia<0, on écrit :

(25)

P(X ≥a) =. . . .

(26)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤0) +P(X ≥0) =P(a≤X ≤0) +0,5

(27)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤0) +P(X ≥0) =P(a≤X ≤0) +0,5 P(X ≤a) =. . . .

. . . .

(28)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤0) +P(X ≥0) =P(a≤X ≤0) +0,5 P(X ≤a) =1−P(X ≥a) =1−(P(a≤X ≤0) +0,5)

=0,5−P(a≤X ≤0)

(29)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤0) +P(X ≥0) =P(a≤X ≤0) +0,5 P(X ≤a) =1−P(X ≥a) =1−(P(a≤X ≤0) +0,5)

=0,5−P(a≤X ≤0)

Il est conseillé de faire un dessin.

(30)

Pour la suite, on noteΦ(t) =P(X ≤t)pour toutt réel, (voir figure). Les résultats précédents se traduisent parφ(0) =0,5 etΦ(−a) =1−Φ(a).

FIGURE–Loi normale :Φ(0,6)est l’aire de la partie colorée

(31)

Donc sia>0 et sib>0 alors

P(−a≤X ≤a) = Φ(a)−Φ(−a) = Φ(a)−(1−Φ(a)) =2Φ(a)−1 et

P(−b≤X ≤a) = Φ(a)−Φ(−b) = Φ(a)−(1−Φ(b)) = Φ(a)+Φ(b)−1

(32)

Valeurs remarquables

. . . . . . . .

Théorème

(33)

Pour tout réelα ∈]0;1[, il existe un unique réel positif uα

tel queP(−u_α ≤X ≤u_α) =1−α.

Théorème

(34)

Pour tout réelα ∈]0;1[, il existe un unique réel positif uα

tel queP(−u_α ≤X ≤u_α) =1−α.

Théorème

(35)

Démonstration

P(−u_α≤X ≤u_α) =2Φ(u_α)−1.

(36)

Démonstration

P(−u_α≤X ≤u_α) =2Φ(u_α)−1. Donc P(−u_α≤X ≤u_α) =1−αest équivalent à

(37)

Démonstration

P(−u_α≤X ≤u_α) =2Φ(u_α)−1. Donc

P(−u_α≤X ≤u_α) =1−αest équivalent à 2Φ(u_α)−1=1−α,

(38)

Démonstration

P(−u_α≤X ≤u_α) =2Φ(u_α)−1. Donc

P(−u_α≤X ≤u_α) =1−αest équivalent à 2Φ(u_α)−1=1−α, soit Φ(u_α) =1−α

2 =c avecc ∈]0,5;1[.

(39)

suite démonstration

Or, pourt ≥0,Φ(t) =P(X ≤t) =0,5+ Z t

0

f(x)dx.

(40)

Or, pourt ≥0,Φ(t) =P(X ≤t) =0,5+ Z t

0

f(x)dx.

DoncΦ^′(t) =f(t)etΦest la primitive def qui prend la valeur 0,5 en 0.

(41)

Or, pourt ≥0,Φ(t) =P(X ≤t) =0,5+ Z t

0

f(x)dx.

Φest donc continue, strictement croissante sur[0; +∞[, avec

t→+∞lim Φ(t) =1.

(42)

Or, pourt ≥0,Φ(t) =P(X ≤t) =0,5+ Z t

0

f(x)dx.

Φest donc continue, strictement croissante sur[0; +∞[, avec

t→+∞lim Φ(t) =1. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe, pour tout réelc ∈]0,5;1[, un réel uniquek positif tel queΦ(k) =c. On note ce réelu_α.

(43)

Tableau de variation deΦ:

t 0 +∞

Φ^′(t) =f(t) Φ(t)

+

0,5 1

(44)

On obtient le nombreuαavec une calculatrice Casio, par

"InvNormCD(c)" (Touche OPTN, choisir STAT, puis DIST, puis NORM et InvN), ou Texas, par "FracNormale(c)", ( Menu distrib, choisir FracNormale).

(45)

Par exemple, pour obteniru0,05, nous devons résoudre l’équationΦ(u_0,05) =1−0,05

2 , soitΦ(u_0,05) =0,975.

(46)

2 , soitΦ(u_0,05) =0,975.

