Partie : Etude de A et B

Mathématiques D10M

BCPST 20/1/2015

On considère les matrices carrées suivantes :

A=





5 5 −14 6 6 −16 5 5 −14



 et B =





8 4 −16 0 4 −8 4 4 −12





On note B = (e₁, e₂, e₃) la base canonique deR³ et f et g les endomorphismes de R³ dont les matrices dans la base B sont respectivement A etB.

1

Partie : Etude de A et B

1^◦) Montrer que A−λI3 est non inversible si et seulement si λ∈ {0,1,−4}.

2^◦) Calculer E_λ = Ker(f −λId) pour les trois valeurs de λ précédentes. On montrera que E_λ est un sous-espace vectoriel de dimension 1dont on précisera une base.

3^◦) Soite⁰₁ = (1,2,1), e⁰₂ = (1,−1,0), e⁰₃ = (1,1,1)et B⁰ = (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃).

Montrer que B⁰ est une base de R³ et préciser la matrice de passageP deB àB⁰. Justier que P et inversible et calculer P⁻¹.

4^◦) Préciser les matrices D et∆ def et g dans la baseB⁰.

Quelle relation existe t-il entre A et D d'une part et B et ∆d'autre part ?

2

Partie : Etude d'une suite

On considère la suite (X_n)_n∈N dénie par :

X₀ =



 1 0 1



, X₁ =



 0

−1 1



, ∀n ∈N, X_n+2 =AX_n+1+BX_n

Pour tout n, on pose Y_n =P⁻¹X_n etY_n=



 u_n v_n w_n



. 1^◦) CalculerY₀ etY₁

2^◦) Former une relation entre Y_n+2, Y_n+1 et Y_n.

3^◦) En déduire que : ∀n ∈ N, w_n+2 = −4w_n+1 −4w_n, ainsi que des relations de récurrence portant sur les suites (u_n)et (v_n).

4^◦) Donner une expression explicite deu_n, v_n, w_n en fonction de n. 5^◦) Donner nalement une expression explicite de X_n en fontion de n.

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BCPST 951/952/953 Lycée du Parc D10M

3

Partie : Résolution d'un système diérentiel

On considère trois fonctions u, v, w de R dans R, dérivables sur R et vériant le système suivant :

(∗)







u⁰(t) = 8u(t) + 4v(t)−16w(t) v⁰(t) = 4v(t)−8w(t)

w⁰(t) = 4u(t) + 4v(t)−12w(t)

1^◦) On pose X(t) =



 u(t) v(t) w(t)



 etX⁰(t) =



 u⁰(t) v⁰(t) w⁰(t)



 Quelle relation relie X⁰(t)et X(t)?

2^◦) On pose Y(t) = P⁻¹X(t) =



 x(t) y(t) z(t)



.

Justier que les fonctions x, y, z sont dérivables sur R.

On note naturellement Y⁰(t) =



 x⁰(t) y⁰(t) z⁰(t)



.

3^◦) Montrer que le système (∗)est équivalent au système

(∗∗)







x⁰(t) = 0 y⁰(t) = 4y(t) z⁰(t) = −4z(t)

4^◦) On suppose u(0) = 1, v(0) =w(0) = 0. Déterminer x(0), y(0), z(0). 5^◦) Résoudre le système (∗∗) avec la condition initiale précédente.

6^◦) Résoudre nalement (∗)avec la condition initiale u(0) = 1, v(0) =w(0) = 0.

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