MONTE-CARLO & PROCESSUS ALÉATOIRES EXERCICES DU 23 MARS 2015
par Rémi Peyre
EXERCICE 1 — Mouvement brownien avec rappel
1.Écrire une fonction Matlab d’argumentsX0 etT qui trace sur [0, T]l’évolu- tion de l’équation différentielle stochastique suivante :
dXt=σdWt−kFsgn(Xt)|Xt|k−1dt, (*) où les paramètres sont {k = 6;F = 1;σ = 1}, qu’on traitera comme autant de macros. On utilisera la méthode d’Euler avec un découpage en 2 048 pas de temps homogène, ce paramètre de programmation étant lui aussi traité comme une macro.
Tester le programme pourX0 = 0etT = 16.
2. (H)À quelles équations plus communes correspond l’équation (*) : (i) LorsqueF = 0?
(ii) Lorsqueσ = 0? (iii) Lorsquek= 2?[∗]
(iv) Lorsquek=∞? (asymptotiquement s’entend ?).[†]
3.On considère maintenant la valeur du paramètreσ = 10. Tester à nouveau le programme, pour les mêmes valeurs du paramètre. Comparer ce qui se passe si on prend 16 384 pas de temps. Remarquer que les tracés présentent des comportements complètement différents en fonction du nombre de pas de temps. Pourquoi n’est-ce pas « normal » ? Pour quel choix de discrétisation le comportement est-il cohérent avec celui attendu pour la véritable équation différentielle ? En raison de quoi, selon vous, l’autre choix ne marche-t-il pas ?
EXERCICE 2 — Volatilité variable
On considère une processus(Vt)t>0(appelé processus d’Ornstein-Uhlenbeck géo- métriquedéfini par l’équation différentielle stochastique suivante :
dVt=−σVtdWt+ 1
2σ2−λlog Vt
V∗
Vtdt,
où les paramètres sont V∗ = 1, σ2= 2 etλ= 1.
1. Simuler le processus décrit ci-dessus sur6 unités de temps, par la méthode d’Euler stochastique, pour la condition initiale V0 = 0,5. On prendra un pas de temps de2×10−3.
On considère maintenant un processus (Xt)t>0 couplé au processus Vt. Le pro- cessusX évolue purement par sauts, mais la loi de densité des sauts dépend deV : la probabilité que, pendant un intervalle de temps infinitésimal [t, t+dt], X fasse un saut d’amplitude dans[x, x+dx]vaut
1{x>ε}αVt
2 |x|−α−1dxdt,
[∗]. La réponse est hors-programme.
[†]. Question particulièrement difficile.
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Exercices MCPA (23 mars 15) par Rémi Peyre
où les paramètres sont α= 2 et ε= 10−2.
2.Montrer que la densité de probabilité de saut par unité de temps à un instant donné est égale àε−αVt.
3. Montrer que, conditionnellement au fait qu’il y ait un saut à un moment donné, indépendamment de la valeur de Vt, l’amplitude du saut suit une loi qui peut être simulée par εSU−1/α, où S est un signe uniforme sur {−1,1} etU une variable uniforme sur[0,1], indépendante deS.
4. (H)Simuler l’évolution du couple(Vt, Xt), avec la condition initialeX0 = 0.
(On affichera les deux trajectoires sur des graphiques différents, car les échelles ne sont pas les mêmes).
EXERCICE 3 — Le théorème de Girsanov
Le théorème de Girsanov énonce (entre autres) la chose suivante : si (Xt)t>0 est un mouvement brownien (issu de 0) de variance par unité de tempsσ2 soumis à une dériveb(t) dépendant du temps, càd. une solution de
dXt=σdWt+b(t)dt, (1) alors la loi Pb des trajectoires de X sur [0, T] est à densité par rapport à la loi P0
des trajectoires du même mouvement brownien sans dérive, avec
dPb
dP0
(ft)06t6T
= exp
σ−2 Z T
0
b(t)ft0− 12b(t)2 dt
. (2)
(En général f ne sera pas dérivable, mais on pourra quand même donner un sens à (2)en interprétant «RT
0 b(t)ft0dt» comme RT
0 b(t)dft).
1. (H)En interprétant la formule définissant X en termes de schéma d’Euler,
“démontrer” le théorème de Girsanov.
2.NotonsQla loi de la trajectoire sur[0,1]d’un mouvement brownien standard avec dérive b(t) = 1{t<1/2}×3 +1{t>1/2} ×(−3). Exprimer la densité de Q par rapport à la loiP de la trajectoire du mouvement brownien sans dérive.
3.On noteAl’événement « la trajectoire passe au-dessus de112, puis redescend en dessous de0, tout cela avant l’instant t= 1». Comment peut-on évaluerP(A) à l’aide de simulations de la loiQ? Implémenter cette technique.
4. Comparer les résultats obtenus avec ceux de la méthode de Monte-Carlo
“naïve” (càd. en échantillonnant selonP).
EXERCICE 4 — Mouvement brownien sur la sphère
Le but de cet exercice est de simuler une évolution aléatoire d’un point sur la sphère unité de R3. J’affirme qu’une telle évolution peut être décrite par l’équation différentielle stochastique suivante, pour un paramètreα à choisir judicieusement :
d ~Xt=P(X~t)·d ~Wt−α ~Xtdt,
oùW~t est un mouvement brownien standard tridimensionnel et
P(X) :=~ I3− kXk~ −22
X12 X1X2 X1X3
X1X2 X22 X2X3 X1X3 X2X3 X32
.
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Exercices MCPA (23 mars 15) par Rémi Peyre
(I3 est la matrice identité de dimension 3; X1, X2, X3 sont les coordonnées de X~ ; etkXk~ 2 est sa norme euclidienne).
1. (_) Supposons dans cette question qu’on puisse dans les calculs traiter W~t
comme un processus de classeC1. Montrer qu’alors, pour α= 0,kX~tk2 devrait être conservée au cours de l’évolution du processus.
Indication : Les calculs sont assez fastidieux si on y procède trop naïvement... Il vaut mieux vérifier que c’est la quantitékX~tk22 qui est conservée, car cela correspond à une fonction plus facile à différentier. D’autre part, on remarque qu’en termes vectoriels, on a kXk~ 2 = (X~TX)~ 1/2 etP(X) =~ I3− kXk~ −22 X ~~XT, ce qui permet de grandement simplifier les calculs.
2.Simuler le processus pourα= 0 depuis la condition initialeX~0= (1,0,0)sur 2unités de temps avec un pas de discrétisation de taille 1/10 000. Même question pourα= 1et pourα = 2. Dans quel cas la simulation vous semble-t-elle bien rester sur la sphère unité ?
Indication : On peut réaliser un tracé tridimensionnel à l’aide de la commande plot3de Matlab. Plus simplement, vous pouvez aussi tracer kX~tk2 en fonction du temps.
3. (H) En utilisant la formule d’Itô (hors-programme), justifier le phénomène observé à la question précédente, et vérifier que la bonne valeur deα est bien celle trouvée.
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