Diplôme National du Brevet. Collège Vauquelin - Épreuve blanche. Session de janvier Mathématiques. Série Générale

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Collège Vauquelin - Épreuve blanche Session de janvier 2018

Mathématiques

Série Générale

Durée de l’épreuve : 2 heures - 100 points

(dont 10 points pour la présentation de la copie et l’utilisation de la langue française)

Début de l’épreuve : 8h30 Fin de l’épreuve : 10h30

Aucune sortie ne sera autorisée avant la fin de l’épreuve.

Aucun prêt de matériel n’est autorisé.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de la page 1/5 à la page 5/5.

Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

L’utilisation de la calculatrice est autorisée (circ. 99-186 du 16 novembre 1999) Le sujet est constitué de huit exercices indépendants.

Le candidat peut le traiter dans l’ordre qui lui convient.

Exercice n^o1 8 points

Présentation de la copie et usage de la langue française 10 points

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. -

REPÈRE : 17GENMATVAUQ1

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On considère la fonction :g(x) = (x−2)(2x+3)−(x−2)(5x−1) 1.Développerg(x)

2.Vérifier queg(x) = (x−2)(−3x+4) 3.Calculerg(0)etg(−1)

Pour cuire des macarons, la température du four doit être impérativement de 150 ˚C.

Depuis quelques temps, le responsable de la boutique n’est pas satisfait de la cuisson de ses pâtisseries. Il a donc décidé de vérifier la fiabilité de son four en réglant sur 150 ˚C et en prenant régulièrement la température à l’aide d’une sonde.

Voici la courbe représentant l’évolution de la température de son four en fonction du temps.

Évolution de la température du four en fonction du temps

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Temps (en minutes)

Température(en˚C)

1. La température du four est-elle proportionnelle au temps ?

2. Quelle est la température atteinte au bout de 3 minutes ? Aucune justification n’est demandée.

3. De combien de degrés Celsius, la température a-t-elle augmenté entre la deuxième et la septième minute ? 4. Au bout de combien de temps, la température de 150 ˚C nécessaire à la cuisson des macarons est-elle atteinte ? 5. Passé ce temps, que peut-on dire de la température du four ? Expliquer pourquoi le responsable n’est pas satisfait de

la cuisson de ses macarons.

Voici quatre affirmations. Indiquez pour chacune d’elle si elle est vraie ou fausse enjustifiant votre réponse.

Affirmation n^o1: un diviseur de 15 est toujours un diviseur de 60.

Affirmation n^o2: le produit de deux nombres premiers est pair.

Affirmation n^o3: le carré d’un nombre impair est pair.

Affirmation n^o4: le nombre 126 possède exactement 12 diviseurs.

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Pour ses 32 ans, Denis a acheté un vélo d’appartement afin de pouvoir s’entraîner pendant l’hiver.

La fréquence cardiaque (FC) est le nombre de pulsations (ou battements) du coeur par minute.

1.Denis veut estimer sa fréquence cardiaque : en quinze secondes il a compté 18 pulsations. À quelle fréquence cardiaque, exprimée en pulsations par minute, cela correspond-il ?

2.Son vélo est équipé d’un cardiofréquencemètre qui lui permet d’optimiser son effort en enregistant toutes les pulsations de son coeur. À un moment donné, le cardiofréquencemètre à enregistré un intervalle de 0,8sentre deux pulsations. Calculer la fréquence cardiaque qui sera affichée par le cardiofréquencemètre.

3.Après une séance d’entraînement, le cardiofréquencemètre lui a fourni les renseignements suivants :

Nombre de pulsations Fréquence minimale Fréquence moyenne Fréquence maximale

enregistrées enregistrée enregistrée

3 640 65 pulsations/minute 130pulsation/minute 182pulsations/minute

3.aQuelle est l’etendue des fréquences cardiaques enregistrées ?

3.bDenis n’a pas chronométré la durée de son entraînement. Quelle était cette durée ?

4. Denis souhaite connaître sa Fréquence cardiaque maximale conseillée (FCMC) afin de ne pas la dépasser et ainsi ménager son coeur. La FCMC d’un individu dépend de son âgea, exprimé en années, elle peut s’obtenir grace à la formule suivante établie par Astrand et Ryhming :

Fréquence cardiaque maximal conseillé=220−age On note f(a)la FCMC en fonction de l’âgea, on a donc f(a) =220−a

4.aVérifier que la FCMC de Denis est égale à 188pulsations/minute 4.bComparer la FCMC de Denis avec la FCMC d’une personne de 15ans.

