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Avril2020 LotfiChaari Probl`emesinversesenimageriem´edicale

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Probl`emes inverses en imagerie m´edicale

Lotfi Chaari

Avril 2020

(2)

Plan

Qu’est ce qu’un probl`eme inverse ?

Comment le r´esoudre ?

(3)

Le probl`eme inverse

(4)

Exemple

(5)

Pr´eliminaires

Probl`eme inverse : ´evaluer une grandeur physiquep inaccessible `a l’´exp´erience `a partir de la mesure d’une autre grandeur ddirectement accessible `a l’exp´erience, connaissant un mod`ele un mod`ele math´ematique.

Le mod`ele math´ematique donne explicitementd `a partir de p :d=H(p)

probl`eme inverse −→ ”r´esolution de toute ´equation

(alg´ebrique, matricielle, diff´erentielle, ...) ou la minimisation de toute fonctionnelle”.

(6)

Incertitude

d: mesure physique ⇐⇒incertitude

Donn´ees d’origine exp´erimentale −→ erreurs de mesure ;

Donn´ees collect´ees en nombre fini, mˆeme si, dans le mod`ele math´ematique, elles sont d´ecrites par des fonctions ;

L’algorithme d’inversion lui-mˆeme peut cr´eer une alt´eration des donn´ees ;

Le mod`ele lui-mˆeme proc`ede d’une id´ealisation de la r´ealit´e physique et repose sur des hypoth`eses simplificatrices.

(7)

Incertitude

Changement d’optique vis `a vis du concept de la solution : la recherche de solutions au sens strictassoci´ees aux mesures d via le mod`ele n’est plus un objectif suffisant.

Tout pqui reproduit aux incertitudes pr´es, via le mod`ele physique, la mesure dest une r´eponse a prioripossible au probl`eme inverse

Toute th´eorie de l’inversion doit donc tenir compte du

caract`ere ´eventuellement incomplet, impr´ecis et/ou redondant des donn´ees.

(8)

Probl`eme direct

Le probl`eme direct consiste `a calculer la r´eponse d`a partir de la donn´ee de sollicitationX et des param`etres p.

Les ´equations de la physique donnent la r´eponse d comme fonction implicite deX et de p :

H(X,d;p) = 0

Dans certains cas, le mod`ele physique est explicite : d=H(X;p)

(9)

Probl`eme inverse

ll s’agit g´en´eralement de situations o`u on est dans l’ignorance au moins partielle du syst`eme.

Le terme inverse rappelle qu’on utilise l’information concernant le mod`ele physique`a l’envers connaissant

(partiellement) les sorties : on cherche `a remonter `a certaines caract´eristiques, habituellement internes et ´echappant `a la mesure directe.

(10)

Mod`ele d’observation

n

ρ H z =Hρ+n

ρ∈RL : signal inconnu

z et n∈RM

H:RL7→RM : op´erateur d’observation

(11)

Probl`eme inverse mal-pos´e

Conditions de Hadamard

Existence d’une solution pour n’importe quelle observation ;

Unicit´e de la solution ;

Stabilit´e de la r´eponse par rapport aux petites erreurs (de donn´ees, de discr´etisation...).

δρ: erreur d’observation ;

δz : erreur d’estimation ;

C : nombre de conditionnement du probl`eme ;

C1 =probl`eme mal-conditionn´e kδzk

kzk Ckδρk kρk

(12)

Applications : ´electro-enc´ephalographie (EEG)

Mesure de l'activité électrique neuronale: potentiel électrique

Reconstruire dans le temps et l'espace

(13)

Applications : Tomographie

Transform´ee de Radon

(14)

Applications : IRM

Transform´ee de Fourier

(15)

Applications : IRM parall`ele

Encodagedephase

R∆ky

∆kx

∆kx

∆ky

Encodage de fr´equence

(16)

Applications : IRM parall`ele

1/2 FOV

Art´efacts de recouvrement Sous-´echantillonnage

duk-space R= 2

FFT−1 FFT−1

(17)

Applications : IRM parall`ele

1/2 FOV

. . . .

.

Sous-´echantillonnage duk-space

R= 2

FFT−1 FFT−1

ρ(r2) ρ(r1)

d(r) =ρ(r) +ρ(r)

(18)

=⇒

Les images `a champ de vue complet sont reconstruites `a partir des donn´ees sous-´echantillonn´ees en exploitant lacompl´ementarit´edes

sensibilit´es spatiales des antennes.

(19)

Reconstruction en IRMp : SENSE [Pruessmann 99]

. .

. .

.

. .

d1(r) =S1(r1)ρ(r1) +S1(r2)ρ(r2) d2(r) =S2(r1)ρ(r1) +S2(r2)ρ(r2) ρ(r2) ρ(r1)

2canaux: d1(r)

d2(r)

=

S1(r1) S1(r2) S2(r1) S2(r2)

ρ(r1) ρ(r2)

+

n1(r1) n2(r2)

(20)

Reconstruction en IRMp : SENSE [Pruessmann 99]

. .

. .

.

. .

d1(r) =S1(r1)ρ(r1) +S1(r2)ρ(r2) d2(r) =S2(r1)ρ(r1) +S2(r2)ρ(r2) ρ(r2) ρ(r1)

Lcanaux:

d1(r)

. . dL(r)

=

S1(r1) .. S1(rR)

. .. .

. .. .

SL(r1) .. SL(rR)

ρ(r1)

. . ρ(rR)

+

n1(r)

. . nL(r)

d(r) =S(r)ρ(r) +n(r)

Reconstruction de Rpixels d’une mˆeme colonne de l’image `a champ

(21)

R´esolution

(22)

Inversion classique

2x+ 2y+z = 1 x+y = 2

2 2 1

1 1 0

| {z }

H

 x y z

| {z }

ρ

= 1

2

| {z }

z

C = 7.6

ρ1 = (2,0,−3), maisρ1 = (1,1,−3) aussi !

Une perturbation kδρk

kρk ∼10% =⇒

kδzk kzk

max

∼70%

(23)

Inversion classique

2x+ 2y+z = 1 x+y = 2

2 2 1

1 1 0

| {z }

H

 x y z

| {z }

ρ

= 1

2

| {z }

z

C = 7.6

ρ1 = (2,0,−3), maisρ1 = (1,1,−3) aussi !

Une perturbation kδρk

kρk ∼10% =⇒

kδzk kzk

max

∼70%

(24)

Moindres carr´es pond´er´es

z =Hρ+n

Matrice de covariance du bruit : Ψ ;

b

ρ= arg min

ρ kz− Hρk2Ψ−1

= HtΨ1H1

HtΨ1z

(25)

Moindres carr´es pond´er´es

R = 2 R=4

(26)

R´egularisation

Connaissances a priorisur le signal `a retrouver⇔ contraintes

Guider le syst`eme d’inversion : unicit´e et stabilit´e de la solution =⇒ probl`eme bien-pos´e

Utiliser plusieurs contraintes b

ρ= arg min

ρ

kz− Hρk2Ψ1+αf(ρ) +δg(Tρ)

Références

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