PA P A RT R TI IE ES S C CO ON NN NE EX X ES E S D DE E R R E ET T F FO ON NC CT TI I ON O N S S C CO ON NT TI I NU N UE ES S
1 Parties connexes de R – caractérisation
1.1 Partie connexe de R
On dit qu'une partie D de est connexe si D n'admet pas de partition en deux ouverts non vides disjoints.
1.2 Première caractérisation
Soit D une partie de . D est connexe si et seulement si toute application continue de D dans
{ }
0;1est constante.
Démonstration
Supposons D connexe. Soit f une fonction continue de D dans
{ }
0;1 .{ }
0 et{ }
1 sont des fermés mais aussi des ouverts (car complémentaires d'un fermé). f−1( ) { }0 est
donc un ouvert, de même que f−1
( ) { }1 (image réciproque d'ouverts par une fonction continue).
( ) { } ( ) { } ( { } )
1 1 1
0 1 0;1
f− ∪ f− = f− =D.
( ) { } ( ) { } ( )
1 1 1
0 1
f− ∩ f− = f− ∅ = ∅.
D étant une partie connexe de , on en déduit que f−1
( ) { }0 =D ou f−1( ) { }1 =D (l'un est égal à
D, l'autre à ∅). f est donc constante.
Pour la condition suffisante, montrons que si D n'est pas connexe, alors il existe une fonction continue de D dans
{ }
0;1 non constante.On suppose donc que D n'est pas connexe. Il existe donc deux ouverts A1 et A2 non vides et disjoints tels que D= A1∪A2. Soit f la fonction définie par :
1 2
, ( ) 1 0
si x A x D f x
si x A
⎧ ∈
∀ ∈ = ⎨⎩ ∈ .
f n'est pas constante sur D car A1 et A2 sont non vides.
( { } )
1 0;1
f− =D
( ) { }
1
0 2
f− =A
( ) { }
1
1 1
f− =A
( )
f−1 ∅ = ∅
Dans tous les cas, on obtient un ouvert. L'image réciproque de tout ouvert est un ouvert donc f est continue.
1.3 Deuxième caractérisation
Les parties connexes de sont les intervalles de . Démonstration
Si I n'est pas un intervalle, alors il existe a b, ∈I tels que a≤b et
{
t a, ≤ ≤t b}
⊄I . Il existe donc c tel que a≤ ≤c b et c∉I. On a alors I = − ∞(
] ; [c ∩ I) (
∪ ] ;c + ∞[ ∩ I)
.]− ∞; [c ∩ I et ] ;c + ∞[ ∩ I sont deux ouverts non vides disjoints de I. De plus, leur réunion est égale à I donc I n'est pas une partie connexe de . On a donc montré que si I est une partie connexe de , alors I est un intervalle de .
Soit I un intervalle de . Montrons que I est une partie connexe de . Soit f une fonction continue de I dans
{ }
0;1 . Montrons que f est constante.Soient ,a b∈I, avec a<b.
{ }
( )
1 ( )
f− f a est ouvert et fermé dans I. Soit B= f−1
( {f a( )} )
∩[ ; ]a b (B est l'ensemble des points
de [ ; ]a b dont l'image par f est a).
B est fermé non vide car a∈B et B est majoré par b. B admet donc une borne supérieure, notée c.
c∈B car B est fermé donc f c( )= f a( ).
{ }
( )
1 ( )
f− f a est un ouvert contenant c donc il existe ε >0 tel que ]c−ε;c+ ⊂ε[ f−1
( {f a( )} )
.
Si c≠b, il existe alors x tel que c< <x b et x∈ f−1
( {f a( )} )
, ce qui contredit la définition de c.
Donc c=b.
Donc f a( )= f b( ) et donc f est constante sur I. I est donc connexe (d'après 1.2).
Conséquence des caractérisations 1.2 et 1.3 : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
2 Fonctions continues sur un connexe
2.1 théorème (condition suffisante pour qu'une application monotone soit continue) Soit I un intervalle de . Soit f une fonction réelle monotone sur I telle que ( )f I soit un intervalle.
Alors f est continue sur I.
Démonstration
On suppose f croissante sur I.
Soit a un point intérieur à I. D'après le théorème de la limite monotone, f admet une limite à gauche en a notée (f a−) et une limite à droite en a notée (f a+), et on a : (f a− ≤) f a( )≤ f a( +).
Montrons que (f a− =) f a( +) :
Supposons le contraire, à savoir (f a− <) f a( +). Il existe alors y∈ , ( )y≠ f a , tel que
( ) ( )
f a− < <y f a+ . ( )f I étant un intervalle, y∈ f I( ). Soit ,x∈I x≠a.
Si x<a, alors ( )f x ≤ f a( )<y car f est croissante.
Si a<x, alors y< f a( )≤ f x( ).
Donc pour tout x∈I, ( )y≠ f x , contredit le fait que y∈ f I( ). Donc (f a− =) f a( +) et donc f est continue en a.
Si a est l'extrémité gauche de I (dans le cas où I est de la forme [ ;...a ), f admet une limite à droite en a, notée (f a+) et ( )f a ≤ f a( +). Montrons que ( )f a = f a( +).
Supposons le contraire, à savoir ( )f a < f a( +). Il existe alors y∈ , ( )y≠ f x tel que
( ) ( )
f a < <y f a+ .
Soit ,x∈I x≠a (donc x>a). Alors y< f a( )≤ f x( ). Donc pour tout x∈I y, ≠ f x( ), ce qui contredit le fait que ( )f I est un intervalle.