5.Après quelques recherches, Denis trouve une autre formule permettant d’obtenir sa FCMC de façon plus précise. Sia désigne l’âge d’un individu, sa FCMC peut être calculée à l’aide de la formule de Gellish :

Fréquence cardiaque maximale conseillé=191,5−0,007×age² On noteg(a)la FCMC en fonction de l’âgea, on a doncg(a) =191,5−0,007×a²

Denis utilise un tableur pour comparer les résultats obtenus avec les deux formules :

Quelle formule faut-il insérer dans la cellule C2 puis recopier vers le bas, pour pouvoir complèter la colonne « FCMCg(a) (Gellish) » ?

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Avec un logiciel de géométrie, on exécute le programme ci- après.

Programmme de construction :

— construire un carréABCD;

— tracer le cercle de centreAet de rayonAC;

— placer le point E à l’intersection du cercle et de la demi-droite[AB);

— construire le carréDEFG.

1.Sur la copie, réaliser la construction avecAB=3cm.

2.Dans cette question,AB=10cm.

2.aMontrer queAC=√

200cm.

2.bExpliquer pourquoiAE=√

200cm.

2.cMontrer que l’aire du carréDEFGest le triple de l’aire du carréABCD.

Voici un programme Scratch :

quand le est cliqué

demander Choisir un nombre : et attendre mettre Nombre de départ à réponse mettre Etape 1 à Nombre de départ + 4 mettre Etape 2 à 3 * Etape 1

mettre Etape 3 à Etape 2 - 12 dire Etape 3

1.Vérifier qu’en prenant 5 comme nombre de départ Scratch va dire 15 2.Que va dire Scratch si le nombre de départ est :

2.a7 ? 2.b−3 ? 2.c0 ?

3.Quel nombre doit-on choisir au départ pour que Scratch dise−48 ? 4.Quelle conjecture pouvez-vous faire au sujet de ce programme de calcul ? 5.Prouver cette conjecture.

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Mélanie est une étudiante toulousaine qui vit en colocation dans un appartement. Ses parents habitent à Albi et elle retourne chez eux les week-ends.

Elle rentre à Toulouse le dimanche soir.

Sur sa route, elle passe prendre ses 2 colocataires à la sortie n^o3, dernière sortie avant le péage.

Elle suit la route indiquée par l’application GPS de son téléphone portable, dont l’affichage est reproduit ci-après.

TOULOUSE

Légende :

Sortie d’autoroute kilomètres Aéroport

bbb b b bbALBI

péage ³

6 7

9

7 13

6 16

16

➋ 16

11

Elle est partie à 16 h 20 et entre sur l’autoroute au niveau de la sortie n^o11 à 16 h 33.

Le rendez-vous est à 17 h.

Sachant qu’il lui faut 3 minutes pour aller de la sortie n^o3 au lieu de rendez-vous, à quelle vitesse moyenne doit-elle rouler sur l’autoroute pour arriver à l’heure exacte ? Vous donnerez votre réponse en km/h.

Toute recherche même incomplète, sera valorisée dans la notation.

Peio, un jeune Basque décide de vendre des glaces du 1^erjuin au 31 août inclus à Hendaye.

Pour vendre ses glaces, Peio hésite entre deux emplacements :

— une paillotte sur la plage

— une boutique au centre-ville.

En utilisant les informations ci-dessous, aidez Peio à choisir l’emplacement le plus rentable.

Information 1: les loyers des deux emplacements proposés :

• la paillotte sur la plage : 2 500epar mois.

• la boutique au centre-ville : 60epar jour.

Information 2: la météo à Hendaye Du 1^erjuin au 31 août inclus :

• Le soleil brille 75 % du temps

• Le reste du temps, le temps est nuageux ou pluvieux.

Information 3: prévisions des ventes par jour selon la météo :

Soleil Nuageux - pluvieux

La paillotte 500e 50e

La boutique 350e 300e

On rappelle que le mois de juin comporte 30 jours et les mois de juillet et août comportent 31 jours.

