Cours Séries de Fourier (2)

Séries de Fourier (2) : Convergence des séries de Fourier Conditions de Dirichlet

Soit

f

un signal T-périodique vérifiant les conditions suivantes appelées conditions de Dirichlet:

f

est continue, dérivable et avec une dérivée continue en tous les points de l’intervalle

[ ] ^{0 , T}

^{, sauf}

éventuellement en un nombre fini de points, où les limites latérales de

f

et

f ′

existent et sont finies.

Une fonction vérifiant les conditions de Dirichlet, s’appelle fonction de classe C1 par morceaux sur l’intervalle

[ ] 0 , T

^.

Théorème Dirichlet

Si

f

est T-périodique et de classe C1 par morceaux sur

[ ] 0 , T

, alors, quel que soit

t ∈ [ ] 0 , T

, la série de Fourier

S

_n^f

(t )

associée à

^f

est convergente et

) ( ) (

lim S

_n^f

t f t

n

=

∞

→ , si

f

est continue en

x 2

) ( ) ) (

( lim

− +

∞

→

= f t + f t t

S

_n^f

n

, si

f

n’est pas continue en

x

(elle présente en saut).

Donc dans tous les points

t

où

f

est continue, la série de Fourier a pour somme la valeur de la fonction :

( )

∑

≥

+ +

=

1

0

cos( t ) sin( t )

) (

n

f n f

n

f

a n b n

a t

f ω ω

Application : Le Théorème de Dirichlet permet de calculer la somme de certaines séries convergentes.

Exercice 1 : Soit

f ( t ) = t , si t ∈ [ [ 0 , π

un signal π- périodique. Montrez que

f

satisfait aux conditions de Dirichlet et appliquez le théorème de Dirichlet pour

4

= π

t

et

t = 0

.

a) Ce signal est continu, dérivable, de dérivée

f ′ ( t ) = 1

continue partout sauf en 0 et π (et n

π

), où :

•

f

n’est pas continue (donc pas dérivable) mais admet des limites latérales finies:

π

−

=

→

( )

lim

0

f x

x ,

lim ( ) 0

0₊

=

→

f x

x et

π

π₋

=

→

( )

lim f x

x ,

lim

₊

( ) = 0

→

f x

x π

•

f ′

n’est pas continue mais admet des limites latérales finies:

1 ) ( lim

0

′ =

→ −

f x

x

,

lim ( ) 1

0

′ =

→ +

f x

x

et

lim ′ ( ) = 1

→ −

f x

x π ,

lim ′ ( ) = 1

→ +

f x

x π .

b) En

4

= π

t

, la fonction est continue donc sa série de Fourier converge vers

4 4

π π

₌

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

f⎛ ^:

∑

^∞

=

=

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1

4

) 4 / 2 sin(

2

4

n

f

n

n

n

S π π n π π

et on obtient

∑

^∞

=

+ =

−

1

2 1 4

) 1 (

k

k

k

π

.

Séries de Fourier (3) : Egalité de Parseval

La valeur efficace (ou RMS - Root Mean Square, ou moyenne quadratique) d'un signal

T

-périodique est la racine carré du moment d'ordre deux (ou variance) du signal :

∫

=

T

eff

f t dt

f T

V 1 ( )

)

(

² .

Exemple : En électricité, la valeur efficace d’un courant périodique

i (t )

(ou d’une tension

u (t )

)

∫

=

T

eff i t dt

f T

I 1 ( )

)

( ² , représente l’intensité

I

d’un courant continu qui dissiperait, sur une période

T

, dans une résistance

R

, la même énergie

E = RI

_eff² que le courant

i (t )

.

L’énergie de l’harmonique de rang

n ≥ 1

d’un signal T-périodique

f

est (par définition) le nombre:

(

^{2 2}

)

2 1

n n

n

a b

E = +

, où

a

₀,

a

_n,

b

_nsont les coefficients de Fourier de

f

.

Le spectre des fréquences d’un signal

f

est la représentation (diagramme en bâtons) des énergies

E

_n

= a

_n²

+ b

_n² (en ordonnée) en fonction des fréquences

T

n

des harmoniques (en abscisse).

Egalité de Parseval

Soit

f

une fonction

T

-périodique, satisfaisant les conditions de Dirichlet et , , ses coefficients de Fourier. Alors on a :

a

0

a

_n

b

_n

( )

∫ ∑

≥

+ +

=

1

2 2 2

0 2

2 ) 1

1 (

n

n n T

b a a

dt t T f

En termes physiques,

∫

T

dt t T 1 f

2

( )

, qui est le carré de la valeur efficace du signal

f

et représente l’énergie équivalente du signal

f

sur une période, est égale avec la somme des énergies des harmoniques et du carré de la valeur moyenne.

Application 1 : La formule de Parseval permet de calculer la somme de certaines séries convergentes.

Exercice 2 : Soit

f ( t ) = t , si t ∈ [ [ 0 , π

, une fonction périodique de période π.

Les coefficients de Fourier de

f

sont:

0

2

= π

a

,

a

_n

= 0

et

b

_n

= − n 1

,

∀ n ∈ N

^*. Montrer, en utilisant la formule de Parseval, que la somme de la série de Riemann

∑

≥1 2

1

n

n

^est

6

π

2

. Application 2 : La formule de Parseval est utile pour déterminer dans un signal périodique la part des harmoniques qui transportent la majorité de l’énergie du signal. On peut ainsi supprimer les autres harmoniques (bruits) pour limiter la bande passante.

En pratique : On détermine le rang N de la série de Fourier pour lequel

) (

) (

2 2

f V

S V

eff N

eff est suffisamment

proche de 1, où

_∑ ( )

=

+ +

=

^N

n

n n N

eff

S a a b

V

1

2 2 2

0 2

2 ) 1

(

et

⁼ ∫

T

eff

f t dt

f T

V 1 ( )

)

(

²

2 . On peut ensuite supprimer

toutes les harmoniques d’ordre supérieur à N.

Exercice 3 : Soit

f ( t ) = sin( t ) , t ∈ R

.

1) Montrer que

f

est une fonction π-périodique et représentez-la sur l’intervalle

^{t ∈} [ ^{− π , 2 π} ]

^.

2) Calculer les coefficients de Fourier de

f

. (

π 2

0

=

a

,

b

_n

= 0

et ₂

4 1

2 2 a

_n

n

= −

π

^,

N

*

n ∈

∀

)

3) Calculer

2 ) 1 1 (

)

(

²

2

= ∫ =

T

eff

f t dt

f T

V

. ( avec

cos( 2 t ) = 1 − 2 sin

²

( t )

)

4) Calculer

_∑ (

=

+ +

=

²

1

2 2 2

0 2 2

2 ) 1

(

n

n n

eff

S a a b

V )

. En utilisant la formule de Parseval, comparez ce résultat avec celui obtenu au point 3).