Même type de démonstration si a est l'extrémité droite de I.
2.2 Théorème des valeurs intermédiaires
Soit I un intervalle de et f une fonction numérique continue sur I. Pour tous ,a b∈I tels que ( ) ( )
f a < f b et pour tout λ∈[ ( ); ( )]f a f b , il existe c∈I tel que ( )f c =λ. Démonstration
Soient ,a b∈I tels que ( )f a < f b( ). f étant continue, on en déduit que ( )f I est un intervalle de . ( ), ( )f a f b ∈f I( ) donc
[
f a( ); ( )f b]
⊂ f I( ).Donc : ∀ ∈λ
[
f a( ); ( ) ,f b]
λ∈f I( ). D'où le résultat.Conséquence :
Soit f une fonction numérique définie et continue sur un intervalle I de . Si ,a b∈I tels que ( ) ( ) 0
f a f b < , alors il existe c∈[ ; ] (a b ou b a[ ; ]) tel que ( )f c =0 (car
[ ] [ ]
0∈ f a( ); ( )f b ou f b( ) ; ( )f a ).
Si de plus on est assuré de l'unicité de c, on peut calculer une valeur approchée de c par dichotomie.
3 Applications
3.1 Formule de la moyenne
Soient f et g deux fonctions continues sur [ ; ]a b , g étant positive. Soient
[ ; ]
inf ( )
x a b
m f x
∈
= et
[ ; ]
sup ( )
x a b
M f x
∈
= . Alors il existe c∈[ ; ]a b tel que b ( ) b
a fg = f c a g
∫ ∫
.Démonstration
mg≤ fg≤Mg donc b b b
a a a
m
∫
g≤∫
fg≤M∫
g. Si g=0, l'égalité est évidente.Si 0g≠ , [ ; ]
b a b a
fg
m M g
∫
∈∫
. Il existe alors c∈[ ; ]a b tel que ( )b a b a
fg f c
g
=
∫
∫
(théorème des valeurs intermédiaires), d'où le résultat.Conséquence
Pour 1g= : il existe c∈[ ; ]a b tel que b ( ) ( )
a f = f c b a−
∫
.3.2 Théorème du point fixe
Soit f une fonction continue sur un intervalle I =[ ; ]a b . Si f I( )⊂I, alors f admet au moins un point fixe.
Démonstration
Soit g la fonction définie sur I par g x( )= f x( )−x. Montrons que 0∈g I( ). g est continue sur I donc g I( ) est un intervalle de .
( ) ( ) 0
g a = f a − ≥a car f a( )≥a.
( ) ( ) 0
g b = f b − ≤b car f b( )≤b.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c∈I tel que g c( )=0, c'est-à-dire ( )
f c =c.
3.3 Théorème de Darboux
Soit I un intervalle de (non vide et non réduit à un point). Soit f une fonction dérivable sur I.
Alors f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires :
Pour tous a b, ∈I, f ' prend toutes valeur intermédiaire comprise entre f '( )a et f '( )b . Notons que f ' n'est pas supposée continue.
Démonstration
Si f '( )a = f '( )b , le théorème est évident.
Supposons maintenant f '( )a < f '( )b . Soient φ et ψ les fonctions définies par : :
( ) ( ) '( ) I
f x f a
si x a
x x a
f a si x a
φ →
⎧ − ≠
⎪ −
⎨⎪ =
⎩
et :
( ) ( ) '( ) I
f x f b
si x b
x x b
f b si x b
ψ →
⎧ − ≠
⎪ −
⎨⎪ =
⎩
f étant dérivable sur I (donc en a), φ est une fonction continue sur I. Soit f b( ) f a( ) ξ = b a−
− .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, φ prend toutes les valeurs intermédiaires entre ( )a f '( )a
φ = et ( )φ b =ξ.
De même, ψ prend toutes les valeurs intermédiaires entre ( )ψ a =ξ et ( )ψ b = f '( )b . Soit λ∈
[
f '( );a f '( )b]
.1er cas : λ est compris entre f '( )a et ξ.
Il existe x∈[ ; ]a b tel que ( )φ x =λ (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à φ).
Si x=a, alors λ φ= ( )a = f '( )a .
Si x≠a, d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f sur ] ; [a x , il existe c∈] ; [a x tel que ( )f x − f a( )= f '( ) (c x a− ). Alors f '( )c =φ( )x =λ.
2ème cas : λ est compris entre ξ et f '( )b .
Il existe x∈[ ; ]a b tel que ( )ψ x =λ (théorème des valeurs intermédiaires appliqué à ψ ).
Si x=b, alors λ ψ= ( )b = f '( )b .
Si x≠b, d'après le théorème des accroissements finis appliqué à f sur ] ; [x b , il existe c∈] ; [x b tel que ( )f x − f b( )= f '( ) (c x b− ). Alors f '( )c =ψ( )x =λ.
3.4 Corollaire du théorème de Darboux
Soit I un intervalle de (non vide et non réduit à un point). Soit f une fonction dérivable et convexe sur I. Alors f ' est continue sur I.
Démonstration
f étant dérivable et convexe sur I, on en déduit que f ' est croissante sur I. d'après le théorème de Darboux, f ' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires donc f '( )I est un intervalle.
f ' est monotone sur I et f '( )I est un intervalle donc f ' est continue sur I d'après le théorème 2.1.