Toute piste de recherche même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

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Janvier 2018 Correction

Exercice 1

1.g(x) = (x−2)(2x+3)−(x−2)(5x−1) g(x) = 2x²+3x−4x−6

− 5x²−x−10x+2 g(x) =2x²+3x−4x−5−5x²+x+10x−2

g(x) =−3x²+10x−8 2.Soit on factorise,

g(x) = (x−2)(2x+3)−(x−2)(5x−1) g(x) = (x−2) [(2x+3)−(5x−1)]

g(x) = (x−2)(−3x+4) Ou alors on développe :

(x−2)(−3x+4) =−3x²+4x+6x−8=−3x²+10x−8 g(x) = (x−2)(−3x+4)

3.Il vaut mieux utiliser la forme développée :g(x) =−3x²+10x−8 g(0) =−3×0²+10× −8=−8 donc g(0) =−8

g(−1) =−3×(−1)²+10×(−1)−8=−3−10−8=−21 donc g(−1) =−21

Exercice 2

1.La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite passant par l’origine du repère.

La température du four n’est pas proportionnelle au temsp.

2.Une graduation en abscisse correspond à 1min, en ordonnée à 10^oC Au bout de 3minla température est de 70^oC

3.À la deuxième minute la température est de 50^oC.

À la septime minute elle est de 140ôC 140ôC−50ôC=90ôC

La température a augmenté de 90^oC

4. La température de 150^oCest obtenu au bout de 8min

5.On constate qu’il y a une baisse de température entre la dixième et douzième minute et que le four passe sous les 150^oC entre la onzième et quatorzième minute. En conséquence il manque 3minde cuisson au dessus des 150^oC.

Exercice 3

Affirmation n^o1 : Les diviseurs de 15 sont : 1 - 3 - 5 et 15

Les diviseurs de 60 sont : 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 10 - 12 - 15 - 20 - 30 - 60 On constate que tous les diviseurs de 15 sont des diviseurs de 60.

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Affirmation n^o2 : Il est facile de trouver un contre-exemple.

3 et 7 sont premiers et 3×7=21 est impair ! Cela suffit pour justifier la réponse.

Remarquons que 2 est premier et 7 aussi mais que 2×7=14 est pair.

Le produit de deux nombres premiers est pair ou impair ! Affirmation n^o2 : FAUSSE

Affirmation n^o3 : 3²=9 nous avons un contre-exemple. Cela suffit pour justifier la réponse.

Remarquons cependant que pour tous les nombres impairs le carré semble impair.

Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme 2n+1 c’est à dire un nombre pair augmenté de 1.

Or(2n+1)²= (2n+1)(2n1+) =4n²+2n+2n+1

On constate que 4n²est pair ainsi que 2ndonc 4n²+2n+2n+1 est impair.

Le carré de deux nombres impairs est toujours impair.

Affirmation n^o3 : FAUSSE

Affirmation n^o4 : Voici les diviseurs de 126 : 1 - 2 - 3 - 6 - 7 - 9 - 14 - 18 - 21 - 42 - 63 - 126

Affirmation n^o4 : VRAIE

Exercice 4

1.18 pulsations en 15s.

Si on remarque que 15s×4=60s=1minon arrive facilement à 18×4=72 Sinon, on peut calculer le nombre de pulsation en 1set 18

15s=1,2 puis 1,2s×60=72

Enfin, ce qui revient au même on pouvait utiliser un tableau de proportionnalité et un produit en croix : Temps 15s 1min=60s

Pulsation 18 18×60 15 =72

La fréquence cardiaque est donc de 72 pulsations par minute.

2.0,8sentre 2 pulsations c’est à dire une pulsation toutes les 0,8s

On peut à nouveau utiliser un tableau de proportionnalité ou un retour à l’unité.

Temps 0,8s 1min=60s Pulsation 1 1×60

0,8 =75

Ou alors on se demande combien de fois 0,8sse trouve dans 1min.

C’est à dire 60s÷0,8=75

La pulsation cherchée est 75 battements par minute

3.aL’étendue est la différence entre le maximum et le minimum.

182−65=117

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3 640÷130=28

Il a donc fait une séance de 28min

4.aDenis a 32 ans, f(32) =220−32=188 La pulsation est bien de 188 pulsations par minutes

4.bPour une personne de 15 ans il faut calculer f(15) =220−15=205 Une personne de 15 ans à une FCMC de 205

5. Il faut saisir=191,5−0,007∗A2∗A2 ou=191,5−0,007∗A2²

Exercice 5 1.