Une calculatrice nous donneu0,05 ≃1,96, autrement dit : . . . .

(47)

2 , soitΦ(u_0,05) =0,975.

Une calculatrice nous donneu0,05 ≃1,96, autrement dit : P(−1,96≤X ≤1,96)≃0,95 ;

(48)

2 , soitΦ(u_0,05) =0,975.

On obtient de même :u0,01≃2,58 , autrement dit : . . . .

(49)

2 , soitΦ(u_0,05) =0,975.

On obtient de même :u0,01≃2,58 , autrement dit : P(−2,58≤X ≤2,58)≃0,99.

(50)

2 , soitΦ(u_0,05) =0,975.

On obtient de même :u0,01≃2,58 , autrement dit : P(−2,58≤X ≤2,58)≃0,99.

Ces valeurs sont à retenir.

Remarque :une calculatrice nous donne en fait l’unique nombre réelk tel queP(X <k) =coùc∈]0;1[.

(51)

Valeurs à connaître :

(52)

On pose

E(X) = lim

a→−∞

Z 0 a

xf(x)dx+ lim

b→+∞

Z b 0

xf(x)dx

On démontre (exercice) queE(X) =0.

On admet que la varianceV(X), définie par V(X) =E

(X −E(X))²

, vaut 1.

Ceci justifie les adjectifs "centrée" et "réduite" : une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle et si son écart type vaut 1.

(53)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition

Remarque: on dit aussi loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace, . . .

(54)

Une variable aléatoire continue X, d’espérance mathé- matique m et d’écart type σ (σ > 0) suit la loi normale N(m;σ²) de paramètres metσ si et seulement si la variable aléatoire T = X −m

σ suit la loi normale N(0;1), c’est-à-dire laloi normale centrée réduite.

Définition

(55)

Une variable aléatoire continue X, d’espérance mathé- matique m et d’écart type σ (σ > 0) suit la loi normale N(m;σ²) de paramètres metσ si et seulement si la variable aléatoire T = X −m

σ suit la loi normale N(0;1), c’est-à-dire laloi normale centrée réduite.

Définition

(56)

La densité de probabilitéf deX, définie surR, a une courbe représentative en forme de "cloche" qui admet la droite

d’équationx =mcomme axe de symétrie. Elle est représentée ci-dessous, à gauche avecm=−1 et σ=1, à droite avec m=1,4 et σ =0,3.

FIGURE–Densités de lois normales : à gaucheN(−1;1)et à droiteN(1,4;0,09)

(57)

La probabilitéP(X ∈[a;b])est donnée par une calculatrice.

Casio : "NormCD(a,b,σ, m)" (Touche OPTN, choisir STAT, puis DIST, puis NORM et Ncd)

Texas : "normalFRép(a,b,m,σ)", ( Menudistrib, choisir normalFRép).

(58)

On utilise la symétrie de la courbe densité par rapport à la droite d’équationx =met les mêmes méthodes que pour la loi normale centrée réduite.

En particulier :P(X ≤m) =. . . .

(59)

En particulier :P(X ≤m) =P(X ≥m)

(60)

En particulier :P(X ≤m) =P(X ≥m)=. . .

(61)

En particulier :P(X ≤m) =P(X ≥m)=0,5.

(62)

En particulier :P(X ≤m) =P(X ≥m)=0,5.

Attention: les calculatrices ne nous donnent les probabilités P(X ≤a).

(63)

Méthodes de calcul

(64)

Méthodes de calcul sia>m, on écrit :

P(X ≤a) =. . . .

(65)

P(X ≤a) =P(X ≤m) +P(m≤X ≤a) =0,5+P(m≤X ≤a)

(66)

P(X ≤a) =P(X ≤m) +P(m≤X ≤a) =0,5+P(m≤X ≤a) P(X ≥a) =. . . .

. . . .

(67)

P(X ≤a) =P(X ≤m) +P(m≤X ≤a) =0,5+P(m≤X ≤a) P(X ≥a) =1−P(X ≤a) =1−(0,5+P(m≤X ≤a))

=0,5−P(m≤X ≤a)

(68)

=0,5−P(m≤X ≤a) sia<m, on écrit :

(69)

P(X ≥a) =. . . .

