Mathématiques D10M
BCPST 20/1/2015
On considère les matrices carrées suivantes :
A=
5 5 −14 6 6 −16 5 5 −14
et B =
8 4 −16 0 4 −8 4 4 −12
On note B = (e1, e2, e3) la base canonique deR3 et f et g les endomorphismes de R3 dont les matrices dans la base B sont respectivement A etB.
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rePartie : Etude de A et B
1◦) Montrer que A−λI3 est non inversible si et seulement si λ∈ {0,1,−4}.
2◦) Calculer Eλ = Ker(f −λId) pour les trois valeurs de λ précédentes. On montrera que Eλ est un sous-espace vectoriel de dimension 1dont on précisera une base.
3◦) Soite01 = (1,2,1), e02 = (1,−1,0), e03 = (1,1,1)et B0 = (e01, e02, e03).
Montrer que B0 est une base de R3 et préciser la matrice de passageP deB àB0. Justier que P et inversible et calculer P−1.
4◦) Préciser les matrices D et∆ def et g dans la baseB0.
Quelle relation existe t-il entre A et D d'une part et B et ∆d'autre part ?
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ePartie : Etude d'une suite
On considère la suite (Xn)n∈N dénie par :
X0 =
1 0 1
, X1 =
0
−1 1
, ∀n ∈N, Xn+2 =AXn+1+BXn
Pour tout n, on pose Yn =P−1Xn etYn=
un vn wn
. 1◦) CalculerY0 etY1
2◦) Former une relation entre Yn+2, Yn+1 et Yn.
3◦) En déduire que : ∀n ∈ N, wn+2 = −4wn+1 −4wn, ainsi que des relations de récurrence portant sur les suites (un)et (vn).
4◦) Donner une expression explicite deun, vn, wn en fonction de n. 5◦) Donner nalement une expression explicite de Xn en fontion de n.
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BCPST 951/952/953 Lycée du Parc D10M
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ePartie : Résolution d'un système diérentiel
On considère trois fonctions u, v, w de R dans R, dérivables sur R et vériant le système suivant :
(∗)
u0(t) = 8u(t) + 4v(t)−16w(t) v0(t) = 4v(t)−8w(t)
w0(t) = 4u(t) + 4v(t)−12w(t)
1◦) On pose X(t) =
u(t) v(t) w(t)
etX0(t) =
u0(t) v0(t) w0(t)
Quelle relation relie X0(t)et X(t)?
2◦) On pose Y(t) = P−1X(t) =
x(t) y(t) z(t)
.
Justier que les fonctions x, y, z sont dérivables sur R.
On note naturellement Y0(t) =
x0(t) y0(t) z0(t)
.
3◦) Montrer que le système (∗)est équivalent au système
(∗∗)
x0(t) = 0 y0(t) = 4y(t) z0(t) = −4z(t)
4◦) On suppose u(0) = 1, v(0) =w(0) = 0. Déterminer x(0), y(0), z(0). 5◦) Résoudre le système (∗∗) avec la condition initiale précédente.
6◦) Résoudre nalement (∗)avec la condition initiale u(0) = 1, v(0) =w(0) = 0.
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