+

A A

+

B B

+

E E G+

G

+

F F

+

C C

+

D D

2.aABCDest un carré, doncABCest un triangle rectangle enB D’aprèsle théorème de Pythagoreon a :

BA²+BC²=AC² 10²+10²=AC² 100+100=AC²

AC²=200 AC=√

200 DoncAC=√

200cm

2.bEest un point du cercle de centreAet de rayonAC, doncAC=AE=√ 200cm

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2.cL’aire du carréABCDest 10cm×10cm=100cm²

Pour calculer l’aire du carréDEFGil faut calculer la longueur du côtéDE Le triangleDAEest rectangle enA

D’aprèsle théorème de Pythagoreon a :

AD²+AE²=DE² 10²+ (√

200)²=DE² 100+200=DE²

DE²=300 DE=√

300 Enfin l’aire du carréDEFGvaut√

300cm×√

300cm=300cm²

Comme 300cm²=3×100cm², l’aire du carréDEFGest le triple de l’aire deABCD 3.On souhaite que 48cm²soit le triple de l’aire du carréABCD

Comme 48cm²÷3=16cm², on en déduit que l’aire du carréABCDmesure 16cm² Or l’aire du carréABCDest obtenu en calculant le carré deAB

Ainsi

AB²=16cm²d’oùAB=√

16cm=4cm AB=4cm

Exercice 6

1.En prenant 5 comme nombre de départ on obtient :

À l’étape 1 : 5+4=9 puis à l’étape 2 : 3×9=27, enfin à l’étape 3 : 27−12=15 En prenant 5 au départ Scratch va dire 15

2.aEn prenant 7 comme nombre de départ on obtient :

2.bEn prenant−3 comme nombre de départ on obtient :

À l’étape 1 :−3+4=1 puis à l’étape 2 : 3×1=3, enfin à l’étape 3 : 3−12=−9 En prenant−3 au départ Scratch va dire 9

2.cEn prenant 0 comme nombre de départ on obtient :

3.On peut remonter le programme.

Il dit−48 à l’étape 3, donc à l’étape 2 on avait−48+12=−36 Puis à l’étape 1 on avait−36÷3=−12.

Le nombre de départ était ainsi−12−4=−16

On pouvait aussi écrire une équation en posantxle nombre de départ.

À l’étape 1 on obtientx+4 puis à l’étape 2 3(x+4) =3x+12 et enfin à l’étape 3 3x+12−12=3x Donc il faut résoudre :

3x= 48

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x=−16 En prenant−16 au départ on obtient−48 à la fin.

4. Ce programme donne toujours le triple du nombre de départ !

5.En reprenant la deuxième méthode de la question3.on constate que pour unxde départ le programme dit 3x.

Nous avons ainsi prouvé la conjecture !

Exercice 7

Calculons la distance entre la sortie 11 et la sortie 3 16km+16km+6km+13km=51km

Comme elle rentre sortie 11 à 16h33 et qu’elle à rendez-vous à 17h, il lui reste 27 min de trajet. Il faut 3 min pour aller de la sortie 3 au point de rendez-vous.

Donc Mélanie a 24 min pour parcourir 51 km.

On peut obtenir la vitesse en km/h par un produit en croix : 51km

24min×60min=127,5km Mélanie devra rouler à 127,5km/h

Exercice 8

Calculons d’abord le montant des loyers pour les trois mois. Il y a 30 jours en juin, 31 jours en juillet et 31 jours en août soit 30+31+31=92 jours.

Pour la paillotte il faut payer : 2 500e×3=7 500e Pour la boutique il faut payer : 60e×92=5 520e

Calculons maintenant une prévision des ventes en tenant compte de la météo.

Il faut calculer le nombre de jours que représente 75% du temps.

92× 75 100=69

On peut faire la prévision qu’il y aura 69 jours de soleil et donc 23 jours de temps nuageux ou pluvieux.

Pour la paillotte cela représente une vente de 500e×69+50e×23=35 650e

Pour la boutique en ville cela représente une vente de 350e×69+300e×23=31 050e Enfin il faut retirer le coût du loyer aux prévisions des ventes :

Pour la paillotte on obtient : 35 650−7 500=28 150 Pour la boutique en ligne : 31 050−5 520=25 530

Peio a donc intérêt à louer une paillotte.