(70)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤m) +P(X ≥m) =P(a≤X ≤m) +0,5

(71)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤m) +P(X ≥m) =P(a≤X ≤m) +0,5 P(X ≤a) =. . . .

. . . .

(72)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤m) +P(X ≥m) =P(a≤X ≤m) +0,5 P(X ≤a) =1−P(X ≥a) =1−(P(a≤X ≤m) +0,5)

=0,5−P(a≤X ≤m)

(73)

P(X ≥a) =P(a≤X ≤m) +P(X ≥m) =P(a≤X ≤m) +0,5 P(X ≤a) =1−P(X ≥a) =1−(P(a≤X ≤m) +0,5)

=0,5−P(a≤X ≤m) Il est conseillé de faire un dessin.

(74)

Remarque :

siX suit la loi normaleN(m;σ²)et siaest un réel quelconque, en posantT = X−m

σ , on obtient P(X ≤a) =P T ≤ a−m

σ

!

= Φ a−m σ

!

etP(m−a≤X ≤m+a) =P −a

σ ≤T ≤ a

σ

!

=2Φ a σ

!

−1

(75)

Cas particuliers

(résultats obtenus avec la calculatrice) :

. . . . . . . .

(76)

Cas particuliers

P(X ∈[m−σ;m+σ]) =P(−1≤T ≤1) soit P(X ∈[m−σ;m+σ])≃0,683

(77)

Cas particuliers

P(X ∈[m−σ;m+σ]) =P(−1≤T ≤1)

soit P(X ∈[m−σ;m+σ])≃0,683 . . . . . . . .

(78)

Cas particuliers

P(X ∈[m−σ;m+σ]) =P(−1≤T ≤1)

soit P(X ∈[m−σ;m+σ])≃0,683 P(X ∈[m−2σ;m+2σ]) =P(−2≤T ≤2)

soit P(X ∈[m−2σ;m+2σ])≃0,954

(79)

Cas particuliers

P(X ∈[m−σ;m+σ]) =P(−1≤T ≤1)

soit P(X ∈[m−2σ;m+2σ])≃0,954 . . . . . . . .

(80)

Cas particuliers

P(X ∈[m−σ;m+σ]) =P(−1≤T ≤1)

soit P(X ∈[m−2σ;m+2σ])≃0,954 P(X ∈[m−3σ;m+3σ]) =P(−3≤T ≤3)

soit P(X ∈[m−3σ;m+3σ])≃0,997

(81)

Cas particuliers

P(X ∈[m−σ;m+σ]) =P(−1≤T ≤1)

soit P(X ∈[m−2σ;m+2σ])≃0,954 P(X ∈[m−3σ;m+3σ]) =P(−3≤T ≤3)

soit P(X ∈[m−3σ;m+3σ])≃0,997

(82)

(83)

Equations

Comme pour la loi normale centrée réduite, une calculatrice permet de déterminer l’unique nombre réelk tel que

P(X <k) =coùc∈]0;1[. Avec une Casio, par "InvNormCD(c, σ,m)", ou avec une Texas, par "FracNormale(c,m,σ)".

(84)

Exemple

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l’industrie.

Une pièce est conforme lorsque sa longueur (en millimètres) appartient à l’intervalle[74,4;75,6]. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale d’espérance75et d’écart type0,25. Quelle est la probabilité qu’une pièce soit conforme ?

(85)

Exemple

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l’industrie.

Une pièce est conforme lorsque sa longueur (en millimètres) appartient à l’intervalle[74,4;75,6]. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale d’espérance75et d’écart type0,25. Quelle est la probabilité qu’une pièce soit conforme ?

On calcule P(74,46L675,6).

(86)

Exemple

Posons Z = L−75 0.25 :

(87)

Exemple

Posons Z = L−75

0.25 : la variable aléatoire Z suit la loiN(0;1).

