L’infinitude de la suite des nombres premiers
Exposé pour la journée portes ouvertes du lycée Berthollet
Frédéric Mouton
(mathématiques en MPSI, informatique en MP/MP*)
26 janvier 2019
L’objet de cette présentation est de donner plusieurs preuves très belles et très différentes du résultat donné dans le titre : il y a une infinité de nombres premiers.
1 Les nombres premiers
Définition Un nombre premier est un nombrep≥2 qui n’est divisible que par 1 et p.
Exemples
— 2,3,5,7,11,13 sont les “premiers” nombres premiers ;
— 6, 123456789, ne sont pas premiers ;
— M57885161=257885161−1 est premier.
Théorème Tout nombre n≥2s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme un produit de nombres premiers.
Exemples
— 6=2×3, 1064=23×7×19 ;
— 2019=3×673.
Théorème (Euclide) Il y a une infinité de nombres premiers.
Remarque Il n’y a pas de formule donnant len-ième nombre premier.
Quelques applications des nombres premiers :
— Élémentaire : simplification de fractions ;
— Le développement d’un très conséquent domaine des mathématiques fondamentales : l’arithmétique ;
— Sans qui le monde moderne ne peut pas vivre : la cryptograhie ;
— Récentes : différents liens avec la physique théorique.
2 La démonstration originale (niveau lycée)
Due à Euclide (IIIesiecle avant J.C.).
On raisonne par l’absurde en supposant qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers notés p1,p2, . . . ,pket on définit alors
N=p1×p2× · · · ×pk+1.
CommeN≥2, en le décomposant en facteurs premiers, on voit qu’il admet au moins un diviseur premier p.
Cependant, aucun des pine diviseN, car N=pi×Q+1, donc le reste de la division (celle de l’école primaire) deNpar piest 1.
Ainsi, pest un nombre premier qui n’est pas dans la liste initiale, contradiction ! Il y a donc une infinité de nombres premiers.
3 Une preuve analytique (niveau maths sup)
Due à Euler (XV IIIesiècle).
Résultat préliminaire : en s’inspirant des paradoxes antiques de Zénon, un élève de MPSI du lycée Berthollet, qui parcourt une distance de deux kilomètres pour aller en cours à vélo, com- mence par parcourir la moitié du chemin, soit un kilomètre, puis la moitié de la distance restante, soit un demi-kilomètre, puis la moitié de la distance restante, soit un quart de kilomètre, et ainsi de suite. En arrivant, il a donc calculé la valeur d’une somme “infinie” :
1+1 2+1
4+1
8+· · ·=2.
Plus généralement, on montre facilement en maths sup que, si−1<a<1, 1+a+a2+a3+· · ·= 1
1−a.
On raisonne alors encore par l’absurde en supposant qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers notés p1,p2, . . . ,pk. On définit alors le produitPsuivant :
P = 1
1−p1
1
× 1
1−p1
2
× · · · × 1 1− p1
k
=
1+ 1 p1+ 1
p21+· · ·
×
1+ 1 p2+ 1
p22+· · ·
× · · · ×
1+ 1 pk+ 1
p2k +· · ·
.
En distribuant ce produit de sommes infinies, on obtient, une somme infinie de tous les termes 1
pα11 × 1
pα22 × · · · × 1 pαkk,
où les exposants α1,α2, . . . ,αn peuvent prendre toutes les combinaisons de valeurs entières possibles.
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Par l’existence de la décomposition en facteurs premiers, il apparaît ainsi les inverses de tous les entiers non nulsn:
1
n = 1
pα11×pα22× · · · ×pαkk = 1 pα11 × 1
pα22 × · · · × 1 pαkk. Par l’unicité de la décomposition en facteurs premiers, chaque 1
n n’apparaît alors qu’une seule fois et, ainsi,
P=1+1 2+1
3+· · ·
On voit par ailleurs en cours de maths sup que cette dernière somme infinie à une valeur infinie : 1+1
2+1
3+· · ·= +∞,
donc le produitP aussi, ce qui est une contradiction. Il y a donc une infinité de nombres pre- miers.
Mais cette preuve fournit des informations supplémentaires. Toujours avec des outils de CPGE, on peut en déduire que la somme des inverses des nombres premiers est infinie
1 2+1
3+1 5+1
7+ 1
11· · ·= +∞, ce qui signifie que les nombres premiers ne sont pas trop “rares”.
On peut par ailleurs voir qu’ils se raréfient de plus en plus lorsqu’on se rapproche de l’infini et quantifier cela, mais c’est plus difficile (se fait typiquement en Master).
4 Une preuve en termes de croissance (niveau maths sup)
Due à Chaitin (X X Iesiècle).
Soit p1,p2, . . . ,pk des nombres premiers distincts. On cherche à compter les nombres n≥2
inférieurs à un certain entierNdont la décomposition en facteurs premiers s’écrit avec ces pi: n=pα11×pα22× · · · ×pαkk ≤N.
Remarquons que siαi>log2(N), alors pαii> plogi 2(N)≥2log2(N)=N, donc tous les exposants αi sont inférieurs ou égaux à log2(N), ce qui fait au plus (log2(N) +1)k possibilités pour les nombresncherchés.
On sait montrer en maths sup que
N→+∞lim
(log2(N) +1)k N−1 =0,
donc, en particulier, il existe au moins unNtel que(log2(N) +1)k<N−1. Pour ceN, au moins un nombre inférieur ou égal àN ne se décompose pas en facteurs premiers avec lespi.
Donc un nombre fini de premiers ne suffit pas à représenter tous les entiers. C’est donc que l’ensemble des nombres premiers est infini.
5 Une preuve topologique (niveau L3/M1)
Due à Furstenberg (X Xesiècle). On peut la voir sur cette page Wikipedia.
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