Probl`emes inverses en imagerie m´edicale
Lotfi Chaari
Avril 2020
Plan
◮ Qu’est ce qu’un probl`eme inverse ?
◮ Comment le r´esoudre ?
Le probl`eme inverse
Exemple
Pr´eliminaires
◮ Probl`eme inverse : ´evaluer une grandeur physiquep inaccessible `a l’´exp´erience `a partir de la mesure d’une autre grandeur ddirectement accessible `a l’exp´erience, connaissant un mod`ele un mod`ele math´ematique.
◮ Le mod`ele math´ematique donne explicitementd `a partir de p :d=H(p)
◮ probl`eme inverse −→ ”r´esolution de toute ´equation
(alg´ebrique, matricielle, diff´erentielle, ...) ou la minimisation de toute fonctionnelle”.
Incertitude
d: mesure physique ⇐⇒incertitude
◮ Donn´ees d’origine exp´erimentale −→ erreurs de mesure ;
◮ Donn´ees collect´ees en nombre fini, mˆeme si, dans le mod`ele math´ematique, elles sont d´ecrites par des fonctions ;
◮ L’algorithme d’inversion lui-mˆeme peut cr´eer une alt´eration des donn´ees ;
◮ Le mod`ele lui-mˆeme proc`ede d’une id´ealisation de la r´ealit´e physique et repose sur des hypoth`eses simplificatrices.
Incertitude
◮ Changement d’optique vis `a vis du concept de la solution : la recherche de solutions au sens strictassoci´ees aux mesures d via le mod`ele n’est plus un objectif suffisant.
◮ Tout pqui reproduit aux incertitudes pr´es, via le mod`ele physique, la mesure dest une r´eponse a prioripossible au probl`eme inverse
◮ Toute th´eorie de l’inversion doit donc tenir compte du
caract`ere ´eventuellement incomplet, impr´ecis et/ou redondant des donn´ees.
Probl`eme direct
◮ Le probl`eme direct consiste `a calculer la r´eponse d`a partir de la donn´ee de sollicitationX et des param`etres p.
◮ Les ´equations de la physique donnent la r´eponse d comme fonction implicite deX et de p :
H(X,d;p) = 0
◮ Dans certains cas, le mod`ele physique est explicite : d=H(X;p)
Probl`eme inverse
◮ ll s’agit g´en´eralement de situations o`u on est dans l’ignorance au moins partielle du syst`eme.
◮ Le terme inverse rappelle qu’on utilise l’information concernant le mod`ele physique`a l’envers connaissant
(partiellement) les sorties : on cherche `a remonter `a certaines caract´eristiques, habituellement internes et ´echappant `a la mesure directe.
Mod`ele d’observation
n
ρ H z =Hρ+n
◮ ρ∈RL : signal inconnu
◮ z et n∈RM
◮ H:RL7→RM : op´erateur d’observation
Probl`eme inverse mal-pos´e
Conditions de Hadamard
◮ Existence d’une solution pour n’importe quelle observation ;
◮ Unicit´e de la solution ;
◮ Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux petites erreurs (de donn´ees, de discr´etisation...).
◮ δρ: erreur d’observation ;
◮ δz : erreur d’estimation ;
◮ C : nombre de conditionnement du probl`eme ;
◮ C≫1 =⇒probl`eme mal-conditionn´e kδzk
kzk ≤Ckδρk kρk
Applications : ´electro-enc´ephalographie (EEG)
Mesure de l'activité électrique neuronale: potentiel électrique
Reconstruire dans le temps et l'espace
Applications : Tomographie
◮ Transform´ee de Radon
Applications : IRM
◮ Transform´ee de Fourier
Applications : IRM parall`ele
Encodagedephase
R∆ky
∆kx
∆kx
∆ky
Encodage de fr´equence
Applications : IRM parall`ele
1/2 FOV
Art´efacts de recouvrement Sous-´echantillonnage
duk-space R= 2
FFT−1 FFT−1
Applications : IRM parall`ele
1/2 FOV
. . . .
.
Sous-´echantillonnage duk-space
R= 2
FFT−1 FFT−1
ρ(r2) ρ(r1)
d(r) =ρ(r) +ρ(r)
=⇒
Les images `a champ de vue complet sont reconstruites `a partir des donn´ees sous-´echantillonn´ees en exploitant lacompl´ementarit´edes
sensibilit´es spatiales des antennes.
◮ Reconstruction en IRMp : SENSE [Pruessmann 99]
. .
. .
.. .
d1(r) =S1(r1)ρ(r1) +S1(r2)ρ(r2) d2(r) =S2(r1)ρ(r1) +S2(r2)ρ(r2) ρ(r2) ρ(r1)
2canaux: d1(r)
d2(r)
=
S1(r1) S1(r2) S2(r1) S2(r2)
ρ(r1) ρ(r2)
+
n1(r1) n2(r2)
◮ Reconstruction en IRMp : SENSE [Pruessmann 99]
. .
. .
.. .
d1(r) =S1(r1)ρ(r1) +S1(r2)ρ(r2) d2(r) =S2(r1)ρ(r1) +S2(r2)ρ(r2) ρ(r2) ρ(r1)
Lcanaux:
d1(r)
. . dL(r)
=
S1(r1) .. S1(rR)
. .. .
. .. .
SL(r1) .. SL(rR)
ρ(r1)
. . ρ(rR)
+
n1(r)
. . nL(r)
d(r) =S(r)ρ(r) +n(r)
⇒Reconstruction de Rpixels d’une mˆeme colonne de l’image `a champ
R´esolution
Inversion classique
2x+ 2y+z = 1 x+y = 2
2 2 1
1 1 0
| {z }
H
x y z
| {z }
ρ
= 1
2
| {z }
z
◮ C = 7.6
◮ ρ1 = (2,0,−3), maisρ1 = (1,1,−3) aussi !
◮ Une perturbation kδρk
kρk ∼10% =⇒
kδzk kzk
max
∼70%
Inversion classique
2x+ 2y+z = 1 x+y = 2
2 2 1
1 1 0
| {z }
H
x y z
| {z }
ρ
= 1
2
| {z }
z
◮ C = 7.6
◮ ρ1 = (2,0,−3), maisρ1 = (1,1,−3) aussi !
◮ Une perturbation kδρk
kρk ∼10% =⇒
kδzk kzk
max
∼70%
Moindres carr´es pond´er´es
z =Hρ+n
◮ Matrice de covariance du bruit : Ψ ;
b
ρ= arg min
ρ kz− Hρk2Ψ−1
= HtΨ−1H−1
HtΨ−1z
Moindres carr´es pond´er´es
R = 2 R=4
R´egularisation
◮ Connaissances a priorisur le signal `a retrouver⇔ contraintes
◮ Guider le syst`eme d’inversion : unicit´e et stabilit´e de la solution =⇒ probl`eme bien-pos´e
◮ Utiliser plusieurs contraintes b
ρ= arg min
ρ
kz− Hρk2Ψ−1+αf(ρ) +δg(Tρ)