P(74,46L675,6) =

(88)

Exemple

Posons Z = L−75

P(74,46L675,6) = P(−0.6≤L−75≤0.6)

(89)

Exemple

Posons Z = L−75

P(74,46L675,6) = P(−0.6≤L−75≤0.6)

= P(− 0.6

0.25 ≤ L−75

0.25 ≤ 0.6 0.25)

(90)

Exemple

Posons Z = L−75

P(74,46L675,6) = P(−0.6≤L−75≤0.6)

= P(− 0.6

0.25 ≤ L−75

0.25 ≤ 0.6 0.25)

= P(−2.4<Z <2.4)

(91)

Exemple

Posons Z = L−75

P(74,46L675,6) = P(−0.6≤L−75≤0.6)

= P(− 0.6

0.25 ≤ L−75

0.25 ≤ 0.6 0.25)

= P(−2.4<Z <2.4)

≈ 0.98

(92)

Exemple

Posons Z = L−75

P(74,46L675,6) = P(−0.6≤L−75≤0.6)

= P(− 0.6

0.25 ≤ L−75

0.25 ≤ 0.6 0.25)

= P(−2.4<Z <2.4)

≈ 0.98

La pièce est donc conforme dans environ 98% des cas.

(93)

Rappels :on répètenfois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire suivant une loi deBernoullidonnant lieu à deux issues : succès (probabilitép) et échec (probabilité 1−p).

La variable aléatoireX qui, à cette série denexpériences, associe le nombre de succès suit la loibinomialeB(n,p)de paramètresnetp.

Son espérance est

(94)

Son espérance estE(X) =npet son écart-type

(95)

Son espérance estE(X) =npet son écart-type

σ(X) =p

np(1−p).

(96)

Ce théorème est admis ; il a été démontré par De Moivre dans le casp=0,5, puis par Laplace pourpquelconque.

Soit p ∈]0;1[; si la variable aléatoire Xn suit une loi binomiale de paramètre n et p pour tout entier naturel n non nul, et si Zn est la variable aléatoire définie par Zn= Xn−np

pnp(1−p) , alors, pour tous réelsaetb, la proba- bilitéP(Zn ∈ [a;b]) tend vers

Z b a

√1 2πe⁻^x

2

2 dx lorsquen tend vers+∞.

Théorème

(97)

Ce théorème est admis ; il a été démontré par De Moivre dans le casp=0,5, puis par Laplace pourpquelconque.

Soit p ∈]0;1[; si la variable aléatoire Xn suit une loi binomiale de paramètre n et p pour tout entier naturel n non nul, et si Zn est la variable aléatoire définie par Zn= Xn−np

pnp(1−p) , alors, pour tous réelsaetb, la proba- bilitéP(Zn ∈ [a;b]) tend vers

Z b a

√1 2πe⁻^x

2

2 dx lorsquen tend vers+∞.

Théorème

Remarque

np est l’espérance deXnetnp(1−p)est la variance deXn.

(98)

Soit X ∼ B(n,p).

Corollaire

(99)

Soit X ∼ B(n,p). Quand on a







n ≥ 30

np ≥ 5

n(1−p) ≥ 5 Corollaire

(100)

Soit X ∼ B(n,p). Quand on a







n ≥ 30

np ≥ 5

n(1−p) ≥ 5 on pourra approximer la loi X −E(X)

σ(X) par une loiN(0;1) Corollaire

(101)

Exemple

Soit X la variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n=1000et p=0.3.

Calculer P(X ≤320):

(102)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

(103)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

σ(X) =√

1000×0.3×0.7≈14.5

(104)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

σ(X) =√

1000×0.3×0.7≈14.5

P(X ≤320) =

(105)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

σ(X) =√

1000×0.3×0.7≈14.5

P(X ≤320) = P

X −300

14.5 ≤ 320−300 14.5

(106)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

σ(X) =√

1000×0.3×0.7≈14.5

P(X ≤320) = P

X −300

14.5 ≤ 320−300 14.5

≈ P(Z ≤1.38)

(107)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

σ(X) =√

1000×0.3×0.7≈14.5

P(X ≤320) = P

X −300

14.5 ≤ 320−300 14.5

≈ P(Z ≤1.38) avec Z = X−300

14.5 dont la loi peut être approché par une loiN(0;1)

(108)

Exemple

Calculer P(X ≤320): E(X) =1000×0.3=300

σ(X) =√

1000×0.3×0.7≈14.5

P(X ≤320) = P

X −300

14.5 ≤ 320−300 14.5

≈ P(Z ≤1.38) avec Z = X−300

14.5 dont la loi peut être approché par une loiN(0;1)

≈ 0.916